厦门市-学年第一学期高二期末质量检测-理科数学
福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题
【市级联考】福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题“p q ∨”为真，“p ⌝”为真，则下列说法正确的是（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假 2．双曲线2241x y -=的渐近线方程是（ ）A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若525S =，3718a a +=，则{}n a 的公差d 等于（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．24．若实数x ，y 满足约束条件20,0,10,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．-7B ．-1C ．1D ．35．若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b a <+<B ．22a b a +<<C ．22a b a +<<D ．22a a b <<+ 6．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CE =（ ）A ．12a b c --+B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．12a b c +- 7．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积是（ ） AB．CD．8．已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤< 9．已知01a <<，则141a a +-的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．1010．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1111a =，112n n n a S S ++=⋅，则n S 的最大值为（ ） A ．-1 B ．13C ．1D ．2 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD AP ==，1AB BC ==，点E 是棱PD 的中点，PC 与平面ABE 交D 于点F ，设PF PC λ=,则λ=（ ）A ．512B ．12C ．23D ．3412．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经'Γ与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的'Γ去掉，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若214t t =，则Γ与'Γ的离心率之比为（ ）A ．B ．1:2C ．2:3D ．3:4二、填空题13．对任意x ∈R ，都有20x x m ++>，则实数m 的取值范围是______.14．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米.15．已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，122n n n a a -=+，212n n n a a +=-，则12S 等于______.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c cos sin B b A =.（1）求角B 的大小；（2）AD 是BC 边上的中线，若AD AB ⊥，2AB =，求AC 的长.18．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1+a 3=10，S 4=30.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n =2a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．如图，四边形ABEF 是矩形，//AD BC ，AB BC ⊥，且2AB BC ==，1AD AF ==，3CF =（1）证明：AF ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A DF C --的余弦值.20．设O 为坐标原点，抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点M (a,4)在C 上，|MF |=4.（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若l 与圆H:(x −1)2+y 2=14相切，求ΔAOB 的面积21．某公司计划在办公大厅建一面长为a 米的玻璃幕墙.先等距安装x 根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为m 米的玻璃造价为()250100m m +元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y 元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当56a =时，怎样设计能使总造价最低？22．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左焦点为1F ，右顶点为()2,0B，1BF .（1）求Γ的方程；（2）过点1F 且与x 轴不重合的直线l 与Γ交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别与直线:(0)l x m m <'=交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过点1F .（ⅰ）求l '的方程；（ⅱ）记BMN ∆，1F PQ ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p 是假命题，又“p q ∨”为真命题，进而可得q 是真命题．【详解】 解：命题“p ∨q ”和命题“非p ”均为真命题，p ∴为假命题，q 为真命题，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．2．B【解析】【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．【详解】解：双曲线2244x y -=即2214x y -=，其中a=2，b=1， 故其渐近线方程是：12b y x x a =±=±． 故选B ．【点睛】 本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．3．