山东省青岛市高一上学期数学期末考试试卷
山东省青岛市高一上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知f（x）=a•2x+x2+bx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则a+b的取值范围是（）
A . [0，1）
B . [﹣1，4]
C . [0，4）
D . [﹣1，3]
2. （2分）下列哪组中的两个函数是同一函数（）
A . y= 与y=
B . y= 与y=x+1
C . f（x）=|x|与g（t）=（） 2
D . y=x与
3. （2分） (2017高一上·新乡期末) 已知直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直，则a的值为（）
A . 1
B . 2
C . 4
D . 16
4. （2分）已知平面，直线，且有，则下列四个命题正确的个数为（）
①若则；②若则；
③若则；④若则；
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一上·杭州期中) 已知a=（），b=（）﹣2 ， c=log 2，则a，b，c 的大小关系是（）
A . a＞b＞c
B . a＞c＞b
C . c＞b＞a
D . b＞a＞c
7. （2分） (2015高二上·滨州期末) 如图，MA⊥平面α，AB⊂平面α，BN与平面α所成的角为60°，且AB⊥BN，MA=AB=BN=1，则MN的长为（）
A .
C .
D .
8. （2分） (2017高一上·焦作期末) 已知直线l1：x+2y+t2=0和直线l2：2x+4y+2t﹣3=0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为（）
A . 1
B .
C .
D . 2
9. （2分）(2017·南充模拟) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f （2﹣x）=f（x）当x∈[0，1]时，f （x）=e﹣x ，若函数y=[f （x）]2+（m+l）f（x）+n在区间[﹣k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=（）
A . ﹣2
B . 0
C . 1
D . 2
10. （2分）已知f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）的表达式是（）
A . f（x）=x2﹣1
B . f（x）=x2﹣x
C . f（x）=x2+x
D . f（x）=x2+1
11. （2分）(2017·衡阳模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则
该几何体最长的棱长为（）
A .
B .
C . 6
D .
12. （2分）有下述命题
①若，则函数f(x)在(a,b)内必有零点；
②当a>1时，总存在，当时，总有；
③函数是幂函数；
④若A B，则其中真命题的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·宝山模拟) 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为________．
14. （1分） (2020高一上·大庆期末) 计算： ________．
15. （1分） (2019高一上·怀宁月考) 若函数在区间上单调递减，在
上单调递增，则实数的取值范围是________．
16. （1分）设命题p：函数的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值范围是________
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分） (2019高二上·水富期中) 已知过点的圆的圆心在轴的非负半轴上，
且圆截直线所得弦长为。
（1）求圆的标准方程
（2）若过点且斜率为的直线交圆于两点，若的面积为，求直线的方程
18. （10分） (2017高一上·石家庄期末) 已知集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）当m=3时，求集合（∁UA）∩B；
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
19. （10分） (2019高一上·吉林月考) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC=
,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。
（1）证明PC 平面BED；
（2）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小
20. （5分）已知直线L：x﹣y﹣1=0，L1：2x﹣y﹣2=0，若直线L2与L1关于直线L对称，求L2的方程．
21. （10分） (2019高一上·台州期中) 已知函数满足（为常数），且＝3．
（1）求实数的值，并求出函数的解析式；
（2）当时，讨论函数的单调性，并用定义证明你的结论．
22. （5分）已知函数f(x)=-x+ln
（1）求函数的定义域，并求的值
（2）若﹣1＜a＜1，当x∈[﹣a，a]时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
20-1、21-1、
21-2、22-1、。
高中数学 2022-2023学年山东省青岛高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年山东省青岛五十八中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的，线上诚信考试，请将选出的答案标号（A、B、C、D）使用小程序提交.A ．（-∞，e ）B ．（2，e ）C ．（-∞，1）D ．（0，2）1．（5分）已知集合A ={x |2x >4}，B ={x |lnx <1}，则集合A ∩B =（ ）A ．1−k 2kB ．−1−k 2kC ．k1−k 2D ．−k1−k 22．（5分）记cos （-800）=k ,那么tan 100°=（ ）√√√√A ．0<x <12B ．x >1C ．x >2D ．x <03．（5分）使不等式0<1x <1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b4．（5分）已知函数f （x ）=2|x |，记a =f ((14)13)，b =f (log 372)，c =f (log 135)，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．25．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数x +3y =3(x >1，y >13)，则x x −1+3y3y −1的最小值为（ ）A ．4B ．22C ．9D ．26．（5分）已知函数y =log a （x -1）+1（a >0且a ≠1）恒过定点A （x 0，y 0），且满足mx 0+ny 0=1，其中m ,n 是正实数，则2m +1n 的最小值（ ）√√7．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数y =2x −2−x x 3−x的图像大致是（ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.线上诚信考试，请将选出的答案标号（A、B、C、D）使用小程序提交.A ．B ．C ．D ．）A ．11−332B ．11−432C ．9−332D ．9−4328．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2，∠AOB =60°时，s =（ ）⌢⌢⌢√√√√A ．f （x ）=x 与g （x ）=lne x 为同一函数B ．已知a ,b 为非零实数，且a >b ,则1ab2>1a 2b恒成立C ．若等式的左、右两边都有意义，则sin 4α-cos 4α=2sin 2α-1恒成立D ．关于函数f （x ）=3x +x 2-11有两个零点，且其中一个零点在区间（1，2）9．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．a =2B ．a =3C ．m 的值可能是4D ．m 的值可能是610．（5分）已知函数f （x ）是定义在[1-2a ,a +1]上的偶函数．当0≤x ≤a +1时，f (x )=x −3x +1，若f （log 2m ）>1，则（ ）A ．若x 1，x 2为方程f （x ）=-6的两实数根，且x 2x 1+x 1x 2=3，则m =±511．（5分）已知函数f （x ）=x 2+mx -1，则下列说法中正确的是（ ）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处，再拍照上传.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处，再拍照上传.B ．若方程f （x ）=-2的两实数根都在（0，2），则实数m 的取值范围是(−52，−2]C ．若∀x ∈（0，+∞），f （x ）<2x 2，则实数m 的取值范围是（-2，2）D ．若∀x ∈[m ,m +1]，f （x ）<0，则实数m 的取值范围是(−22，0)√A ．-1B ．0C ．1D ．212．（5分）已知函数f (x )=V Y Y YW Y Y Y X x −2，x ∈(−∞，0)lnx ,x ∈(0，1)−x 2+4x −3，x ∈[1，+∞)，若函数g （x ）=f （x ）-m 恰有2个零点，则实数m 可以是（ ）13．（5分）函数y =lg （sinx ）+cosx −12的定义域为．√14．（5分）已知函数f (x )=ln (1+x 2)−11+|x |，若实数a 满足f (log 3a )+f (log 13a )≤2f (1)，则a 的取值范围是．15．（5分）已知f (x )=12sin 2x ，关于该函数有下列四个说法：①f （x ）的最小正周期为2π；②f （x ）在[−π4，π4]上单调递增；③当x ∈[−π6，π3]时，f （x ）的取值范围为[−34，34]；④f （x ）的图象可由g (x )=12sin (2x +π4)的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的有为．√√16．（5分）已知函数f （x ）=2cos （ωx +φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f （x ）-f （-7π4））（f （x ）-f （4π3））>0的最小正整数x 为 ．17．（10分）完成下列计算，保留应有过程． （1）−2sin 4°−cos 34°sin 34°=？；（2）已知sinαcosα=18，且π4<α<π2，则cosα-sinα=？；（3）计算(x 32−x 12)+2(x 43−x 13)(x 12+2x 13)2⋅(1−x −1)2(x >1)=？√√18．（12分）设x ∈R ，函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0，−π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)=32．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f （x ）在[0，π]上的图像； （3）若f (x )>22，求x 的取值范围．√√19．（12分）已知f （x ）=2x 2+bx +c ,不等式f （x ）<-12的解集是（2，3）． （1）求f （x ）的解析式；（2）不等式组V W X f (x )>0f (x +k )<0的正整数解仅有2个，求实数k 取值范围；（3）若对于任意x ∈[-1，1]，不等式t ⋅f （x ）≤2恒成立，求t 的取值范围．20．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cosA 1+sinA =sin 2B1+cos 2B．（1）若C =2π3，求B ； （2）求a 2+b2c2的最小值．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+2mx -6在区间[-1，2]上是单调函数． （1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出f （x ）在区间[-1，2]上的最大值g （m ）；（3）设h （x ）=x +1，令F （m ）=V W X g (m )，m ∈A h (m )，m ∈∁RA ，若对任意m 1，m 2∈[−72，a ]，总有|F （m 1）-F （m 2）|≤a +3，求a 的取值范围．22．（12分）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人．疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题．【主题一】【科学抗疫，新药研发】（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h-1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为_____（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】（2）为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米（a>0），侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．。
山东省青岛市高一上学期数学期末考试试卷
山东省青岛市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若关于x的不等式（1+k）x2+kx+k＜x2+1的解集为空集，则实数k的范围为（）A . [ ，+∞）B . （0，+∞）C . [0，+∞）D . （﹣1，1）2. （2分） (2018高三上·定远期中) 设的三个内角，向量，，若，则 =（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·潮州期末) 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·南开期末) 下列函数中是奇函数的是（）A . y=x+sinxB . y=|x|﹣cosxC . y=xsinxD . y=|x|cosx5. （2分） (2017高一上·南开期末) 已知cosθ＞0，tan（θ+ ）= ，则θ在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2017高一上·南开期末) 函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）7. （2分） (2017高一上·南开期末) 若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . b＜c＜aD . c＜a＜b8. （2分） (2017高一上·南开期末) 如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA 分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A . 或B . 或C . 或D . 或9. （2分） (2017高一上·南开期末) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A . 函数f（﹣x）的最小正周期为πB . 函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x= + （k∈Z）C . 函数f（﹣x）图象的对称中心为（ + ，0）（k∈Z）D . 函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）10. （2分） (2017高一上·南开期末) 设函数f（x）= ，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））= ；④若f（f（a））= ，则a≥1．A . ①③B . ②④C . ①②③D . ①③④二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高一上·东城期末) 已知向量| |=2，| |=3，| + |= ，那么| ﹣|=________．12. （1分）已知 sin（x﹣φ）dx= ，则sin2φ=________．13. （1分） (2017高一上·南开期末) 如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g （x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为________．14. （1分） (2017高一上·南开期末) 如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|= ，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ=________．15. （1分） (2017高一上·南开期末) 设函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1 ， x2 ， x3 ，且x1+x2+x3=﹣，则a= ________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （10分） (2016高一上·温州期中) 函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m（0＜m≤1）．（1）若x∈[0，m]，证明：f（x）≤ ；（2）求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．17. （10分）(2020·厦门模拟) 已知函数 .（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.18. （10分）(2013·四川理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cosB﹣sin （A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4 ，b=5，求向量在方向上的投影．19. （5分） (2020高一下·北京期中) 在中，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求b的取值范围；（Ⅲ）求的最大值．20. （5分）已知函数，其中 .(I)若对任意都有，求的最小值;(II)若函数在区间上单调递增，求的取值范围·参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、第11 页共11 页。
