广西壮族自治区高考数学模拟试卷(理科)(4月份)A卷(模拟)
广西壮族自治区高考数学模拟试卷（理科）（4月份）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·佛山模拟) 已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（∁RN）=（）
A . {﹣1，2，2}
B . {1，2}
C . {4}
D . {x|﹣1≤x≤2}
2. （2分）(2020·淮北模拟) 已知复数，为虚数单位，则的实部为（）
A . 1
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高二上·吉林期末) 在的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（）
A . 462
B . 330
C . 682
D . 792
4. （2分）若a=30.2 ，b=logπ3，c=log3cos π，则（）
A . b＞c＞a
B . b＞a＞c
C . a＞b＞c
D . c＞a＞b
5. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
B . 6
C . 14
D . 18
7. （2分）为了得到函数的图象，可将函数的图象（）
A . 向左平移个长度单位
B . 向左平移个长度单位
C . 向右平移个长度单位
D . 向右平移个长度单位
8. （2分）(2020·晋城模拟) 双曲线的渐近线于圆相切，且该双曲线
过点，则该双曲线的虚轴长为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2017高一下·静海期末) 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）
A . ﹣15
B . ﹣9
C . 1
10. （2分） (2019高二下·上海月考) 下列命题中，真命题的个数是（）
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长都相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④相邻两个面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
⑤各侧面是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥；
⑥三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则这个棱锥的三条侧棱长相等.
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
11. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）
A .
B .
C . 1
D .
12. （2分） (2017高三上·集宁月考) “ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高三上·广东月考) 已知向量，若，则
________．
14. （1分） (2015高一下·南通开学考) 如果 = ，那么tanα=________．
15. （1分） (2016高一下·潮州期末) 在区间[﹣1，4]内任取一个实数a，则方程x2+2x+a=0存在两个负数根的概率为________
16. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 在△ABC中，|AB|=4，|AC|=2，∠A=60°，|BC|=________．
三、解答题 (共7题；共75分)
17. （10分）(2016·上饶模拟) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N* ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn= ，求{bn}的前n项和．
18. （10分） (2016高二下·丰城期中) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是，，，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率；
（2）签约人数ξ的分布列和数学期望．
19. （15分） (2017高二下·高青开学考) 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD．
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求锐二面角A﹣CD﹣E的余弦值．
20. （5分）已知动点M（x，y）到直线l：y=4的距离是它到点N（0，1）的距离的2倍．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点P（3，0）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求|AB|．
21. （15分） (2015高三上·石家庄期中) 已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（1）已知函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）在（1）的结论下，对于任意的0＜a＜b，证明：＜﹣1．
22. （10分）(2017·广安模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．
23. （10分） (2019高一上·湖北期中) 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），
销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共75分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、19-3、
20-1、21-1、21-2、
21-3、22-1、22-2、
23-1、23-2、。
广西数学高三理数4月模拟考试试卷
广西数学高三理数4月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·赤峰模拟) 已知集合， B={a，b} ，若，则（）A . 0B .C .D .【考点】2. （2分）(2020·湖南模拟) 已知复数，复数，给出下列命题：① ；② ；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4【考点】3. （2分） (2016高一下·义乌期末) 已知向量、，其中| |= ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则向量和的夹角是（）A .B .C .D . π【考点】4. （2分）若变量x,y满足约束条件则的最大值为（）A . 4B . 3C . 2D . 1【考点】5. （2分） (2020高一下·高安期中) 一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A .B .C .D .【考点】6. （2分） (2018高二上·云南期中) 在正方体中, 分别为棱和棱的中点,则异面直线和所成的角为（）A .B .C .D .【考点】7. （2分）下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）【考点】8. （2分） (2020高二上·绿园期末) 已知点为椭圆：的下顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .【考点】9. （2分） (2019高三上·天津月考) 设函数 =sin（）( ＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：① 在（）有且仅有3个极大值点② 在（）有且仅有2个极小值点③ 在（）单调递增④ 的取值范围是[ )其中所有正确结论的编号是（）A . ①④B . ②③C . ①②③D . ①③④【考点】10. （2分） (2020高一上·石景山期末) 从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）A .B .C .D .【考点】11. （2分） (2017高一下·西安期中) 数列的通项公式是，若前项的和为，则项数为（）．A .B .C .D .【考点】12. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2016高二上·南宁期中) 已知等比数列{an}中，a1•a2•…•a5=32，则a3=________．【考点】14. （1分） (2017高三上·南充期末) 若直线l过抛物线x2=﹣8y的焦点F，且与双曲线在一、三象限的渐近线平行，则直线l截圆所得的弦长为________．【考点】15. （1分） (2017高三上·珠海期末) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．【考点】三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）若（x+ ）n的展开式所有的系数之和为81，则直线y=nx与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为________．【考点】四、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二下·汕头期中) 在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2 ．（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；（Ⅱ）若c= ，求S△ABC的最大值．【考点】18. （10分） (2017·枣庄模拟) 某公司有A、B、C、D、E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6．已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、D两辆汽车每天出车的概率均为，五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：工作日星期一星期二星期三星期四星期五限行车牌尾号0和51和62和73和84和9例如，星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行．（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】19. （10分） (2019高三上·成都开学考) 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【考点】20. （10分） (2017高二上·扬州月考) 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于，两点.若直线斜率为时， .（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】21. （10分） (2019高二下·凤城月考) 已经函数 .（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.【考点】22. （10分）(2020·扬州模拟) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：，求直线l被曲线C截得的弦长.【考点】23. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 设函数（1）解不等式（2）若在上有实数解,求的取值范围.【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷(解析版)
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.故选：C2. 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为，故复数的共轭复数为.故选：B.3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）12142a 2c 242a c =⨯14c a =()i 67i -76i +76i -67i +67i--()i 67i -()2i 67i 6i 7i 76i -=-=+()i 67i -76i -()cos5f x x =15A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为.故选：A ．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B 【解析】【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A 错；当时，由平行性质可知，必有，故B 对；如图，当时，或，故C 错；当时，可相交、平行，故D 错.故选：B..()cos 51y x =+1cos 55y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()cos 51y x =-1cos 55y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos5(cos(51)5y x x =+=+,l m ,αβ;l m αβ⊂⊂l m αβα βl βl m ⊥l β⊥αβ⊥l m//l m αβ//αβ//l βl m ⊥//l βl ⊆βαβ⊥,l m5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.【详解】对于A ，，其定义域为，不符合题意；对于B ，，在上为减函数，不符合题意；对于C ，，在上单调递减，不符合题意；对于D ，，在上单调递增，符合题意；故选：D .6. 已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，则圆柱的高为，由，可得，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选：B7. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（）A. B. C. D. ()0,2()f x =()22f x x x=-()1f x x=()14f x x=()f x =[1,)+∞()22f x x x =-(01),()1f x x=()0,2()14f x x ==()0,2MM 'O 32MM 'O 3252MM 'r O R MM 'r O R MM '2r 2333π2334π223r r r R R ⋅==1r R=MM 'O 222222π4π334π22r r r R R +==0x =()()2f x x x a =-a (),0∞-3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A .8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，0x =32()f x x ax =-2()32f x x ax '=-23()3a x x =-()0f x '=0x =23a x =0x =203a≠203a<203a x <<()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 0x =203a >203a x <<()0f x '<()f x 0x <()0f x '>()f x 0x =203a<a<0x y ()()1122,,,,x y x y ()()()55,,6,28,0,28x y 7ˆ101667yx =+()6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =,x y ,x y ,x y ,x y ''51140ii y==∑140285y ¢==2844y m mx '--'==又这两对数据为，所以，所以，所以故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合和关系的Venn 图如图所示，则可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据Venn 图可知 ，依次判定选项即可.【详解】根据Venn 图可知 ，对于A ，显然 ，故A 正确；对于B ，，则，故B 错误；对于C ，，则 ，故C 正确；对于D ，，或，则 ，故D 正确.()()6,28,0,28()114056287y =⨯+=()17166310x y =⨯-=760281654x mx m ---'==⇒=M N ,M N {}{}0,2,4,6,4M N =={}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣{}{}lg ,e 5xM xy x N y y ====+∣∣(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣N M N M N M {}11,{1}M xx N x x =-<<=>-∣∣M N ⊆{}{}0,5M xx N y y =>=>∣∣N M (){,M x y y x ==∣}y x =-(){},,N x y y x ==∣N M故选：ACD10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A 错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B 正确；，当且仅当时等号成立，，C 正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D 错．故选：BC ．ABC ,,A B C ,,,a b c O ABC 1cos ,25A AO ==1144AO AB AC=+ 3AB AC ⋅≤ABC a 1133AO AB AC =+AB AC ⋅u u u r u u u rAB AC O ABC AO BC D D BC 22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+1133AO AB AC =+ 3AB AC AO +=22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==5AB AC AB AC=⋅ 225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ 3AB AC ⋅≤ AB AC = 15cos AB AC AB AC A ⋅⋅=≤ AB AC = sin A ==11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= 22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= a ≥AB AC =a11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的周期为2D. 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据函数图象的变换性质判断即可；对B ，由题意计算即可判断；对C ，由A 可得，由B 可得，进而可判断C ；对D ，由结合与的对称性可得，进而，结合C 中的周期为4求得，进而可得.【详解】对A ，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A 正确；对B ，，，又，故.即，故图象关于直线对称，故B 正确；对C ，由A ，，且，的R ()f x ()()224f x f x x +--=()23f x -()2,1()00f =()f x ()1,1()()2g x f x x =-2x =()()2g x f x x =-()()()12502499f f f +++= ()()220g x g x +--=()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()224f x f x x +--=()00f =()f x ()()()()0,1,2,3f f f f ()()()()0,1,2,3g g g g ()g x ()()()1250g g g +++ ()()()1250f f f +++L ()23f x -()2,1()3f x -()4,1()f x ()1,1()()()()2222224g x f x x f x x -=---=-+-()()()()2222242g x f x x f x x +=+-+=+--()()224f x f x x +--=()()()()222240g x g x f x f x x +--=+---=()()22g x g x +=-()()2g x f x x =-2x =()()22f x f x +=--()()22f x f x -=-又因为，故，即，故，即.由B ，，故，故的周期为4，故C 错误；对D ，由，的图象关于点对称，且定义域为R ，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.【答案】200【解析】【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故答案为：200.()()224f x f x x +--=()()224f x f x x ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4fx f x x --=()()()22f x x f x x -=---()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()()4g x g x g x =-=+()()2g x f x x =-()00f =()f x ()1,1()11f =()22f =()()224f x f x x +--=1x =()()134-=f f ()35f =()()2g x f x x =-()()000g f ==()()1112g f ==--()()2224g f ==--()()3361g f =-=-()g x ()()400g f ==()()()()()()()()()125012123412g g g g g g g g g ⎡⎤+++=⨯+++++⎣⎦ ()1241251=⨯---=-()()()12245010051f f f -+-++-=- ()()()()502100125024..100515124992f f f ⨯++++=+++-=-= ()()()()1,2,3,4g g g g ()g x 2356C C 200=13. 已知，则__________.【答案】1或-3【解析】【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由 可得，所以 或，即 或，当时，当 时，，故答案为：1或-3.14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故答案为：2.2sin sin2αα=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 0α=sin 2cos αα=πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭2sin sin2αα=2sin 2sin cos ααα=sin 0α=sin 2cos αα=tan 0α=tan 2α=tan 0α=πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭tan 2α=πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭12,F F 22:1412x y E -=M E 2F 12F MF ∠,N O ON =221412x y -=2a =2F N 1MF H 2MH MF =2NH NF =O 12F F 1121111()()2222ON F H MH MF MF MF a ==-=-==四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【小问1详解】设的公差为，则，，又，所以，所以，．小问2详解】由（1）得，所以．16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.【{}n a 26a ={}1n n a a ++10a 2111n n n n b a a a -+=+{}n b n n S 21228n S n n <++1022a =d 1a n n S {}n a d 1212()()24n n n n n n a a a a a a d +++++-+=-==2d =26a =1624a =-=42(1)22n a n n =+-=+1022a =11114(44(1)(2)412n b n n n n n n =+=-+++++2212111(1)111()42222422284(2)8n n n n S b b b n n n n n n +=+++=-+⨯=++-<++++ [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）； （2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【小问1详解】由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；【小问2详解】从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.a [)[)30,40,80,90[)80,90X X 0.00564.5()2E X =a X 10(30.010.0150.032)1a +⨯++=0.005a =(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+[)[)30,40,80,90[)30,400.05620.050.1⨯=+[)80,90X ()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()632436C C 13C 5P X ===X XP 153515()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 2,AB E ===CD（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析． （2【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则为PBC ⊥PAE D AP E --AB O ,OP OC PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z AB O ,OP OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC ADC △E CD ,OC AB AE CD ⊥⊥OC AB ==//OC AE //CE AOAOCE AB ==222PA PB AB+=PA PB ⊥PAB112PO AB ==PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z (1,0,0)B (0,0,1)P C (1,0,0)A -(E -(D -(1,0,1),1),(1,0,1),(1),(1)PB PC PA PE PD =-=-=--=--=--PBC (,,)m x y z =，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；【小问2详解】设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为【解析】PB m x z PC m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =m = PAE 000(,,)n x y z =r0000000PA n x z PE n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 0=x n = 3030m n ⋅=+-= m n ⊥ PBC⊥PAE PAD (,,c)t a b =200PD t a c PA t a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 1b =t = D AP E --θθcos cos t θ= 2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42my x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-()f x ,P Q ()y f x =P Q ,P Q ()y f x =PQ ()y f x =（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．