D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得123453525a a a a a a ++++==，解可得35a =，又由3718a a +=，可得713a =，由等差数列的通项公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，等差数列{}n a 中，若525S =，即123453525a a a a a a ++++==， 则35a =，又由3718a a +=，则713a =，则等差数列{}n a 的公差7324a a d -==； 故选D【点睛】本题考查等差数列的性质以及前n 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题． 4．C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由201x y y -+=⎧⎨=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，解得(1,1)A -， 代入目标函数2z x y =+得2411z =⨯-=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．A【解析】【详解】根据基本不等式，2a b +≥=,又a ≠b,2a b ∴+>;由a>b ，易知a+b<a+a=2a,故22a b a <+<.故选A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题．6．A【分析】由空间向量的线性运算法则可得1111CE CC C D D E =++，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+. 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.7．C【分析】先根据正弦定理求出角C ，从而求出角A ，再根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可．【详解】解：由c AB ==，2b AC ==，30B ∠=︒， 根据正弦定理sin sin b c B C =得：1sin 2sin 2c B C b ===， C ∠为三角形的内角，60C ∴∠=︒或120︒，90A ∴∠=︒或30在ABC ∆中，由c =，2b =，90A ∠=︒或30则ABC ∆面积1sin 2S bc A ==故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8．D【分析】根据p 是q 的必要条件，列不等式方程确定实数a 的取值范围．【详解】解：设满足p 的实数集合为M,满足q 的实数集合为N ， p 是q 的必要条件⇒N M ，即21221a a -≤⎧⎨>+⎩解得112a -≤<. 故选D.【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.9．C进行等式变换后，根据基本不等式求解.【详解】由01a <<，根据基本不等式，()()4114141559111a a a a a a a a a a -⎛⎫⎡⎤+=-++=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭. 当且仅当()411a a a a-=-，即23a =时有最小值9. 故选C.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用．属于基础题.10．C【分析】 由11n n n a S S ++=-，将已知项变形得1n n S S +-=12n n S S +⋅，同除以1n n S S +-⋅，可得出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而得出n S ，再利用单调性即可得解.【详解】 解：112n n n a S S ++=⋅∴1n n S S +-=12n n S S +⋅，等号两侧同除以1n n S S +-⋅，得到1112n nS S +-=-, 又11111a S ==, 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11为首项，以-2为公差的等差数列.故 ()11121132nn n S =--=-， 1132n S n∴=-，由单调性可知，当n=6时，n S 的最大值为1. 故选C.本题考查了数列n S 与n a 的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题. 11．C【解析】【分析】将平面ABE 延展,再利用三角形相似得出点F 位置，从而得解.【详解】解：过点D 作垂直于平面ABCD 的直线交AE 延长线于点M ，连接MP 、MB ， 由题意知PA ⊥平面ABCD ，PA=AD,且E 为DP 中点，所以四边形MPAD 为正方形，////BC AD MP ∴,∴M,P,B,C 四点共面，MB 与PC 交与点F.MPF BCF ∴∆∆∽12CF BC BC FP MP AD ∴===,∴F 为PC 三等分点(靠近点C) 又PF PC λ=， 23PF PC ∴=λ=. 故选C.【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.12．B【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系. 【详解】解：如图，由双曲线定义得：212BF BF m -= ①，由椭圆定义得：212AF AF a += ②， ②-①得：1122BA AF BF a m ++=-；所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为22a m - 对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为()()1112124AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以()4422a a m =-，所以2a m =. 所以12:::1:2c ce e m a a m===. 故选B. 【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题. 13．14m >【分析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.根据题意，m 需满足方程2x x m ++=0无解，即∆<0，140m -<14m ⇒>故答案为14m >. 【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.14．【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案． 【详解】解：由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30AD m =， 30cos30BC AB ∴===︒．故答案为【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题． 15．24y x = 【解析】 【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP =⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x ay b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为24y x =.本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题. 16．