2023-2024学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）＝log 2（3﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，3） B ．（﹣∞，2） C ．（﹣∞，3） D ．（﹣∞，3]2．cos210°＝（ ）A ．12B ．−12 C ．√32D ．−√323．已知x ，y 为正实数，则2y x +xy 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√24．人类已进入大数据时代，数据量已从EB （1EB ＝10242TB ）级别跃升到ZB （1ZB ＝1024EB ）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y （单位：EB ）与时间x （单位：年）的关系符合函数y ＝k •a x﹣2021，其中a ＞0，a ≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB ，2023年该地区产生的数据边为1EB ，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A ．1.5EBB ．1.75EBC ．2EBD ．2.25EB5．“x ＞4”是“log 3x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．当x ∈（0，2π）时，函数f （x ）＝sin x 与g （x ）＝|cos x |的图象所有交点横坐标之和为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）＝3|x |﹣1，若f （1﹣x ）＜f （x ），则x 的取值范围为（ ） A ．(−∞，12)B ．(12，+∞)C ．[−1，12)D ．(12，2]8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab10．已知函数f(x)=sin(3x+π)，则（）3，0)是f（x）图象的一个对称中心A．点(−π9B．直线x=π是f（x）图象的一条对称轴18C．f（x）在[0，π9]上单调递增D．f(x+π)=f(x)311．已知函数f(x)=a(1)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）3A．a+b＝0B．f(x)=(1)|x|−13C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{1，2，3}． （1）写出A ∩B 的所有子集；（2）若关于x 的不等式x 2+bx +c ＜0的解集为C ，A ∪C ＝[﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]，求b +c 的值． 18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ．（1）若注射1mL药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL药品，12小时之后又注射amL药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a的最小值．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1，a＞0．x−1（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝log2（3﹣x）的定义域为（）A．（0，3）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]解：f（x）＝log2（3﹣x），则3﹣x＞0，解得x＜3，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，3）．故选：C．2．cos210°＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°=−√32．故选：D．3．已知x，y为正实数，则2yx+xy的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为x，y为正实数，所以2yx+xy≥2√2yx⋅xy=2√2，当且仅当2yx=xy，即x=√2y时，2yx+xy的最小值为2√2．故选：D．4．人类已进入大数据时代，数据量已从EB（1EB＝10242TB）级别跃升到ZB（1ZB＝1024EB）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y（单位：EB）与时间x（单位：年）的关系符合函数y＝k•a x﹣2021，其中a＞0，a≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB，2023年该地区产生的数据边为1EB，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB解：由题意可得，{0.5=k⋅a 2022−20211=k⋅a2023−2021，解得{a=2k=14，∴y=14×2x−2021，∴当x＝2024时，y=14×22024−2021=14×23=2，即2024年该地区产生的数据量为2EB．故选：C．5．“x＞4”是“log3x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：∵不等式log3x＞1⇔x＞3，∴当x＞4时，有log3x＞1，充分性成立；当“log3x＞1”时，有x＞3，不能推出“x＞4”，必要性不成立，因此，“x＞4”是“log3x＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sin x与g（x）＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：由f（x）＝g（x），可得sin x＝|cos x|，显然π2，π，3π2不是图象的交点的横坐标，当0＜x＜π2时，由题意得sin x＝cos x，则x=π4，当π2＜x＜π时，sin x＞0，cos x＜0，由题意得sin x＝cos x，x=3π4，当π＜x＜3π2时，由题意得sin x＝﹣cos x，x不存在，当3π2＜x＜2π时，由题意得sin x＝cos x，此时x不存在，故π4+3π4=π．故选：A．7．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝3|x|﹣1，若f（1﹣x）＜f（x），则x的取值范围为（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．[−1，12)D．(12，2]解：根据题意，函数f（x）＝3|x|﹣1，其定义域为[﹣2，2]，有f（﹣x）＝3|﹣x|﹣1＝3|x|﹣1＝f（x），f（x）为偶函数，在区间[0，2]上，f（x）＝3x﹣1，易得f（x）在[0，2]上为增函数，若f（1﹣x）＜f（x），则有|1﹣x|＜|x|≤2，解可得：12＜x≤2，即x 的取值范围为（12，2]．故选：D ．8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17解：根据题意，若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则其否定“∀x ∈（0，m ），都有x ≤5lg303lg0.5“”为真命题，则有m ≤5lg303lg0.5，由于m ＞0，且5lg303lg0.5＞0，两边同时取对数可得：lgm ≤lg 5lg303lg0.5=lg 5lg 30﹣lg 3lg 0.5＝lg 30lg 5﹣lg 0.5lg 3＝lg 30lg 5+lg 2lg 3＝（lg 3+1）（1﹣lg 2）+lg 2lg 3＝lg 15，即lgm ≤lg 15，必有m ≤15，即m 的最大值为15． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab解：对于A ，当c ＜0时，ac ＞0，bc ＜0，故A 错误； a ＜b ，﹣c ＝﹣c ，故a ﹣c ＜b ﹣c ，故B 正确； a ＜0，b ＞0，则1a ＜0，1b＞0，故C 错误；a ＜0，b ＞0，则a ﹣b ＜0，a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，即a 2＞ab ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +π3)，则（ ）A ．点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心B ．直线x =π18是f （x ）图象的一条对称轴 C ．f （x ）在[0，π9]上单调递增D ．f(x +π3)=f(x)解：对于函数f(x)=sin(3x +π3)，令x =−π9，求得f （x ）＝0，可得点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心，故A正确．令x=π18，求得f（x）＝1，为最大值，可得直线x=π18是f（x）图象的一条对称轴，故B正确．在[0，π9]上，3x+π3∈[π3，2π3]，函数f（x）不单调，故C错误．由于f（x+π3）＝sin（3x+π+π3）＝﹣sin（3x+π3）＝﹣f（x），故D错误．故选：AB．11．已知函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）A．a+b＝0B．f(x)=(13)|x|−1C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增解：因为函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，所以a(13)0+b=0⇒a+b=0，A项正确；又因为f（x）图象无限接近直线y＝1，所以b＝1，从而a＝﹣1，所以f(x)=−(13)|x|+1，B项错误；C项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，正确；D项，x＞0，f(x)=−(13)x+1在[0，+∞）上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，则在（﹣∞，0]上单调递减，错误．故选：AC．12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，设f（x）＝sin（2πx）+x，满足f（x﹣1）＜f（x），但f（x）在R上不是增函数，A错误；对于B，当x1＝﹣x2＝m时，有|f（m）﹣f（﹣m）|≤|cos m﹣cos（﹣m）|＝0，必有f（m）＝f（﹣m），故f（x）为偶函数，B正确；对于C，当x1＝x2+2π时，有|f（x2+2π）﹣f（x2）|＝|cos（x2+2π）﹣cos x2|＝0，必有f（x2+2π）＝f（x2），故f（x）是周期为2π的周期函数；对于D，∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，设x1＜x2，则cos x1＞cos x2，则有|f（x1）﹣f（x2）|＜cos x1﹣cos x2，即cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2）＜cos x1﹣cos x2，对于cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2），变形可得f（x1）+cos x1＞f（x2）+cos x2，故函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．解：因为y＝a x恒过定点（0，1），而y＝a x+1是由y＝a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式f（x）＝lgx；（答案不唯一）．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．解：当f（x）＝lgx时，对于①：因为x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞），满足①；对于②：对∀x1，x2∈（0，+∞），有f（x1x2）＝lgx1x2＝lgx1+lgx2＝f（x1）+f（x2），满足②；对于③：当x∈（1，+∞）时，由函数f（x）＝lgx在x∈（0，+∞）上单调递增，可得lgx＞lg1＝0，即f（x）＞0成立．满足③．故答案为：lgx（答案不唯一）．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为3π8．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=π2，AC＝1，∴∠ABC＝∠C'BA'=π4，AB=√2，∴∠ABC'=π2，∴∠CBC′=π4+π2=3π4，∠A'BA=π4+π2=3π4，∴图中阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形BAA'﹣S扇形BCC'﹣S△A'BC'＝S扇形BAA'﹣S扇形BCC'=12×3π4×AB2−1 2×3π4×BC2=3π8×2−3π8=3π8．故答案为：3π8．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为π．解：因为f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6，又因为f(x)=sinx+√3且﹣1≤sin x≤1，所以√3−1≤f（x）≤√3+1，所以√3+1≤f（x1）+2≤√3+3，√3−3≤f（x2）﹣2≤√3−1，显然f（x1）+2＞0，f（x2）﹣2＜0，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]∈[（√3−3）（√3+3），（√3−1）（√3+1）]，即f（x1）f（x2）∈[﹣6，2]，当且仅当f（x1）+2=√3+3，f（x2）﹣2=√3−3时，[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6成立，所以sin x1＝1，sin x2＝﹣1，所以x1＝2k1π+π2，k1∈Z，x2＝2k2π−π2，k2∈Z，所以|x1﹣x2|＝|2（k1﹣k2）π+π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1﹣k2＝1或k1＝k2时（k1∈Z，k2∈Z），|x1﹣x2|有最小值，且|x1﹣x2|min＝π，故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{1，2，3}．（1）写出A∩B的所有子集；（2）若关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为C，A∪C＝[﹣1，3），A∩C＝（1，2]，求b+c的值．解：（1）因为x2﹣x﹣2≤0，所以（x+1）（x﹣2）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以A＝[﹣1，2]，所以A∩B＝{1，2}．所以A ∩B 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）因为A ∪C ＝（﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]， 所以C ＝（1，3），由题意得1和3是方程x 2+bx +c ＝0的两根， 所以1+3＝﹣b ，1×3＝c ， 所以b +c ＝﹣1．