三年高考真题专家解读精编解析一专题三角恒等变换与求值
三角函数恒等变换含问题详解及高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=οοοοοο 3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=xy 在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3， 令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】6.若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则()A. tan(α+β)=−1B. tan(α+β)=1C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=1【答案】C【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解法一：设β=0则sinα+cosα=0，取α=34π，排除B，D再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π4，排除A;选C．解法二：由sin(α+β)+cos(α+β)=√2sin(α+β+π4)=√2sin[(α+π4)+β]=√2sin(α+π4)cosβ+√2cos(α+π4)sinβ，故√2sin(α+π4)cosβ=√2cos(α+π4)sinβ故sin(α+π4)cosβ−cos(α+π4)sinβ=0，即sin(α+π4−β)=0，故sin(α−β+π4)=√22sin(α−β)+√22cos(α−β)=0，故sin(α−β)=−cos(α−β)，故tan(α−β)=−1．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=()A. 1B. 32C. 52D. 3【答案】A【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．【解答】解：由题可知：T=2πω∈(2π3,π)，所以ω∈(2,3)．又因为y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，所以b=2，且f(3π2)=sin(ω×3π2+π4)+b=2．所以ω=23(k−14)，k∈Z，所以ω=52.所以f(x)=sin(52x+π4)+2.所以f(π2)=1．（多选）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，则()A. f(x)在(0,5π12)单调递减B. f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点C. 直线x=7π6是曲线y=f(x)的一条对称轴D. 直线y=√32−x是曲线y=f(x)的一条切线【答案】AD【解析】【分析】解：由题意得：f(2π3)=sin(4π3+φ)=0，所以4π3+φ=kπ，即φ=−4π3+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，故f(x)=sin(2x+2π3).选项A:x∈(0,5π12)时，2x+2π3∈(2π3,3π2)，由y=sinu图象知f(x)在(0,5π12)单调递减;选项B:x∈(−π12,11π12)时，2x+2π3∈(π2,5π2)，由y=sin u图象知f(x)在(−π12,11π12)有1个极值点;选项C:由于f(7π6)=sin3π=0，故直线x=7π6不是f(x)的对称轴;选项D:令f′(x)=2cos(2x+2π3)=−1，得cos(2x+2π3)=−12，解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ，k∈Z，从而得x=kπ或x=π3+kπ，k∈Z，令 k =0 ，则 (0,√32) 是斜率为 −1 的直线与曲线的切点，从而切线方程为 y −√32=−(x −0) ，即 y =√32−x ．【母题来源】2022年新高考II 卷.若实数x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则( ) A. x +y ≤1 B. x +y ≥−2C. x 2+y 2≥1D. x 2+y 2≤2【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换与正弦函数的值域利用正余弦函数表示 x ， y ，代入到 x +y ， x 2+y 2 ，再利用三角函数的性质判断选项即可 【解答】解： 由 x 2+y 2−xy =1 得 (x −y 2)2+(√32y)2=1令 {x −y2=cosθ√32y =sinθ⇒{x =√33sinθ+cosθy =2√33sinθ 故 x +y =√3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)∈[−2,2] ，故 A 错， B 对 ; x 2+y 2=(√33sinθ+cosθ)2+(2√33sinθ)2=√33sin2θ−13cos2θ+43=23sin(2θ−φ)+43∈[23,2]( 其中 tanφ=√33) ，故 C 对， D 错． 【命题意图】考察两角和与差的正弦、余弦公式，考察二倍角的正现有、余弦、正切应用。
三角恒等变换(全国近三年高考题汇编)