131 【解析】 【分析】根据122132n n n a a -++=⋅计算得出11S ，再依次计算出3612,,a a a 的值，遂得出12S 的值.【详解】解：根据122132n n n a a -++=⋅，()()()()24511123451011331222 3.296S a a a a a a a =+++++++=+++++==，12632a a =+，634a a =+，3121a a =-=-，从而1235a =，12131S =.故答案为131. 【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.17．（1）3π（2）【解析】 【分析】（1cos sin sin A B B A =，由于sin 0A ≠，可得：tan B =()0,B π∈，可求B 的值．（2）由三角形面积公式可求2b ac =，进而利用余弦定理可得222ac a c =+，即可解得ac的值． 【详解】解：（1）在ABC ∆cos sin B b A =cos sin sin A B B A =， ∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，sin B B =，即tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）在ABD ∆中，AB AD ⊥，2AB =，3B π=，∴2cos60AB BD BD︒==， ∴4BD =，∵AD 是ABC ∆的中线，∴8BC =，在ABC ∆中，由余弦定理得AC=【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）a n =2n （2）T n =2−n+22n【解析】 【分析】（1）由已知得到a 2+a 4的值，再利用q =a 2+a4a 1+a 3得出q 的值，进而得到a 1的值，即得到数列的通项；（2）由（1）可得到b n ，再利用错位相减，可得解. 【详解】解：（1）∵a 1+a 3=10，S 4=30，∴a 2+a 4=20，∴q =a 2+a4a 1+a 3=2，∴a 1+a 3=a 1+a 1q 2=5a 1=10，即a 1=2， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n .（2）由a n =2a n b n 得2n =2a n b n ，即a n b n =n ，∴b n =n2n ，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n =12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n ，①12T n =122+233+324+⋯+n−12n +n 2n+1，②由①-②得12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1， ∴T n =1+12+122+123+⋯+12n−1−n 2n=1−(12)n 1−12−n 2n =2−n+22n.【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题. 19．（1）详见解析（2）13- 【分析】（1）根据勾股定理，求得AC 长度，结合FA,FC 长度，从而证明FA ⊥AC ，又由FA ⊥BA,故FA ⊥平面ABCD;（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面ADF 和平面FCD 的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值. 【详解】解：（1）∴AC ==∴(2222219AC AF CF +=+==，即222AC AF CF +=，∴90FAC ∠=︒，即FA AC ⊥. ∵四边形ABEF 为矩形，∴AF AB ⊥. ∵AB AC A ⋂=，AB ，AC ABCD ⊂平面， ∴AF ABCD ⊥平面.（2）∵//AD BC ，AB BC ⊥，∴AB AD ⊥， ∵AF AB ⊥，AF AD A ⋂=，∴AB ADF 平面⊥， ∴AB ，AD ，AF 两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B -，()2,2,0C -，()0,1,0D ，()0,0,1F ，∴()2,2,1FC =--，()0,1,1FD =- ∵AB ADF 平面⊥，∴平面ADF 的一个法向量()2,0,0AB =-设平面FCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n FC n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩， 取2y =，则1x =，2z =，()1,2,2n =， ∴221cos ,321AB n AB n AB n⋅-+===⋅+，∴二面角A DF C --的余弦值为13-. 【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想. 20．（1）y 2=8x （2）16 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解. 【详解】解：（1）由抛物线定义，点M 到准线的距离a +P2=4① ∵点M 在抛物线上，∴16=2p ⋅a ② 由①②解得p =4， ∴抛物线方程为y 2=8x .（2）设直线l 方程为x =my +2，A(x 1,y1)，B(x 2,y 2)， ∵直线l 与圆(x −1)2+y 2=14相切，∴2=12，即m 2=3由{y 2=8x x =my +2 ，得y 2−8my −16=0， ∴S ΔAOB =12|OF |⋅|y 1−y 2| =√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.21．（1）2100640050(,1a y x a x N x =++∈-且2)x ≥；（2）安装8根立柱时，总造价最小. 【分析】（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式； （2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】解：（1）依题意可知1a x m =-，所以1am x =-， ()2506400100111a a y x x x x ⎡⎤⎛⎫=++-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2100640050,21a x a x N x x =++∈≥-且（2）()2210064005010064150640011a a y x a x a x x ⎡⎤=++=-+++⎢⎥--⎣⎦ ∵x N ∈，且2x ≥，∴10x ->.∴50640016506400y a a ≥+=+，当且仅当()26411a x x -=-，即18a x =+时，等号成立，又∵56a =，∴当8x =时，min 98800y =. 所以，安装8根立柱时，总造价最小. 【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.22．（1）22143x y +=；（2）（ⅰ）4x =-；（ⅱ）1(0,]2. