电子科技大学研究生图论总结

第一章：图论基本概念 1.定义

平凡图/非平凡图 简单图/复合图 空图 n 阶图 连通图/非连通图

完全图n K

12

n n n m K

偶图,m n K 完全偶图

,m n m K mn K 正则图

图和补图，自补图 自补图判定方法 定点的度 d v 最小度 最大度 握手定理

2d v m

图的度序列与图序列，图序列判定方法（注意为简单图） 图的频序列 2.图运算

删点/删边 图并/图交/图差/图对称差 图联 积图/合成图111122,u adjv u v u adjv 或 超立方体 3.连通性 途径 迹 路

图G 不连通，其补图连通

一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈 4.最短路算法（b t A T ） 5.矩阵描述

邻接矩阵及其性质，图的特征多项式 关联矩阵 6.极图？？

L 补图 完全L 部图 完全L 几乎等部图 托兰定理

第二章：树 1.定义

树：连通的无圈图 森林 树的中心和树的形心？

入<=sqrt(2m(n-1)/n)

生成树 根树 出度 入度 树根 树叶 分支点 m 元根树 完全m 元根树 2.性质

每棵非平凡树至少有两片树叶

图G 是树当且仅当G 中任意两点都被唯一的路连接

T 是(n,m)树，则m = n – 1 具有k 个分支的森林有n-k 条边

每个n 阶连通图边数至少为n-1（树是连通图中边的下界） 每个连通图至少包含

一棵生成树 3.计算 生成树计数 递推计数法： G G e G e

关联矩阵计数法：去一点后，每个非奇异阵对应一棵生成树

最小生成树（边赋权）

避圈法 破圈法

完全m 元树： 11m i t

第三章：图的连通性

1. 割边、割点和块（性质使用反证法） 割边： w G e w G

边e 为割边当且仅当e 不在任何圈中

割点： w G v w G

v 是无环连通图G 的一个顶点，v 是G 的割点当且仅当V(G-e)可以被划分为两个子

集，v 在两个子集内点互连的路上 块：没有割点的连通子图 G 顶点数>=3，G 是块当且仅当G 无环且任意两顶点位于同一圈上

v 是割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块

2. 连通度

点割 k 顶点割 最小点割（最少用几个点把图割成两份） G 的连通度 G

连通图没顶点割时连通度 1G n ，非连通图 0G

边割 k 边割 最小边割（最少用几条边把图割成两份） G 的边连通度 G

递推到无圈，自环不算圈

性质： 任意图G 有 G G G

G 是(n,m)连通图， 2m G n

G 是(n,m)单图，若 2n G

，则G 必定连通 G 是(n,m)单图，对应k n ，若 2

2

n k G

，则G 是k 连通

G 是(n,m)单图，若 2

n G

，则 G G

敏格尔定理： G 中分离不相邻x,y 的最小点数等于独立的x,y 路最大数目

G 中分离x,y 的最小边数等于边不重x,y 路最大数目

第四章 E 图与H 图 一、 E 图（走完所有边） 1. 定义，性质与判定

E 图（欧拉环游）与E 迹，走完所有边回到出发点与不回到出发点

E 图性质与判定：E 图 G 的顶点度数为偶数度 G 的边集合能划分为圈 E 迹性质与判定：E 迹 G 中只有两个顶点度为奇数 2. 求解路径算法 找欧拉环游：

都是偶数度点：Fleury 算法（避割边行走）

两奇数点欧拉环游：奇数点补充最短路后得到欧拉环游

多奇数点欧拉环游：补充偶数度并不断交换 （中国邮路问题算法） 二、 H 图（走完所有点） 1. 定义与性质

H 图（H 圈）与H 路：走完所有点回到出发点与不回到出发点 G 图是H 图 w G S S 2. H 图判定

3n 的单图G ，如果 2

n

G

G 是H 图

3n 的单图G ，任意不相邻u,v 有 d u d v n G 是H 图

图G 的闭包是H 图 G 是H 图 度序列判定法：

123n d d d d ，3n ，若对任意的2

n

m

，有m d m 或n m d n m ，则G 是H 图

123n d d d d ，3n ，若对任意的2

n

m

，有m d m 且n m d n m ，则G 是非H 图 2. 极大非哈密尔顿图

定义：如果图G 的度大于等于其他非H 图，则称G 为极大非H 图（非H 图的度上限）

,m n C 图： ,2m n m m n m C K K K

,m n C 图是非H 图

G 是非H 图 G 度弱于某个,m n C 图（证） N 阶单图G 度优于所有,m n C 图 G 为H 图 彼得森图是超H 图

4. TSP 问题（边赋权近似最优H 圈求解）

最优H 图下界：去点求最小生成树，选最小关联边12e e ， 11w T w e w e

第五章 图的匹配与因子分解 1.边匹配

定义： 匹配 饱和点/非饱和点 最大匹配/完美匹配 M 交错路/M 可扩路 贝尔热定理：G 的匹配M 是最大匹配，当且仅当G 不包含M 可扩路（反证） 2.偶图匹配

Hall 定理（偶图匹配存在性定理，完美匹配）： N S S 推论：k 正则偶图G 存在完美匹配（证） 匹配算法： 匈牙利算法

最优匹配算法

3.点覆盖