高一数学古典概型和概率计算公式北师大版
2024-2025年北师大版数学必修第一册7.2.1古典概型的概率计算公式(带答案)
2．1 古典概型的概率计算公式必备知识基础练知识点一 古典概型的判断 1．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________． 知识点二 古典概型样本空间的确定2．有两个质地均匀的正四面体(四个面为全等的正三角形)的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y 表示第2个正四面体玩具朝下的点数．求：(1)这个试验的样本空间； (2)事件“朝下点数之和大于3”； (3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．知识点三 古典概型的计算及简单应用3．若甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( ) A ．13 B ．23264．袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．(1)三次抽取的颜色各不相同； (2)三次抽取的颜色不全相同； (3)三次取出的球无红色．关键能力综合练1．下列试验中是古典概型的是( )A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．下列概率模型中，是古典概型的个数为( ) ①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； ③某篮球运动员投篮一次命中的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )A ．13B ．12364．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．1205．将数据1，3，5，7，9 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为( )A ．15B ．310C ．25D ．126．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 ________．7．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是________．8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．9．(易错题)任意掷两枚骰子，计算出现点数之和为偶数的概率．核心素养升级练1．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )A ．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B ．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16C ．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D ．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为162．(学科素养—数据分析)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(2)求这5天的平均发芽率；(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m ，后面一天发芽的种子数为n ，用(m ，n )的形式列出所有样本点，并求满足“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”的概率．§2 古典概型2．1 古典概型的概率计算公式必备知识基础练1．答案：③解析：①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．2．解析：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)设事件“朝下点数之和大于3”为事件A ，则A ＝{(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(3)设事件“朝下点数相等”为事件B ，则B ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． (4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C ，则C ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．3．答案：B解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6个样本点：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的样本点有4个，故所求的概率为P ＝46 ＝23.4．解析：则基本事件的个数n ＝27.(1)记事件A 为“三次抽取的颜色各不相同”，则A 包含的基本事件数为6，所以P (A )＝627 ＝29. (2)记事件B 为“三次抽取的颜色不全相同”，则B 包含的基本事件数为27－3＝24，所以P (B )＝2427 ＝89.(3)记事件C 为“三次取出的球无红色”，则C 包含的基本事件数为8，所以P (C )＝827.关键能力综合练1．答案：B解析：对于A ，发芽与不发芽概率不同；对于B ，任取一球的概率相同，均为14 ；对于C ，基本事件有无限个；对于D ，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.2．答案：A解析：古典概型的概率特点是样本空间的样本点数是有限个，并且每个样本点发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型．故选A.3．答案：C解析：将1，2，3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为23.4．答案：C解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，共10个样本点，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为110，选C. 5．答案：C解析：从5个数中随机删去两个数有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(1，9)，(3，5)，(3，7)，(3，9)，(5，7)，(5，9)，(7，9) 共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为P ＝410 ＝25 ，故选C.6．答案：13解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以能获得食物的概率为26 ＝13 .7．答案：15解析：抽取的a ，b 组合有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15个样本点，其中(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个样本点满足b ＞a ，故所求概率为315 ＝15.8．