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；（2）（ⅰ）设M,N 坐标分边为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为1x ty =-，结合椭圆方程可得BM 、BN 方程，并得出点P 、Q 坐标的表达式，根据圆过点1F ，故向量110F P FQ ⋅=，列方程可得m 的值；（ⅱ）由（ⅰ），将BMN ∆，1F PQ ∆的面积1S ，2S 转换为1y 、2y 的表达式，相比可得出12S S 的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2222a a c abc =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，即2224c c b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴)2224b -=-，解得b =∴椭圆Γ的方程为22143x y +=.（2）（ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为1x ty =-.由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243690t y ty +--=，显然0∆>，且122643t y y t +=+，122943y y t -=+， 直线BM 方程为()1122y y x x =--，直线BN 方程为()2222yy x x =--， 令x m =，得()112,2y m P m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，()222,2y m Q m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，∵以PQ 为直径的圆过点1F ，∴11F P F Q ⊥，∴()()()()()()()()22121211121222112233y y m y y m F P FQ m m x x ty ty --⋅=++=++----()()()()222222222229292434311369189434343m m t t m m t tt t t----++=++=++--+++++ ()()222104m m -=+-=，∴23120m m +=，解得4m =-或0m =（舍去）， ∴l '的方程为4x =-.（ⅱ）由（ⅰ），112121322BMN S BF y y y y ∆=⋅⋅-=- ()()()()112211212122266339222222F PQ P Q y x y x y y S y y x x x x ∆-----=-=-=---- ()()()212121212232727433633443y y y y t y y ty ty t --===+---+，∴122210,432BMN FPQ S S S S t ∆∆⎛⎤==∈ ⎥+⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.。
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参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1-5：A C D B A 6-10：B A C D C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11．85； 12．17，5； 13．50； 14．4 三、解答题：本大题共3小题，共34分． 15．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知得圆C 的方程为()()22129x y -++=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分其圆心坐标为C ()12-，，半径 r =3 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 由点到直线的距离公式得圆心C 到直线l的距离d == ┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）∴弦AB的长为4AB === ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分∴ΔABC的面积为12s d AB =⨯⨯= ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图表得样本容量为4500.08=人， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 易得m =8，n =0.24． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分成绩在60.5～70.5分的学生频率为0.16，0.160.01610==频率组距， 成绩在90.5～100.5分的学生频率为0.24， 0.240.02410==频率组距，┈┈┈┈6分 补全频率．．分布直方图． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （Ⅱ）成绩在80.5~90.5分的学生频率为10.080.160.200.240.32----=，┈10分 由于有1000名学生参加了这次竞赛，所以获得三等奖的学生约为0.32⨯1000=320（人）．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意2222212a a b a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 解得a b == ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 所以双曲线的方程为222x y -=. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）12PF F ∆是直角三角形，（1）如果01290PF F ∠=或02190PF F ∠=，显然，点P 的横坐标为2或2-；┈8分 （2）如果01290F PF ∠=，设(,)P x y，设点1(F，点2F ，则1()F P x y =，2()F P x y = ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分∵12F P F P ⊥，∴120FP F P ⋅=即2(0x x y +=，即2250x y -+=，又222x y -=，∴27x =，∴点P的横坐标是 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 综合：12PF F ∆是直角三角形时，P 的横坐标为2±或B 卷（共50分）甲 卷四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 18．254； 19．8 20．19 21五、解答题：本大题共3小题，共34分．22．