18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．解：（1）角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)，且由图象可得t =45，则由三角函数的定义知：cosα=35，sinα=45，tanα=43．（2）∵sin(π−α)=sinα=45，sin(π2−α)=cosα=35，cos(π2+α)=−sinα=−45，∴sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)=45+35−45=−74．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．解：（1）由题知T =2πω=2，所以ω＝π． 又因为f(16)=sin(π6+φ)=0，所以{φ=kπ−π6，k ∈Z −π2＜φ＜π2，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(πx −π6)．（2）因为f(x)=sin(πx −π6)，x ∈[0，m ]，令t =πx −π6∈[−π6，πm −π6]，因为y ＝sin t 在[−π6，πm −π6]上的最小值为−12，所以πm −π6≤7π6，解得m ≤43， 所以m 的取值范围是(0，43]．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．解：（1）（i ）由题知：f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝2（sin x +cos x ）， 所以g 2(x)4−1=(sinx +cosx)2−1=sin 2x +cos 2x +2sinxcosx −1=2sin x cos x ＝2f （x ）．（ii ）由（sin x +cos x ）2﹣1＝2sin x cos x ≤sin 2x +cos 2x ＝1，当且仅当sin x ＝cos x 时，即x =π4时取等号，所以sin x +cos x ≤√2，即g （x ）的最大值为2√2；（2）因为S AMNW ＝BE •DF ＝（a ﹣cos x ）（a ﹣sin x ）＝a 2﹣a （sin x +cos x ）+sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），因为0＜x ＜π4，所以π4＜x +π4＜π2，所以√22＜sin(x +π4)＜1，所以t =sinx +cosx ∈(1，√2]， 所以sinxcosx =(sinx+cosx)2−12=t 2−12，令S AMNW=ℎ(t)=a 2−at +t 2−12=t 22−at +a 2−12，若1＜a ＜√2，则h （t ）在（1，a ）上单调递减，在(a ，√2)上单调递增， 所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a 2−12． 若a ≥√2，则h （t ）在(1，√2]上单调递减，所以ℎ(t)≥ℎ(√2)=a 2−√2a +12，综上，当1＜a ＜√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−12；当a ≥√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−√2a +12．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ． （1）若注射1mL 药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL 药品，12小时之后又注射amL 药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a 的最小值．解：（1）注射1ml 该药品，其浓度为y ={168−x −2，0≤x ≤69−x2，6＜x ≤18， 当0≤x ≤6时，由2≤168−x−2可得，4≤x ≤6， 当6＜x ≤18时，由2≤9−x2可得，6＜x ≤14，所以一次注射1ml 该药品，则药物有效时间可达14﹣4＝10小时； （2）设从第一次注射起，经x （12≤x ≤18）小时后，其浓度g(x)=9−x 2+a[168−(x−12)−2]=20−x 2+16a20−x−2a −1，因为20﹣x ∈[2，8]，a ＞0， 当a ∈[18，2]时，因为20−x 2+16a 20−x−2a −1≥2√(20−x)2⋅16a (20−x)−2a −1=4√2a −2a −1，当20−x 2=16a 20−x时，即x =20−4√2a ∈[12，18]时，等号成立，所以{4√2a−2a−1≥218≤a≤2，解得0.5≤a≤2，当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34＜2，所以a∈(0，18)不能保证持续有效，综上所述，a的取值范围为[0.5，2]，即要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，a＞0．（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．解：（1）由f(x)=alnx−x+1x−1可知，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．∵f(x)=alnx−x+1x−1=alnx−x−1+2x−1=alnx−2x−1−1，∴f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增．对∀x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∵f(x1)−f(x2)=a(lnx1−lnx2)+(2x2−1−2x1−1)=a(lnx1−lnx2)+2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递增，同理对∀x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(1e)=aln1e−1e+11e−1=−alne−e+1e1−ee=−(alne−e+1e−1)=−f(e)=0．∴不等式的解集为(1e，1)∪(e，+∞)．（3）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(e 1a)=−2e1a−1＜0，且e1a∈(1，+∞)，取p满足{p＞e2ap＞3，则f(p)=alnp−1−2p−1＞aln(e2a)−1−23−1=0，∴f（x）在（1，+∞）上有唯一零点n，又∵f(e−1a)=21−e−1a−2＞0，且e−1a∈(0，1)，取q满足{q＜e−2aq＜13，则f(q)=alnq−1+21−q＜aln(e−2a)−1+21−13=0，∴f（x）在（0，1）上有唯一零点m．∵f（m）＝0，又f(1m)=aln1m−1m+11m−1=−(alnm−m+1m−1)=−f(m)=0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，且1m，n∈（1，+∞）．∴1m=n，∴mn＝1，∴m+n＞2√mn=2．。
2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合1{|1216}{|0}6x x A x B x x -=≤=≥-＜，，则R A C B ⋂＝（ ） A ．{x |1＜x ≤4} B ．{x |0＜x ≤6} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |4≤x ≤6}【答案】A【分析】化简集合,A B ，按照补集定义求出R C B ，再按交集定义，即可求解. 【详解】{|1216}{|04}x A x x x =<=<≤≤, 1{|0}{|16x B x x x x -=≥=≤-或6}x >， {|16}R C B x x =<≤，R A C B ⋂4{|}1x x <≤=.故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.2．下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【答案】D【解析】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。
【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞A 选项定义域是R ；B 选项定义域是{}|0x x ≠；C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
故选：D【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。
3．若0a >，0b >，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取4a =，1b =，可得“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；由基本不等式可知由“4a b +≤”可以推出“4ab ≤”，进而可得结果.【详解】因为0a >，0b >，取4a =，1b =，则满足4ab ≤，但是54a b +=>，所以“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；反过来，因为a b ≤+，所以当4a b +≤时，有4，即4ab ≤. 综上可知，“4ab ≤”是“4a b +≤”的必要不充分条件. 故选：B.4．已知幂函数()y f x =的图象经过点，则13log (3)f 的值是（ ）A ．13-B ．1C ．13D ．-1【答案】A 【分析】设()a f x x ，代入点的坐标求得a ，然后再计算函数值．【详解】()a f x x，则由题意和13(3)33a f ===，13a =，∴1311133311log (3)log 3log 333f ===-．故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题． 5．已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】A【分析】根据对数函数的图象和性质可得：1a c >>，然后再比较,b c 的大小关系即可. 【详解】因为2233log 3log 21log 3log 2>==>，所以1a c >>，又因为21cos43b π>==，而3982log 2log 2log 23c ==<=，所以1b c >>， 所以a b c >>， 故选：A .6．函数2sin 2x y x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】令0x =，排除C 、D ；再令=1x -，排除B 即可. 【详解】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令=1x -，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B. 故选：A7．若θ为第二象限角，且()1tan 2θπ-=-1cos 1cos 31sin()1sin()22θθππθθ+---+- ）A ．4B ．-4C ．14D ．14-【答案】B【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.【详解】由()1tan 2θπ-=-得：1tan 2θ=-，而θ为第二象限角，则有sin 0θ>，22221cos 1cos 1cos 1cos (1cos )(1cos )31cos 1cos 1cos 1cos 1sin()1sin()22θθθθθθππθθθθθθ+-+-+--+----+-1cos 1cos 2cos 24sin sin sin tan θθθθθθθ+-=-===- 故选：B8．已知函数()f x 的定义域为R ,图象恒过()1,1点,对任意12x x <,都有()()12121f x f x x x ->--则不等式()()22log 212log 21x xf ⎡⎤-<--⎣⎦的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2,log 3-∞C ．()()2,00,log 3-∞D ．()20,log 3【答案】D【解析】判断出()()R x f x x =+是增函数，又()()()2222log 1log 12(1)1x xf f -+-<=+，求得0<212x -<，从而求得x 的范围。
山东省青岛市2022-2023学年度高一第一学期期末数学试题及答案
第1页共4页2022-20232023.01本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1234}{2468}{369}A B C ===，，，，，，，，，，，则()A B C 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．下述正确的是A ．若θ为第四象限角，则sin 0θ>B ．若cos 0θ=，则π2θ=C ．若θ的终边为第三象限平分线，则tan 1θ=-D ．“ππZ4k k θ=+∈”是“sin cos θθ=”的充要条件3．函数()f x =的定义域为A ．[1+∞，B ．(1)+∞，C ．(01]，D ．(0)+∞，4．若函数2()21x f x a =-+为奇函数，则a =A ．0B ．1C ．2D ．35．若110a b<<，则下列不等式中正确的是A ．a b<B ．22a b ab>C ．||a b >-D ．2a b a +<6．已知函数π()sin(26f x x =-，则A ．()f x 的最小正周期为2πB ．点π(0)6，是()f x 图象的一个对称中心C ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴D ．()f x 在ππ(63-，上单调递增第2页共4页7．若定义在R 上的函数()f x 满足：当π||2x ≤时，(sin )2(sin )3sin cos f x f x x x -+=，且(2)()f x f x +=，则36()5f =A ．1225-B ．1225C ．3625-D ．3658．已知函数()f x ，对任意12,(1,)x x ∈+∞且12x x ≠，21121122()()()()x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，且(1)f x +是偶函数，设31(log )2a f =，3(log 4)b f =，13(log 3)c f -=，则a b c ，，的大小关系为A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c<<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