答案：15解析：一次取出2根竹竿，则试验的样本空间的样本点共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10个，它们的长度恰好相差0.3 m 的样本点有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)2个，故所求概率为P ＝210 ＝15.9．易错分析：本题容易误认为点数之和为奇数有5种情况，为偶数有6种情况，所以点数之和为偶数的概率为611.事实上11种情况并非等可能的，不属于古典概型．解析：如图，可知样本空间的样本点共有36个，事件A 表示“点数之和为偶数”，A 包含18个样本点，故P (A )＝1836 ＝12.核心素养升级练1．答案：ACD解析：记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品．在A 中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，3)，(2，a )，(3，a )}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a )，(2，a )，(3，a )，因此其概率P ＝36 ＝12 ，A 正确；在B 中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}，因此n (Ω)＝12，B 错误；在C 中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为12 ，C 正确；在D 中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(a ，a )}，因此n (Ω)＝16，D 正确．故选ACD.2．解析：(1)因为16<23<25<26<30，所以这5天发芽数的中位数是25. (2)这5天的平均发芽率为23＋25＋30＋26＋16100＋100＋100＋100＋100×100%＝24%.(3)用(x ，y )表示所求样本点，则有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个样本点．记“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”为事件A ，则事件A 包含的样本点为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共有3个样本点．所以P (A )＝310 ，即事件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的概率为310 .。
高一数学,北师大版必修3 古典概型的特征和概率计算公式 课件
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题型一
题型二
题型三
反思 判断一个试验的概率模型是否为古典概型,关键是看它是否具备古 典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限 性 ;(2)每个基本事件发生的可能性是均等的,即等可能性.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练 1 】 下列试验是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任 取一球,观察颜色 C.向一个圆面内随机地投一个点,观察该点是否落入圆内接正方形 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中 10 环,命中 9 环,……, 命中 0 环 解析:用古典概型的两个特征去判断即可. 对于选项 A,因为发芽与不发芽的概率不同,所以不是古典概型; 对于选项 B,因为摸到白球与黑球的概率都是 ,所以是古典概型; 2 对于选项 C,因为基本事件有无限个,所以不是古典概型; 对于选项 D,因为命中 10 环 ,9 环 ,… ,0 环的概率不相同,所以不是古典概 型. 答案:B
8 8 3 3 3 1 1 1
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怎样计算古典概型中基本事件的总数? 剖析:计算古典概型中基本事件的总数时,通常利用列举法.列举法就是把所 有的基本事件一一列举出来,再逐个数出. 例如 :把从 4 个除编号外完全相同的球中任取 2 个看成一次试验,那么 这次试验共有多少种可能的结果?为了表述方便,对这 4 个球编号为 1,2,3,4. 把每次取出的 2 个球的号码写在一个括号内,则有 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),所以共有 6 个基本事件.其中是按含有 1 号球, 含有 2 号球,含有 3 号球的顺序来列举的,这样做可以避免出现重复或遗漏, 因此要按一定的顺序标准来写.用数对来表示试验结果是非常重要的表示 方法 ,这种表示方法要注意数对中的两个量是否有顺序限制,本题中没有限 制 .有时还可以在直角坐标系中用点来表示.有时也可以根据归纳的结论来 计算 .其常见结论是:把从 n 个量中任取出 2 个量看成一次试验,如果这 2 个 量没有顺序 ,那么这次试验有
2.1古典概型的特征和概率的计算公式课件2(北师大版)
真题在线
5．[2015·全国卷Ⅰ] 如果 3 个正整数可作为一
个直角三角形三条边的边长， 则称这 3 个数为一组勾股数， 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个 不同的数，则这 3 个数构成一 组勾股数的概率为( )
311 1 A.10 B.5 C.10 D.20
[解析] C 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数有 (1，2，3)，(1，2，4)， (1，2，5)，(1，3，4)， (1，3，5)，(1，4，5)， (2，3，4)，(2，3，5)， (2，4，5)，(3，4，5)， 共 10 种取法，其中只有 (3，4，5)是一组勾股数，
例1（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这 一实验的结果只有有限个：“命中10环”“命 中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中 6环”、“命中5环”和“不中环”。请问这是 古典概型吗？为什么？
5 6
7 8 9
5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8
7 6 5
练一练
下列实验中，是古典概型的为 ( ) A.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于1的概率; B.种下一粒花生，视察它是否发芽； C.向正方形ABCD内任意投掷一点P，视察点P 是否与正方形的中心O重合； D.从1,2,3,4四个数中任意取出两个数,求所取两 数之一是2的概率.
你参加过“抽奖”吗？
活动规则 每人可从规定的口 袋中抽取小球一个， 人人有奖，奖品见 表格.
