直角三角形的相似HL31
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
关于三角形的知识点总结
关于三角形的知识点总结一、三角形的定义三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
二、三角形的分类1、按角分类11 锐角三角形：三个角都小于 90 度的三角形。
12 直角三角形：有一个角等于 90 度的三角形。
13 钝角三角形：有一个角大于 90 度小于 180 度的三角形。
2、按边分类21 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
22 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
221 等边三角形：三条边都相等的三角形，也称为正三角形。
三、三角形的性质1、三角形内角和为 180 度。
2、三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
四、三角形的高、中线和角平分线1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
3、三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
五、三角形的全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3、全等三角形的判定方法31 “边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
32 “边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
33 “角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
34 “角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
35 “斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
六、三角形的相似1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质21 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
22 相似三角形的对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
23 相似三角形周长的比等于相似比。
12.2三角形全等的判定——HL课件人教版数学八年级上册
初中数学
例 如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F， CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB.
分析： CE-EF=BF-EF,即CF=BE C
D
Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL）
FE
AE=DF
初中数学
∠B=∠C CD//AB
理由：∵C是路段AB的中点，
（2）∠BAD=∠CAD.
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ D,E与线段AB的距离相等.
Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL）
B
D
C
初中数学
课后作业 2.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知
∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图），再分别过点M、
N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分
∴Rt△AEM ≌Rt△AFN（ASA）. ∴ EM=FN(全等三角形的对应边相等).
初中数学
A
12
E
F
M
N
B
C
课堂小结
初中数学
A
12
E
F
M
N
B
C
课堂小结 判定两个直角三角形全等有哪些方法？
由于已有直角条件，我们多使用后4个有角的条件的判定方法.
初中数学
课堂小结 “HL”判定方法应满足什么条件？
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
分析： CE-EF=BF-EF,即CF=BE
此判定方法只适用于直角三角形，而之前所学的判定适 理由：在Rt△AEM 与Rt△AFN中，
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
第3讲直角三角形的性质应用（2012）
第3讲 直角三角形与勾股定理一、内容提要1、理解直角三角形的有关概念；2、掌握直角三角形中两锐角互余的性质，会根据一个角、两个角的大小关系来判定直角三角形；3、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质和直角三角形全等的HL 判定定理的应用；其它性质：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 4、掌握勾股定理及逆定理的应用二、热身练习 【A 】组题1. 1. 下列说法错误的是（下列说法错误的是（下列说法错误的是（ ））A.A.有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B. B. B.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形C.C.直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高D. D. D.任何一个三角形中，最大角不小于任何一个三角形中，最大角不小于60度 2．如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（为（ ） A ．21B ．2 C ．3 D ．4 3．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m 4．若△．若△ABC ABC 三边长a,b,c 满足满足|a+b |a+b |a+b－－7|+|a 7|+|a－－b －1|+1|+（（c －5）2=0=0，，则△则△ABC ABC 是（是（ ）） A ．等腰三角形．等腰三角形 B B B．等边三角形．等边三角形．等边三角形 C C C．直角三角形．直角三角形．直角三角形 D D D．等腰直角三角形．等腰直角三角形．等腰直角三角形 5、如图，△、如图，△ABC ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，°，°，AB AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=10AB=10，，AC=6AC=6，则△，则△ACD 的周长为（的周长为（ ）） A 、16 B 16 B、、14 C 14 C、、20 D 20 D、、186、已知直角三角形的两边长为3cm 和4cm 4cm，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是 cm cm cm，斜边上的高为，斜边上的高为，斜边上的高为7、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为O （第3题图）题图）的值是三、例题分析：例1、如图，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两直角边长分别是6 EFF BD CEAcC D A C E 第5题 13 3 4 第8题★★例4、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=q （0°＜q＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1. ①q= 度；度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）. 图甲图甲活动二：活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1. 数学思考：数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1q= ，2q= ，3q= ；（用含q的式子表示）式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求q的范围. AEFBCDMN 第3题图乙图乙四、思维提升 【B 】组题1、如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为点D 2；又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为点D 3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D n-1D n 的长为_ _ （n 为正整数）．2、在Rt ABC △中，90A Ð=°，BD 平分ABC Ð，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：的距离是：Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.6 3、如图所示，90E F Ð=Ð=，B C Ð=Ð，AE AF =，结论：①EM FN =；②C D D N =；③FAN EAM Ð=Ð；④ACN ABM △≌△．其中正确的有．其中正确的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．5、如图，以Rt Rt△△ABC 的三边a 、b 、c 为边向外作三个正方形，面积分别是S 1 ，S 2 ， S 3，根据勾股定理可得，勾股定理可得，S S 1 +S 2=S 3DA C 第2题B BA第1题D 1 D 5 D 2D 3 D 4D 0C1第4题C A S 2 S3 S 1 B BC于E，，请说明AG=AB。