山东省青岛市2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{3,2,1,0,1,2}A =---，集合{||21|2}B x x =-<，则A B =（ ） A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．∅2．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为（ ） A ．,sin 1x R x ∃∈> B ．,sin 1x R x ∀∈> C ．,sin 1x R x ∃∈≥D ．,sin 1x R x ∃∈≤3．若角θ的终边经过点P ⎛ ⎝⎭，则tan θ=（ ）A B ．C ．1- D ． 4．函数44()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5．已知sin160a =︒，cos50b =︒，tan110c =︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a c b <<6．已知函数1()1lg 1xf x x-=-+，若1()2f a =，则()f a -=（ ）A ．12-B ．12 C ．32- D ．327．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：)(rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.22,10R T ==.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：ln3 1.10≈) A ．2天B ．3天C ．4天D ．5天8．已知函数2|ln(1),1()(2),1x x f x x x ⎧+-=⎨+≤-⎩，若方程()0f x m -=有4个不相同的解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．[0,1]二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若0a b <<，则22a ab b >>C 5D ．lg 0x <是1x <的充分不必要条件10．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．13()f x x =B ．()tan f x x =C ．()33x x f x -=-D ．()cos f x x x =⋅11．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R12．已知定义在R 上的函数()f x 同时满足下列三个条件：①()f x 是奇函数；②()2x f x f x π⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭R ,；③当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()21x f x =-；则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期T π= B ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线2x π=-对称 D ．当()2k x k Z π=∈时，()0f x =三、填空题13．已知弧长为π的弧所对的圆心角为60︒，则这条弧所在圆的半径为___________.14．已知α为第二象限角，3cos 2sin()24παπα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，则cos α=___________.15．计算：2log 321lg22log ln1162+++=___________.四、双空题16．某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表：则一户居民使用该物资的年花费y (元)关于年用量x (千克)的函数关系式为___________；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为___________千克.五、解答题17．从“①,(2)(2)x R f x f x ∀∈+=-；②方程()0f x =有两个实数根12,x x ，124x x +=；③,()(2)x R f x f ∀∈≤”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答. 已知函数()f x 为二次函数，(1)8f -=-，(0)3f =-，___________. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若不等式()0f x kx -≤对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.18．2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元.现给出两种地价增长方式，其中1:()(,R)P f t at b a b =+∈是按直线上升的地价，22:()log ()(,)P g t c d t c d =+∈R 是按对数增长的地价，t 是2006年以来经过的年数，2006年对应的t 值为0. （1）求()f t ，()g t 的解析式；（2）2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在的10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.(参考数据：2log 10 3.32≈)19．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22()()10g x g x --≤.20．已知函数()()()ln 22ln 22x xf x -=-+-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （3）若()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围.21．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？22．若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断，()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0，()f x 的定义域为1I ，()g x 的定义域为2I ，存在非空区间()12A I I ⊆⋂，满足：x A ∀∈，均有()()0f x g x ≤，则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”（1）写出()sin f x x =和()cos g x x =在[0,]π上的一个“Ω区间”(无需证明．．．．)； （2）若3()f x x =，[1,1]-是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 不是偶函数； （3）若1ln ()sin 2x exf x x x eπ-=++，且()f x 在区间(0,1]上单调递增，(0,)+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 在区间(0,)+∞上存在零点.参考答案1．B 【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：因为{||21|2}B x x =-<，所以13|22B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，又{3,2,1,0,1,2}A =--- 所以{0,1}A B = 故选：B 2．A 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“,sin 1x R x ∃∈>”. 故选：A. 3．C 【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得； 【详解】解：角θ的终边经过点P ⎛ ⎝⎭，所以tan 1θ==- 故选：C 4．C 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简可得()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，即可求出周期.【详解】44()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-()()2222sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x =-++sin 2cos 224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.()f x ∴的最小正周期为22ππ=. 故选：C. 5．C 【分析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断0b a >>，再由0c <可得. 【详解】sin160sin 20=，cos50sin 40=， sin 40sin 200>>，0b a ∴>>，tan1100c =︒<， c a b ∴<<.故选：C. 6．D 【分析】 先设1()lg1xg x x-=+，求得()()0g a g a +-=，再计算[]()()2()()f a f a g a g a +-=-+-，结合1()2f a =，即求得()f a -. 【详解】函数1()1lg 1xf x x -=-+中，定义域为()1,1-， 设1()lg 1x g x x -=+，则1()lg 1x g x x +-=-，故11()()lglg lg1011x xg x g x x x+-+-=+==-+， 故()()0g a g a +-=. 由1()1lg1()1xf xg x x-=-=-+知，()1(),()1()f a g a f a g a =--=--，故[]()()2()()202f a f a g a g a +-=-+-=-=，而1()2f a =，故13()222f a -=-=.故选：D. 【点睛】 方法点睛：函数()()f x g x m =+，m 是常数，()g x 是奇函数，此类函数已知()f a 的值，求()f a -的值，通常利用奇函数定义整理利用()()0g x g x +-=计算()()f x f x +-的值，再计算()f a -即可. 7．D 【分析】根据已知数据先求出0.222r =，可得0(0)1I e ==，则由0.2223t e =解出即可. 【详解】01R rT =+，0 3.22,10R T ==，即3.22110r =+，解得0.222r =， 0(0)1I e ==，则0.2223t e =，解得0.222ln3 1.1t =≈，则 1.150.222t =≈， 故累计感染病例数增加至(0)I 的3倍需要的时间约为5天. 故选：D. 8．A 【分析】在一个坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像,观察二者有4个交点时m 的范围． 【详解】在一个坐标系内分别作出2|ln(1),1()(2),1x x f x x x ⎧+-=⎨+≤-⎩和2y m =的图像如上图示:要使方程()0f x m -=有4个不相同的解， 只需1()=y f x 和2y m =的图像有4个交点， 所以0<m ≤1． 故选:A ．【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为()f x m =，分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，观察交点的个数即为零点的个数． 9．BCD 【分析】利用作差法比较大小判断AB 的正误，利用基本不等式判断C 的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断D 的正误即可. 【详解】选项A 中，若a b >，则11b a a b ab--=，其中分子0b a -<，分母ab 不确定符号，故11,a b 大小不确定，A 错误；选项B 中，若0a b <<，则由()20a ab a a b -=->，得2a ab >；由()20ab b b a b -=->，得2ab b >；故22a ab b >>，B 正确；选项C 中，由根式有意义可知，(10)0x x -≥，即010x ≤≤，当0x =或10时，(10)0x x -=，当010x <<(10)52x x +-=成立，当且仅当10x x =-即5x =5≤成立，C 正确；选项D 中，若lg 0x <，则lg 0lg1x <=，则01x <<，可推出1x <；反过来，1x <推不出01x <<，故lg x 可能没意义，推不出lg 0x <，故lg 0x <是1x <的充分不必要条件，D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 方法点睛：不等式比较大小的方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）利用基本不等式进行比较；（4）构造函数，利用函数单调性进行比较. 10．AC 【分析】利用幂函数的性质判断A ；利用正切函数的单调性判断B ；利用指数函数的性质判断C ； 利用单调性的定义判断D. 【详解】由幂函数的性质可知13()f x x =定义域为(),-∞+∞，且在(),-∞+∞上递增，1133()()f x xxf x ，所以13()f x x =是奇函数又是增函数，A 符合题意；()tan f x x =在区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上递增，但不能说()tan f x x =是增函数，例如736ππ<，而7tan tan 36ππ>，B 不符合题意；3xy =与133xxy -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上都递增，所以()33x x f x -=-在(),-∞+∞上递增，又()f x 定义域为(),-∞+∞，()()3333()x x x xf x f x ---=-=--=-，故()33x x f x -=-为奇函数，即()33x x f x -=-是奇函数又是增函数，C 符合题意；因为()cos f x x x =⋅，所以(0)0,()f f ππ==-，0π<而(0)()f f π>，故()cos f x x x =⋅不是增函数，D 不合题意. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()()0f x f x +-= (奇函数)或()()0f x f x --= (偶函数)是否成立.11．AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭，即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确.故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可. 12．ABD 【分析】先根据奇函数性质得到()()f x f x -=-，(0)0f =，再利用周期性定义判断A 的正误，结合题意，利用奇函数的对称性研究函数()f x 的单调性、对称轴和对称中心即可. 【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =.选项A 中，()2x f x f x π⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭R ,，将2x π+代换x ，则()222f x fx f x πππ⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()f x f x π+=，故()f x 的最小正周期T π=，正确；选项B 中，结合(0)0f =知，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21x f x =-，易见()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，又由函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称可知，()f x 在4π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，0上也是单调递增，即()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 正确；选项C 中，()()2x f x f x f x π⎛⎫∀∈+=-=- ⎪⎝⎭R ,，则将4x π-代入得44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4x π=是函数的对称轴，又()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，T π=，故函数的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ，故2x π=-不是对称轴，故C 错误；选项D 中，()f x 是奇函数，对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ，(0)0f =，可知(0)022f f f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对称中心为,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π，k Z ∈，即当()2k x k Z π=∈时，()0f x =，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题的解题关键在于熟练掌握奇函数的性质，才能突破函数()f x 的单调性和对称性. 13．3 【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果． 【详解】 因为603π︒=，由弧长公式l r α=知， 这条弧所在圆的半径33lr ππα===，故答案为：3． 14．【分析】先利用诱导公式化简求得1sin 4α=，再结合角所在的象限，利用同角三角函数的平方关系求余弦即可. 【详解】依题意3cos 2sin()24παπα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭可得，3cos 2sin 24παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即3sin 2sin 4αα+=，解得1sin 4α=，又α为第二象限角，22sin cos 1αα+=，则cos 0α<，cos α==.故答案为：15．12-【分析】直接利用对数的运算性质求解即可. 【详解】2log 321lg 22log ln1162+++ 1224132lg 5log lg 202-=++++()lg5lg 23412=++- 11lg10112212=-=-=-， 故答案为：12-.16．6,(0,10]820,(10,20]1060,(20,)xx y x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩15【分析】分段讨论根据阶梯价格制度即可求出，将100y =代入可求该户居民的年用量. 