调和级数、三种排序算法
调和级数概念
调和级数概念
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊一个特别有意思的东西——调和级数。
那什么是调和级数呢？简单来说，调和级数就是一个数列的和。
这个数列可特别啦，它是由一系列分数组成的，从 1 开始，后面的每一项就是前面一项的倒数再加上 1。
比如说，第一项是 1，第二项就是 1/2，第三项就是1/3，以此类推。
你可能会想，这有啥特别的呀？嘿嘿，这可神奇着呢！调和级数有个很让人惊讶的特点，那就是它虽然每一项都越来越小，但是它的和却是无穷大的哟！是不是很不可思议？就好像你在不停地往一个袋子里放东西，每放一次都只放一点点，但是最后这个袋子却能装下无穷多的东西。
想象一下，你在爬一个没有尽头的楼梯，每一级台阶都比前一级矮一点点，但你就是永远也爬不到顶，这就是调和级数给人的那种感觉。
它看似平缓，但却蕴含着无尽的奥秘。
调和级数在数学中可是有着重要的地位呢！它就像是一个隐藏的宝藏，等待着人们去挖掘它更多的秘密。
数学家们一直在研究它，试图从它身上找到更多关于数学世界的奇妙之处。
而且哦，调和级数可不是只存在于理论中，它在现实生活中也有一些很有趣的应用呢！虽然可能不是那么直接，但它就像一个隐藏在幕后的小魔法，时不时地就会给我们带来一些惊喜。
总之，调和级数真的是一个非常有趣又充满魅力的概念呀！它让我们看到了数学的神奇和无限可能。
我觉得它就像夜空中的一颗星星，虽然遥远，但却闪闪发光，吸引着我们去探索它的奥秘。
它真的太酷啦！。
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？1735年，巴塞尔级数和的成功破解，让欧拉逐步坐稳了18世纪数学盟主的地位。
我们先来回顾一下巴塞尔级数是什么？巴塞尔级数如果把这里的2改成1，那就是大名鼎鼎的调和级数。
戏谑地说，调和级数应该是巴塞尔级数的大哥，因为无论从诞生的历史，还是内容的深度上都远胜于二弟。
为啥这个级数有个如此清新的名字？调和级数“调和”什么呢？这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。
调和级数看到这个级数，就有种让人想去求和的冲动。
但是对一个数列来说，想求和，首先你要证明收敛性才行，巴塞尔级数的收敛性很好证明。
但是对于调和级数，敛散性却不是那么显而易见。
中世纪的欧洲大约在1360年，尼克尔·奥里斯姆就已经证明调和级数是发散的了，既然是发散，也就就不能求出来这个级数的和了。
他证明的方法，其实不算什么高深技巧，用到的是一种证明不等式的基本方法，放缩法。
我读高中的时候，数学课上还专门讲过，印象里最深的就是，老师说：放缩一定要适量，放缩法用得恰到好处，结论是不证自明的，要是放缩地太狠，不但得不到最后结论，甚至还会把你误入歧途。
好像现在高中数学里已经取消这个方法了，毕竟，相对于其他解题方法，放缩法的任意性要更高，也更难掌握一些。
下面我们来看一下，这位中世纪的数学家是如何来证明调和级数的发散性的。
奥里斯姆关于调和级数发散的证明(1) 式中[ ]内的项一次递增成2n个，为什么要这么操作？这样操作之后，(2)式中就可以把[]内的每一项都缩小到2-n，于是每个[]内的项相加都等于1/2,这样持续下去，就可以得到调和级数的和大于无穷多个1/2了，显而易见，调和级数是发散的。
哪里都有你——欧拉这是人们对于调和级数第一次探索的成果。
后来的研究过程中，人们越来越想用别的计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数和太过繁杂了。
调和级数
[编辑本段]形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是p=1 的p级数。
调和级数是发散级数。
在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。
他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。
调和级数的推导[编辑本段]随后很长一段时间，人们无法使用公式去逼近调合级数，直到无穷级数理论逐步成熟。
1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。
结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - .........1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加，就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...... 后面那一串和都是收敛的，我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + rEuler近似地计算了r的值，约为0.577218。
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高中数学排列组合公式大全1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
调和级数的计算
调和级数的计算调和级数是数学中一类特殊的级数，它的计算方法和性质都有一定的特点。
在本文中，我们将探讨调和级数的计算方法以及一些相关的性质。
我们来看一下调和级数的定义。
调和级数是指形如1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n的级数，其中n是正整数。
调和级数的计算方法比较简单，只需要将各个分数相加即可。
