离散时间系统状态方程的解
描述系统由t=0到t=kT状态的转移。
x ( k ) = φ ( k ) x ( 0 ) + ∑ φ ( k j 1) Hu ( j ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )
j=0
k 1
二 、z变换法 对x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) z变换：zx(z)-zx(0)=Gx(z)+Hu(z) (zI-G)x(z)=zx(0)+Hu(z) x(z)=[zI-G]-1zx(0)+ [zI-G]-1Hu(z) z反变换： [(zI[(zIx(k)=Z-1[(zI-G)-1z]x(0)+Z-1[(zI-G)-1H G k x (0) + ∑ G k j1Hu ( j)
j= 0
k 1
(k = 1,2,3, L j = 1,2,3, L)
Gkx(0)－表示初始状态x(0)的组合，零输入响应 ∑ －表示输入作用u(j)的组合，输入作用响应 讨论：参照齐次解x(t)= Φ(t)x(0) x(k)=Gkx(0)， 状态转移阵 Φ（k)=Gk 且满足Φ(k+1)=GΦ(k) Φ(0)=I
按上式直接计算Φ(k)有一定困难，为此，将原 状态方程变换成约旦标准型，即将G变换为对角 线型。
令 x(k ) = T~ (k ) ，代入原式得 x
~ (k + 1) = T 1GT~ (k ) + T 1 Hu (k ) x x
相应地有
1
k ~ 1 T GT = Λ; Φ( K ) = T GT = Λk k 1 ~ ~ ~ ~(k ) = Φ(k ) x (0) + Φ( j)T 1Hu(k j 1) x ∑ j =0
例2.4已知离散时间系统的状态方程
x ( k + 1 ) = Gx ( k ) + Hu ( k ) 1 0 1 G = ; H = 1 0 . 16 1
1 试求当初始状态x(0) = 1
，控制作用为u(k)=1
1 1
k
时，此系统Φ(k)和x(k) 解：根据定义
φ ( k ) = G k = 00. 16
从而容易求得
5 4 3 1 3 T = 1 5 3 3
5 4 1 (0.2) k 0 3 1 ~ 1 3 Φ (k )TΦ (k )T = k 1 5 ( 0.8) 0.2 0.8 = 0 3 3 5[(0.2) k (0.8) k ] 1 4(0.2) k (0.8) k = k k k k 3 0.8[(0.2) (0.8) ] (0.2) + 4(0.8) 4 5 1 1 (0.2)k (0.2)k 0 3 ~ ~ ~ 3 Φ(k)x (0) = Φ(k)T 1x(0) = 1 = k 5 1 3 4(0.8)k (0.8) 0 3 3
该式右边第二项
5 4 k 1 k 1 ~ ~ 3 1 3 1[1] ∑ Φ( j )T Hu (k j 1) =∑ Φ( j ) 1 5 1 j =0 j =0 3 3
k 1
(0.2) j 0 3 k 1 3(0.2) j = ∑ = ∑ j j 0 (0.8) 2 j =0 2(0.8) j =0 3[1 + (0.2) + (0.2) 2 + L + (0.2) k 1 ] = 2 k 1 2[1 + (0.8) + (0.8) + L + (0.8) ] 5 1 17 k k 1 (0.2) k 0.4 [1 (0.2) ] 6 (0.2) + 2 ∴ ~ (k ) = x + = 22 k 3 4(0.8) 1 [1 (0.8) k ] (0.8) k 10 9 0.9 9
5 17 k 1 1 6 (0.2) + 2 ~ (k ) = ∴ x ( k ) = Tx 0.2 0.8 22 10 (0.8) k 9 9
22 25 17 k k 6 (0.2) + 9 (0.8) + 18 = 3.4 17.6 7 (0.2) k (0.8) k + 9 18 6
(
)
λI G =
λ
1
0.16 λ + 1
= (λ + 0.2)(λ + 0.8) = 0
λ1 = 0.2; λ = 0.8
0 ~ 0 (0.2)k 0 0.2 0.2 ∴Λ = ; Φ(k ) = 0 = k 0 0.8 0.8 0 (0.8)
k
又求得
1 1 T = 0.2 0.8
2.5 离散时间系统状态方程的解 离散系统
x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ), x(k ) k =0 = x(0) y (k ) = Cx(k ) + Du (k )
一、递推法（迭代法） 在方程中依次令k=0,1,2, …T=1秒
x(1) = Gx(0) + Hu(0) x(2) = Gx(1) + Hu(1) = G 2 x(0) + GHu(0) + Hu(1) x(3) = Gx(2) + Hu(2) = G3 x(0) + G 2 Hu(0) + GHu(1) + Hu(2) L
线性离散系统状态方程的解
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k
Βιβλιοθήκη 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 1 0 1 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) x(0) 0.16 1 1 1
( k 1 , k0 ) G ( k ) ( k , k 0 ) ( k0 , k0 ) I
其解为
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
控制系统状态方程求解
第三章控制系统状态方程求解3－1 线性连续定常齐次方程求解所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：………………………………………………………(3－1)上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。
