高一数学人教b版必修3学案：3.2古典概型

3.2古典概型【入门向导】“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大诱惑性的话是大英帝国彩票的广告词，买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要花上1英镑，就有可能获得2 200万英镑！(1英镑约相当于13.7元人民币)但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下．大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码．在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字都被一个人选中了，那他就获得了头等奖．可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13 983 816种方法！这就是说，假如只买一张彩票，六个号码全对的机会大约是一千四百万分之一，这个数大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总理的机会．如果一个人每星期买50张彩票，那他赢得一次大奖的时间约为5 000年；即使每星期买1 000张彩票，也大致需要270年才中头奖！这几乎是单个人力不可为的．1．定义一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，一次试验中只能出现一个基本事件，其他事件可以用它们表示．2．基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．在一次试验中，只可能出现一种结果，即只产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．相对于基本事件而言，由两个以上的基本事件组成的随机事件称为复杂事件．在解决有关古典概型问题中，要认识到基本事件不能再分，不同的基本事件不可能同时发生．判断基本事件时，一定要对照思考其特征，并将所有可能的基本事件一一列举出来．例1连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币正面向上还是反面向上．(1)写出这个试验的基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？解(1)这个试验的基本事件是：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．1．古典概型的定义如果试验中出现如下特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)；(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性)．具有以上两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型必须具备两个条件：(1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个)；(2)等可能性(即指每个基本事件发生的可能性相等)．判断一个事件是否为古典概型，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结论．例2下列概率模型：(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．其中是古典概型的是________．解析 (1)不是古典概型，因为在区间[1,10]中有无穷多个实数，取出一个实数有无穷多种结果，即有无穷多个基本事件，不满足古典概型定义中“基本事件只有有限个”的条件．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，不满足古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”的条件．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果的个数有限(100个)，而且每个整数被抽到的可能性相等．故填(3)．答案 (3)例 任意投掷两枚骰子，计算：(1)“出现的点数相同”的概率；(2)“出现的点数之和为奇数”的概率；(3)“出现的点数之和为偶数”的概率．错解 (1)点数相同是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是16. (2)点数之和为奇数，可取3、5、7、9、11共5种，所以“出现的点数之和为奇数”的概率为55＋6＝511. (3)点数之和为偶数，可取2、4、6、8、10、12共6种，所以“点数之和为偶数”的概率为611. 正解 (1)任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果可表示为数组(i ，j )(i ，j ＝1,2，…，6)，其中两个数i ，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36种结果，其中点数相同的数组为(i ，j )(i ＝j ＝1,2，…，6)共有6种结果，故“出现的点数相同”的概率为636＝16. (2)由于每个骰子上有奇、偶数各3个，而按第1、第2个骰子的点数顺次写时，有(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)这四种等可能结果，所以“其和为奇数”的概率为P ＝24＝12. (3)由于骰子各有3个偶数，3个奇数，因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件，所以“点数之和为偶数”的概率为P ＝1－P (“点数之和为奇数”)＝1－12＝12. 解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n 与事件A 中包含的结果数m ，而这往往会遇到计算各类基本事件个数的困难．因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧．1．直接列举把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解．例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．分析 首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解．解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2，6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个球全是白球的概率为P (A )＝615＝25. (2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P (B )＝815. 2．逆向思维对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．例2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．分析 直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷．解 至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P ＝1636＝49. 故至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59. 3．活用对称性例3 有A 、B 、C 、D 、E 共5人站成一排，A 在B 的右边(A 、B 可以不相邻)的概率是多少？解 由于A 、B 可以不相邻，A 在B 的右边和B 在A 的右边的总数是相等的，且A 在B 的右边的排法数与B 在A 的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A 在B 的右边的概率是12. 1．(2011·徐州模拟)一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________．解析 骰子连投两次，基本事件共6×6＝36(个)，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)，共3个，故P ＝36×6＝112. 答案 1122．(2011·汉中调研)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15解析 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25. 答案 B3．(2011·济宁模拟)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．解(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝38.4．(2009·天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．解(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝1121.5．(2011·天津)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得(1)(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13. 一、信息迁移创新信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的亮点．此类试题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出几个新模型等来创设新的问题情境，要求同学们在阅读理解的基础上，应用所学的知识和方法，实现信息的迁移，以达到灵活解题的目的．6．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是________．解析 十位是1的“渐升数”有8个；十位是2的“渐升数”有7个；…；十位是8的“渐升数”有1个，所以两位的“渐升数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个；以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4、5、6、7、8为十位数的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的两位“渐升数”共有2＋15＝17个．故在两位的“渐升数”中任取一个比37大的概率是1736. 答案 1736二、图表解读创新给出图表，要求同学们对图表进行观察、分析，并提炼、挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．7．下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生共5人(设x 、y 分别表示英语成绩和数学成绩).(1)x ＝4的概率是多少？x x ≥3的概率是多少？(2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？解 (1)P (x ＝4)＝1＋5＋7＋150＝725； P (x ＝4，y ＝3)＝750； P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝710. (2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－550－710＝15； 又P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，则a ＋b ＝3. 三、知识交汇创新这类问题从学科知识的内在联系出发，在知识交汇点上做文章，一个题目往往包含多个知识点．8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析 先后抛掷两枚骰子的点数方法共有6×6＝36种．满足条件log 2X Y ＝1，即Y ＝2X 的有⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝1，Y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝2，Y ＝4； ⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3，Y ＝63种． ∴概率为336＝112. 答案 C9．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能的取－22，－3，－52，0，52，3，22，则原点到l 的距离小于1的概率是________．解析 本题是古典概型与解析几何知识的交汇，运用点到直线的距离公式分别求距离得解．原点到过点(0,1)且斜率分别为－22，－3，－52，0，52，3，22的直线的距离分别为13，12，23，1，23，12，13. 故原点到l 的距离小于1的概率为67. 答案 67。