【详解】由表可得，当010x <≤时，6y x =，当1020x <≤时，()610810820y x x =⨯+-=-， 当20x >时，()61081010201060y x x =⨯+⨯+-=-， 6,(0,10]820,(10,20]1060,(20,)xx y x x x x ∈⎧⎪∴=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，可得该户居民的年用量在(]10,20内，则820100x -=，解得15x =， 则该户居民的年用量为15千克.故答案为：6,(0,10]820,(10,20]1060,(20,)xx y x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；15.17．条件选择见解析；（1）2()43f x x x =-+-；（2）[44-+. 【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若选择①，利用(0)3f =-， (1)8f -=-， 22ba-=求出,,a b c 的值即可；若选择②，利用(0)3f =-， (1)8f -=-， 结合韦达定理求出,,a b c 的值即可；若选择③，利用(0)3f =-， (1)8f -=-， 结合对称轴为2x =求出,,a b c 的值即可； （2）()0f x kx -≤，等价于2(4)30x k x +-+≥对一切实数x 恒成立，利用2(4)120k ∆=--≤可得答案. 【详解】 （1）若选择①：设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 因为(0)3f =-，所以3c =-因为(1)8f -=-，所以38a b --=-（i ）因为R,(2)(2)x f x f x ∀∈+=-，所以()f x 图象的对称轴为2x = 所以22ba-=（ii ） 由（i ）（ii ）解得1a =-，4b =，所以2()43f x x x =-+- 若选择②：设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 因为(0)3f =-，所以3c =-因为(1)8f -=-，所以38a b --=-（i ）因为方程()0f x =有两个实数根12,x x 满足124x x += 所以由韦达定理得：124bx x a+=-=（ii ） 由（i ）（ii ）解得1a =-，4b =，所以2()43f x x x =-+- 若选择③：设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 因为(0)3f =-，所以3c =-因为(1)8f -=-，所以38a b --=-（i ）因为R,()(2)x f x f ∀∈≤，所以max ()(2)f x f =，()f x 图象的对称轴为2x = 所以22ba-=（ii ） 由（i ）（ii ）解得1a =-，4b =，所以2()43f x x x =-+-（2）因为三种不同的选择都能得到函数解析式2()43f x x x =-+-， 所以()0f x kx -≤，即2(4)30x k x -+--≤对一切实数x 恒成立， 等价于2(4)30x k x +-+≥对一切实数x 恒成立， 则2(4)3y x k x =+-+的图象恒在x 轴上方，或在x 轴上， 所以2(4)30x k x +-+=无实根或有两个相等的根， 所以2(4)120k ∆=--≤，故所求实数k 的范围为[44-+ 【点睛】方法点睛：求二次函数的解析式往往利用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式时，主要利用以下几个条件列方程求解：1、特殊点；2、对称轴；3、函数的最值. 18．（1）()560f t t =+，2()30log (4)g t t =+；（2）选择模型2P . 【分析】（1）利用(0)60,(12)120f f ==，代入解析式求得()f t ，利用(0)60g =，(12)120g =，代入解析式求得()g t 即可；（2）到2022年时，16t =时分别计算(16)f 和(16)g ，再计算其对应的增长率，与10%比较进行判断即可. 【详解】解：（1）由题知：(0)60,(12)120f f ==，所以6012120b a b =⎧⎨+=⎩解得：560a b =⎧⎨=⎩所以()560f t t =+； 又(0)60g =，(12)120g =所以22log (0)60log (12)120c d c d +=⎧⎨+=⎩解得：304c d =⎧⎨=⎩ 所以2()30log (4)g t t =+；（2）若按照模型1:()560P f t t =+，到2022年时，16t =，(16)140f = 直线上升的增长率为14012016.7%10%120-≈>，不符合要求； 若按照模型22:()30log (4)P g t t =+，到2022年时，16t =，()()2210(161)30log 2030log 30 3.312129.6g ++===⨯≈，对数增长的增长率为129.61208%10%120-=<，符合要求；综上分析，应该选择模型2P .19．（1）,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数所以()6k k Z πϕπ-=∈，(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<，所以0k =，6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得：,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由题知：将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍，得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则2()10g x +≥且()10g x -≤，所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间；2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.20．（1）(1,1)-；（2）()f x 是偶函数，理由见解析；（3）0m ≥. 【分析】（1）根据对数的真数大于零可得，220x ->且220x -->，解不等式可得答案； （2）证明()()f x f x -=，根据奇偶性的定义可得答案；（3）利用对数的运算性质化简()()ln 5222x xf x -⎡⎤==-+⎣⎦，然后得到()0f x ≤，进而可得实数m 的取值范围为0m ≥. 【详解】（1）由题意知：220x ->且220x --> 解得：11x -<<所以()f x 的定义域为(1,1)-， （2）因为(1,1)x ∀∈-，(1,1)x -∈-，且()()()ln 22ln 22()x xf x f x --=-+-=所以()f x 是偶函数（3）因为()()()ln 22ln 22x xf x -=-+-所以()()()()ln 2222ln 5222x x x xf x --⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦因为122222x x x x -+=+≥=(当且仅当0x =时等号成立) 所以()52221x x--+≤，()()ln 52220x x f x -⎡⎤=-+≤⎣⎦因为()f x m ≤恒成立， 所以实数m 的取值范围为0m ≥. 【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 21．（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可； （2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果. 【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==， 当0t =时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=， 所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点； （3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 26t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以0031sin 2sin 2666342t t ππππ⎛⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭所以，再经过6π分钟后3742082d -=⨯+=>， 所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中. 【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.22．（1）,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(答案不唯一)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）判断()sin f x x =和()cos g x x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的符号，结合“Ω区间”的定义可得答案；（2）根据当[1,0)x ∈-时()0g x ≥，当(0,1]x ∈时()0g x ≤，结合奇偶性的定义可得答案； （3）先证明存在唯一1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f t =，可得当,()0x t ∈时，()0g x ≥且存在(0,)t α∈使得()0g α>；当(,)x t ∈+∞时，()0g x ≤且存在(,)t β∈+∞使得()0g β<，从而可得结论. 【详解】（1）,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦及其非空子集均可（2）由题知：当[1,0)x ∈-时，3()0f x x =<，所以()0g x ≥ 当(0,1]x ∈时，3()0f x x =>，所以()0g x ≤因为()g x 在任意区间上不恒为0，所以存在1[1,0)x ∈-，使得()10g x > 又因为()10g x -≤，所以()()11g x g x -≠ 所以()g x 不是偶函数 （3）当(1,)x ∈+∞时，1ln ()sin 201sin 20x exf x x x x eπ-=++>++≥当(0,1]x ∈时，因为(1)1sin 20f =+>，112sin 0f e e e π⎛⎫=-++< ⎪⎝⎭由已知，()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以存在唯一1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f t =且当,()0x t ∈时，()0<f t ；当(,1)x t ∈时，()0f t >；当,()0x t ∈时，()0f x <，所以()0g x ≥且存在(0,)t α∈使得()0g α>； 当(,)x t ∈+∞时，()0f x >，所以()0g x ≤且存在(,)t β∈+∞使得()0g β<； 所以存在(,)λαβ∈，使得()0g λ= 所以，()g x 在区间(0,)+∞上存在零点 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2023-2024学年山东省青岛市高一上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省青岛市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．下列能正确表示集合{}1,0,1M =-和{}220N x x x =+=关系的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出集合N ，再求出M N ⋂即可得答案.【详解】解：{}{}2202,0N x x x =+==-，故{}0M N = ，故选：A 2．若4sin 5α=，α是第二象限的角，则tan α的值等于（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【正确答案】C【分析】先求得cos α，然后求得tan α.【详解】由于4sin 5α=，α是第二象限的角，所以3cos 5α==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：C3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是22111121222S lr r α===⨯⨯=（其中l 为扇形所对应的弧长，r 为半径，α为扇形所对应的圆心角）.故选：A.4．已知21log 2a =，212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <<B ．<<b a c C ． a c b <<D ． a b c<<【正确答案】C根据对数函数与指数函数的性质，分别判断a ，b ，c 的范围，即可得出结果.【详解】因为221log log 102a =<=，221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12124c <==<，所以 a c b <<.故选：C.5．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2∞-B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],2∞-D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】B本题先判断函数是定义在R 上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.【详解】因为函数()f x 满足对任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是定义在R 上的减函数，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩，所以13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69【正确答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+ ，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)ba y x x =>为减函数，符合题意；对于B ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则a<0，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)b ay x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则a<0，其对称轴122b x a =->-，则01ba <<，即幂函数(0)bay x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.8．已知函数2y x bx c =-++只有一个零点，不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +，则m 的值为（）A ．4-B ．2-C ．1-D ．1【正确答案】C【分析】根据函数2y x bx c =-++只有一个零点可得240b c ∆=+=，又不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终可得2444b c m +-=，联合即可得m 的值.【详解】解：函数2y x bx c =-++只有一个零点，则240b c ∆=+=，不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +，即20x bx c m --+<的解集为()00,2x x +.设方程20x bx c m --+=的两根为12,x x ，则1212,x x b x x c m +=⋅=-+，且212x x -=，∴22212112()()44x x x x x x -=+-=，则24()4b c m --+=，整理得2444b c m +-=，1m ∴=-.故选：C.二、多选题9．已知幂函数()2()22mf x m m x =--的图象过点1(2,)2，则（）A ．()3f x x=B ．()1f x x-=C ．函数()f x 在(,0)-∞上为减函数D ．函数()f x 在(0,)+∞上为增函数【正确答案】BC【分析】根据幂函数的定义以及图象过点1(2,)2可得()1f x x -=，故选项A 错误、故选项B正确.根据幂函数()1f x x -=的单调性可判断C 正确、D 错误.