近三年全国高考卷分类汇编——三角恒等变换1、（2018年全国Ⅰ卷）8、函数2sin cos 2)(22+-=x x x f ，则（ ）)(.x f A 的最小正周期为π，最大值为3 )(.x f B 的最小正周期为π，最大值为4 )(.x f C 的最小正周期为π2，最大值为3 )(.x f D 的最小正周期为π2，最大值为42、（2018年全国Ⅱ卷）10、函数x x x f sin cos )(-=在[]a ,0上是减函数，则a 的最大值为（ ）4.πA 2.πB 43.πC π.D 3、（2018年全国Ⅱ卷）15、已知51)45tan(=-πα，则=αtan .4、（2018年全国Ⅱ卷）15（理）、已知1cos sin =+βα，0sin cos =+βα则=+)sin(βα .5、（2018年全国Ⅲ卷）4、若31sin =α，则=α2cos （ ）98.A 97.B 97.-C 98.-D 6、（2018年全国Ⅲ卷）6、函数xxx f 2tan 1tan )(+=的最小正周期为（ ）4.πA 2.πB π.C π2.D7、（2018年全国Ⅲ卷）15、函数)63cos()(π+=x x f 在[]π,0的零点个数为 .8、（2017年全国Ⅰ卷）9、已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C9、（2017年全国Ⅰ卷）15、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，2tan =α，则=-)4cos(πα .10、（2017年全国Ⅱ卷）3、函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期为（ ）π4.A π2.B π.C 2.πD11、（2017年全国Ⅱ卷）13、函数x x x f sin cos 2)(+=的最大值为 .12、（2017年全国Ⅱ卷）14（理）、函数43cos 3sin )(2-+=x x x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最大值是 .13、（2017年全国Ⅲ卷）4、已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ）97.-A 92.-B 92.-C 97.D14、（2017年全国Ⅲ卷）6、函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（ ）56.A 1.B 53.C 51.D15、（2017年全国Ⅲ卷）6（理）、设函数)3cos()(π+=x x f ，则下列结论错误的是（ ）.A )(x f 的一个周期为π2- )(.x f y B =的图象关于直线38π=x 对称 .C )(π+x f 的一个零点为6π=x .D )(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递减16、（2016年全国Ⅰ卷）6、将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移41个周期后，所得的图象对应的函数为（ ）.A )42sin(2)(π+=x x f .B )32sin(2)(π+=x x f.C )42sin(2)(π-=x x f .D )32sin(2)(π-=x x f17、（2016年全国Ⅰ卷）14、已知θ是第四象限角，且53)4sin(=+πθ，则=-)4tan(πθ . 18、（2016年全国Ⅱ卷）3、函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示，则（ ）.A )62sin(2π-=x y.B )32sin(2π-=x y.C )62sin(2π+=x y.D )32sin(2π+=x y19、（2016年全国Ⅱ卷）7（理）、若函数x y 2sin 2=的图象向左平移12π个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）62.ππ-=k x A ，Z k ∈ 62.ππ+=k x B ，Z k ∈ 122.ππ-=k x C ，Z k ∈ 122.ππ+=k x D ，Z k ∈ 20、（2016年全国Ⅱ卷）9（理）、若534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=α2sin （ ）257.A 51.B 51.-C 257.-D 21、（2016年全国Ⅱ卷）11、函数)2cos(62cos )(x x x f -+=π的最大值为（ ）4.A5.B6.C7.D22、（2016年全国Ⅲ卷）5（理）、若43tan =α，则=+αα2sin 2cos 2（ ） 2564.A 2548.B 1.C 2516.D 23、（2016年全国Ⅲ卷）6、若31tan -=θ，则=α2cos （ ）54.-A 51.-B 51.C 54.D24、（2016年全国Ⅲ卷）14、函数x x y cos 3sin -=的图象可由函数x y sin 2=的图象至少向右平移个单位长度得到.。
高考数学专题复习《三角恒等变换》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√
（2）若 ，则( )
A. B. C. D.
解：由已知，得 ,即 ，即 ， .故选C.
√
变式2.（1） 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 ，可得 或 （舍去），可得 .故选D.
A. B. C. 或 D.
解：因为 , 是方程 的两根，所以 , ，所以 ,又 , ，所以 , , 因为 , ，所以 , ， ，所以
√
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式（和角、差角公式） _____________________ _____________________ _____________________ ____________________
4.3 三角恒等变换（2023.10.17）
（2） , , .
（3） , , , .
考点一 和、差、倍角公式的简单应用
例1【多选题】下列各式的值小于1的是 ( )
A. B. C. D.
√
√
√
解：对于A， ，A符合题意.对于B， ，故B符合题意.对于C， ，故C不符合题意.对于D， .因为 ,所以 , 故D符合题意. 故选ABD.
（2）升幂公式 _ _______. _ ______. _ ______________. _ ______________.
（3）辅助角公式 ， 其中 _ ______， _______，或 __.
【常用结论】
3.常用的拆角、拼角技巧
（1） .
