量子光学2012.6.18

2011级全日制“光学与原子分子”专业《量子光学 》课程复习题一、名词解释：量子拍；超荧光；光频梳；原子钟；旋波近似；时间相干性和空间相干性；红外光谱；量子扩散；拉曼光谱。

二、问题回答：1、激光的全量子理论与经典激光理论的相同点与不同点在哪里。

2、腔量子电动力学理论的应用和发展经历。

*3、为什么V 型三能及原子与光场相互作用出现量子拍而Λ型三能及原子不出现。

三、设a 为量子化电磁场的湮灭算符，证明： 1. []+++∂∂=aaaa n n,证明：左边=[][][])1()1()2()1(,,,-++-+-+++-++=+++n n n n na a a a a a a a a a a ， 右边=)1(=+n na ，左边=右边，等式成立。

2.设∑-=nnnn e!22ααα，仅当121>>-αα时，该两模相干态才近似正交的。

由已知：∑-=nnn n e!*12/||121ααα，∑-=mmm m e!22/||222ααα，2*122212221222122212/)|||(|2*12/)|||(|2*12/)|||(|2*12/)|||(|21!!!!!ααααααααααααδααααααeen e m n emn m n ennnnm nmmnn mmn+-+-+-+-====∑∑∑∑∑则：221*212*12221|)(|)|||(|221αααααααααα--+++-==ee当121>>-αα时，即∞→-||21αα2221=→-∞eαα即这两个相干态近似相交。

3.证明相干态的自由演化仍是相干态，即t i e t ωαα-=)0()(证明：由薛定谔方程：ψψH ti =∂∂解为：)0()(/ψψ iHt e t -= 由a a H +=ω ，若t=0时，)0()0(αα=，t=t 时，ti n nti nnti nnniHt iHt enn eenen enn eeet ωωαωαααααααα--------=====∑∑∑)0(!)(!!)0()(2/||2/||2/||//222命题得证。

4. αααααα)(∂∂+=*+a证明：由02/*+-=a e e αααα，a a e e e **00αααααα+-= ααααααααααα+-+-=∂∂=∂∂+a e eettaa***00移项：αααααα)(∂∂+=*+a命题得证。

5. ααααααmm a )(**+∂∂+=证明：由上题结论，ααααααααααααααααααααααmm m m m ma aaa aa)()()()()(*)1(*2*)2(*)2(*)1(*-*+*-++*-+*-++∂∂+=∂∂+==∂∂+=∂∂+=∂∂+=命题得证。

6. 求2)(a a +的正规次序排列和反正规次序排列表示式： ？；=+N2)(a a ？；=+A2)(a a 解：a a aa a a a a a a a aa a a a N+++++++++=+==)1()(2 1312)1(12)1()(22+-=+--=+-=-=+++++++++++aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaa a A四、若光场的密度满足下式，五（10分）、从量子化电场()()()kz ea ea vet E ti ti sin 2ˆ0ωωεω+-+⋅= 出发，根据()aax+=+21ˆ1，()aai x-=+2ˆ2重新把电场用正交算符 表示：()())sin(sin ˆcos ˆ2ˆ210kz t xt x vet E ωωεω+= 证明：①对相干态，其相位幅度噪声：41ˆˆ2221=∆=∆x x ，②对于Fock 态，()1241ˆˆ2221+=∆=∆n x x证明：(1)相干态：)(2121ˆ*1αααα+=+=+a a x,)12(411241ˆ2*2*2221+++=+++=++ααααααa a a ax,41)(41)12(41ˆ2*2*2*21=+-+++=∆ααααααx)(22ˆ*2αααα-=-=+i a a i x)12(411241ˆ2*2*2222-+--=-+--=++ααααααa a a ax41)(41)12(41ˆ2*2*2*22=---+--=∆ααααααx(2)Fock 态：21ˆ1=+=+n a an x)12(411241ˆ2221+=+++=++n n a a a a n x)12(41ˆ21+=∆n x2ˆ1==+na a n ix)12(411241ˆ2222+=-+--=++n n a a a an x)12(41ˆ22+=∆n x六（15分）、考虑一个∧型原子与电磁场相互作用，原子的自由哈密顿量()c c b b a a H c b a a ωωω++= a两模共振耦合光场分别为()()t E t E 111cos ω=()()t E t E 222cos ω= 。