【详解】∵()2()22mf x m m x =--为幂函数，∴2221m m --=，即2230m m --=，∴3m =或1m =-，当3m =时，()3f x x =，此时(2)8f =，函数图象不过点1(2,)2，故()3f x x ≠，故选项A 错误：当1m =-时，()1f x x -=，此时1(2)2f =，函数图象过点1(2,)2，故()1f x x -=，故选项B 正确；因为幂函数()1f x x -=在(,0)-∞上为减函数，故选项C 正确；因为幂函数()1f x x -=在(0,)+∞上为减函数，故选项D 错误.故选：BC10．下列各式的值等于1的有（）A ．()22sincos x x-+B ．5πsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()cos 5π-D ．()πcos 2sin 3παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+【正确答案】AD【分析】根据同角平方关系可判断A ，根据诱导公式可判断BCD.【详解】()2222sin cos sin cos 1x x x x -+=+=，选项A 正确；5π3π3πsin sin 4π+sin 1222⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项B 错误；()()cos 5πcos 6π+πcos π1-=-==-，选项C 错误：()πcos sin 21sin 3πsin αααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-+-，选项D 正确，故选:AD11．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的12x x ≠，有()()()1212012f x f x f x x -<=-，，集合A (){20xx f x =-}，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合B 可以是（）A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}|2x x <D ．{}|3x x <【正确答案】CD【分析】可先判断出函数()f x 在R 上单调递减，结合图象即可得{}|1A x x =<，再由“x A ∈”是“x ∈B ”的充分不必要条件，对应集合A 是集合B 的真子集即可求解.【详解】依题意得，函数()f x 在R 上单调递减，且图象过点()1,2()()202x xf x f x ->⇔>在同一坐标系下画出函数()y f x =与2x y =的图象，由图易知不等式()20xf x ->的解集为{}|1x x <，即{}|1A x x =<，因为“x A ∈”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集．可以取{}{}|2,|3B x x B x x =<=<满足集合A 是集合B 的真子集．故选：CD.12．若函数()f x 对()12,1,x x ∀∈+∞，()12x x ≠，不等式()()1222121f x f x x x -<-成立，则称()f x 在()1,+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A ．()21f x x =-+B ．()221f x x x =++C ．()22log f x x x=-D ．()22f x x x x=-+【正确答案】ACD令2()()g x f x x =-，题中条件转化为判断()g x 在(1,)+∞上是减函数，再逐项构造函数，进行判断即可．【详解】若函数()f x 满足对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，当12x x ≠时，不等式122212()()1f x f x x x -<-恒成立，则2211221222121212()()()()10()()f x x f x x f x f x x x x x x x ⎡⎤⎣⎡⎤----⎣⎦⎦-=<--+，令2()()g x f x x =-，因为122x x +>，则1212()()0g x g x x x -<-，1x ∀，2(1,)x ∈+∞且12x x ≠恒成立，2()()g x f x x ∴=-在(1,)+∞上是减函数，对于A 选项，()21f x x =-+，则22()()12g x f x x x x =--=-+，对称轴是=1x -，开口向下，所以()g x 在(1,)+∞递减，故A 正确；对于B 选项，()221f x x x =++，则2()()21g x f x x x =-=+在(1,)+∞上单调递增，故B 错；对于C 选项，()22log f x x x =-，则22()()log g x f x x x =--=在(1,)+∞上显然单调递减，故C 正确；对于D 选项，()22f x x x x=-+，则22()()g x f x x x x =-=-+，因为y x =-与2y x =在(1,)+∞都是减函数，所以()g x 在(1,)+∞递减，故D 正确；故选：ACD 关键点点睛：求解本题的关键在于将122212()()1f x f x x x -<-恒成立转化为新函数2()()g x f x x =-满足()()12120g x g x x x -<-上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.三、填空题13．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第___________象限角．【正确答案】第三象限角【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角．三角函数值的象限符号.14．已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则(2)f -=___________．【正确答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．【详解】设()af x x =，则24a =，2a =，即2()f x x =，所以(2)4f -=．故415．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知3log 6a =，236b=则123aba b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭______________.【正确答案】由题22log 362log 6b ==，分别化简12,3ab a b+的值代入即可.【详解】因为236b =，所以22log 362log 6b ==，所以66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=，3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 222333333322a b=====⨯==所以1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为.本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．设函数()y f x =是定义在[]1,1-上的偶函数，且()f x 在[]0,1上单调递减，若(1)()f a f a -<，则实数a 的取值范围是_______．【正确答案】1[0,)2【详解】∵函数()y f x =是定义在[]1,1-上的偶函数，且()f x 在[]0,1上单调递减，若()()1f a f a -<，∴111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得：021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩，10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-6=；（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan634=+-11122=+-0=．18．已知全集U =R ，集合{}2120A x x x =--≤，集合{}11B x m x m =-≤≤+.(1)当4m =时，求()U A B ⋃ð；(2)若()U B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){4x x ≤或5}x >；(2)4m <-或5m >.【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据()U B A ⊆ð，列出相应不等式，求得答案.【详解】（1）集合{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，当4m =时，{}35B x x =≤≤，则{3U B x x =<ð或5}x >，故()U A B = ð{4x x ≤或5}x >；（2）由题意可知{3U A x x =<-ð或4}x >，{}11B x m x m =-≤≤+≠∅,由U B A ⊆ð，则13m +<-或14m ->，解得4m <-或5m >.19．已知函数()2f x x x=-，（1）判断()f x 的奇偶性；（2）用定义证明()f x 在()0,∞+上为减函数.【正确答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用()()f x f x -=-可说明()f x 是奇函数.(2)利用函数单调性的定义设设12,x x 是()0,+∞上的任意两数，且12x x <，讨论()()12f x f x -的符号即可证明函数()f x 在()0,+∞上为减函数.试题解析：（1）函数()2f x x x =-的定义域为{|0}x x ≠，又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭∴()f x 是奇函数.（2）证明：设12,x x 是()0,+∞上的任意两数，且12x x <，则()()12f x f x -=121222x x x x --+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵120,0x x >>且12x x <，∴()2112210x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭即()()12f x f x >.∴()f x 在()0,+∞上为减函数.点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【正确答案】（1）35；（2）2π.（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35，将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x >，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=，（2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x >，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=，所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02βπ<<，所以0αβ<+<π，所以2παβ+=.21．设函数()sin 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x ∈R 恒成立，求cos b c a的值.【正确答案】1-【分析】整理得，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()1af x bf x c +-=可整理得，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此，列出方程组，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩，解方程组，可得答案.【详解】解：()1sin 12sin cos 12sin 1223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即2sin 2sin 133a x b x c a b ππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩，由22cos 0a b c +=得：cos 1b c a=-，故1-22．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数：4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【正确答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）()0,1；（3）最大值为4112.（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到()()1f m f n =，解得：2m n +=，再由0n m >>，解出01m <<，根据m 的范围即可求出mn 的取值范围；（3）根据题意分443a ≤≤，4a >，考虑()f x 在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得a 的值，代入得2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由判别式0∆≤，即可得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，再令函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性，求得其最值，可求得实数s 的最大值.【详解】（1）对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.（2）因为()12x f x -=在[],m n 上递增，故()() 1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈.（3）①若443a ≤≤，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =(舍)或133a =，从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭.由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。
山东省青岛市高一上学期期末数学试卷
山东省青岛市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x∈Z||x|≤2}，B={x|x2﹣2x﹣8≥0}，则A∩（CRB）=（）A . {﹣2，﹣1，0，1，2}B . {﹣1，0，1，2}C . {2}D . {x|﹣2＜x≤2}2. （2分）已知函数，则的解集为（）A . (-∞,-1)∪(1,+∞)B .C . (-∞,0)∪(1,+∞)D .3. （2分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A . 1.2B . 1.3C . 1.4D . 1.54. （2分）已知集合A={1，2，3}，则集合A的非空真子集的个数是（）A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个5. （2分）已知向量，满足•（ + ）=5，且| |=2| |=2，则向量，的夹角为（）A .B .C .D . ﹣6. （2分）如图，半径都为1的三个圆两两相交，且弧长AB=弧长BC=弧长AC，弧长CD等于，则图中阴影部分的面积为（）A . 3πB . 2πC .D .7. （2分）已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·于都月考) 在直角坐标系中，已知角的终边不在坐标轴上，则式子的值的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）函数y=f（x）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）A . y=sin(2x+)+1B . y=sin(2x+)+1C . y=2sin(2x+)-1D . 2y=sin(2x-)-112. （2分） (2016高一上·汕头期中) 设函数f（x）= 则f（）的值为（）A . 18B . ﹣C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·汕头期末) 如果，且是第四象限的角，那么 =________。
2025届山东省青岛市数学高一上期末联考试题含解析
15．已知函数
f
x
x a2 , x 0,
x
1 x
a,
x
0,
若
f
0 是函数
f
x 的最小值，则实数
a
的取值范围为______
16．已知 tan 2 ， tan 2 ，则 tan _________.
2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C. (1, 0) (1, )
D. (1, 0) (0,1)
9．函数 f (x) sin x ln x2 的部分图象大致是图中的（ ）
A.
.
B.
C.
D.
