考点36 古典概型的判定-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
考点40 古典概型的计算(其他模型)-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)
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1
对于古典概型，随机事件A 的概率为()A P A
=包含的基本事件的个数基本事件的总数
． 【例】甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从
1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）
A ．
136
B ．
19 C ．536 D ．16 【答案】D
【归纳总结】求古典概型的概率的关键是正确地列出基本事件．基本事件的表示方法有列表法、列举法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．在写出基本事件后，最好检验一下各基本事件发生的概率是否相同．求一个随机事件的概率的关键就是明确它包含几个基本事件．学&科网
1．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，选出的两人中有中国人的概率为（ ）
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．1
【答案】C
【解析】用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．。
考点11 条件语句-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
y=x-3 ELSE
① END IF PRINT y END
A．y=3－x C．y=5－x
B．y=x－5
D．y=ABS（x－4）+1
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4
4． 写出下列程序的运行结果．
INPUT IF a＜0
b＝ b＝a^2＋3*a＋ END PRINT END
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5
（包括 80 岁）的老人，享受免费自助餐，70 岁以上（包括 70 岁）老人享受五折优惠，60 岁以上（包
括 60 岁）老人享受六折优惠，其余顾客享受九折优惠．请编写相应的程序，完成这一天的计费工作，
要求输入用餐者的年龄、消费额，输出应付金额．
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3
考题速递
1． 当 x＝5，y＝－20 时，下面程序运行后输出的结果为 ( )
INPUT “x＝，y＝”；x，y IF x<0 THEN x＝y－3 ELSE y＝y＋3 END IF PRINT x－y，y－x END
A．22，－22
B．22,22
C．－22,22
D．－22，－22
2． 如下程序运行时，输出的结果是（ ）
A．33 C．6
B．39 D．－6
3． 下列程序语句是求函数 y= x 4 1 的函数值，则①处应填入（ ）
若 a＝4，则 b＝________；若 a＝－4，则 b＝________．
数学文化
高考志愿
小王在填报高考志愿时犯了难，他既感到南开大学的应用数学专业不错，又觉得复旦大学 的应用物理专业也挺好，他拿不定主意，最后老师给他定了一个填报原则：如果数学分数超过 130 分，就报南开；如果理综分数超过 220 分，就报复旦；如果数学分数超过了 130 分，理综 分数也超过了 220 分，就报南开；如果数学分数没超过 130 分，理综分数也没超过 220 分，就 报复旦．人的一生中会遇到很多选择，依据自身条件作出适合自已的选择是人生不可回避的问 题．
考点43 几何概型(面积)-庖丁解题-学年高一数学人教版(必修3)
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：．【例】如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．【解题技巧】在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性的大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．1．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离1PA<的概率为（）A．14B．12C．π4D．π【答案】C【解析】满足1PA<的点P位于以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内部（如图）．要点阐述典型例题小试牛刀又π4ABD S 扇形，∴．2．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )等于( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应，∴P (A )＝π4．3．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率 A ．1－π4B ．π2－1C ．2－π2D ．π4【答案】A【规律总结】与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．常见的命题角度有：与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题； 4．如图所示，在一个边长为的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b ．向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是（ ）A ．710 B ．57C ．512D ．58【解题技巧】利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．5．在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为( )A ．118B ．932C ．2332D ．1718【答案】D【解析】依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x ，y ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤4表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤4，x ＋y ＞3表示的平面区域的面积为(4－1)2－12×12＝172，因此所求的概率为1729＝1718，选D ． 6．以半径为1的圆内任一点为中心作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为多少？1．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8【答案】B【解析】如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD ＝2－π22＝1－π4．2．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )考题速递A ．14B．12C ．23D ．34【答案】A【解析】 依题意作出图象如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14．3．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm 的圆，中间有边长为0．5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________． 【答案】14π【解析】由题意得，所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫122π＝14π． 4．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12．2 cm ．运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？数学文化。
考点35 基本事件-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
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1
1．基本事件的定义
一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．例如，在掷骰子试验中，出现“1点”“2
