1.3正方形性质与判定
1.3正方形的性质与判定
学习目标
1．理解正方形的概念和对称性，探索并证明正方形的性质和判定定理．
2．通过探索和证明定理的活动，掌握一些基本的数学思想，如转化、类比、分类等思想．
重点难点
重点
探索并证明正方形的性质定理和判定定理．
难点
学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．
课堂导入
我们已经知道形平行四边形是特殊的四边形，那特殊的平
行四边形是什么图形呢？对了，是矩形和菱形．那你知道特殊的矩形与菱形是什么图形呢？就是这节课我们要学习的正方形·正方形是特殊的矩形和菱形，也是特殊的平行四边形和四边形，它还有没有其他的性质呢？它的判定定理又都是哪些呢?这节课。我们将揭示一下答案．
预习导学。
基础梳理
1．正方形的四条边——，四个角——．
2．正方形既是——，又是——，它既有——的性质，
又有——的性质．
3．有一个角是直角的——是正方形．
4．有一组邻边相等的——是正方形．
答案
1．都相等都是直角
2．菱形矩形菱形矩形
3．菱形4．矩形
预习思考
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角互补
D．对角线相等
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质 ( )
A四条边相等
B对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
3．下列命题正确的是 ( )
A四个角都相等的四边形是正方形
B四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
答案
1．8 2．D 3．D
探究点1正方形的性质
知识讲解—
正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：
(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
(2)正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角
线平分一组对角．
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三
角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
典例剖析
【例l】如图，正方形ABCD中，对角线的交点为0，E是
OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
解析要证明OE=OF，只需证明
△AEO≌△DF0，由于正方形的对角线
垂直平分且相等，可以得到∠AOE=
∠DOF=90°，AO=D0，再由同角或等
角的余角相等可以得到么∠EA0=
∠FD0，根据ASA可以得到这两个三角
形全等，故结论可得．
【类题突破1】如图(1)，在正方形ABCD的BC、CD边上
取E 、F 两点，使么∠EAF=45°，AG ⊥EF 于G ．求证：
AG=AB
(1) (2)
答案把△AFD 绕A 点旋转90°至△AHB(或延长EB 至 H 使BH=DF)．如图(2)．
∵∠EAF=45°．∴∠l+∠2=45°． ∵∠2=∠3，∴∠1+∠3=45°． 又由旋转所得AH=AF ，AE=AE ． ∴△A EF ≌△AEH(SAS)，∴AG=AB ．
探究点2正方形的判定
你会设计吗?今有一片正方形土地，要在其上修筑两条垂直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．
知识讲解
正方形的判定
(1)根据正方形的定义；
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形；
(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
典例剖析
【例2】已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A ，C 两点作l l ∥l 2，作BM ⊥l 1。于M ，DN ⊥l 1，于N ，直线MB ，DN 分别交l 2于Q 、P 点． 求证：四边形PQMN 是正方形． 答案 证明：∵PN ⊥l 1，QM ⊥l 1， ∴PN ∥QM ，∠PNM=90°．
∴PQ ∥NM ，∴四边形PQMN 是矩形． ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)． ∴∠l+∠2=90°．
又∠3+∠2=90°，∴∠l=∠3．
∴△ABM ≌△DAN ．∴AM=DN ．同理AN=DP ． ∴AM+AN=DN+DP ，即MN=PN ．
∴四边形PQMN 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方 形)．
【类题突破2】 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是∠ACB 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，
垂足分别是E,F
求证：四边形CFDE 是正方形
答案 ∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴∠DEC=∠DFC=90°． ∵∠ACB=90。∴四边形CFDE 是矩形． ∵CD 是∠ACB 的平分线，∴DE=DF ， ∴四边形CFDE 是正方形．
探究点3中点四边形的问题
【例3】 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD ，AB=CB ，P 是BD 上一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ． (1)求证：PA=EF ；
2)若BD=10，P 是BD 的中点，AD=6，求四边形PECF 的面积．
答案(1)连接PC ∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD=90°， ∴四边形PECF 为矩形． ∴EF=PC ．
在△ABP 及△CBP 中，
∵A B=B C∠A B P=∠C B P，B P=B P，
(1)求证：四边形ABCD是矩形
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在四边形ABCD中，求AB
BC
,的值．
【类题突破3】已知：□ABCD的对角线交点为0，点E、F分别在AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在0点处，且四边形DEBF为菱形(如右图为折叠中的图形)．