10．如图， ABC 水平放置的直观图为 A' B 'C ' ， A' B ' ， B 'C ' 分别与 y ' 轴、 x '轴平行， D' 是 B 'C ' 边中点，则 关于 ABC 中的三条线段 AB, AD, AC 命题是真命题的是
3
（2）若 cos( ) 5 ，求 cos 的值. 35
19．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC AC 3, BC 4, AB 5, AA1 4 ,点 D 是 AB 的中点. （1）求证： AC1 / /平面CDB1 ；
（2）求证： AC BC1 ；
D. y x1
7．函数
f
(x)
1 2
sin
1 4
x
9
的最小正周期为（
）
A. 2 C. 8
B. 4
D.16
8．已知 f (x) 是偶函数，且在 (, 0) 上是减函数，又 f (1) 0 ，则 x f (x) 0 的解集为（）
2021-2022学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，且A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2-C ．{}1-D ．{}2【答案】D【分析】由A B B =，得到B A ⊆，分23a +=和22a a +=两种情况讨论，集合集合元素的互异性，即可求解.【详解】由题意，集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，因为A B B =，所以B A ⊆，当23a +=时，即1a =，此时21a =，集合A 中不符合集合元素的互异性，舍去； 当22a a +=时，即220a a --=，解得2a =或1a =-，若1a =-，此时21a =，集合A 中不符合集合元素的互异性，舍去； 若2a =，可得24a =，此时{}1,3,4A =，{}1,4B =，符合题意， 综上可得实数a 的取值集合为{}2. 故选：D.2．“,x y Q ∈”是“xy Q ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】解：若,x y Q ∈，则xy Q ∈，若xy Q ∈，当x y ==,x y Q ∉， 所以“,x y Q ∈”是“xy Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A.3．函数()f x = ）A ．(1,)+∞B ．[2,)+∞C ．(1,2)D ．(1,2]【答案】D【分析】根据函数有意义，列出不等式组，求解取交集即可.【详解】解：要使y =()112210log 10log 1x x ->⎧⎪⎨-≥=⎪⎩，即1011x x ->⎧⎨-≤⎩，解得12x <≤，故定义域为(]1,2，故选：D4．在直角坐标系中，已知圆C 的圆心在原点，半径等于1 ，点P 从初始位置()0,1开始，在圆C 上按逆时针方向，以角速度 2rad /s 9π均速旋转3s 后到达P '点，则P '的坐标为（ ） A．1,2⎛ ⎝⎭B ．21⎫-⎪⎪⎝⎭C．1,2⎛- ⎝⎭ D．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】首先求得P '点所在终边对应的角度，然后以三角函数定义去求P '的坐标即可. 【详解】点P ()0,1为角2πα=的终边上一点，3s 后点P 按逆时针方向旋转到达P '点，点P '落在角273296πβππ=+⨯=的终边上，71cos cos cos 66βππ==-=，711sin sin sin 662βππ==-=- 故P'的坐标为12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：D5．已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（ ） A ．ae be > B ．22c d < C ．0e e a c d b+>-- D ．()e a d c b->【答案】C【分析】根据不等式的性质即可判断ABC ，举出反例，如12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-即可判断D.【详解】解：因为0,0,0a b c d e >><<<， 所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d<--，所以e ea cb d >--，即0e e a c d b+>--，故C 正确； 对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2ead c b-==，故D 错误. 故选：C.6．设函数()f x 的定义域为,I D I ⊆，记 ()()1212Δ,Δx x x y f x f x =-=-，则（ ） A ．函数()f x 在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δyx < B ．函数()f x 在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δyx > C ．函数()f x 在区间D 上不单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∃∈≠，使得Δ0Δyx ≥ D ．函数()f x 在区间 D 上不单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∃∈≠，使得Δ0Δyx≥ 【答案】D【分析】从充分性和必要性两个方面证明函数()f x 在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ>0Δyx，函数()f x 在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δyx<，由此判断可得选项． 【详解】解：证明函数()f x 在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ>0Δyx， 证明充分性：1212,,x x D x x ∀∈≠，不妨设12x x <，则12Δ0x x x =-<，又()()1212Δ>0Δf x f x y x x x -=-，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间D 上单调递增； 证明必要性：因为函数()f x 在区间D 上单调递增，所以1212,,x x D x x ∀∈≠，不妨设12x x <，所以()()12f x f x <，则()()12Δ0y f x f x =-<，又12Δ0x x x =-<，所以()()1212Δ>0Δf x f x y x x x -=-，所以函数()f x 在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ>0Δyx，故A 不正确，C 不正确；证明函数()f x 在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δyx<， 证明充分性：1212,,x x D x x ∀∈≠，不妨设12x x <，则12Δ0x x x =-<，又()()1212Δ0Δf x f x y x x x -=<-，所以()()12>0f x f x -，即()()12>f x f x ，所以函数()f x 在区间D 上单调递减； 证明必要性：因为函数()f x 在区间D 上单调递减，所以1212,,x x D x x ∀∈≠，不妨设12x x <，所以()()12>f x f x ，则()()12Δ>0y f x f x =-，又12Δ0x x x =-<，所以()()1212Δ0Δf x f x y x x x -=<-， 所以函数()f x 在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δyx<，故C 不正确，D 正确； 故选：D ．7．已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则 ()()()x y y z z x +++ 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立. 【详解】由0,0,0x y z >>>可知0x y +≥>（当且仅当x y =时等号成立）0y z +≥（当且仅当y z =时等号成立）0x z +≥>（当且仅当x z =时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得()()()8x y y z z x ≥++=+（当且仅当1x y z ===时等号成立）故选：D8．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，碳14的半衰期为5730 年，lg0.51.1665lg0.552≈，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（ ）A ．3500年B ．2900年C ．2600年D ．2000年【答案】B【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1，经过t 年后则变成0.552，列出方程，即可求解.【详解】根据题意设原来的量为1，经过t 年后则变成155.2%0.552⨯=，可得573011()0.5522t⨯=， 两边取对数，可得0.5log 0.5525730t=， 即0.5lg 0.5525730log 0.55257304912lg 0.5t =⨯=⨯≈， 又由4912201012903-+=，所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年. 故选：B. 二、多选题9．下面选项中，变量y 是变量x 的函数的是（ ） A ．x 表示某一天中的时刻，y 表示对应的某地区的气温 B ．x 表示年份，y 表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)C ．x 表示某地区的学生某次数学考试成绩，y 表示该地区学生对应的考试号D ．x 表示某人的月收入，y 表示对应的个税 【答案】ABD【分析】根据函数的定义，进行判断【详解】ABD 均满足函数的定义，C 选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x ，都有唯一的y 与其对应，故C 选项错误. 故选：ABD10．已知θ为第一象限角，下述正确的是（ ） A ．02πθ<<B ．2θ为第一或第三象限角C ．sin tan θθ<D ．()1cos sin 2θ>【答案】BCD【分析】根据θ为第一象限角，可得22,Z 2k k k ππθπ<<+∈，即可判断A ，求出2θ的范围，从而可判断B ，结合商数关系即可判断C ，根据余弦函数的性质即可判断D. 【详解】解：因为θ为第一象限角，所以22,Z 2k k k ππθπ<<+∈，故A 错误；,Z 24k k k θπππ<<+∈，当0k =时，024θπ<<，为第一象限角，当1k =时，524θππ<<，为第三象限角， 所以2θ为第一或第三象限角，故B 正确；0sin 1,0cos 1θθ<<<<，所以sin tan sin cos θθθθ=>，故C 正确； ()1cos sin cos1cos32πθ>>=，故D 正确. 故选：BCD.11．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下述正确的是（ ）A ．函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数B ．函数()y f x =的最小正周期为πC ．函数()y f x = 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1D ．函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD【分析】对于A ，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；对于B ，由函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期，求得函数()y f x =的最小正周期；对于C ，由已知求得52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质可求得函数()y f x = 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值；对于D ，由+22+2232k x k πππππ-≤-≤，求解即可得函数()y f x =的单调递增区间.【详解】解：因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以对于A ，2sin 22cos 212231x x y f x πππ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎭⎢⎥⎝⎣⎦，又()cos 2cos2x x -=，所以函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数，故A 正确；对于B ，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππ=，所以函数()y f x =的最小正周期为2π，故B 不正确； 对于C ，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 22,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x = 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，故C 正确；对于D ，令+22+2232k x k πππππ-≤-≤，解得51212+k x +k ππ-π≤≤π，所以函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：ACD.12．已知函数()3f x x =-，下述正确的是（ ）A ．若()21f x ->，则1x <B ．若()()2g x f x ax bx =++为奇函数，则0a =C ．函数()()31g x f x x =+-在区间()1,2-内至少有两个不同的零点D ．函数()()23g x f x x =+图象的一个对称中心为()1,0【答案】ABC【分析】由()32(2)1f x x -=-->，可得到A 正确；由()g x 为奇函数，列出方程，求得0a =，可得出B 正确；由()()()()110,120g g g g -<<，可判定C 正确；由()()02g g ≠-，可判定D 错误.【详解】由题意，函数()3f x x =-，对于A 中，由()32(2)1f x x -=-->，即3(2)1x -<-，可得21x -<-，解得1x <，所以A 正确；对于B 中，由()32g x x ax bx =-++，若()g x 为奇函数， 又由()32g x x ax bx -=+-，则3232()x ax bx x ax bx +-=--++，即3232x ax bx x ax bx +-=--，所以0a =，所以B 正确；对于C 中，由()()33131g x f x x x x =+-=-+-，可得()()()13,12,23g g g -=-==-，即()()()()110,120g g g g -<<，所以函数()()31g x f x x =+-在区间()1,2-内至少有两个不同的零点，所以C 正确；对于D 中，由函数()()23233g x f x x x x =+-=+，可得()00g =，()24g =，所以()()02g g ≠-，所以()1,0不是函数()()23g x f x x =+的对称中心，所以D 错误.故选：ABC. 三、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的周期4的奇函数，若()11f =，则()2023f =________. 【答案】1-【分析】根据函数为奇函数求得()11f -=-，再根据函数的周期性即可得解. 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的周期4的奇函数， 所以()()()()202350641111f f f f =⨯-=-=-=-. 故答案为：-1.14．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“469-”1周角等于6000密位，记作“6000-”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为5π6，则其圆心角可以用密位制表示为________. 【答案】1250-【分析】先用扇形面积公式求出圆心角的弧度制，再转化为密位制. 