【小问1详解】不是，理由如下：的52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()y g x =()cos h x x =PQ ()y h x =PQ 12,,,n k k k ()123,4,5,,i k k k i n >>= 12158k k <2y x =+()g x '1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''22x x '<111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-1x 11112cos sin π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =1x 15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-12cos 01cos x x <<由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，，对应的切点为，2()2f x x x '=-+2()21f x x x'=-+=11x =22x =3(1)2f =-(2)2ln 22f =-3(1,2P -(2,2ln 22)Q -P 312y x +=-52y x =-Q 2ln 222y x -+=-42ln 2y x =-+52y x =-52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+12e ,0()4,0x x g x x x+⎧≤>'⎪=⎨⎪⎩1e (0)x y x +=≤24(0)y x x =>1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<P 11111e e ()x x y x x ++-=-Q 222244(6)()y x x x x --=-1112211224e 44e (1)6x x x x x x ++⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩2x 111(1)121e (1)4e 60x x x ++--+=1(1)12()e(1)4e6x x t x x ++=--+0x ≤111(1(1)1)1222()e 2e e [e 2]0x x x x t x x x ++++'=-=-<）()t x (1)0t -=()0t x =0x ≤=1x -111(1)121e(1)4e60x x x ++--+=11x =-22x =(1,1)P -11y x -=+2y x =+(2,4)Q 42y x -=-2y x =+2y x =+1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．22x x '<(cos )sin x x '=-111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=11111111111cos cos cos(π)cos 2cos (π)π2x x x x x k x x x x x '----===---'-22222222222cos cos cos(3π)cos 2cos (3π)3π2x x x x x k x x x x x '----===---'-21ππ2x x -<<<-2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-11112cos sin π2x k x x -==--22222cos sin 3π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-2223πcos ()sin 2x x x =-ππ2x -<<-sin 0x <cos 0x <cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =222222sin cos 1cos ()110sin sin sin x x xF x x x x--'=+=-+=-<()F x π(π,)2--5π5ππ(0662F -=--<15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-211cos cos 0x x -<<<12cos 01cos x x <<221122113π3π3π(π)cos 15222πππ5πcos 8()2226x x k x k x x x ----=⋅<<=----1122(,),(,)x y x y 121212()()y y f x f x x x 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广西2024届高三4月模拟考试数学试卷
广西2024届高三4月模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．14D 2．()i 67i -的共轭复数为（ ） A ．76i +B ．76i -C ．67i +D ．67i --3．把函数()cos5f x x =的图象向左平移15个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()cos 51y x =+B ．1cos 55y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()cos 51y x =-D ．1cos 55y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且;l m αβ⊂⊂，下列命题为真命题的是（ ） A ．若l P m ，则αP β B ．若αP β，则l P β C ．若l m ⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，则l P m5．下列函数中，在()0,2上单调递增的是（ ）A ．()f x =B ．()22f x x x =-C ．()1f x x=D ．()14f x x =6．已知轴截面为正方形的圆柱MM '的体积与球O 的体积之比为32，则圆柱MM '的表面积与O 球的表面积之比为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．527．已知0x =是函数()()2f x x x a =-的极小值点，则a 的取值范围为（ ）A ．(),0∞-B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．在研究变量x 与y 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据()()1122,,,,x y x y L ，()()()55,,6,28,0,28x y ，利用此样本数据求得的经验回归方程为7ˆ101667yx =+，现发现数据()6,28和()0,28误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为ˆ4yx m =+，且51140i i y ==∑则m =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20二、多选题9．若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则,M N 可能是（ ）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣ C ．{}{}lg ,e 5x M xy x N y y ====+∣∣ D ．(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣ 10．已知ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 为ABC V 的重心，1cos ,25A AO ==，则（ ）A ．1144AO AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．3AB AC ⋅≤u u u r u u u rC ．ABC V 的面积的最大值为D ．a 的最小值为11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()224f x f x x +--=.若()23f x -的图象关于点()2,1对称，且()00f =，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,1对称B ．函数()()2g x f x x =-的图象关于直线2x =对称C ．函数()()2g x f x x =-的周期为2D ．()()()12502499f f f +++=L三、填空题12．智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案. 13．已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14．已知12,F F 分别是双曲线22:1412x y E -=的左､右焦点，M 是E 的左支上一点，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 为坐标原点，则ON =.四、解答题15．在等差数列{}n a 中，26a =，且等差数列{}1n n a a ++的公差为4. (1)求10a ； (2)若2111n n n n b a a a -+=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：21228n S n n <++. 16．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].整理得到如下频率分布直方图.(1)求a 的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)从成绩在[)[)30,40,80,90内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在[)80,90内的村民人数为X ，求X 的分布列与期望. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o，2,AB E ==是CD 的中点.(1)证明：平面PBC ⊥平面PAE.(2)求二面角D AP E --的余弦值.18．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，已知点F 到圆22:(3)1E x y ++=上一点的距离的最大值为6. (1)求抛物线C 的方程.(2)设O 是坐标原点，点()2,4,,P A B 是抛物线C 上异于点P 的两点，直线,PA PB 与y 轴分别相交于,M N 两点（异于点O ），且O 是线段MN 的中点，试判断直线AB 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.19．定义：若函数()f x 图象上恰好存在相异的两点,P Q 满足曲线()y f x =在P 和Q 处的切线重合，则称,P Q 为曲线()y f x =的“双重切点”，直线PQ 为曲线()y f x =的“双重切线”.(1)直线52y x =-是否为曲线()2122ln 2f x x x x =-+的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩求曲线()y g x =的“双重切线”的方程；(3)已知函数()cos h x x =，直线PQ 为曲线()y h x =的“双重切线”，记直线PQ 的斜率所有可能的取值为12,,,n k k k L ，若()123,4,5,,i k k k i n >>=L ，证明：12158k k <.。
广西数学高三理数4月模拟考试试卷
广西数学高三理数4月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·广西月考) 已知集合，则有（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·九台期中) 已知复数z满足 ( 为虚数单位)，则等于（）A .B . 1C . 2D .3. （2分）已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·临澧月考) 已知定义在上的函数满足：① ；②对任意的都有；③对任意的、且时，总有．记，则不等式的解集为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高三上·天津月考) 设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（）A .B .C . 16D . 176. （2分）(2019·永州模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 20B . 24C . 26D . 307. （2分） (2018高三上·荆门月考) 执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A . 2B .C .D . 18. （2分）用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是（）A . 168B . 180C . 204D . 4569. （2分）(2020·杨浦期末) 对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是（）A . 若则B .C .D .10. （2分）在正方体中，下列几种说法正确的是（）A .B .C . 与DC成45°角D . 与成60°角11. （2分）(2020·沈阳模拟) 已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（）A . 1B .C . 2D .12. （2分）已知ax≤xlnx﹣x+1对任意x∈[ ，2]，恒成立，则a的最大值为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高二上·吴起期中) 若x、y满足则的最小值为________．