点”“3点”“4点”“5点”“6点”
共6个结果，就是该随机试验的6个基本事件．
2．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
【例】口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求基本事件的总数．
【解析】把2个白球和2个黑球分别编号为1，2，3，4，于是4个人按顺序依次从口袋中摸出一球的所有可能结果用如图所示的树状图表示．由图可知共有24个基本事件．
【解题技巧】利用树状图或是列表，是解决这类问题的最佳途径．求基本事件的关键是按顺序写，要保证所有的基本事件不重不漏，求出基本事件的总数和事件A 包含的基本事件数是确定概率的基础． 1．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A ．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}。
考点32 事件的关系与运算-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
D．以上答案均不对
3．一箱产品中有正品 4 件，次品 3 件，从中任取 2 件，下列事件：
①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品；②至少有 1 件次品和全是次品；
③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；④至少有 1 件次品和全是正品．
四组中是互斥事件的有（ ）
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
4．抽查 10 件产品，设 A {至多有 1 件次品}，则事件 A 的对立事件是（ ）
A．{至多有 2 件正品}
B．{至多有 1 件次品}
C．{至少有 1 件正品}
D．{至少有 2 件次品}
5．若 P(A B) P(A) P(B) 1，则事件 A 与 B 的关系是（ ）
A．互斥不对立
B．对立不互斥
C．互斥且对立
D．以上答案都不对
6．从装有 5 个红球、5 个白球的袋中任意取出 3 个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事
件．
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2
（1）“取出 3 个红球”与“取出 3 个球中至少有 1 个白球”； （2）“取出 2 个红球和 1 个白球”与“取出 3 个红球”； （3）“取出 3 个红球”与“取出的球中至少有 1 个红球”．
A B
事件 A 与事件 B 相等
A B或 A B
事件 A 与事件 B 的并
AB
事件 A 与事件 B 的交
A B
事件 A 与事件 B 互斥
A B A B
事件 A 与事件 B 对立
集合论 全集 空集
中的元素 的子集 集合 B 包含集合 A 集合 A 与集合 B 相等
集合 A 与集合 B 的并
考点21 分层抽样-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
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1
1．分层抽样的概念
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
2．分层抽样的适用条件
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，
并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
【例】某地区有3000家酒店，其中大型酒店有300
家，中型酒店有800家，小型酒店有1900家．为了掌握各酒店的营业情况，要从中抽取一个容量为150的样本，则采用何种抽样方法较好，并写出过程．
【解析】因为大、中、小型酒店的营业情况差别较大，所以应采用分层抽样的方法．
抽取的大、中、小型酒店数目分别是150300153000⨯=， 150800403000⨯=，1501900953000
⨯=，即从大型酒店中抽取15家，从中型酒店中抽取40家，从小型酒店中抽取95家．对于第一、二层可以采取简单随机抽样的方法完成，而第三层则可采取系统抽样完成．
【易错易混】对于分层抽样题目中一般会告知较为明确的分层条件，而对于系统抽样则总体容量较大，在解题时应明确把握已知条件．
1．从总体容量为N 的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的几率为0.25，
则N 等于（ ）
A ．150
B ．200
C ．120
D ．100
2．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为。
考点29 事件的相关概念-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)
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1
【例】指出下列试验的条件和结果：
（1）某人射击一次，命中整数环；
（2
）从装有大小相同但颜色不同的,,,a b c d 这4个球的袋中，任取1个球；
（3）从装有大小相同但颜色不同的,,,a b c d 这4个球的袋中，任取2个球；
【解析】（1）条件为射击一次，结果为命中整数环0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种．
（2）条件为从袋中任取1个球，结果为,,,a b c d ，共四种．
（3）条件为从袋中任取2个球，若记(),a b 表示一次试验中取出的球是a 和b ，则试验的分部结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6种．
【解题策略】准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法，必须明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
1．下列试验能构成事件的是（ ）
A ．抛掷一次硬币
B ．射击一次
C ．标准大气压下，水烧至100℃
D ．摸彩票中头奖。
考点38 古典概型的计算(掷骰子模型)-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)
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1
在掷硬币试验中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中，随机事件
“出现偶数点”由基本事件“2点”“4点”和“6点“共同组成．相对于基本事件，由两个以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件．
【例】一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为（ ） A ．13
B ．12
C ．
23
D ．
34
【答案】B
则(,)x y 的所有可能结果如下表：
1
2
3
4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
共有基本事件16个，其中和为奇数的基本事件有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8个，∴所求概率为
81162
． 第二
结果
第一次。
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古典概型的定义
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）．
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
【例】下列问题中
是古典概型的是（ ）
A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C ．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1．5的概率
D ．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
【答案】D
1．下列试验中，属于古典概型的是( )
A ．种下一粒种子，观察它是否发芽
B ．从规格直径为250 mm±0．6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D ．某人射击中靶或不中靶
2．下列古典概型的说法中正确的个数是（ ）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；。