【详解】设圆心角为α，则扇形面积公式212S R α=，其中2R =，5π6S =，代入公式得：5π12α=，其中1密位=2ππ60003000=，故5ππ1250123000÷=，所以其圆心角可以用密位制表示为1250-. 故答案为：1250-.15．已知函数()2f x ax bx c =++，满足不等式()0f x <的解集为()(),2,t -∞-⋃+∞，且()1f x -为偶函数，则实数t =________.【答案】0【分析】根据偶函数定义，可得20b a -=，然后根据二次不等式的解集得到二次函数的两个零点为2,t -，然后结合韦达定理，即可解出0=t 【详解】根据解集易知：0a < ，()1f x -为偶函数，可得：()()()()221112f x a x b x c ax b a x a b -=-+-+=+-+-则有：20b a -=易知20ax bx c ++=的两根为,2t -，则根据韦达定理可得：2bt a-=-解得：0=t 故答案为：0 四、双空题16．若13a a -+=，则（1）1333lg5lg2223a a⎛⎫+⨯⨯= ⎪⎝⎭_______；（2）31log 2223a a +-+-=________. 【答案】51231 【分析】（1）按照对数的运算法则，结合已知条件计算可得答案； （2）根据13a a -+=计算22a a -+的值，再结合对数的运算，计算可得结果. 【详解】(1)由 13a a -+=，可得11333()3lg51lg222(lg5lg 2)233aa a a -+⎛⎫+⨯⨯=+⨯⎪⎝⎭=91512233⨯= ； （2）由 13a a -+=可得：227a a -+=， 故331log 2log 22237337321a a +-+-=-⨯=-⨯=， 故答案是：5123，1 五、解答题17．已知全集U =R ，集合{}22sin ,R A y y x x ==-∈∣，集合91,4B yy x x A ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭∣，集合{}21,R xC yy x ==+∈∣. (1)求集合A B ； (2)求集合()R A C ⋃. 【答案】(1)[]0,1； (2)(,0)[2,)-∞⋃+∞.【分析】（1）利用正弦函数的性质可得集合[]0,4A =，进而可得集合[]8,1B =-，再利用交集的定义运算即得；（2）利用指数函数的性质可得[2,)C =+∞，再利用补集的概念及并集的定义即得. (1)∵[]R,sin 1,1x x ∈∈-，∴[]22sin 0,4y x =-∈，即[]0,4A =， ∴[]91,8,14B yy x x A ⎧⎫==-+∈=-⎨⎬⎩⎭∣， ∴[]0,1A B =； (2)∵R,0x x ∈≥, ∴221,12x x ≥+≥，∴{}21,R [2,)xC yy x ==+∈=+∞∣，又[]0,4A =， ∴{R0A x x =<或}4x >，∴()R (,0)[2,)A C ⋃=-∞⋃+∞. 18．已知函数()sin cos 3cos sin x xf x x x+=-.(1)若()3f θ=，求tan θ的值；(2)若()0,θπ∈，且31sin sin 25θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，求()f θ的值.【答案】(1)2 (2)113【分析】(1)将()sin cos 3cos sin x x f x x x +=-分子分母同除以cos x ，得到()tan 13tan x f x x+=-，再根据()3f θ=，即可解得结果；（2）将31sin sin 25θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭化简得到1sin cos 5θθ+=，再将该式平方，整理可得到7sin cos 5θθ-=，进而解得tan θ的值，代入()f θ表达式中计算即可.(1) 由()sin cos 3cos sin x x f x x x +=-得; ()tan 13tan x f x x+=-, 所以()3f θ=，即tan 133tan θθ+=-，解得tan 2θ= ； (2)由31sin sin 25θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得：1sin cos 5θθ+= ①，所以21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+= ， 则242sin cos 025θθ=-< ，所以(,)2πθπ∈ ，则249(sin cos )12sin cos 25θθθθ-=-=， 而sin 0,cos 0θθ>< ，所以7sin cos 5θθ-=②， 由①②联立可得43sin ,cos 55θθ==- ，故4tan 3θ=- ，所以41tan 113()43tan 1333f θθθ-++===--+ . 19．已知函数()()()f x g x h x =+的定义域为()R,g x 为偶函数，()h x 为奇函数.(1)若()e sin xf x x =，求()g x 和()h x 的解析式；(2)若函数()f x 为周期函数，2π为其一个周期，()()()2h x h x x πϕ++=，判断并证明函数()x ϕ的奇偶性. 【答案】(1)()()()()11e e sin ,e e sin 22x x x x g x x h x x --=-=+ (2)()x ϕ为奇函数，证明见解析【分析】（1）根据题意得到()()e sin x g x h x x +=和()()e sin xg x h x x --=-，联立方程组，即可求解；（2）由题意得到()()f x f x ππ+=-，进而得到()g x π+为偶函数，()h x π+为奇函数，再结合函数奇偶性的定义，即可求解. (1)解：由题意，函数()()()f x g x h x =+的定义域为()R,g x 为偶函数，()h x 为奇函数，因为()e sin x f x x =，即()()e sin xg x h x x +=，可得()()()()g x h x g x h x -+-=-，即()()e sin xg x h x x --=-，联立方程组()()()()e sin e sin x xg x h x x g x h x x -⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩， 解得()()()()11e e sin ,e e sin 22x x x x g x x h x x --=-=+.(2)解：由函数()()()f x g x h x =+的定义域为()R,g x 为偶函数，()h x 为奇函数， 可得()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-，联立方程组()()()()()()f x g x h x f x g x h x ⎧=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()()()2f x f x h x --=，则()()()()()()()2222f x f x f x f x h x h x x ϕπππ--++==+---+ ()()()()4f x f x f x f x ππ--++---=，因为函数()f x 为周期函数，2π为其一个周期，可得()()f x f x ππ+=-， 所以()()()()()4f x f x f x x f x ϕππ+------=， 又由()()()()()4f x f x x x f x f ππϕ-+------=()()()()()4f x f x f x x f x ππϕ+------=--=，所以函数()x ϕ的奇函数. 20．已知函数()218x f x x -=+. (1)判断并证明()f x 在区间[]22-,上的单调性； (2)设()1212222log ,sin ,cos3,tan357a f b f c f d f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，试比较 a b c d ,,,的大小并用“<”将它们连接起来.【答案】(1)()f x 在区间[]22-,上为增函数，证明见解析 (2)c d b a <<<【分析】（1）任取1222x x -≤<≤，利用作差法比较()()12,f x f x 的大小关系，即可得证；（2）利用中间量法判断1212222log ,sin,tan ,cos3357ππ的大小关系，再根据函数的单调性即可得出结论. (1)解：任取1222x x -≤<≤， ()()121222121188x x f x f x x x ---=-++()()()()()()2212212212181888x x x x x x -+--+=++()()()()1212122212888x x x x x x xx -++-=++，因为1222x x -≤<≤，所以120x x -<，1244x x -<+<，1244x x -≤<，则121280x x x x ++->， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]22-,上为增函数； (2)解：对于121log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由1221log log 33=， 则21log 32<<，即1211log 23<<， 对于22sin 5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由222sinsin 55ππ=，2sin sin 135ππ=<<22sin 15π<<， 对于()cos3c f =，由32ππ<<，得1cos30-<<，对于22tan 7d f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由22tantan 77ππ=，则0tantan76ππ<<=<，即220tan 7π<<， 所以12122222log sintan cos31357ππ>>>>>-， 因为函数()f x 在区间[]22-,上为增函数， 所以c d b a <<<.21．某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产x （单位：百台）另需投入成本()C x （万元），当年产量不足50(百台)时，()210200C x x x =+（万元；当年产量不小于50（百台）时，()100006024500250C x x x =+-- (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.(1)求年利润()L x (万元) 关于年产量x （百台）的函数解析式；(利润=销售额一投入成本-固定成本)(2)当年产量为多少时，年利润()L x 最大? 并求出最大年利润. 【答案】(1)()2104002300,050500022200,5025x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪-⎩(2)当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.【分析】（1）根据题意，分050x <<与50x ≥两种情况，求出年利润()L x (万元) 关于年产量x （百台）的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出050x <<与50x ≥时的年利润最大值，通过比较，最终求得结果. (1)当050x <<时，()()22102002300600400210300x x x L x x x +-=-=-+-；当50x ≥时，()100006024500230022200250250005060L x x x x x x ⎛⎫+--=--+ ⎪--⎝⎭=-，综上：()2104002300,050500022200,5025x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪-⎩(2)当050x <<时，()()2240023001010201700L x x x x =+-=--+-，当20x 时，()L x 取得最大值为1700万元， 当50x ≥时，()()22200225215021501950252500505000x x x x L x =--+=---+≤-=--，当且仅当()500525022x x -=-，即75x =时，等号成立，此时最大利润为1950万元，因为19501700>，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.22．函数()3x f x =且(2)18f a +=，函数()34ax xg x =- .(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围； (3)设()3x f x =的反函数为()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++，()21x x ϕλλ=+-，若对任意的1x ⎤∈⎦，均存在[]21,1x ∈-，满足 ()()12h x x ϕ≤，求实数λ的取值范围.【答案】(1)()24x x g x =-(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3))5⎡-+∞⎣【分析】（1）直接根据(2)18f a +=解得32a =即可；（2）含有参数的方程有实数根，分离参数m 然后求得222x x m --=-在[]22-,上的值域即可；（3）将问题转化为()()12max h x x ϕ≤恒成立，然后根据参数λ的取值范围进行分类讨论，先求得()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可 (1)由(2)18f a +=，可得：2318a += 解得：32a =则有：()24x x g x =-故()g x 的解析式为：()24x xg x =-(2)由()80xg x m -⋅=，可得：222x x m --=-不妨设2x t -=则有：221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤ 则有：144t ≤≤ 故当1t =时，m 取得最小值为14-；当4t =时，m 取得最大值为12故1124m -≤≤故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)()3x f x =的反函数为：()3log p x x =若对任意的1x ⎤∈⎦，均存在[]21,1x ∈-，满足 ()()12h x x ϕ≤则只需：()()12max h x x ϕ≤恒成立()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设3log x b =，则设()()21b s b b λ=-++1x ⎤∈⎦，则122b ≤≤ ()21x x ϕλλ=+-在[]21,1x ∈-上可分如下情况讨论：①当0λ=时，()1x ϕ=-，此时()2s b b b =-+，不满足()()12max h x x ϕ≤恒成立 ②当0λ<时，()()1max 11x ϕϕλ=-=-，此时只需：()211b b λλ-++≤-在122b ≤≤上恒成立则只需：()2110b b λλ++-≥-在1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立则只需：12b =时，不等式()2110b b λλ++-≥-成立解得：52λ≥，与0λ<矛盾； ③当0λ>时，()()1max 131x ϕϕλ==-，此时，只需保证：()2131b b λλ-++≤-则只需：()21310b b λλ++-≥-在1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立当122λ+≤时，只需保证：当12b λ+=时，()21310b b λλ++-≥-成立 则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又122λ+≤，故有：53λ-≤≤当122λ+>时，只需保证：当2b =时，()21310b b λλ++-≥-成立此时解得：1λ>- 又122λ+>故有：3λ>故当0λ>时，5λ≥-综上所述，解得：实数λ的取值范围为：)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()y f x = ，[],x a b ∈ ，()y g x = ，[],x c d ∈，则有： （1）若[]1,x a b ∀∈ ，[]2,x c d ∀∈，()()12f x g x ≤ 恒成立，()()12max min f x g x ≤ ； （2）若[]1,x a b ∀∈ ，[]2,x c d ∃∈， ()()12f x g x ≤ 能成立，()()12max max f x g x ≤。