14. （1分）(2018·宁德模拟) 已知向量，的夹角为，，，则________．15. （1分）(2017·邯郸模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x0 ， 2）（x0＞）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x= 截得的弦长为 | |，若 =2，则| |=________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2016高二上·宁远期中) 在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2 x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．17. （15分）(2020·南京模拟) 五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和3不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求的概率分布和数学期望．18. （10分） (2019高三上·广东月考) 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为 .（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.19. （10分） (2019高一上·北辰月考) 已知函数 .（1）若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.20. （10分）(2017·甘肃模拟) 若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ= ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求| |21. （10分） (2020高二下·商丘期末) 函数，，（1）若函数，求函数的极值．（2）若在恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：答案：21-1、考点：。
2020届4月桂林市、崇左市高考数学模拟试卷(理)(有答案)
广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知两集合A={x|x2+x﹣2≤0}，B={x|}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．（，1]C．[﹣2，0）∪（，1]D．[1，+∞）2．复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若向量，满足：||=1，（ +）⊥，（3+）⊥，则||=（）A．3 B．C．1 D．4．由曲线y=x2和曲线y=围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．5．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是（）A．B．1 C．D．26．一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．2πB．4πC．6+（2+）πD．（4+2）π7．某次考试无纸化阅卷的评分规则的程序如图所示，x1，x2，x3为三个评卷人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3=（）A．11 B．10 C．8 D．78．不等式组的解集为D，下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3 D．∀（x，y）∈D，x+2y≥29．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（）A．B．C．D．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC=AC=CC1，则CN与AM所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．11．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．512．定义域为{x|x≠0}的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在区间（0，+∞）上单调递增，若m满足f（log3m）+f（log m）≤2f（1），则实数m的取值范围是（）A．[，1）∪（1，3]B．[0，）∪（1，3]C．（0，]D．[1，3]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且，则的最小值为．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．20．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式]24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知两集合A={x|x2+x﹣2≤0}，B={x|}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．（，1]C．[﹣2，0）∪（，1]D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤1，即A=[﹣2，1]，由B中不等式变形得：＜0，即＞0，等价于x（2x﹣1）＞0，解得：x＜0或x＞，即B=（﹣∞，0）∪（，+∞），则A∩B=[﹣2，0）∪（，1]，故选：C．2．复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．3．若向量，满足：||=1，（ +）⊥，（3+）⊥，则||=（）A．3 B．C．1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质求得1+=0，3+=0，从而求得||的值．【解答】解：∵向量，满足：||=1，（ +）⊥，∴•（+）=+=1+=0，∴=﹣1．∵（3+）⊥，∴3+=﹣3+=0，∴=3，||=，故选：B．4．由曲线y=x2和曲线y=围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）【考点】定积分．【分析】利用积分求阴影的面积，找到积分上下限，和积分函数．【解答】解：有图可知阴影的面积S===．故选：A5．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是（）A．B．1 C．D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，所得函数的解析式为y=sinω（x﹣），再根据正弦函数的图象的对称性，求得ω的值．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，可得y=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣）的图象，再根据所得图象关于点对称，可得ω••﹣=kπ，k∈Z，求得ω=2k，k∈Z，结合所给的选项，可取ω=2，故选：D．6．一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．2πB．4πC．6+（2+）πD．（4+2）π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半．∴该几何体的表面积=++=6+π．故选：C．7．某次考试无纸化阅卷的评分规则的程序如图所示，x1，x2，x3为三个评卷人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3=（）A．11 B．10 C．8 D．7【考点】程序框图．【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选：C．8．不等式组的解集为D，下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3 D．∀（x，y）∈D，x+2y≥2【考点】全称命题．【分析】化简不等式组，即可得出正确的结论【解答】解：∵不等式组，∴，∴，∴x+2y≥0；即x+2y≥﹣2．∴若的解集为D时，∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立．故选：B．9．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（）【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，设直线AB的方程为：y=k，（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（2p+pk2）x+=0，由x A+=3，由|BC|=2|BF|，可得=，可得x B．再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：如图所示，设直线AB的方程为：y=k，（k≠0）．联立，化为：k2x2﹣（2p+pk2）x+=0，∴x A x B=．∵x A+=3，∵|BC|=2|BF|，∴=，可得x B=．∴=，解得p=．故选：B．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC=AC=CC1，则CN与AM所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CN 与AM所成角的余弦值．【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=AC=CC1=2，则C（0，0，0），N（1，0，2），A（2，0，0），M（1，1，2），=（1，0，2），=（﹣1，1，2），设CN与AM所成角为θ，则cosθ===．∴CN与AM所成角的余弦值为．故选：B．11．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m ﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e==5，故选：D12．定义域为{x|x≠0}的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在区间（0，+∞）上单调递增，若m满足f（log3m）+f（log m）≤2f（1），则实数m的取值范围是（）A．[，1）∪（1，3]B．[0，）∪（1，3]C．（0，]D．[1，3]【考点】函数单调性的性质．【分析】由条件求得f（x）为偶函数，原不等式即为f（|log3m|）≤f（1），由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则由|log3m|≤1，且log3m≠0，解出即可．【解答】解：∵f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0则令x=y=1可得f（1）=f2（1），即有f（1）=1．令x=y=﹣1，则f（1）=f2（﹣1）=1，则f（﹣1）=1．令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）f（﹣1）=f（x），即有f（x）为偶函数．由f（log3m）+f（）≤2f（1），可得f（log3m）+f（﹣log3m）≤2f（1），即2f（log3m）≤2f（1），即f（|log3m|）≤f（1），由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则|log3m|≤1，且log3m≠0，解得≤m＜1或1＜m≤3．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的求和公式和已知条件可得公差d的方程，解方程可得d，由通项公式可得a6的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S5=12，∴S5=5a1+d=10+10d=12，解得d=，∴a6=2+5×=3，故答案为：3．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且，则的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，如图所示根据，可得=0，求得x=y．化简为（x﹣1）2+3，利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：如图，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立坐标系，如图所示：则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D （0，2），设点P（x，0）、Q（2，y），x、y∈[0，2]，∴=（x，﹣2），=（2，y）．由，可得=2x﹣2y=0，即x=y．∴=（x﹣2，﹣2）•（x﹣2，﹣y）=（x﹣2）2+2y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3，则的最小值为3，故答案为：3．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得BD，再由正弦定理求得sin∠ABD的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cosC，进而求得sinC，最后根据三角形的面积公式可得答案．解得，由正弦定理，，所以=．（Ⅱ）在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以7=4+4﹣2×2×2cosC，，因为C∈（0，π），所以，所以，△BCD的面积．18．为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）通过频率分布直方图第四组第五组的频率．再由频率之比和互斥事件的和事件的概率等于概率之和求解即可．（2）设抽取的顾客人数为n，求出n．