白 旺仔糖一包 蓝 旺旺饼一包 黄 明信片两张
1号
不透明的箱子里面装了3个大小相同的小球
请问求抽到蓝色球的概率？
例2、连续掷3枚硬币，视察3枚硬币落 在地面上时，正面朝上还是反面朝上。
①写出这个实验的所有的基本事件； ②求这个实验的基本事件的总数； ③ “恰有两枚硬币正面朝上”
北师大版高中数学高一必修3学案古典概型的特征和概率计算公式
2．1古典概型的特征和概率计算公式预习课本P130～133，思考并完成以下问题(1)古典概型的定义是什么？(2)古典概型的概率公式是什么？[新知初探]1．古典概型的定义如果一个试验满足：(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．2．古典概型的概率公式对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件数)为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝m n.[点睛]在一次试验中可能出现的每一个结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．例如，掷一枚骰子，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”共6个结果，就是该随机试验的6个基本事件．[小试身手]1．一个家庭有两个小孩，则所有的基本事件是()A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)解析：选C用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个基本事件(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．2．下列试验是古典概型的为()①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； ③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率； A ．①② B ．②④ C ．①②④D ．③④解析：选C ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．3．从100台电脑中任抽5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( ) A.1100 B.15 C.16D.120解析：选D 每台电脑被抽到的概率为5100＝120.4．从1,2,3,4中随机取出两个数，则其和为奇数的概率为________．解析：不同的取法包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同，因此是古典概型．和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个基本事件，故所求概率为46＝23.答案：23古典概型的判定[典例] (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． [解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．[活学活用]下列随机事件：①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；③一只使用中的灯泡寿命长短；④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．这些事件中，属于古典概型的有________．解析：题号判断原因分析①不属于命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同②属于任选1人与学生的性别无关，仍是等可能的③不属于灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能④属于该试验结果只有“正”“反”两种，且机会均等⑤不属于该品牌月饼评“优”与“差”的概率不一定相同古典概型的概率计算[典例](1)点数之和为5的概率；(2)点数之和为7的概率；(3)出现两个4点的概率．[解]在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则所有的基本事件包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．(1)记“点数之和为5”为事件A，从图中可以看到事件A包含的基本事件数共有4个：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(A)＝436＝19.(2)记“点数之和为7”为事件B，从图中可以看到事件B包含的基本事件数共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，所以P(B)＝636＝16.(3)记“出现两个4点”为事件C，则从图中可以看到事件C包含的基本事件数只有1个：(4,4)，所以P(C)＝1 36.求解古典概型的概率“四步”法[活学活用]先后抛掷均匀的壹分、贰分、伍分硬币各一次．(1)一共可能出现多少种结果？(2)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的结果有多少种？(3)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的概率是多少？解：(1)先后抛掷壹分、贰分、伍分硬币时，可能出现的结果共有8种，即(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)用A 表示事件“2枚正面朝上，1枚反面朝上”，所有结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．(3)因为每种结果出现的可能性相等，所以事件A 的概率P (A )＝38.[层级一 学业水平达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29D.19解析：选D 个位数与十位数之和为奇数的两位数一共有45个，其中个位数为0的有5个，概率为19.3．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 4．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析：从3男3女中选出2名同学，共有以下15种情况：(男1，男2)，(男1，男3)，(男2，男3)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(男3，女1)，(男3，女2)，(男3，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，其中2名都是女同学的有3种情况，故所求的概率P ＝15.答案：15[层级二 应试能力达标]1．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( ) A.12 B.1536 C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.2．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )A.427B.827C.18D.14解析：选B 在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P ＝827.3．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35解析：选C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种等可能情况，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12.4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选B 袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a ，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3. 从袋中任取两球有{a ，b 1}，{a ，b 2}，{a ，c 1}，{a ，c 2}，{a ，c 3}，{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 1，c 2}，{b 1，c 3}，{b 2，c 1}，{b 2，c 2}，{b 2，c 3}，{c 1，c 2}，{c 1，c 3}，{c 2，c 3}，共15个基本事件．其中满足两球颜色为一白一黑的有{b 1，c 1}，{b 1，c 2}，{b 1，c 3}，{b 2，c 1}，{b 2，c 2}，{b 2，c 3}，共6个基本事件．所以所求事件的概率为615＝25.5．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线ax ＋by ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率是________．