例如，当n=1时，调和级数的和为1/1=1；当n=2时，调和级数的和为1/1 + 1/2 = 1.5；当n=3时，调和级数的和为1/1 + 1/2 + 1/3 = 1.8333...。
可以看出，随着n的增大，调和级数的和也越来越大。
调和级数的计算方法虽然简单，但是其性质却非常有趣。
首先，调和级数是发散的，也就是说，调和级数的和可以趋向于无穷大。
这是因为当n趋向于无穷大时，每一项的分母趋近于无穷大，所以每一项的值趋近于0，而无穷个0相加的和就是无穷大。
调和级数的发散速度比较慢。
我们可以发现，调和级数的和与自然对数的关系比较密切。
实际上，调和级数的和与自然对数的差值是一个常数，这个常数被称为欧拉常数，通常用e来表示。
欧拉常数的近似值约为0.5772156649。
这个结论被称为调和级数的收敛速度定理，它告诉我们调和级数发散的速度比较慢，比大多数其他发散级数要慢得多。
调和级数还有一个有趣的性质，就是它可以用来近似计算无穷级数的和。
例如，我们可以利用调和级数来计算自然对数的近似值。
根据调和级数的定义，我们可以得到如下的等式：1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = ln(n) + γ + ε，其中ln(n)表示自然对数，γ表示欧拉常数，ε表示一个无穷小量。
通过调和级数，我们可以用γ来近似表示自然对数的值。
这个方法在实际计算中非常有用，可以简化计算的复杂度。
除了上述的性质，调和级数还有许多其他的有趣特点和应用。
例如，在概率论和统计学中，调和级数可以用来计算排列组合的概率，求解一些复杂问题；在物理学中，调和级数可以用来分析波动现象和振动系统等。
几何级数和调和级数的计算
将原调和级数错位排列，并相减得到新的交错级数，从而简化计算。例如，对于 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n，将其错位排列为 1/2, 1/3, ..., 1/n, 1/(n+1)，然后与原级数相减得到新的交错级数，其前n项和可以用近似公式进行估算。
调和级数错位相减
05
CHAPTER
对于首项为a，公比为r的几何级数，其第n项an的公式为：an=a×rn−1an = a times r^{n-1}an=a×rn−1
几何级数的通项公式表明，任意一项都等于首项与公比的幂的乘积，其中幂指数是项数减1。
几何级数前n项的部分和Sn的公式为：Sn=a(1−rn)1−rSn = frac{a(1 - r^n)}{1 - r}Sn=1−ra(1−rn)
几何级数和调和级数的计算
汇报人：XX
2024-01-28
目录
几何级数概述调和级数概述几何级数与调和级数的比较几何级数与调和级数的计算技巧几何级数与调和级数在数学中的应用总结与展望
01
CHAPTER
几何级数概述
几何级数是一种数列，其中任意一项与它的前一项的比值是一个常数。这个常数被称为公比。
如果公比绝对值小于1，几何级数收敛；如果公比绝对值大于或等于1，几何级数发散。
几何级数与于形如a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)的等比数列，其前n项和为Sn = a(1-r^n)/(1-r)，特别地，当|r|<1时，无穷等比数列的和为S = a/(1-r)。
调和级数求和公式
对于形如1, 1/2, 1/3,..., 1/n的调和数列，其前n项和没有简单的封闭形式，但可以用近似公式Hn ≈ ln(n) + γ（其中γ为欧拉常数）来估计。
调和级数 logn
调和级数 logn调和级数(logarithmic series)是数学中一个重要的级数序列，它的一般形式为 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
在这篇文章中，我们将探讨调和级数的性质和重要应用。
让我们来了解一下调和级数的定义。
调和级数是由逐个增加分母的倒数所组成的级数。
它的通项可以表示为1/n，其中n是正整数。
我们可以看到，调和级数的每一项都是一个正数，并且随着n的增大而逐渐减小。
这意味着调和级数是一个发散的级数，即无论我们取多少项相加，其和都会趋向于正无穷。
尽管调和级数发散，但它却有一些有趣的性质。
首先，调和级数的部分和是无穷递增的。
也就是说，随着我们取更多项相加，部分和会越来越大。
然而，尽管部分和无限增长，它们却没有一个有限的上界。
这意味着我们可以让部分和无限接近于任何正实数，只需要取足够多的项相加即可。
调和级数还有一个重要的性质是它与自然对数的关系。
事实上，调和级数可以被认为是自然对数的一个近似。
具体来说，调和级数的部分和与自然对数的差值趋近于一个常数，即lim((1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) - ln(n)) = γ，其中γ约等于0.5772是欧拉常数。
这个性质在数学和物理学中有广泛的应用，例如在算法分析、概率论和电路设计等领域。
调和级数还与一些重要的数学问题和悖论相关。
例如，调和级数的发散性意味着我们无法通过将所有项相加来得到一个有限的和。
这引发了著名的巴塞尔问题，即对于调和级数的平方和是否有一个有限的和。
直到18世纪，瑞士数学家欧拉才证明了这个和是π²/6，这个结果至今仍然令人惊叹。
调和级数还与一些数论问题相关。
例如，调和级数的部分和可以用来估计素数的分布。
欧拉证明了调和级数的部分和与素数的数量之间存在一种关系，称为欧拉定理。
这个定理为研究素数的分布提供了一个重要的工具。
除了数学领域，调和级数在物理学和工程学中也有广泛的应用。
调和级数、三种排序算法
调和级数由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。