尺码落在区间（43.5，45.5]的人数为3人，得到X可能取到的值，然后求出概率，得到期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图第四组第五组的频率分别为0.175，0.075．再由频率之比和互斥事件的和事件的概率等于概率之和：P=0.25+0.375+0.175=0.8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设抽取的顾客人数为n，则由已知可得n=40．尺码落在区间（43.5，45.5]的人数为3人，所以可知X 可能取到的值为0，1，2．又尺码落在区间（37.5，39.5]的人数为10人，所以：P（X=0）=，P （X=1）=，P（X=2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以X的数学期望EX=﹣﹣﹣﹣19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧面BPC 与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB，又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴OP==1，OC==，∴PC2=OP2+OC2，∴OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（），=（），=（0，﹣1，1），=（，﹣1），设=（x，y，z）是平面BPC的一个法向量，则，取x=1，得=（1，），设平面DPC的一个法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，），∴cos＜＞===，∴侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值为．20．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知可得动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C1的方程．（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为y=2tx﹣t2，联立方程组，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，点P满足∴动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2…∴动点P的轨迹C1的方程为．…（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为：y﹣t2=2t（x﹣t），整理，得y=2tx﹣t2，联立方程组，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，…有，而，点M到PQ的高为，…由代入化简得：即；当且仅当t2=10时，S△MPQ可取最大值．当直线的斜率不存在时，x=t，S△MPQ=．∴S△MPQ最大值．…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把a=4代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（0）和g′（0），由直线方程的点斜式得切线方程；（2）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e x f（x），分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，g（x）=（﹣x2+4x﹣3）e x，g（0）=﹣3．g′（x）=（﹣x2+2x+1）e x，故切线的斜率为g′（0）=1，∴切线方程为：y+3=x﹣0，即y=x﹣3；（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，xf'（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增①当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，∴f（x）min=f（t）=tlnt；②当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，∴；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，，令，．当x，h（x），h′（x）变化如下：x 1 （1，e）h′（x）﹣0 +h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增∵，h（1）=4，h（e）=，．∴关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，则．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH 分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．【解答】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．[选修4-5：不等式]24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c2≥3。
广西高三下学期4月月考数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ）{}210A x x =-≤{}20B x x a =-≥A B B ⋃=A ． B ．(],2-∞-[)2,-+∞C ．D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】求出，，根据，得到，从而得到不等式，{}11A x x =-≤≤{}2B x x a =≥A B B ⋃=A B ⊆求出实数a 的取值范围.【详解】，，{}{}21011A x x x x =-≤=-≤≤{}{}202B x x a x x a =-≥=≥因为，所以， A B B ⋃=A B ⊆故，解得：，21a ≤-12a ≤-故选：D2．若复数z 满足方程，则（ ） 2460z z -+=z =A ．B ．C ．D ．222-±2-【答案】B【分析】根据在复数范围内，实系数一元二次方程的解法求解即可．【详解】由，得，则，故． 2460z z -+=2(2)2z -=-2z -=2z =故选：B ．3．某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，四居室住户占.如图2，这是用分2913层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）450n =B ．被调查的所有市民中四居室住户共有150户C ．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户D ．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户 【答案】D【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，所以，2921004509n =÷=四居室住户有户，三居室住户有200户，故A ，B 正确；14501503⨯=用分层抽样的方法抽取的二居室住户有户，故C 正确；1000.220⨯=用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有户，故D 错误. 2000.20.520⨯⨯=故选：D4．若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系()2N nx n *⎛∈ ⎝52x 数为（ ） A ．32 B ． C ．16 D ．32-16-【答案】B【分析】运用二项式系数最大项求出n 的值，再运用二项展开式的通项公式计算即可.【详解】∵的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大， (2nx 1n +∴， 1132n ++=∴， 4n =∴的第项为，（），4(2x 1r +4134422144C (2)()C 2(1)r r r r r r r r T x x x ----+=-=-0,1,2,3,4r =∴令，解得：，35422r -=1r =∴，即：展开式中项的系数为. 551312224C 2(1)32T x x =-=-52x 32-故选：B.5．如图，在中，，则（ ） ABC A 26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==AB AD ⋅=A ．18B ．9C ．12D ．6【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数量积的定义、运算性质求解即可.【详解】，即， 2()2B D C BD BD C →→==-23BD BC →→=，22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC →→→→→→→→→→⎛⎫∴=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭.2212122π663cos 6333333123AB AD A A B AB AB AC AB C →→→→→→⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎭+⎝ 故选：D6．函数的图像大致为（ ）()e3xf x x=A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】函数为奇函数，排除BD ，计算，排除C ，得到答案. ()f x ()()21f f >【详解】由题可得，的定义域为，，()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()()e3xf x f x x-==--故函数为奇函数，排除BD ； ()f x ，，，排除C ， ()e 13f =()2e 26f =()()21f f >故选：A ．7．函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A ．，0 B ．，1 C ． D ．，03-2-31--，2-【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值即可． k 【详解】函数，可得， 2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，， (,2)x ∈-∞-(0,)+∞()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减． ()f x (,2)-∞-(0,)+∞(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点， (k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或， k 3k =-1k =-故选：．C 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题． 8．高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共123100++++L 1100101+=299101+=5051101+=有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是501015050⨯=借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探{}n a 120231a a =求：若，则（ ） 24()1f x x =+()()()122023f a f a f a +++= A ．2023 B ．4046C ．2022D ．4044【答案】B【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】根据等比数列的下标性质由，12022024311n n a a a a -⋅=⇒⋅=∵函数，∴， 24()1f x x =+222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x 令，则，()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ∴，∴． ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a =++++++=⨯ 4046T =故选：B9．在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且P 12,F F ，则的面积为（ ） 12120PF F ∠=︒12PF F △ABCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边12PF F △长，再利用面积公式即可求得的面积.12PF F △【详解】由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和1222F F c ==1c =P 12,F F 等于4，即，所以， 1224PF PF a +==2a =在中，，12PF F △12120PF F ∠=︒由余弦定理得：，()()2222211211212222cos 4424PF PF F F PF F F PF F PF PF =+-⋅∠=-++-整理得，所以，则，故的面积21028PF =2145PF =165PF =12PFF △. 1211212116sin 2225PF F S PF F F PF F =⋅⋅∠=⨯⨯=A 故选：D.10．双曲线的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线()2222:10x y C a b a b-=>>AP ，AQ 的斜率之积为，则C 的离心率为（ ）14-A BCD ．2【答案】A【分析】设，则，化简可得，结合，即00(,)P x y ()00,Q x y -2022014AP AQ y k k a x ==--224a b =2222a b e a +=可求得答案.