直角三角形的所有定律
直角三角形的所有定律针对初二和初三的定律哈、满意答案★丶笨、才爱 5级 2009-07-211 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
沪科版数学九年级（上册）22.2相似三角形的判定-教案（1）
相似三角形的判定【教学目标】1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角：2.掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；3.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学重点】灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学难点】三角形相似的判定定理的探索与证明。
【课时安排】5课时。
【教学过程】【第一课时】三角形相似判定定理的“预备定理”。
一、复习旧知：前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？3.什么样的两个多边形是相似多边形？4.什么是相似比（相似系数）？（二）简答：1.正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。
2.正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。
3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解：概念：如图1,AAB（2与八AB。
相似。
记作“△ABCs/XABt，”,读作“Z\ABC相似于左ABC，”。
注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
, 、ZA=ZA\ZB=ZB；ZC=ZC；△ABCs/XABC，V〉AB BC CA明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……（引导学生明白定义的双重性。
）问题：将左ABC与左ABC，相似比记为ki，△ABC与8ABC相似比记为k?,那么幻与灯有什么关系？ki=k2能成立吗？说明：三角形全等是三角形相似的特例。
（一）类比猜想：1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？和对应角都相等？有没有简便的方法？（二）简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS,ASA、SSS,AAS,直角三角形还有HL。
直角三角形的全等判定 PPT课件 1 浙教版
驶向胜利 的彼岸
2、如图，AC=AD，
∠C=∠D=Rt∠ ，你能
说明∠ABC与∠ ABD
相等吗？
C
A
B
D
3、如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，
∠1=∠2，则∠3=∠4 ，请说明
理由。
A
3
B
1
C
4
E
2
D
4、如图，AB⊥BD于点B， CD⊥BD于点D，P是BD上一点， 且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
•
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
•
14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
增加∠ABC=∠BAD ; C
D
增加∠CAB=∠DBA ;
A
B
如图，已知P是∠AOB内
部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，
北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教学设计1
北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教学设计1一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是北师大版数学八年级下册第16章第2节的内容。
本节课主要让学生掌握直角三角形全等的判定方法，即HL（Hypotenuse-Leg）判定法。
学生通过观察、操作、交流等活动，体会数学的转化思想，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了全等图形的概念，掌握了全等图形的性质和判定方法。
但直角三角形全等的判定方法与一般图形的全等判定有所不同，需要学生能够灵活运用已有知识，解决新的问题。
三. 教学目标1.理解直角三角形全等的判定方法（HL）；2.能够运用HL判定法证明直角三角形全等；3.提高学生解决问题的能力，培养学生的空间观念。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法（HL）；2.教学难点：如何运用HL判定法证明直角三角形全等。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形全等的判定方法；2.运用小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解；3.借助几何画板等软件，直观展示直角三角形全等的过程。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例；2.准备几何画板软件，用于展示直角三角形全等的过程；3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的直角三角形实例，如三角板、房屋结构等，引导学生关注直角三角形。
提问：你们知道直角三角形全等的判定方法吗？2. 呈现（10分钟）教师简要回顾全等图形的概念，然后引入直角三角形全等的判定方法（HL）。
通过几何画板软件展示两个直角三角形，让学生观察并判断它们是否全等。
在学生观察的基础上，教师引导学生总结出HL判定法。
3. 操练（10分钟）教师给出几个运用HL判定法的例题，让学生独立完成。
学生在解题过程中，教师巡回指导，帮助学生克服困难。
4. 巩固（10分钟）教师设计一些变式题目，让学生运用HL判定法进行判断。
初中数学常用性质定理
初中数学常用性质定理1、 两点之间线段最短。
2、 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
3、 同角或等角的补角相等 。
4、 同角或等角的余角相等 。
5、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等 。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
6、平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行 。
（2）内错角相等，两直线平行 。
（3）同旁内角互补，两直线平行 。
7、三角形的边的性质：（1）三角形任意两边的和大于第三边。
（2） 三角形任意两边的差小于第三边。
8、三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180° 。
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 。
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 。
三角形中位线定理 ：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
9、直角三角形的性质 ：（1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
10、勾股定理： 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即222c b a =+。
11、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形 。
12、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角。
（2）勾股定理的逆定理。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
13、锐角三角函数： 特殊角的三角函数值表： 正弦：caA A =∠=斜边的对边sin余弦：c bA A =∠=斜边的邻边cos正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan14、全等三角形的判定方法：（1）有三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
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符号表示：
A
在RtΔABC 和 RtΔA′B′C′中
∵ AB AC
A'
A' B' A'C'
∴ RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
C
B C'
B'
例4：如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=b，
BC=a，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，
ΔABC∽ΔCDB?