解析：将a ，b 的取值记为(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a 2＋b 2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为59.答案：596．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a ，b ，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为： (1,2)，(1,3)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(a ，b )共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P ＝110.答案：1107．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求概率为34.答案：348．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a ，b (2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1. (2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310.9．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A 表示事件“和为6”，求P (A )；(2)若以B 表示事件“和大于4而小于9”，求P (B )； (3)这种游戏公平吗？试说明理由． 解：将所有可能情况列表如下：甲乙 123451 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型．(1)“和为6”的结果有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种结果，故所求的概率为525＝15. (2)“和大于4而小于9”包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个基本事件，所以P (B )＝1625.(3)这种游戏不公平．因为“和为偶数”包括13个基本事件，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为25－1325＝1225，所以它不公平．。
高中数学 第3章 概率 2 第1课时 古典概型的特征和概率计算公式教学案 北师大版必修3-北师大版高
第1课时 古典概型的特征和概率计算公式[核心必知]1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)有限性：即试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)等可能性：即每一个试验结果出现的可能性相同．2．古典概型概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成的.如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n. [问题思考]1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？提示：6种．2．以下试验中，是古典概型的有( )A ．放飞一只信鸽观察其能否飞回B ．从规格直径为(250±0.6)mm 的一批合格产品中任意取一件，测量其直径C ．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶提示：只有选项C 具有：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．讲一讲1.以下试验中是古典概型的是( )A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向正方形ABCD内随机抛掷一点，该点落在正方形内任意一点都是等可能的D．在区间[0,6]上任取一点，求此点小于2的概率[尝试解答][答案] B判断一个试验是否为古典概型，关键是看该试验是否具有有限性和等可能性两个特征．练一练1．以下概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人作演讲；④一只使用中的灯泡寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优〞或“差〞．其中属于古典概型的有________．解析：①不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因：命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因：该品牌月饼评为“优〞与评为“差〞的概率不一定相同，不满足等可能性．答案：③讲一讲2.先后抛掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率．[尝试解答] 先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36种不同的结果．记“点数之和能被3整除〞为事件A ，那么事件A 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (A )＝1236＝13.求解古典概型问题的一般步骤：(1)计算所有可能的基本事件数n ；(2)计算事件A 包含的基本事件数m ；(3)计算事件A 的概率P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的所有可能的基本事件数＝m n. 运用公式的关键在于求出m 、n .在求n 时，必须确定所有可能的基本事件是等可能发生的． 练一练2．袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求以下事件的概率：(1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个球中任取两球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，且每种取法都是等可能发生的．(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以P (A )＝615＝25； (2)从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．所以P (B )＝815. [解题高手][易错题]有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4封信，假设4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？[错解] 每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A 投入1号或2号信箱的概率为24＝12. [错因] 应该考虑A 投入各个信箱的概率，而不能考虑成四封信投入某一信箱的概率．[正解] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A 投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果，投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为23.1．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是5或6的概率是( )A.16B.13C.12D ．1 解析：选B 掷一枚骰子出现向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6种情况．P ＝m n ＝26＝13. 2．有100X 卡片(从1号到100号)，从中任取一X 卡片，那么取得的卡片是7的倍数的概率是( )A.320B.750C.13100D.325解析：选B ∵n ＝100，m ＝14，∴P ＝m n ＝14100＝750. 3．一枚硬币连掷2次，恰好出现一次正面的概率是( )A.12B.14C.34D ．0 解析：选 A 列举出所有基本事件，找出“只有一次正面〞包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有一次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12. 4．以下试验是古典概型的为________．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率③近三天中有一天降雨的概率④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．答案：①②④5．(某某高考)假设甲、乙、丙三人随机地站成一排，那么甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种排法，其中甲、乙相邻有4种排法，所以甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23. 答案：236．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，假设a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根〞．