【详解】由题意知双曲线左顶点为，设，则， (,0)A a -00(,)P x y ()00,Q x y -则有， ()()200022000AP AQy y y k k x a x a a x =⋅=+-+-又，将代入中，得， 2200221x y a b -=()2220202b x a y a -=2022014APAQ y k k a x ==--2214b a =即，所以，故 224a b =22222254c a b e a a +===e =故选：A.11．已知球O 的体积为，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面截球O 和圆锥所125π6α25πA ．2BCD ．【答案】C【分析】根据给定条件，求出球O 半径，平面截球O 所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再α求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. α【详解】球O 半径为R ，由得，平面截球O 所得截面小圆半径，由34π125π36R =52R =α1r得21128π5πS r ==1r =因此，球心O 到平面的距离，而球心O 在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平α1d r ===面所成的角为，α45 因圆锥的高为1，则球心O 到圆锥底面圆的距离为，于是得圆锥底面圆半径132d =，2r ===令平面截圆锥所得截面为等腰，线段AB 为圆锥底面圆的弦，点C 为弦AB 中点，如αPAB A 1O 图，依题意，，，，145CPO ∠=111CO PO ==PC =AB ==所以. 212AB S PC =⋅=故选：C【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.12．函数，则关于函数有下列四个结论：()31sin sin 344f x x x =+()f x①的一个周期为；②的最小值为③图像的一个对称中心为；④()f x 2π()f x ()f x π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间内为增函数．()f x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①②④D ．②③【答案】C【分析】化简，对于①可以利用周期性定义判定；对于②④，均利用导数法()33sin sin 2f x x x =-判定其单调性得出结果；对于③，可通过判定的奇偶性得出结果.()f x 【详解】由题意可得：()()3131sin sin 3sin sin cos 2cos sin 24444f x x x x x x x x =+=++， ()()()223313sin sin 12sin 2sin 1sin sin sin 442x x x x x x x =+-+-=-显然，故①正确；()()2πf x f x +=， ()213cos sin 3cos cos cos 2f x x x x x x ⎛⎛⎫'=⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝令得，此时单调递增，；()0f x ¢>cos x ⎛⎫⎫∈ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ ()f x令得，此时单调递减；()0f x '<cos 1,x ⎛⎛∈- ⎝⎝ ()f x即在时取得极小值，此时函数值均为，()f x cos x =cos x =即②正确；而时，，此时单调递增，即④正确； π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()f x 对于，故是奇函数，关于原点中心对称，()()33sin sin 2f x x x f x -=-+=-()f x 由的周期性可得的对称中心为，事实上，即③错误，()f x ()f x ()2π,0k π03f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭综上正确的是：①②④ 故选：C【点睛】关键点睛：本题考察三角函数综合，难度较大.关键在于先化简得，()33sin sin 2f x x x =-利用导数研究其单调性及最值时注意统一变量及整体代换的意识，减小计算量.二、填空题13．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】/ 120.5【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1214．若直线与曲线相切，则___________. 2y x a =-2ln y x b =+a b +=【答案】2【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设切点坐标为，由曲线可得， ()00,x y 2ln y x b =+2y x'=则，解得，所以000002222ln x y x a y x b⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩00122x y a a b =⎧⎪=-⎨⎪-=⎩2a b +=故答案为：215．在四棱锥中，底面为梯形，，，点在侧棱上，点P ABCD -ABCD //AB DC 2AB CD =M PC 在侧棱上运动，若三棱锥的体积为定值，则_____ Q AP -M BDQ PMMC=【答案】2【分析】根据给定条件，由面积为定值，借助等体积法确定平面即可计算作答. MBD A //PA MBD 【详解】在四棱锥中，点是侧棱上的定点，则面积为定值， P ABCD -M PC MBD A 三棱锥的体积为定值，因此点到平面的距离为定值， -M BDQ M BDQ Q MBD V V --=Q MBD，MBD如图，连接，连接，平面平面，而平面， AC BD N ⋂=MN PAC MBD MN =PA ⊂PAC 因此，有，梯形中，，，则， //MN PA PM ANMC NC =ABCD //AB DC 2AB CD =2AN AB NC CD==所以. 2PMMC=故答案为：216．在平面直角坐标系中，点，满足的动点M 的轨迹为C ，若直线xOy ()6,0A :2:1MA MO =上存在点P ，在曲线C 上存在两点D ，E ，使得，则实数a 的取值范围是:60l x ay a -+=PD PE ⊥______． 【答案】[]1,7-【分析】先求出动点的轨迹方程，然后上存在两点D ，E ，使得成立,则点到圆心M C PD PE ⊥P，列式计算可求实数a 的范围. 【详解】设，因为，， (,)M x y ()6,0A ()0,0O又因为,，:2:1MA MO ==平方得，()222264()x y x y -+=+化简可得：，动点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆， ()22216x y ++=M (2,0)C -因为直线过定点，:60l x ay a -+=(0,6)若在直线上存在点，在上存在两点D ，E ，使得， :60l x ay a -+=P C PD PE ⊥当D ，E 为圆的切点时点， P所以点， P，,42670a a --≤解之可得：，17a -≤≤所以实数的取值范围是， a [1,7]-故答案为：.[1,7]-三、解答题17．为了进一步提升基层党员自身理论素养，强化基层党组织建设质量，市委组织部举办了主题为“夯实基础抓党建，心怀使命 立新功”的党建主题知识竞赛（满分120分）从参加竞赛的党员中采用分层抽样的方法，抽取若干名党员，统计他们的竞赛成绩得到下面的频率分布表： 成绩/分[)70,80 [)80,90 [)90,100 [)100,110[]110,120频率0.10.30.30.20.1已知成绩在区间内的有15人．[)90,100(1)将成绩在内的定义为“优秀”，在内的定义为“良好”．请将下面的列联表补充[]90,120[)70,9022⨯完整，并判断是否有99.9%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关，说明你的理由．(2)若在抽取的竞赛成绩为优秀的党员中任意抽取2名党员进行党建知识宣讲，设为抽到的竞赛成ξ绩在内的人数，求的分布列及数学期望． []110,120ξ男党员 女党员 总计优秀 良好 15 总计25，．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析，没有，理由见解析(2)分布列见解析， ()13E ξ=【分析】（1）按条件填写二联表，依据公式计算即可；（2）先计算的所有可能取值为0，1，2，依次计算其对应概率，得出分布列，按照离散型随机变ξ量的均值计算即可.【详解】（1）设样本容量为n ，则，解得．故成绩优秀的党员人数为150.3n=50n =，成绩良好的党员人数为()0.30.20.15030++⨯=503020-=男党员 女党员 总计优秀 20 10 30 良好 5 15 20 总计 252550()225020151058.33310.82830202525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯故没有99.9%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关．（2）因为竞赛成绩在，，内的人数分别为15，10，5，所以随机变量[)90,100[)100,110[]110,120ξ的所有可能取值为0，1，2，且，， ()225230C 200C 29P ξ===()11255230C C 251C 87P ξ===()25230C 22C 87P ξ===所以的分布列为ξ ξ01 2P20292587287故． ()2025210122987873Eξ=⨯+⨯+⨯=18．如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ，ABCDMN ABCD //AB CD AB =， 为矩形.BC DC ⊥BC DC AM DM ====BDMN(1)求证：平面平面；ADM ⊥ABCD (2)线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加MN H H AD M --4πH 以证明.【答案】(1)见解析 (2)点为线段的中点 H MN【分析】（1）要证明平面平面，转证平面即可； ADM ⊥ABCD BD ⊥ADM （2）建立空间坐标系，利用向量法能求出存在点，利用二面角为大小为，即可得H H AD M --4π到结果.【详解】（1）由平面几何的知识得，， 2BD =2AD =又在中，满足， AB =∴ABD △222AD BD AB +=为直角三角形，且．ABD ∴A BD AD ⊥四边形为矩形，．BDMN BD DM ∴⊥由，，， BD AD ⊥BD DM ⊥DM AD D = 得平面． BD ⊥ADM 又平面，BD ⊂ABCD 平面平面．∴ADM ⊥ABCD （2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点．H H AD M --4πH AB 事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐D DA x DB y D ABCD z 标系，D xyz -则，0，，，0，，，2，，，0，，(0D 0)(2A 0)(0B 0)(1M 1)设，，，由，即，，，2，， (H x y )z MH MN DB λλ==1(-x y 1)(0z λ-=0)得，，．(1H 2λ1)设平面的一个法向量为，，，ADH (n x =y )z ，0，，，，，(2DA = 0)(1DH =2λ1)则，取，得，1，． ·20·20n DA x n DH x y z λ⎧==⎨=++=⎩1y =(0n =2)λ-平面的一个法向量为，1，．ADM (0m =0)二面角为大小为，H AD M --4π．cos|cos ,|4m n π∴=<>=解得或（舍去）．12λ=12λ=-当点为线段的中点时，二面角为大小为．∴H MN H AD M --4π19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.ABC A A B C a b c ()sin sin sin b c CB A b a-=-+（1）求； A （2）若，求的最小值. 2a =11tan tan B C+【答案】（1）；（23π【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到，再利用余弦定理，求得222b c a bc +-=cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得2bc a ≤，即可解. 22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R aR B R C B bcC ⋅⋅==⋅+【详解】（1）由，可得，()sin sin sin b c CB A b a-=-+()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+由正弦定理得，即，()()()b c c b a b a -=-+222b c a bc +-=由余弦定理，得， 2221cos 22b c a A bc +-==因为，可得.0A π<<3A π=（2）由（1）知，设三角形的外接圆的半径为，可得3A π=R 2sin a R A ==又由余弦定理得， 222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥即，当且仅当时取等号，24bc a ≤=2b c ==又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+=，()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅=≥其中是外接圆的半径， R ABC A所以11tan tan B C +20．已知动圆M 经过点，且动圆M 被y 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C ． ()2,0N (1)求曲线C 的标准方程；(2)设点M 的横坐标为，A ，B 为圆M 与曲线C 的公共点，若直线AB 的斜率，且0x 1k =[]00,4x ∈，求的值． 0x 【答案】(1) 24y x =(2)08x =-【分析】（1）设，则点M 到y 轴的距离为，再根据圆M 被y 轴截得的弦长，即可得出(),M x y x 答案；（2）设，，直线AB 的方程为，联立方程，利用韦达定理求出211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x m =+，，设线段AB 的中点为T ，点M 的纵坐标为，则，由此可求出，再根12y y +12y y 0y MT AB ⊥m 据圆M 经过点，即可得解.