在新课程背景下谈中数学思维能力的培养与创新

在新课程背景下谈中数学思维能力的培养与创新数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学，从数学思维与数学知识的关系来看，学习数学的能力通常包括思维能力、运算能力、空间想象能力、创造能力。

本文主要针对数学思维能力进行阐述。

标签：新课程数学思维能力培养与创新数学能力通常包括思维能力、运算能力、空间想象能力、创造能力。

其中对掌握各种科学体系最为重要的是思维能力。

思维能力主要指：“观察、比较、分析、综合、抽象和概括；掌握归纳、演绎和类比进行推理；准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念思想和方法辨明数学关系，形成良好的思维品质”。

数学教学中，发展出思维能力是培养能力的核心。

数学思维是人的头脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学内容的理性活动。

从数学思维与数学知识的关系来看，数学知识是数学思维活动的产物。

数学学习的本质是一种思维活动，从思维活动的观点出发，学习数学主要是学会数学思考问题，分析问题和解决问题，学习数学应看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合。

中学时期，学习代数、几何、三角等，逐渐深入地要运用分析、比较、概括、推理、综合与解决问题等高级思维作用，这些知识和思想方法都不断地充实学生的思维结构。

处在不同年龄和不同学习阶段的学生，其思维结构的发展具有不同的特点：在不断学习新知识的基础上，掌握新的数学思维方法，并在具体的应用中，形成新的思维模式；不断发展新的思维方式，促使向更高层次进化；思维品质逐步形成，非智力因素逐步完善。

现行《大纲》指出：“知识、技能和能力三者的关系是互相依存、互相促进的。

能力是在知识的教学和技能的训练过程中，通过有意识的培养而得到发展的；同时，能力的提高又会加速加深对知识的理解和技能的掌握。

”中学生数学思维的培养，是通过激活学生头脑中储备的数学知识，达到发展数学思维能力的。

一方面在牢固掌握基本知识的基础上，通过使用一些基本的思维方法，提练出隐含在知识中的思想、方法，扩充思维方法系统；另一方面，通过知识的具体运用，抽象、概括出数学思维模式，促成模式的横向拓广和纵深发展。

由这两方面融合起来，抽象出高层次的数学思想、方法和思维策略，促成思维结构的逐步构建、完善和发展，全面培养学生的数学思维能力。

下面对学生数学思维能力的培养作些探讨。

一、揭示知识的整体结构《大纲》指出：“学生在不同的教学阶段所获得的知识往往是局部的。

只有在整体中才能看清局部知识的意义和作用，以及局部知识与其他知识的区别和联系。

把各个局部知识按照某种观点和方法组成整体，才便于储存、提取和应用。

因此，在教学中必须注意知识的整体性。

”不同的学科有不同的基本结构，学科的基本结构可以看成是对学科的知识更新和方法的高度概括和抽象，而学科中的各种知识与解题方法，则是基本结构的具体化。

因此，可以说理解学科的基本结构的过程，就是实现知识结构与思维结构统一的过程。

每门学科、每个教学单元的开始，就应该概括地介绍本学科、本单元内容的基本概念、原理、思想、方法和联系，使学生对所要学习的知识的整体结构有概括的理解，取得学习的主动权。

在教学中，应该发挥基本方法、基本思想对教学解题过程的指导和调控作用，帮助学生理解、概括出各种具体的解题思维模式。

在每一教学单元结束时，根据整个学科结构来对教学单元作新的考察，以弄清它在整个学科中的地位及与相关知识单元的联系，及时进行复习和总结，把所学知识系统化。

例如，解析几何是运用代数的方法研究几何问题的数学学科。

它是初等数学向高等数学过渡的桥梁。

它的基本结构是：基本概念：曲线与方程；基本原理：数形结合；基本思想：运动变化的辨证思想；基本方法；解析法；基本联系：点与实数对，曲线与方程。

在解析几何的基本结构中，参数思想是运动变化思想在数学中的重要体现。

它不仅是产生解题技巧的源泉，而且对发展辩证唯物主义观点也具有重要意义。

在解析几何的教学中，围绕着参数思想，可以分三个层次来安排教学。

㈠参数思想的提出。

在绪论教学中直接点明参数思想是解析几何的指导思想。

㈡参数思想的渗透。

在圆锥曲线的教学中，抓住动点的参数表示和运动的曲线概念的建立，进行参数思想的渗透。

㈢参数思想的理解与应用。

主要表现在提出参数方程的概念和在具体问题中如何选定参数的问题上。

二、创设问题情境学生在数学活动中产生的新需要和原有的数学知识水平的矛盾，构成了数学思维发展的内部矛盾，成为他们数学思维发展的动力。

数学问题对数学思维活动的意义，表现为数学问题决定着解决问题的思维框架。

首先，问题是思维的动力，并为思维指出了方向，一个适宜的数学问题，能够给学生提供简明的思考方向和出发点，有助于问题的变更转化，甚至可以使之简缩、直觉地解决。

其次，数学思维的过程就是不断地提出问题、解决问题的过程。

数学知识是数学问题的结论，数学方法、观点和思想都是数学思维活动即提出数学问题和解决数学问题的活动的产物。

数学问题对思维活动的全过程，包括思维的起动，到定向、展开，直到成果的获得，都起着决定性的作用。

因此，在教学中创设问题的情境，可有效地激发兴趣，促进学生主动探索，有助于教学质量的提高。

数学中的问题是非常广泛的。

不但数学的例题、练习、习题是问题，数学概念、定理、命题都可以看成问题。

适宜的问题情境可以调整思维的状态，激发学生的兴趣。

例如，学生初学集合，对于集合的描述性定义不易理解。

这时，教师可以多举些学生熟悉的例子，强调集合的确定性、无序性、无重复性。

例如：①“自然数0、1、2、3、4、5的集合”；②“和一定点的距离等于定长的点的集合”；③“所有三角形的集合”；④“数0的集合”；⑤“空集”；⑥“本班全体学生的集合”。