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根意味着Δ＝(2a )2－4b 2≥0，即a ≥b .基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个，其中第1个数表示a 的取值，第2个数表示b 的取值．而事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.一、选择题1．下面是古典概型的是( )A ．任意抛掷两粒骰子，所得的点数之和作为基本事件B ．为求任取一个正整数，该正整数平方值的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件C ．从甲地到乙地共有n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止解析：选C 对于A ，所得点数之和为基本事件，个数虽有限但不是等可能发生的；对于B ，D ，基本事件的个数都是无限的；只有C 是古典概型．2．以下对古典概型的说法中正确的选项是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为n ，随机事件A 假设包含k 个基本事件，那么P (A )＝k n.A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④解析：选B ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．3．在5X 卡片上分别写上数字1,2,3,4,5，然后将它们混合后，再任意排成一行，那么得到的五位数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8解析：选C 一个五位数能否被5整除关键看其个位数字，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，1,2,3,4,5出现在个位是等可能的．所以个位数字的基本事件有1,2,3,4,5，“能被2或5整除〞这一事件中含有基本事件2,4,5，概率为35＝0.6. 4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选 A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 5．4X 卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4X 卡片中随机抽取2X ，那么取出的2X 卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选C 从4X 卡片中随机抽取2X ，对应的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故基本事件总数n ＝6.且每个基本事件发生的可能性相等．设事件A ＝“取出的2X 卡片上的数字之和为奇数〞，那么A 中所含的基本事件为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，故m ＝4，综上可知所求事件的概率P (A )＝m n ＝23. 二、填空题6．三X 卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三X 卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：三X 卡片的排列方法有EEB ，EBE ，BEE ，共3种．且等可能出现，那么恰好排成英文单词BEE 的概率为13. 答案：137．(某某高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，那么其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍〞的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13. 答案：138．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷三次，恰好出现一次正面向上的概率是________．解析：所有的基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8组．设“恰好出现1次正面向上〞为事件A ，那么A 包含(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，共3个基本事件，所以P (A )＝38.答案：38三、解答题9．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率． 解：设事件A 为“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根〞，那么 A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b ，c ＝1,2，…，6}．而(b ，c )共有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36组．其中，可使事件A 成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．故事件A 的概率为P (A )＝1936. 10．(某某高考)袋中有五X 卡片，其中红色卡片三X ，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两X ，标号分别为1,2.(1)从以上五X 卡片中任取两X ，求这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一X 标号为0的绿色卡片，从这六X 卡片中任取两X ，求这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三X 红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两X 蓝色卡片分别记为D ，E ，从五X 卡片中任取两X 的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一X 卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五X 卡片中任取两X ，这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310. (2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六X 卡片中任取两X 的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一X卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六X卡片中任取两X，这两X卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两X卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.。
7.2.1古典概型的概率计算公式课件-高一上学期数学北师大版必修第一册
环节二
古典概型概念
古典概型的定义
定义
古典概型定义:
一般地,若实验具有如下特征:
①有限性:实验的样本空间Ω的样本点
总数有限,即样本空间Ω为有限样本空
间;
②等可能性:每次实验中,样本空间Ω的
各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的实验模型为古典概率模型,
简称古典概型.
解读
一个实验是否为古典概型,在
于这个实验是否具有古典概
的素养养成.
02
数学运算素养
通过对随机事件概率的运算,增强数学运算素养
环节一
情境导入
情境导入
描述
可能性
在实验“抛掷一枚均匀的骰子，
就是随机事件的概率
视察骰子掷出的点数”中，样本
空间为{1，2，3，4，5，6}，共
等可能性
有6个样本点，则于骰子几何形状
的对称性， 可以认为每个样本点 骰子的几何形状是正方
个球除颜色外完全相同，从中不放回
地依次摸取2个，每次摸1个，视察摸
出球的情况”中.摸到白球的结果分别
记为ω1,ω2,ω3,摸到黑球的结果分别记
为b1,b2.求:
(1)取到两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的
概率.
判定
【解析】由前面的分析可知实
验E6的样本空间共有20个样本
地依次摸取2个，每次摸1个，视察摸
出球的情况”中.摸到白球的结果分别
记为ω1,ω2,ω3,摸到黑球的结果分别记
为b1,b2.求:
(1)取到两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的
北师大版高中数学必修三3.2.1古典概型的特征和概率计算公式(24ppt)
1、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任 意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
〖解〗因为实验的所有可能结果是 圆面内所有的点，实验的所有可能 结果数是无限的，虽然每一个实验 结果出现的“可能性相同”，但这 个实验不满足古典概型的第一个条 件.