()2,0N 【详解】（1）设，则点M 到y 轴的距离为， (),M x y x 因为圆M 被y 轴截得的弦长为4，所以，224MN x =+又，所以，化简可得， ()2222MN x y =-+()22242x x y +=-+24y x =所以曲线C 的标准方程为；24y x =（2）设，， 211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线AB 的斜率，所以可设直线AB 的方程为， 1k =y x m =+由及，消去x 可得， y x m =+24y x =2440y y m -+=则，所以，16160m ∆=->1m <所以，， 124y y +=124y y m ==设线段AB 的中点为T ，点M 的纵坐标为，则，，0y ()2,2T m -MT AB ⊥所以直线MT 的斜率为，所以， 1-()00212y x m -=---所以，00200444m x y yy ==----所以AB ==易得圆心M 到直线AB 的距离， 02d y=-由圆M 经过点，可得()2,0N AB ==所以， ()24200003234422416y y y y ⎛⎫⎡⎤+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦整理可得，解得4200643200y y -+=2032y =+2032y =-所以或， 08x =+08x =-又，所以．[]00,4x ∈08x =-【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标Q x y P 0x 0y P ()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；Q （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到x y x y t方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.21．已知函数，，若在处取得极小值．()()ln =-+xf x xe a x x 0x >()f x 0x x =（1）求实数的取值范围； a （2）若，求证：． ()00f x >()03002f x x x >-【答案】（1）；（2）证明见解析.()0,∞+【解析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()()()1x x xe a f x x+-'=a 在区间上的单调性，结合已知条件可得出实数的取值范围；()y f x =()0,∞+a （2）由极值点的定义可得出，由可得出，构造函数可00xx e a =()00f x >001x <<()ln 1p x x x =-+得出，构造函数可得出，进而可得出，即00ln 1x x <+()1x q x e x =--001xe x >+()()200021f x x x >-可证得结论成立.【详解】（1）依题意，，，()()ln =-+xf x xe a x x 0x >．()()()1111x x x f x x e a xe a x x +⎛⎫'=+-+=⋅- ⎪⎝⎭①当时，则，函数在上单调递增，函数无极小值， 0a ≤()0f x ¢>()y f x =()0,∞+()y f x =所以不符题意；0a ≤②若，令，，，0a >()x g x xe a =-0x >()()10xg x x e '=+>故函数在上单调递增，()y g x =()0,∞+又，，()00g a =-<()()10ag a a e =->据零点存在性定理可知，存在，使得，， ()00,x a ∈()00g x =()00f x '=且当时，，，函数在上单调递减； 00x x <<()0g x <()0f x '<()y f x =()00,x 当时，，，函数在上单调递增. 0x x >()0g x >()0f x ¢>()y f x =()0,x +∞所以在处取得极小值，所以符合题意． ()f x 0x x =0a >综上所述，实数的取值范围是；a ()0,∞+（2）由（1）可知，当时，存在，使得，即．0a >()00,x a ∈()00g x =00xx e a =又，即，所以．()00f x >()0000ln 0x x e a x x -+>()00001ln 0xx e x x -->因为，，所以，即． 00x >00x e >001ln 0x x -->00ln 10x x +-<令，，， ()ln 1h x x x =+-0x >()110h x x'=+>故函数在上单调递增，又，据，可得． ()y h x =()0,∞+()10h =()00h x <001x <<令，，， ()ln 1p x x x =-+01x <<()110p x x'=->故函数在上单调递增，()y p x =()0,1所以，故，其中．()()10p x p <=ln 1x x <-01x <<令，，．()1xq x e x =--01x <<()10x q x e '=->故函数在上单调递增，()y q x =()0,1所以，故，其中．()()00q x q >=1x e x >+01x <<所以，()()()()()0200000000001ln 11121x f x x e x x x x x x x x =-->+---=-⎡⎤⎣⎦结合，可得． 001x <<()03002f x x x >-【点睛】本题考查利用函数存在极值点求参数的取值范围，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t 为参数），以坐标原点xOy l4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为，直线经过点A ．曲线C2,6π⎛⎫⎪⎝⎭l 的极坐标方程为．2sin 4cos ρθθ=（1）求直线的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； l（2）过点作直线的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求的值． )Pl 11PD PE-【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C 的直角坐标方程为；（2）． l 2y =-24y x =12【解析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出的值，再转化成普通方程；在曲线a 方程两边同时乘以，即可得到答案；ρ（2）设直线的参数方程为（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答DE 12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩案；【详解】解：（1）由题意得点A 的直角坐标为，将点A 代入得)4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩则直线的普通方程为．l 2y -由得，即． 2sin 4cosρθθ=22sin4cos ρθρθ=24y x =故曲线C 的直角坐标方程为．24y x =（2）设直线的参数方程为（t 为参数），DE 12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入得． 24y x=20t +-=设对应参数为，对应参数为．D 1tE 2t 则，．12t t +=-12t t =-10t >20t <∴． 121212*********2t t PD PE t t t t t t +-=-=+==【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 23．已知函数． ()||||(0,0)f x x a x b a b =-++>>（1）当时，解不等式； 1a b ==()2f x x <+（2）若的值域为，证明：．()f x [3,)+∞22428(1)a b b a b +++≥+【答案】（1）；（2）证明见解析． {02}xx <<∣【分析】（1）在，，三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可； 1x <-1<1x ≤-1x ≥（2），结合的值域为，可知．因此有()||||||f x x a x b a b =-++≥+()f x [3,)+∞3a b +=，从而证明出题设不等式. 22(1)8(1)2241(1)(1)a b a b a b a b ⎧++≥++≥=⎪⇒⎨≥⎪+++≥⎩⎩【详解】（1）当时，不等式为， 1a b ==|1||1|2x x x -++<+当时，不等式化为，此时不等式无解；1x <-2223x x x -<+⇒>-当时，不等式化为，故； 1<1x ≤-220x x <+⇒>01x <<当时，不等式化为，故．1x ≥222x x x <+⇒<12x ≤<综上可知，不等式的解集为． {02}x x <<∣（2），()||||||f x x a x b a b =-++≥+当且仅当与异号时，取得最小值， x a -x b +()f x ||a b +∵的值域为，且，，故．()f x [3,)+∞0a >0b >3a b +=（当且仅当时取等号），(1)22a b ++≥=12a b =+=∴．22(1)8a b ++≥又∵时取等号）， (1)a b ++≥12a b =+=∴，∴，(1)4a b +≤41(1)a b ≥+∴，224(1)9(1)a b a b +++≥+∴．22428(1)a b b a b +++≥+【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题.。
广西高三下学期数学4月模拟测试试卷
广西高三下学期数学4月模拟测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高三上·天津月考) 已知全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α//β是“l//β”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A . 6π+12B . 10π+36C . 5π+36D . 6π+184. （2分） (2019高二上·河南期中) 设正实数，满足 , ，不等式恒成立，则的最大值为A .B .C . 8D . 165. （2分）已知等差数列中，，则的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 646. （2分） (2019·武威模拟) 圆的圆心到直线的距离为1，则（）A .B .C .D . 27. （2分）(2020·西安模拟) 正三角形中，是线段上的点，，，则（）A .B .C .D .8. （2分）若直线mx+2ny-4=0始终平分圆的周长，则mn的取值范围是（）A . (0,1)B . (0，－1)C . (－∞，1)D . (－∞，－1)9. （2分）(2020·西安模拟) 过抛物线C：y2＝4x的焦点F ，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l ，则M到直线NF的距离为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·宁波期末) 设函数f（x）=log2x+ax+b（a＞0），若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，则t的最小值是（）A . 2B . 1C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一上·湖南期末) 已知函数，则 =________．12. （1分） (2019高三上·杭州月考) 展开式中，项的系数为________；所有项系数的和为________.13. （1分） (2017高三上·孝感期末) 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．14. （1分） (2020高一下·铜川期末) 已知函数，，有以下结论：①的图象关于轴对称；② 在区间上单调递增；③ 图象的一条对称轴方程是；④的最大值为2.则上述说法中正确的是________.（填序号）三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则 ________.16. （1分） (2019高二下·临川月考) 在矩形中，，，沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，则 ________.17. （1分）(2020·宿迁模拟) 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则的长度为________．四、解答题 (共5题；共55分)18. （10分） (2016高一下·咸阳期末) 已知函数f（x）=sinx+ cosx．求：（1） f（x）图象的对称中心的坐标；（2） f（x）的单调区间．19. （10分）(2017·湖南模拟) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20. （10分） (2018高三上·河南期中) 已知等差数列的前n项和为，且，首项为1的数列满足．（1）求数列的通项公式及其前n项和；（2）求数列的前n项和．21. （10分） (2019高二上·城关月考) 在中，角的对边分别为，若向量，，且，（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.22. （15分） (2019高二上·江都月考) 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距的两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点处（异于两点）的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设．（1）试将表示为的函数；（2）若，且时，取得最小值，试求的值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、双空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共55分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