解: ABC CDB 90, A
个。
课堂小结：
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前 面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同 样适用。
3.关于探索性题目的处理，要考虑各种可能的 情况。
新课讲解：
判定两个直角三角形全等时，除根 据一般三角形全等的判定定理外，还有 “HL”的方法，类似的，判定两个直角 三角形相似，除了上面一般三角形相似 的三个判定定理外，是否也有特殊的方 法呢？
新课讲解：
试猜想一下直角三角形相似的判定 定理？
定理证明：
A
如图在RtΔABC与 RtΔA′B′C′中， ∠C=∠C’=90°， C
b
C
当 AC BC 时，ΔABC∽ΔCDB BC BD
ba
即 a BD 时，ΔABC∽ΔCDB
a2 BD b
a
B
D
答: 当 BD a2 时，ΔABC∽ΔCDB
b
定理应用：
1.在ΔABC与ΔBCD中，已知∠ABC=∠CDB=90°，
AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，
这两个三角形相似？ A
b
C
分析：
如图（1）：当AC与CB，BC与DB对应
RtΔABC∽RtΔCDB，由上例知
b2 BD
a
a
B
D
提示：对条件探索性问题，在解题时应分类对每一种情
况进行讨论，切不可凭主观想象，只解一种情况，而忽
略其他的解。
如图（2）： ABC CDB 90
当 AC BC
AB 时， BD
A′ A
B
C B′
C′
复习引入：
我们学了几种判角形相 似。 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例，两三角形 相似。
复习引入：
什么是“勾股定理”？
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的 平方和等于斜边的平方。
巩固练习：
2.在△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 那么与△ABC相似但不全等的三角形有 （ C）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
巩固练习：
3.在△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 则下列关系中错误的是（ ） A.AC²=AB·AD B.CD²=AD·BD C.AC·BC=AB·CD D.AC·CD=AD·BD
ΔABC∽ΔBDC，
bC
b
b2 a2
ΔABC∽ΔBDC，
A
a
BD
BD a b2 a2 b
a
B
D
图（2）
答：当
a2 BD
或 BD a
b2 a2
有两个三角形相似
b
b
巩固练习：
1.在直角三角形Rt△ABC中,∠ACB=90°， CD⊥AB于D，若BD=3.6cm，BC∶AC=3∶4， 则BC长为（ C ） A.4cm B.5.6cm C.6cm D.7.2cm
A'
B C'
B'
已知：∠C=∠C’=90°， AB AC
A' B' A' C'
求证: RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
归纳总结：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三形相似。
简单地说： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
巩固练习：
4.如图，已知：△ABC内 接正方形DEFG，AM⊥BC， 分别交BC、DE于点M、N, AM=5cm，AD∶BD=2∶3。 求BC的长。
巩固练习：
5.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 7 ,AD 2 ,BC 3 , 如果在 AB上取一点 P ,使得 以 P、A、D 为顶点的三角形 和以 P、B 、C 为顶点的三角 形相似，那么这样的点 P 有