然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为e100，超过1040（1后面有40个零）。
这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。
另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。
违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。
[2][3]一个较简单的证明如下：三种排序算法快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。
在平均状况下，排序n个项目要Ο(n log n)次比较。
在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较，但这种状况并不常见。
事实上，快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实作出来，且在大部分真实世界的资料，可以决定设计的选择，减少所需时间的二次方项之可能性。
步骤为：1.从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot），2.重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。
在这个分割结束之后，该基准就处于数列的中间位置。
这个称为分割（partition）操作。
3.递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
递回的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。
虽然一直递回下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
快速排序的最直接竞争者是堆排序（Heapsort）。
堆排序通常比快速排序稍微慢，但是最坏情况的执行时间总是O(n log n)。
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调和级数
由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。
然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为e100，超过1040（1后面有40个零）。
这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。
另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。
违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。
[2][3]一个较简单的证明如下：
三种排序算法
快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。
在平均状况下，排序n个项目要Ο(n log n)次比较。
在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较，但这种状况并不常见。
事实上，快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实作出来，且在大部分真实世界的资料，可以决定设计的选择，减少所需时间的二次方项之可能性。
步骤为：
1.从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot），
2.重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准
值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。
在这个分割结束之后，该基准就处于数列的中间位置。
这个称为分割（partition）操作。
3.递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子
数列排序。
递回的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。
虽然一直递回下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
快速排序的最直接竞争者是堆排序（Heapsort）。
堆排序通常比快速排序稍微慢，但是最坏情况的执行时间总是O(n log n)。
快速排序是经常比较快，除了introsort变化版本外，仍然有最坏情况效能的机会。
如果事先知道堆排序将会是需要使用的，那么直接地使用堆排序比等待 introsort 再切换到它还要快。
堆排序也拥有重要的特点，仅使用固定额外的空间（堆排序是原地排序），而即使是最佳的快速排序变化版本也需要Θ(log n)的空间。
然而，堆排序需要有效率的随机存取才能变成可行。
快速排序也与归并排序（Mergesort）竞争，这是另外一种递回排序算法，但有坏情况O(n log n)执行时间的优势。
不像快速排序或堆排序，归并排序是一个稳定排序，且可以轻易地被采用在链表（linked list）和储存在慢速存取媒体上像是磁盘储存或网络连接储存的非常巨大数列。
尽管快速排序可以被重新改写使用在炼串行上，但是它通常会因为无法随机存取而导致差的基准选择。
归并排序的主要缺点，是在最佳情况下需要Ω(n)额外的空间。