广西高三理数4月模拟联考试卷附解析
高三理数4月模拟联考试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.2.设复数z满足〔其中i为虚数单位〕，那么复数z在复平面内对应的点所在的象限为〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设x，y满足约束条件那么的最小值为〔〕A. -1B. -2C. -6D. -44.假设圆与圆相交，那么正实数a的取值范围为〔〕A. B. C. D.5.根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如下表，那么以下说法错误的选项是〔〕A. 降雨天数逐年递增B. 五年内三个月份平均降雨天数为41天C. 从第二年开始，每一年降雨天数比照前一年的增加量越来越小D. 五年内降雨天数的方差为226.设抛物线与直线交于点M〔点M在第一象限〕，且M到焦点F的距离为10，那么抛物线C的标准方程为〔〕A. B. C. D.7.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为，且当窄口容器的容器口是半径为的圆时，漏斗顶点处伸入容器局部的高为，那么制造该漏斗所需材料面积的大小约为〔〕〔假设材料没有浪费〕A. B. C. D.8.在的展开式中，含项的系数是〔〕A. 25B. 30C. 35D. 409.如图是函数的局部图象，那么该函数图象与直线的交点个数为〔〕A. 8083B. 8084C. 8085D. 808610.定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，那么关于x的不等式的解集为〔〕A. B. C. D.11.设双曲线的左、右焦点分别为，点P〔异于顶点〕在双曲线C的右支上，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 可能是正三角形B. P到两渐近线的距离之积是定值C. 假设，那么的面积为8D. 在中，12.等比数列的前n项和为，记，假设数列也为等比数列，那么〔〕A. 12B. 32C. -16D. -8二、填空题13. ，那么________．14.向量满足，那么________．15.数列的前项和为，，当且时，那么________.16.三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，那么三棱锥的外接球的外表积为________．三、解答题17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．〔1〕求B；〔2〕假设的面积是，，求b．18.如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，O是的中点，与全等．〔1〕证明：平面平面；〔2〕求二面角的正弦值．19.为了解企业职工对工会工作满意度情况之间的关系，某企业工会按性别采用分层抽样的方法，从全体企业职工中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的职工分别对工会工作进行评分，总分值为100分，调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，企业工会将男、女职工的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男职工评分结果的频数分布表为了便于研究，工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况〞，二者的对应关系如下：〔1〕求m的值；〔2〕为进一步改善工会工作，让职工满意，从评分在的男职工中随机抽取2人进行座谈，记这2人中对工会工作满意度“一般〞的人数为X，求X的分布列与数学期望；〔3〕以调查结果的频率估计概率，从该企业所有职工中随机抽取一名职工，求其对工会工作“比较满意〞的概率．20.椭圆：过点，短轴长为．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕过点的直线〔直线不与轴垂直〕与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点．求的面积的最大值．21.函数．〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕当时，假设，求实数的取值范围．22.在极坐标系中，三点，，.〔1〕假设A，B，C三点共线，求的值；〔2〕求过O，A，B三点的圆的极坐标方程.〔O为极点〕23.函数.〔1〕假设，求的最小值；〔2〕假设不等式有解，求实数的取值范围.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为全集，，所以．故答案为：D【分析】先求解全集U，再利用补集的定义求解即可。
2021年4月广西自治区普通高中2021届高三毕业班高考模拟考试数学(理)试题
绝密★启用前广西自治区普通高中2021届高三毕业班下学期4月高考模拟考试数学(理)试题2021年4月一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1B．2C．3D．64．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1B．C．D．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14]B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42B．﹣38C．38D．4210．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP 与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城,号称“桂林山水甲天下”,每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩,准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位,“象山景区”的门票为35元/位,其他2个景点的门票均为95元/位,则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．已知双曲线＝1（a＞0,b＞0）的左,右焦点分别为F1,F2,点P（x0,y0）为双曲线右支上任意一点,且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为,双曲线的离心率为3,则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量,随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客,每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25,100]之间,根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25,40）[40,55）[55,70）[70,85）[85,100]男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据,完成下列2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 18．已知数列{a n}满足a1＝1,a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．19．如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB＝2,AA1＝4,底面ABCD是菱形,∠BAD＝,平面CC1D1D⊥平面ABCD,BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为,且C经过点P（2,）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点,A为C的左顶点,过点F的直线l与C交于M,N两点（异于点A）,若△AMN的面积的范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0,+∞）上恒成立,求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*,e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M,N是C1与C2的公共点,点P的直角坐标为（0,1）,求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M,且正数a,b,c满足a2+b2+c2＝M,求a+2b+c的最大值．。
广西防城港市数学高考理数模拟考试试卷(4月)
广西防城港市数学高考理数模拟考试试卷（4月)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·邵东月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·汉中月考) 复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 已知向量，的夹角为，若，，则（）A .B .C .D .4. （2分）下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2018高二上·长安期末) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 月接待游客逐月增加B . 年接待游客量逐年增加C . 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6. （2分） (2016高一下·湖北期中) 等差数列的前4项之和为30，前8项之和为100，则它的前12项之和为（）A . 130B . 170C . 210D . 2607. （2分），则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A . 10B . 8C . 6D . 49. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多一名女生参加的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·高台期中) 若f（x）的图象向左平移一个单位后与y=ex的图象关于y轴对称，则f（x）解析式是（）A . ex+1B . ex–1C . e–x+1D . e–x–111. （2分）已知双曲线的离心率为e<2，则k的范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·山东模拟) 已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时，其导数f'（x）满足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2017高二下·故城期中) 设随机变量X～N（μ，σ2），且，，则P（0＜X＜1）=________．14. （1分） (2019高三上·上海期中) 已知周期为2的偶函数的定义域为，且当时，，则当时，的解析式为________15. （1分） (2017高三上·东莞期末) 轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是________．三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2016·江苏) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E ， F是AD上的两个三等分点， =4，=﹣1，则的值是________.四、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·广安模拟) 某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借（还）书等12345待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆借（还）书等12345待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？18. （10分）(2017·包头模拟) 在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．19. （10分）已知正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点．（1）求证：AB∥平面DFG；（2）求证：FG⊥平面BDE；（3）求该多面体体积．20. （10分）(2020·西安模拟) 已知椭圆：的上顶点为，右焦点为F ，连结TF并延长与椭圆交于点S ，且 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与x轴交于点M，过点M的直线AB与交于A、B两点，点P为直线上任意一点，设直线AB与直线交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.21. （10分）(2020·潍坊模拟) 已知函数 .（1）求在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求k的取值范围；（3）求证：当时，不等式成立.22. （10分） (2019高三上·金台月考) 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.23. （10分） (2016高一下·临川期中) 某矩形花坛ABCD长AB=3m，宽AD=2m，现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域，AB、AD分别延长至E、F并使E、C、F三点共线．（1）要使三角形AEF的面积大于16平方米，则AF的长应在什么范围内？（2）当AF的长度是多少时，三角形AEF的面积最小？并求出最小面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共1题；共1分)16-1、四、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。