√
（2）（2023届辽宁东北育才学校一模）若 ， ，且 ，则下列结论正确的是( )
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值理含解析57
专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向★★★分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．2．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
专题6.5 三角恒等变换(精讲精析篇)(解析版)
专题6.5三角恒等变换（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．A ．12B C ．23D ．2【答案】B 【解析】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin cos 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B. A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【答案】12- 【解析】 因为，所以，①因为，所以，②①②得，即， 解得， 故本题正确答案为 【答案】32. 【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=. 【方法技巧】1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．热门考点02 二倍（半）角公式的运用二倍角的正弦、余弦、正切公式：S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2A ．15 BC ．3D ．5【答案】B 【解析】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ． A ．725-B ．725C ．724-D ．724【答案】C 【解析】 因为34tan 43πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以tan 141tan 3θθ+=--，解得tan 7θ=，从而22tan 7tan21tan 24θθθ==--. 故选：C 【总结提升】2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．热门考点03 三角函数恒等变换中“角、名、式”的变换(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【答案】2 【解析】因为()βαβα=+-，()2αβαβα+=++， 所以()3sin sin 2βαβ=+即()()()()3sinsin αβααβα+-=++，即()()()()3sin cos 3cos sin sin cos cos sin αβααβααβααβα+-+=+++， 所以()()2sin cos 4cos sin αβααβα+=+， 所以()2tan 4tan 4αβα+==， 所以()tan 2αβ+=. 故答案为：2【答案】15- 【解析】 ∵1tan 47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴1tan 11tan 7αα+=-解得3tan 4α=-， ∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵22sin cos 1αα+=…①sin tan cos ααα=，…② 解①②得34sin ,cos 55αα==-∴341sin cos 555αα+=-=-．故答案为：15-．【典例9】（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.【答案】.【解析】由， 得化为，，，的最大值为，故答案为.【典例10】求证：ααπαcos 1)24tan(1tan =++. 【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++ )24sin(cos )24cos(cos )24sin(sin απααπααπα++++=)24sin(cos )24cos(απαααπ+-+=)24sin(cos )24cos(απααπ+-===++=ααπααπcos 1)24sin(cos )24sin(＝右边． 故原式得证．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【解析】（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 【总结提升】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等． 2.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号． 3.三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．热门考点04 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其性质1.函数的解析式（1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念（2）用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：2.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象;+网】 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象. 伸缩变换:把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图象; 把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y fx ωω=>的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图象; 把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图象. 3. 由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 4.函数的综合运用（1）x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭． （3）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.（4）()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=.A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】∵g （0）＝2sinφ＝1，即sinφ12=， ∴φ52,6k ππ=+或φ2,6k k Z ππ=+∈（舍去） 则g （x ）＝2sin （ωx 56π+），又755122,,2,12667k k Z k ππωπω⎛⎫+=∈∴=-⨯ ⎪⎝⎭当k=1, 2ω= 即g （x ）＝2sin （2x 56π+），把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56π+），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23π个单位长度得到函数g （x ）的图象，即g （x ）＝sin[4（x -23π）56π+]＝8511sin 4x sin 4sin 43666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选：B ．【典例13】（2016年高考四川理）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.【典例14】（2018年理天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项. 【总结提升】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+.3. 图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，注意二者的“不同”之处．4.研究函数的性质，要注意“复合函数”这一特征.热门考点05 三角函数模型的应用【典例15】如图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距水面2m ，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离y （单位：m ）与时间x （单位：s ）满足关系式()sin 2y A x ωϕ=++，则有（ ）A.5,512A πω== B.2,315A πω== C.5,312A πω== D.15,52A ωπ== 【答案】B 【解析】∵水轮的半径为3m ，水轮圆心O 距离水面2m ， ∴max min 235,231y y =+==-=-，∴max min32y y A -==； 又水轮每分钟旋转4圈，故转1圈需要15s ， ∴215T πω==，∴215πω=，故选：B.【典例16】某港口一天内的水深y （米）是时间t （024t ，单位：时）的函数，下面是水深数据：t （时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数()sin 0,0y A t B A ωω=+>>的图象.（1）试根据数据和曲线，求出sin y A t B ω=+的解析式.【答案】（1）()3sin 100246y t t π=+；（2）该船在1:00至5:00或13:00至1700:能安全进港.不能超过16小时. 【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数sin y A t B ω=+的一个周期为12小时，因此26T ππω==.又()()min max max min max min 117,13,3,1022y y A y y B y y ==∴=-==+=. ∴函数的解析式为()3sin100246y t t π=+.