．．．．
．．．．．．．． ．．．．．．．． ．．．．．
解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以 从4种不同的质量盘中任意选取.我们可以用一个“有序实数 对”来表示随机选取的结果.例如，我们用（10，20）来表 示：在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10 kg， 从第二个箱子取的质量盘是20 kg，表1列出了所有可 能的结果. 表1
．
．．．．．．． ．．．．．．
2、如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一实验的结 果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和命中0 环.你认为这是古典概型吗？为什么？
〖解〗不是古典概型，因为实验的所 有可能结果只有11个，而命中10环、 命中9环……命中1环和不中环的出现 不是等可能的，即不满足古典概型的 第二个条件.
16 4 （ⅳ）用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过 10 kg”，总质量超过10 kg，即总质量为12.5 kg，20 kg， 15 kg，22.5 kg，25 kg，30 kg，40 kg，从表2中可以看出， 所有可能结果共有12种，因此，事件D的概率 P(D)= 12 = 3 =0.75.
果.在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是 很多，列举法是我们常用的一种方法.
单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C， D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考察的内 容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机 的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
高一数学北师大版必修3 古典概型的特征和概率计算公式 课件
变式训练 1 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到 如图所示的频率分布直方图：
试利用频率分布直方Байду номын сангаас求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．
解析： (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直 方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数 应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现 的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形 的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小 矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为 0.3， 而第四个小矩形面积为 0.03×10 ＝0.3,0.3＋0.3>0.5， ∴中位数应位于第四个小矩形内，设其底边为 x，高为 0.03， ∴令 0.03x＝0.2 得 x≈6.7， ∴中位数应为 70＋6.7＝76.7≈77.
(3)求平均数时，可用各组中值乘以频率来计算，故平均数为 1 250×0.000 2×500 ＋ 1 750×0.000 4×500 ＋ 2 250×0.000 5×500＋2 750×0.000 5×500＋3 250×0.000 3×500＋3 750×0.000 1×500＝(0.25＋0.7＋1.125＋1.375＋0.975＋0.375)×500＝2 400(元).
解析：设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i＝1,2，„，20)， 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i＝1,2，„，20)． 1 1 依题意有： (x1＋x2＋„＋x20)＝90， (y1＋y2＋„＋y20)＝80， 20 20 故全班平均成绩为： 1 1 (x1＋x2＋„＋x20＋y1＋y2＋„＋y20)＝ (90×20＋80×20)＝85. 40 40 又设第一组学生成绩的标准差为 s1，平均数为 x ；第二组学生成 绩的标准差为 s2，平均数为 y ， 1 2 则 s1＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(x20－ x )2]＝ 20 1 2 2 2 [x1＋x2 ＋ „ ＋ x ＋ 20 x －2 x (x1＋x2＋„＋x20)] 2 20 20 1 2 2 2 ＝ (x1＋x2 2＋„＋x20－20 x )， 20
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高一数学古典概型和概率计算公式北师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
古典概型和概率计算公式
二、学习目标
1、理解古典概型的两个基本特征，掌握古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其发生的概率；
能建立概率模型来解决简单的实际问题
三、知识要点
1、古典概率模型——古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每一个试验结果出现的可能性相同。
2、古典概率的计算公式
如果一次试验的所有可能结果（基本事件）数是n ，其中事件A 包含的结果（基本事件）数为m ，则事件A 发生的概率P （A ）=n
m 。
3、建立古典概型
在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件（即一个试验结果）是因人而异的，只要求每次试验有且只有一个基本事件出现即可；只要基本事件的个数是有限的并且它们的发生是等可能的，就建立了一个古典概型。
考点解析与典型例题
考点一：古典概型的特征
例1、把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，下列是古典概型的是：
①有“正正、正反、反正、反反”四个结果；
②有“向上的面相同、向上的面相反”两个结果；
③有“两次正面、两次反面、一次正面一次反面”三个结果。