等等进行说明，加深学生对集合概念的认识和理解。

为了进一步使学生明确集合元素的确定性、无序性、无重复性，可以举例问“大数的集合”对吗？如果不对，为什么？“本班所有大个儿同学”是否可以组成一个集合？等，让学生记住，任一个对象或者是这个集合的元素或者不是，必须十分明确。

这就生动、形象地帮助学生理解了抽象的数学概念。

由于数学理论的解释不唯一，一个数学问题可以选取不同的情况。

例如，一次函数y = kx + b ，它可以用匀速直线运动来解释，又可以用匀加速运动来解释，还可以用物体一定温度下线度的变化理论来解释。

也可用平行直线系和过定点的直线束来解释。

由于解决问题的过程是数学问题的变更和转化过程，因此，创设问题情境的工作要贯穿于思维活动的全过程。

最重要的是要让学生自己去发现问题和提出问题，这种能力的获得，会使学生的思维活动得到长久的动力和兴趣。

三、暴露数学思维过程充分暴露数学思维过程，学生不但能从中学到一些思考问题的方法，而且也能总结出一些解题技巧和规律。

1.课堂教学因为教师采取什么方法教，学生便采取相应的方式学，如若教师灌输知识，学生就会机械地记忆；如若教师启发思维，学生就会力求发挥自己的才能。

在教学中教师的任务不是把数学知识给学生讲懂了就行，而是把思维过程和思维操作方法展示给学生，让学生学会思考。

正如《大纲》所指出的：“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。

”在教学时，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力。

由于是把学生学习知识的过程当作他们认识事物的过程来看待，因而在教学中，要在教师的引导下，使学生亲身参与、经历对事物的“观察、比较、分析、综合抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律。

”按照这样的过程来学习已有的、书本上的知识，才符合哲学上反映出的，把学习间接知识的过程变为学习直接知识的过程，因而可以对所学知识取得深刻的认识与理解的效果，才能在能力上得到充分的培养。

例如，在等比数列的教学中，可利用已知的等差数列，进行引伸与类比，启发和引导学生对照等差数列，自己研究等比数列，推导等比数列的通项公式、求和公式，并进一步比较等差、等比数列概念和公式，找出二者形式上异同。

这样，突出了二者的对应和演变关系，就能使学生印象深刻，形成永久性的记忆。

无论是概念、定理，还是方法，都不能作孤立的知识点去教学，而应当把它们放在整个知识系统中；加以考察，讲清来龙去脉，以加深学生对知识的理解和对方法的概括。

2.课外解题如果课堂教学的认识过程主要是从“具体到抽象”那么学生课外解题的认识过程就是从“抽象到具体”。

通过解题，能够极大地丰富学生的数学活动经验，深刻地理解数学的思想、方法的解题规律。

在课堂教学中，学生的思维是在教师的指导下进行的，思维的方向受教师的控制，这就降低了思维的难度。

因而在课后，有时会出现课听懂了，作业却不会做的现象。

学生的课外解题活动，正好弥补了课堂教学中的这一缺陷。

它要求学生亲自实践，从各个角度、各个方面去探索、研究问题，看清问题的所有难点，并通过分析自己的思维模式，达到形成定向思维的目的。

例如：a 、b 、c 三个向量组成三角形的充要条件是a + b + c = 0证题思路：由图作出a、b、c、d四个向量围成四边形ABCD；由三角向量加法b + c= BD ， a + BD = d；当d = 0时， a + b + c = 0 因此a、b、c组成一个三角形。

证明（略）总结：要证一个数形结合问题必须理解和掌握数字的基本思维，在保留原命题的基础上演变思维模式，找到解决问题的途径。

得出一定的关系，从而推至结论。

思维程序是：⑴将问题从整体向局部后退，化为较易理解和解决的简化问题、类比问题或特殊情形等，保持转化回原问题的联系通途。

⑵用解决退化问题或情形的思想方法，经过适当变换以解决问题。

学生一旦掌握这个思维程序，在解决类似问题时，就会使用这个模式，有效地解决问题。

习题是各种数学概念、定理、命题的变型、变式和应用，通过学生自己揣摩，不但能完全、准确地理解知识，而且能够从解题经验中概括出新的解题思维策略，即变更上一层问题和转化问题的策略。

对一道题目进行广泛联想，采用不同的思路、方法进行解答，发现知识、方法之间的深刻联系，有助于直觉的形式，诱发学生的创造性思维。

四、发挥反思在数学思维发展中的作用当学生完成一个数学活动过程，获得了一定的数学知识之后，应对思维进行一番分析反思，才能得到对后来的思维有价值的智能性知识。

上完一节课，作完一道题后，针对学生的思路，引导学生从以下各个角度进行回顾。

⑴解决问题的关键是什么？能否将它们一般化，概括成为解决其它问题的一种思维策略和方法；⑵解题中，应用了哪种方法，有没有其它更巧妙方法；⑶还可以发现什么问题，或者题目的条件、结论能否变动；⑷总结认识的程序，成为一个具体模式。

通过这样的反思活动，学生会更清楚地了解自己的思路，要使思维进入一个更高的层次，还需要宏观上的反思活动，即在学生掌握了大量知识和方法的基础上，通过逻辑的加工和整理，使知识系统化、概括化以形成知识结构。