（2）由题意，水深 4.57y +，即[]3sin1011.5,0,246y t t π=+∈，1sin62tπ∴， 52,2,0,1666t k k k πππππ⎡⎤∴∈++=⎢⎥⎣⎦，[]1,5t ∴∈或[]13,17t ∈. ∴该船在1:00至5:00或13:00至1700:能安全进港.若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时. 【总结提升】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．热门考点06 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题：先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题：求函数周期、最值、单调区间的方法步骤①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式； ②利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期；③根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的单调区间．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【解析】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-. 【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，， ∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-【典例19】（2016高考天津理）已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos sin 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【总结提升】1.函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 2.函数的性质(1).(2)周期(3)由 求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.巩固提升A ．12-B ．0C ．1D ．3 【答案】D 【解析】2ππ2ππcoscos sin sin 3636-=cos （2ππ36+）＝cos 5π6=-cos π362=-，故选D ．A ．79-B ．89-C ．79D ．89【答案】A 【解析】由二倍角公式得217cos 22cos 12199αα=-=⨯-=-， 故选：AA ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】D 【解析】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D.A ．15B C D ．1【答案】B 【解析】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以2a b a a -=-=，故选B.A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. ABCD【答案】B 【解析】由题意得，cos αα=-，则tan 7α=. 22tan 7tan 211tan 317ααα∴===--，故选B . A ．35B ．25-C ．-1D ．3【答案】A 【解析】tan tan4tan 33tan 241tan tan 4παπααπα+⎛⎫+=-⇒=-⇒= ⎪⎝⎭-⋅, 22222222sin2cos 2sin cos cos 2tan 1sin2cos sin cos sin cos 1tan ααααααααααααα----===+++,把tan 2α=代入，求得23sin2cos 5αα-=，故本题选A. A ．π12x = B ．π6x = C ．π3x =D ．π2x =【答案】A【解析】依题意，()sin 22f x x x =π2sin 223x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由ππ2π32x k +=+解得ππ,212k x k Z =+∈为函数的对称轴，令0k =求得函数的一条对称轴为π12x =.故选：A.A B 1,(0,π)cos αα∈C ．1cos2sin 2αα-D ．sin 21cos 2αα-【答案】BC 【解析】对于A tan α====，由1cos 201cos 2αα-≥+解得1cos21α-<≤，即()22k k Z αππ≠+∈，解得()2k k Z παπ≠+∈，故A 错误；对于B ：因为(0,π)α∈所以111tan cos cos cos n s si sin cos co αααααααα=====， 故B 正确；对于C ：21cos 22sin sin tan sin 22sin cos cos αααααααα-===对于D ：2sin 22sin cos cos tan 1cos 22sin sin αααααααα==≠-故选：BC A ．5π12B ．7π12C ．34π D ．11π12【答案】CD 【解析】()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭131=sin sin cos 224x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ 2131=sin sin cos 224x x x +- ()131=1cos 2sin 2444x x -+- 131sin 2cos 2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1π=sin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.作出函数()f x 的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，易得π,25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π,267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩满足题意， 所以n m -的值可能为区间π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的任意实数. 所以A,B 可能，C,D 不可能.故选CD.【答案】.【解析】由，得， 解得，或.， 当时，上式 当时，上式= 综上，【答案】4-.【解析】 23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665 . 【解析】（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=.【答案】（1）725-；（2）211- 【解析】 （1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=()sin αβ+== 因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--， 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．(1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)求函数()y f x =的值域.【答案】（1）递减区间：,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡⎤⎣⎦； 【解析】(1) ()2sin 22cos 2=sin 2cos23)34f x x x x x x π=++++=++， 令3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 所以5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈ 令k=0,所以单调递减区间为5[,],88ππ 因为[0,]2x π∈， 所以递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）因为[0,]2x π∈， 所以52[0,]2x [,]444x ππππ∈∴+∈，，所以sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以2)+34x π≤+≤,所以函数()y f x =的值域为3⎡⎤⎣⎦.（I ）求2f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. 【解析】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -sin x cos x ，＝﹣cos2x x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。
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1.【２0１6高考新课标2理数】若3
cos(
)45
π
α-=,
则sin 2
α=（ ） (A)725 （B ）15 (C)15- （D ）725
-
【答案】Ｄ 【解析】
试题分析：2
237cos 22cos 1214
4525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
且cos 2cos 2sin 24
2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤
-=-=
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故选Ｄ.
考点：三角恒等变换.
2.【20１5高考新课标1，理２】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )
(A)33(Ｃ)12-(D ）1
2
【答案】Ｄ
【解析】原式＝o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=1
2
,故选D. 【考点定位】三角函数求值.
【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与１6０°之间的联系,会用诱导公式将不同角化为同角,再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式.