【分析】古典概型的特征有两点：①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每一个试验结果出现的可能性相同。
本题三个模型均满足第一个特征，但只有①②两个模型满足第二个特征，而模型③中的各结果出现的可能性不相同，故不是古典概型。
例2、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在每一个点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
【分析】不是。
古典概型要求试验的所有可能结果只有有限个，这个模型不满足。
考点二：古典概型的概率计算 例3、设一个盒中有五件产品，其中三件是正品，两件是次品，从盒子中任抽出两件，试求出事件A“所抽取的两件都是正品”的概率。
【分析】我们将五件产品编号，如1，2，3，4，5，编号1~3是正品，4、5号是次品。
于是，抽取两件产品的所有可能的结果是10个：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
【说明】求古典概率的基本步骤：（1）判断是否为等可能性事件；（2）列举所有基本事件的总结果数n. （3）列举事件A 所包含的结果数m. （4）计算 n m A P
)(。
当总结果数n 不太大时，列举法是常用的方法。
例4、一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两只都是白球的概率是多少？
【分析】基本事件的划分可以是：摸出两只白球、摸出两只黑球、摸出一黑一白两只球；也可以将白球分别标记为1，2，3，黑球分别标记为4，5，这样来划分基本事件：摸到12，摸到13，摸到14，摸到15，摸到23，摸到24，摸到25，摸到34，摸到35，摸到45。
显然，第一种划分方法下的模型不是古典概型，第二个模型是古典概型。
【解】（1）共有三个基本事件（摸出两只白球、摸出两只黑球、摸出一黑一白两只球）或十个基本事件（摸到12，摸到13，摸到14，摸到15，摸到23，摸到24，摸到25，摸到34，摸到35，摸到45）；
（212，摸到
13，摸到23），故
五、数学思想方法
本讲主要学习了古典概型的建立及古典概率的计算。
一方面要认识到对于同一个随机试验，可以根据需要来建立概率模型，这取决于对基本事件的划分，对基本事件的不同认识会导致概率模型的不同；另一方面，要善于建立古典概型并运用古典概率的计算方法进行概率计算。
建立概率模型的过程就是对问题进行分析和抽象的过程，这也为解决问题提供了一种方案，所以本讲的学习将有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 书架上放有中文书5本，英文书2本，法文书3本，则抽出一本外文书的概率为
A. 51
B. 5
2 C. 21 D. 10
3 2. 先后抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面，一枚反面的概率是 A. 41 B. 31 C. 1 D.
21 3. 某人忘记了的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通的概率为
A. 9/10
B. 3/10
C. 1/8
D.1/10
4. 从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
A. 1/2
B. 1/3
C. 2/3
D.1
5. 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P 1，P 2，P 3 ，则
A. P 1=P 2<P 3
B. P 1<P 2<P 3
C. P 1<P 2=P 3
D. P 3=P 2<P 1
6. 从5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为 A. 3
10
B. 320
C. 120
D. 110 7. 某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为 A. 35B. 310C. 110D. 120
二、填空题
8. 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A 、B 、C 、D 四个选项中选择一个正确答案。
如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。
现假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是。
9. 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有2面涂有颜色的概率是。
三、解答题
10. 一套书共有上、中、下三册，将它们任意列到书架的同一层上，各册自左至右或自右至左恰好列成上、中、下的顺序的概率是多少？
11. 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率？
12. 从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的实验中，有哪些基本事件？
13. 同时掷两枚骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）向上的点数之和为5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和为5的概率是多少？
试题答案
一、选择题
1. C
2. D
3. B
4. C
5. B
6. B
7. A
二、解答题
8. 41 9. 9
4
三、解答题
10. 全部结果有:上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上，共有6个，故事件“按上中下顺序排列”的概率为6
1 11. 解法1：设A 表示“出现点数之和为奇数”，用)j ,i (记“第一颗骰子出现i 点，第二颗骰子出现j 点”，6,...2,1,=j i 。
显然共有36个基本事件，其中A 包含的基本事件个数为
，故2
1)A (P =。
解法2：若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，
偶），则基本事件总数n=4，A 包含的基本事件个数k=2，故21)A (P =。
解法3：若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，基本事件总数n=2，A 包含的基本事件数为1，故2
1)A (P =。
12. 解：基本事件为A={a ，b}，B={a ，c}，C={a ，d}，D={b ，c}，E={b ，d}，F={c ，d}
13. （1）共有36种不同的结果（可列举，此处略）；（2）点数之和为5的结果有4种：14，41，23，32；（3）事件“点数之和为5”的概率为
9
1364=。