我们知道，标量定常微分方程的解为： (3)2〕与〔3－2〕式类似，我们假设〔3－1〕的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：………………………………(3－3) 其中为与X〔t〕同维的矢量。
将〔3－3〕两边对t求导，并代入〔3－1〕式，得：上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：即:……………………………………………〔3－4〕将系统初始条件代入〔3－3〕，可得。
代入〔3－4〕式可得：…………………………………………………………………〔3－5〕代入〔3－3〕式可得〔3－1〕式的解为： (3)6)我们记： (3)7〕其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。
所以〔3－6〕变为：……………………………………………………………………〔3－8〕当〔3－1〕式给定的是时刻的状态值时，不难证明：………………………………………………………………〔3－9〕从〔3－9〕可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。
但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：……………………………………………………………〔3－10〕所以：【例3－1】，求解：根据〔3－7〕式，3－2 的性质及其求法性质1：【证】根据的定义式〔3－7〕，【证毕】性质2：①②③【证】：①：根据(3－7)式，即有：②：由性质1及其关系①，③:由②式两边同时左乘，注意本身是一个n×n的方阵，，所以：即：从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。
离散时间系统的零状态响应
离散时间系统的零状态响应
重点：零输入响应；卷积和; 因果和稳定性
1）经典法:分通解和特解两部分分别求解。 2）时域卷积和法:类似与连续时间系统中的卷积积 分方法。 3）变换域法:Z.T. ，类似于L.T.
充分条件
n
h(k )
例4：h(k ) 14 (k ) (2k 1 12 5k 1 ) (k 1)
此系统为不稳定系统
七 离散系统的全响应 例4：已知一离散因果系统
y(k 2) 0.7 y(k 1) 0.1 y(k ) 7e(k 2) 2e(k 1)
r(0) =0
r(1) =A
r(1)= r(0)+ A(0)
r(k+1) - r(k)= 0 k>=1
r(k+1) = r(k)
k>=1
1 若H ( S ) ( S )2
h(k ) (k 1) k 2 (k 1)
bm S bm1S bm2 S ... b1S b0 H (S ) n n 1 n2 S an1S an2 S ... a1S a0
离散系统的描述与模拟
S y(k ) y(k 1)
e (t)
1/S
x ( n)
D
x(n 1)
∑ -a
e (k)
y(t) y'(t)＋ay(t)＝e(t)
∑ -a
D
y(k)
y(k+1)＋ay(k)＝e(k)
一、离散信号的时域分解
(k )
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
离散系统状态方程 前向欧拉法和后向
离散系统状态方程一、概述离散系统是指系统的输入和输出都是离散信号的系统。
离散系统的状态方程描述了系统的状态随时间变化的规律。
常见的离散系统状态方程的求解方法有前向欧拉法和后向欧拉法。
二、离散系统状态方程的基本形式离散系统状态方程通常采用以下一般形式表示：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)其中，x(k)是系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(k)是系统的输入向量，y(k)是系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直达矩阵。
三、前向欧拉法1. 基本原理前向欧拉法是一种离散时间下的常微分方程近似数值解法。
对于给定的状态方程，前向欧拉法通过欧拉逼近求解系统状态在下一个离散时间点的值。
2. 求解步骤给定系统状态方程 x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)，可以用前向欧拉法求解下一个时刻的状态值：x(k+1) = (I + hA)x(k) + hBu(k)其中，h为离散时间间隔。
3. 优缺点前向欧拉法求解简单且易于实现，但由于近似计算的原因，在一些特定系统下可能存在数值不稳定的情况。
四、后向欧拉法1. 基本原理后向欧拉法是另一种常微分方程的数值解法。
对于给定的状态方程，后向欧拉法通过在欧拉逼近的基础上，利用下一个时刻的状态值反推当前时刻的状态值。
2. 求解步骤给定系统状态方程 x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)，可以用后向欧拉法求解当前时刻的状态值：x(k) = (I - hA)^(-1)x(k+1) - h(I - hA)^(-1)Bu(k+1)其中，h为离散时间间隔。
3. 优缺点后向欧拉法相比于前向欧拉法，更加稳定且精确，但求解过程较为复杂，通常需要使用数值计算方法求解线性方程组。
五、总结离散系统状态方程描述了离散系统的状态随时间变化的规律，对于工程控制和信号处理等领域有着重要的应用。
前向欧拉法和后向欧拉法都是常见的离散系统状态方程求解方法，各有优缺点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。