光场与原子相互作用哈密量12(.)2I k k H a b ac h c =-Ω+Ω+① 推导态矢量()()()()()c t c b t b a t a t ++=ψ中各态的概率幅的运动方程。

② 证明如下三态是系统哈密顿量的本征态 Ⅰ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+ΩΩ+=+c b a k k 2121ψⅡc b k k ΩΩ-ΩΩ=12ψⅢ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ-ΩΩ-=-c b a k k 2121ψ ，其中2221k k Ω+Ω=Ω是拉比频率。

解：(1)把()()()()c t c b t b a t a t ++=ψ代入相互作用表象的波函数运动方程：)()(t H t ti I ψψ=∂∂()()ct a b t a a t c a t b c t c b t b a t ai k k k k )()()()(2)()()(*2*121Ω+Ω+Ω+Ω-=++ (1)整理得：))()((21)(21t c t b t ai k k Ω+Ω-=)(21)(*1t a t b i k Ω-= ,)(21)(*2t a t ci k Ω-= ,(2)此即要求的运动方程。

(2)，对(1)式重新整理：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩΩΩ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a H c b a c b a i k k k k 000002*2*121(3)可看出⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΩΩΩΩ-=000002*2*121k k k k H 求解此矩阵可得：本征值为：Ω±=2,0 λ，其中2221k k Ω+Ω=Ω是拉比频率.代入(3)式，求得相应本征态为：0=λ时，c b k k ΩΩ-ΩΩ=12ψΩ+=2 λ时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+ΩΩ+=+c b a k k 2121ψΩ-=2λ时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ-ΩΩ-=-c b a k k 2121ψ 本题得证，当然，把以上三个态，代入相互作用哈密顿量，也可证明他们是本征态。

七（15分）、1、从相干态的性质、相干态的表象、相干态的应用及意义等诸方面谈一谈你对相干态的认识。

为什么说相干态是最小测不准态？相干态与光子数态的关系是什么？相干态是光子湮灭算符的本征态，由于湮灭算符为非厄米算符，所以其本征值为复数。

经典意义上这个复数对应于单模光场的复振幅。

相干态是最接近经典电磁场的量子态.相干态彼此不正交，但两相干态021>>-αα，可以近似看成正交。

相干态是超完备的，即112=⎰αααπd 。

任何量子态矢量都可以在相干态所构成的非正交超完备的空间中展开；由于这种非正交和超完备性，展开不是唯一的；任何算府都可以表示成玻色子算符和的函数，在相干态表象中可以将算符函数与复变量的C 数函数相对应，同样这种函数的对应不是唯一的，例如，可以表示成正规顺序的缔合函数和反正规顺序的缔合函数；量子力学中的期望值（平均值）的计算以及物理量的起伏计算在相干态表象中变得非常方便，借助于密度算符和可观测量厄米算符的缔合函数可以将量子力学问题转化为C 数函数的积分运算；相干态是最接近经典场态的量子态，因此利用其表象研究量子力学问题，可以清楚的看到物理概念的继承和区别。

相干态是近代物理学中的一个重要概念，它最初是由薛定格于1926年提出的，他指出，需要在一个给定位势下找一个遵循经典粒子运动规律的量子力学态.对于谐振子位势，他找到了这样的量子态.薛定格的这一物理思想直到六十年代才由Glauber 加以理论上的发展和给予实际上的应用，Glauber 系统地建立起量子力学的相干态表象，证明了谐振子相干态是消灭算符的本征态，是使测不准关系取极小的态(即最接近于经典情况).在实际应用方面，Glauber 首先用相干态来研究激光辐射场，当激发度足够高，激光分布趋近于相干态的统计律(泊松分布).Glauber 还证明一个经典的振荡电流分布会辐射一个相干态仁3〕.鉴于相干态有它的固有特点(例如它是一个量子力学态，又最接近于经典情况;它是一个不正交的态，并具有超完备性，因而从一个算符的相干态对角元就可决定算符本身等)，人们对相干态理论的研究与应用的兴趣日益增浓.近年来，相干态已被广泛地应用于物理的各个领域，例如研究量子光学，粒子物理，量子电动力学的红外发散向题，超导理论等2、压缩态是怎么定义的？举例说明压缩态的产生和应用。