（本题满分10分）解：依题意得p 是真命题且q 是假命题，“方程2213x y m m+=-表示椭圆”是真命题， ∴0303m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 3032m m ∴<<≠且， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分“抛物线y =2924x mx ++与x 轴无公共点”是假命题，∴抛物线y =2924x mx ++与x 轴有公共点， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分2490m ∴∆=-≥ ，3322m m ∴≥≤-或， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分由题意得，30323322m m m m ⎧<<≠⎪⎪⎨⎪≥≤-⎪⎩且或 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 332m ∴<<. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 23．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）直线1l 的斜率112k =，直线2l 的斜率2ak b=． 设事件M 为“直线1l 与2l 平行”．a 、b 分别从集合A 中随机取数，数对(,)a b 的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,1)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，……，(5,6)，(6,6)共36种． ┈┈┈┈┈┈┈2分 若12l l ，即12k k =，即2b a =．满足条件的基本事件为有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三种情形．┈┈┈┈┈┈┈3分 所以31()3612P M ==． 答：直线1l 与2l 平行的概率112． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）设事件N 为“直线1l 与2l 的交点位于第一象限”，由于直线1l 与2l 有交点，则2b a ≠．联立方程组10,210ax by x y -+=⎧⎨--=⎩，解得2,212b x b aa yb a +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分因为直线1l 与2l 的交点位于第一象限，则0,0x y >⎧⎨>⎩，即20,2102b x b a a y b a +⎧=>⎪⎪-⎨+⎪=>⎪-⎩．解得2b a >．………8分 又[0,6]a ∈、[0,4]b ∈且随机取数，如图可得：=46=24S ⨯矩形；142OAB S OA AB ∆=⨯⨯= ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 41()246P N ==． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分答：直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率是16． 24．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)2aP y ，由点P 在椭圆上，得2234y b =．┈┈┈┈┈┈┈┈1分∴1||(a F P ==3分 ==2ca =+即1||2cF P a =+． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）曲线C 上存在00(,)M x y ，使12F MF ∆的面积2S b =那么2220020(1)12||(2)2x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩┈┈┈┈┈┈7分由⑵得20||b y c=，∴4222202()()0b b b x a a a c c c =-=-+≥，所以当且仅当2b a c≥时存在点M 使12F MF ∆的面积2S b =．┈┈┈┈10分∴2ac b ≥即22ac a c ≥-， ∴210e e +-≥，又01e <<，∴e ≥，即椭圆离心率的取值范围是e ≥．┈┈┈┈┈12分乙 卷四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 18．25419．88或 20．718 21五、解答题：本大题共3小题，共34分． 22．（本题满分10分）解：依题意得p 是真命题且q 是假命题，或q 是真命题且p 是假命题． （1）当p 是真命题，且q 是假命题时，p 是真命题，得(3)0m m -<⇒3m >或0m < ┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分q 是假命题，得2490m ∴∆=-≥∴32m ≥或32m ≤-， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 由题意知：33322m m m m >≥≤-⎧⎪⎨⎪⎩或<0或∴332m m >≤-或. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分（2）当q 是真命题且p 是假命题时，由（1）得033322m m <<-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分∴302m <≤┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分综合（1）（2）实数m 的取值范围是333022m m m ><≤≤-或或．┈┈10分23．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）直线1l 的斜率112k =，直线2l 的斜率2ak b=． 设事件M 为“直线12l l =∅”．a 、b 分别从集合A 中随机取数，数对(,)a b 的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,1)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，……，(5,6)，(6,6)共36种．┈┈┈┈┈2分 若12l l ，即12k k =，即2b a =．满足条件的基本事件为有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三种情形．┈┈┈┈┈3分 所以31()3612P M ==． 答：直线12l l =∅的概率112． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）设事件N 为“直线1l 与2l 的交点位于第一象限”，由于直线1l 与2l 有交点，则2b a ≠．联立方程组10,210ax by x y -+=⎧⎨--=⎩，解得2,212b x b aa yb a +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分因为直线1l 与2l 的交点位于第一象限，则0,0x y >⎧⎨>⎩，即20,2102b x b a a y b a +⎧=>⎪⎪-⎨+⎪=>⎪-⎩又注意到[]2,4b ∈-，20b +≥．得2,1,2b a a b >>->-⎧⎪⎨⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 又[2,4]a ∈-，[2,4]b ∈-且随机取数，如图可得：=66=36S ⨯矩形；192EFGS EF FG =⨯⨯= ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分91()364P N ==． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分答：直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率是14． 24．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)2aP y ，由点P 在椭圆上，得2234y b =．┈┈┈┈┈┈┈1分1||(a F P==3分==2ca =+即1||2cF P a =+． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）设T (,)x y ，当做||0PT =时点(,0)a 和(,0)a -在轨迹上； 当2||0||0PT TF ≠≠且时，由20PT TF ⋅=得2PT TF ⊥，又2||||PQ PF = ∴点T 为线段2F Q 中点．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 在12QF F ∆中11||||2OT FQ a ==， ∴222x y a +=，点T 的轨迹方程222x y a +=．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （Ⅲ）若曲线C 上存在点M ，使12F MF ∆的面积2S kb =，那么， 2220020(1)12||(2)2x y a c y kb⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩由⑵得20||kb y c =，∴24222202()()0k b kb kb x a a a c c c=-=-+≥， 当且仅当2kb a c≥时曲线C 上存在点M 使12F MF ∆的面积2S kb =．┈┈10分∴2ac kb ≥即22()ac k a c ≥-，解法一：∴20ke e k +-≥，∵0k >，∴e ≥e ≤又112e ≤<，对于每一个确定的e ，（※）式均成立， 12≤，解得23k ≤，即参数k 的取值范围是203k <≤． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 解法二：22ack a c ≤-2111e e ee==--， ∵112e ≤<，∴1130222e e <-≤-=，212113e e e e=≥--， ∵对于每一个确定的e ，（※）式均成立，∴203k <≤．。
福建省厦门市-学年高二上学期期末考试数学(理)试题(扫描版).pdf
课堂练习（选择题每题10分，共计40分） 1、（2012.肇庆市） 一种抗生素为粉末状固体，每瓶含0.5 g，注射时应配成质量分数为20%的溶液，则使用时每瓶至少需加入蒸馏水 （ ） A．1.5mL B．2mL C．3mL D．4mL 2、要配制100g 溶质质量分数为10％的氯化钠溶液，下列操作中正确是（ ） A.将10g氯化钠固体直接放在天平的托盘上称量 B.量取90ml水时，俯视读数 C.为加快固体溶解，用温度计搅拌溶液 D.将配好的溶液倒入细口瓶中，盖紧瓶塞，并贴上标签 3、 制作“叶脉书签”需要配制100g12％．．．． 4、（每空2分共计12分）下图是配制100g溶质质量分数为12％的NaCl溶液的实验操作示意图： (1)上图中的玻璃仪器分别是广口瓶、量筒、__________和_______________。
(2)指出图中的一处错误操作______________________________________________。
(3)配制时应选择________mL(10mL或50mL或100mL)的量筒量取所需要的水。
(4)用上述图示的序号表示配制溶液的操作顺序_________________ （1）需要称取氯化钠的质量是________________g，称量时A出现了右盘低的现象，接下来的操作应该是____________________。
①左边的平衡螺丝向左调 ②右边的平衡螺丝向右调 ③右盘中减少砝码 ④左盘中增加食盐 （2）B中仪器a的名称是___________________。
量取水时，如果按照图B的方法读数，会使配制的溶液溶质质量分数_______________（填“偏大”或“偏小”） （3）C中用玻璃棒搅拌的作用是________________________。
（4）D中所贴标签有不妥之处，请划掉不妥的地方，并在方框中写出你认为适合的内容。
3、（每空2分共计10分）现有下列试剂：足量的氯化钠、足量的水，20克10%的氯化钠溶液，20克20%的氯化钠溶液，若配制25克16%的氯化钠溶液，请用5种不同的方法进行配制。
福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题及答案
福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为60°，则2l 的斜率为（ ）A B ．C D ．2．等差数列{}n a 中，466a a +=，84a =，则2a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．24．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线28y x =，从点()14,A y 发出一条平行于x 轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点()24,B y ，则光线从A 出发到达B 所走过的路程为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．145．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（ ）A ．1.2mB ．1.3 mC ．1.4 mD ．1.5 m6．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( )A B CD ．7．在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=°，则OB 与AC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（ ）AB ．23CD ．12二、多选题9．圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，则r 的值可以是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．曲线2:14x C y y +=，则（ ）A ．C 上的点(),x y 满足x ∈R ，1y ≤B ．C 关于x 轴、y 轴对称 C ．C 与x 轴、y 轴共有3个公共点D ．C 与直线2xy =只有1个公共点 11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，1CA CB CC ==，D ，E ，M 分别为11B C ，1CC ，1AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则( )A ．1MN BC ⊥B ．存在点N ，MN ⊥平面1BC N C ．MN ∥平面1A DED ．存在点N ，MN DE ∥12．设函数()21,0,1,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩数列{}n a 满足()1n n a f a +=，则（ ）A ．