3.【２０15高考重庆,理９】若tan 2tan 5
πα=，则
3cos()
10sin()
5
παπα-
=-（ ) A 、1 B 、２ C 、３ D 、4 【答案】C 【解析】 由
已
知
,
3cos()10sin()
5
π
απ
α-
=-33cos cos
sin sin 1010
sin cos
cos sin
5
5
ππααπ
π
αα+-33cos tan sin 1010
tan cos
sin
5
5
ππ
απ
π
α+=
-33cos 2tan sin 105102tan cos sin
555πππ
πππ+=
- 33cos cos
2sin sin 5
10510sin cos 55π
πππππ+=
＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos
10
π
π==，选Ｃ．
【考点定位】两角和与差的正弦(余弦）公式，同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换．
4．【２０15陕西理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的(）
A.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件 C.充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=,所以sin cos αα=或sin cos αα=-,因为
“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”,但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”,所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件,故选A .
【考点定位】1、二倍角的余弦公式;2、充分条件与必要条件．
【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时,
p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误.充分、
必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化. 5．【2017课标II,理１４】函数()23sin 34f x x x =-(0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是。
【答案】1 【解析】
试题分析：化简三角函数的解析式：
()2
223131cos 3cos 3cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=--+ ⎝
,
由自变量的范围：0,2x π⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
可得：[]cos 0,1x ∈， 当3
cos 2
x =
时，函数()f x 取得最大值1。
【考点】三角变换，复合型二次函数的最值。
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。
一般从:①开口方向；②对称轴位置；③判别式;④端点函数值符号四个方面分析。
6.【２０１7北京,理12】在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ｏx 为始边，它们的终边关
于y 轴对称.
若1
sin 3α=,cos()αβ-=__＿＿___＿＿__. 【答案】7
9
-
【解析】
试题分析：因为
α
和β关于
y
轴对称,所以2k αβππ+=+,那么
1sin sin 3βα==
,22cos cos 3
αβ=-=， 这样()222
7
cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-
． 【考点】1.同角三角函数;2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.
7.【2017江苏，５】若π1
tan(),46
α-=则tan α=.
【答案】
7
5
【解析】11tan()tan
7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππ
αππααππα+-+=-+===---.故答案为75．
【考点】两角和正切公式
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
(1）给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
(３)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角. 8.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-,()1
tan 7
α
β+=，则tan β的值为_＿_____. 【答案】3
【解析】12
tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17
αβαβαβααβα++-=+-===++-
【考点定位】两角差正切公式
９．【201５高考四川,理12】=+ 75sin 15sin . 6
【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=
． 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==
. 法三、62626
sin15sin 75-++=
=. 【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值． 有22sin cos )a b a b αααϕ+=++．第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角
函数值求解.
【名师点睛】这是一个来自于课本的题,这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sin cos )a b a b αααϕ+=++.第二种方法是
直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解. 1０.【2015高考浙江，理1１】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减
区间是.
【答案】π，]8
7,83[ππππk k ++,Z k ∈． 【解析】
试题分析:
1cos 2sin 223
()1sin(2)22242
x x f x x π-=
++=-+，故最小正周期为π,单调递减区间为
]8
7,83[
ππ
ππk k ++,Z k ∈. 【考点定位】1．三角恒等变形；2.三角函数的性质
1１.【2017浙江,18】(本题满分14分)已知函数f （x )=sin ２
x –cos 2x –2
3ｓin
x cos x （ｘ∈Ｒ)．
(Ⅰ）求)3
2(
π
f 的值． (Ⅱ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（Ⅰ)2;（Ⅱ）最小正周期为π,单调递增区间为Z k k k ∈++]3
2,
6
[ππ
ππ
. 【解析】
试题分析:（Ⅰ）由函数概念3
2cos
32sin 3232cos 32sin )32(
22π
ππππ--=f ，分别计算可得；(Ⅱ)化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ,结合ω
π
2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求
函数的单调递增区间． 试题解析:(Ⅰ）由2332sin =π，2
132cos -=π，
)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)3
2(
=π
f (Ⅱ)由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得
)6
2sin(22sin 32cos )(π
+
-=--=x x x x f
所以)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得
Z k k x k ∈+≤
+
≤+,22
36
222
ππ
π
ππ
解得
Z k k x k ∈+≤
≤+,3
26
ππ
ππ
所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]3
2,
6
[
ππ
ππ
． 【考点】三角函数求值、三角函数的性质。