当112a =时，1n a < B ．若{}n a 为递增数列，则11a > C ．若{}n a 为等差数列，则10a ≤ D ．当12a =时，12311111na aa a ++++< 三、填空题13．写出直线210x y ++=的一个方向向量m =______．14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到C，则C 渐近线方程为______．15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n 个图案中所有着色的正方形的面积之和为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =______．四、双空题16．圆()()22:224C x y -+-=与x 轴相切于点A ．点B 在圆C 上运动，则AB 的中点M 的轨迹方程为______（当点B 运动到与A 重合时，规定点M 与点A 重合）；点N 是直线0x y +=上一点，则MN AN +的最小值为______． 五、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，120OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =．(1)求直线BC 的方程；(2)记OAB 的外接圆为圆M ，若直线OC 被圆M 截得的弦长为4，求点C 的坐标．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，点P 在棱1BB 上．(1)若112BP PB =，证明：1D O 与平面PAC 不垂直； (2)若1D O ⊥平面PAC ，求平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0M ，直线l x ⊥轴，垂足为H ，HN NM =，圆N 过点O ，与l 的公共点的轨迹为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过M 的直线与Γ交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB ．21．2017年复门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m （0m >）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记1a ，2a ，3a ，…(1)∥写出一个递推公式，表示1n a +与n a 之间的关系； ∥证明：{}50n a m +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)为了提前5年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？ 参考数据：141.02 1.32≈，151.02 1.35≈，161.02 1.37≈22．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，焦点()1,0F ，A ，B 是Γ上关于原点对称的两点，ABF 的周长的最小值为4+ (1)求Γ的方程；(2)直线F A与Γ交于点M（异于点A），直线FB与Γ交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．参考答案：1．D 【解析】 【分析】直线12l l ⊥,斜率乘积为1-， 斜线斜率等于倾斜角的正切值. 【详解】1tan60k =︒121k k ，所以2k =.故选：D. 2．B 【解析】 【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答. 【详解】在等差数列{}n a 中，因466a a +=，84a =，而2846a a a a +=+，于是得246a +=，解得22a =，所以22a =. 故选：B 3．A 【解析】 【分析】由共面定理列式得AB x AC y AD =+，再根据对应系数相等计算. 【详解】因为,,,A B C D 四点共面，设存在有序数对(),x y 使得AB x AC y AD =+，则()()a b x a c y b c λ+=+++，即()a b xa yb x y c λ+=+++，所以得1,1x y λ===-.故选：A 4．C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】 如图所示：焦点为()2,0F ，设光线第一次交抛物线于点A '，第二次交抛物线于点B '，A B ''过焦点F ，准线方程为：2x =-，作AA ''垂直于准线于点A ''，作BB ''垂直于准线于点B ''， 则AA A B B B ''''++，AA A F B F B B ''''=+++，AA A A B B B B ''''''''=+++， 6612AA BB ''''=+=+=，故选：C 5．B 【解析】 【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可. 【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B. 6．C【解析】 【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∥()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∥()0,2,2AP =-- 又()1,0,1m =-，∥AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅=== ∥P到l 距离2||(d AP -= 故选：C. 7．B 【解析】 【分析】以{,,}OA OB OC 为空间的一个基底，求出空间向量求,OB AC 的夹角即可判断作答. 【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC 不共面，则AC OC OA =-，令1OA OB OC ===， 依题意，1()cos90cos602AC OB OC OA OB OC OB OA OB ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设OB 与AC 所成角的大小为θ，则||1cos |cos ,|2||||AC OB AC OB AC OB θ⋅=〈〉==，而090θ<≤，解得60θ=，所以OB 与AC 所成角的大小为60. 故选：B 8．A 【解析】 【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =，所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线， 由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =， 因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率e =． 故选：A. 9．BD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可. 【详解】对圆1C ，其圆心为()0,0，半径为r ；对圆2C ，其圆心为()2,0，半径为1，则122C C =，因为圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，故圆12,C C 外切或内切，则21r =+或21r =-，故可得1r =或3r =. 故选：BD . 10．ACD 【解析】 【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】220,:14x y C y +=表示椭圆在x 轴上方的部分，220,:14x y C y <-=表示双曲线在x 轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为2x y =， 故选项ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD. 11．AD 【解析】 【分析】A ：连接11,BCBC ，证明1BC ⊥平面1AB C 即可；B ：建立空间直角坐标系，判断MN 与BN 是否可能垂直即可； CD ：当N 是AC 中点时，MN ∥DE . 【详解】 A 选项：连接11,BC B C ，由题可知四边形11BCC B 是正方形，则11BC B C ⊥， 由题知平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∥AC ⊥平面11BCC B ，又111BC BCC B ⊂，∥1AC BC ⊥， 又1B C AC C ⋂=，1,B C AC ⊂平面1AB C ，∥1BC ⊥平面1AB C ， ∥MN ⊂平面1AB C ，∥1BC MN ⊥. 故A 正确； B 选项：如图建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝1CC ＝2，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A ，()12,0,2B ，()1,1,1M ，设()0,,0N t ，02t <<，则()2,,0BN t =-，()1,1,1NM t =-，若BN ∥MN ，则()0210BN NM t t ⋅=⇒-+-=，即220t t -+=，方程无实数根，即BN 与MN 不垂直，则不存在点N ，使得MN ⊥平面1BC N ，B 错误； C 选项：当N 是AC 中点时，MN ∥1B C ，1B C ∥DE ，∥MN ∥平面1A DE ；当N 不是AC 中点时，MN 和B 1C 相交，若MN ∥平面1A DE ，结合1B C ∥平面1A DE 可知平面1AB C ∥平面1A DE ，这显然与图形不符(1A E 与AC 相交)，故此时MN 与平面1A DE 不平行；故C 错误； D 选项：由C 项可知，N 为AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD. 12．AD 【解析】 【分析】分(],0n a ∈-∞，()0,1n a ∈，()1,n a ∈+∞，1n a =四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案. 【详解】解：∥(],0n a ∈-∞时，()110n n n a f a a +==-≤，∥()0,1n a ∈时，()()()211110,1n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+∈， ∥()1,n a ∈+∞时，()()211111n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+>，∥1n a =时，()2111n n n n a f a a a +==-+=，因此，11211,0,1,0n n nn a a a a a a +-≤⎧=⎨-+>⎩，有10a ≤时，11n n a a +-=-，10a >时，()211n n n a a a +-=-，对于选项A ，()110,12a =∈，1n a <，故A 正确；对于选项B ，{}n a 为递增数列时，则10n n a a +->，当0n a ≤时，110n n a a +=-≤，则110n n a a +-=-<，不符题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()2212110n n nn n a a a a a +-=-+=->， 所以10a >且11a ≠，综上10a >且11a ≠，故B 错误；对于选项C ，{}n a 为等差数列时，则1n n a a d +-=，（d 为常数）， 当0n a ≤时，11n n a a +=-，则11n n a a +-=-，符合题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()221211n n nn n a a a a a +-=-+=-， 要使()21n a -为常数，则10n a -=，所以11a =，综上10a ≤或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列），故C 错误；对于选项D ，12a =，211n n n a a a +-=-，有()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---， 则1212231111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n a a a a a a a a a 111111n a a +=---， 因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>-，所以121111111n a a a a ++⋅⋅⋅+<=-，故D 正确. 故选：AD ． 13．()1,2- 【解析】 【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量. 【详解】由题意可知，直线210x y ++=可以化为21y x =--， 所以直线的斜率为2-，直线的一个方向向量可以写为()1,2-.故答案为：()1,2-.14．y = 【解析】 【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为：b y x a =±，即0bx ay ±=，==b =，所以C 渐近线方程为y =.故答案为：y = 15．()819n-【解析】 【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得{}n a 的通项公式. 【详解】结合已知条件，归纳总结如下： 第一个图案中，着色正方形的面积即119a =； 第二个图案中，新着色的正方形面积是189a ，故着色正方形的面积即2118999a =+⨯；第三个图案中，新着色的正方形面积是289a ，故着色正方形的面积即231181899999a ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；第n 个图案中，新着色的正方形面积是189n a -，故着色正方形的面积即2111818189999999n n a -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故18199819nna ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-()819n -.故答案为：()819n-.16． ()()22211x y -+-=1 【解析】 【分析】将点M 的轨迹转化为以AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN +的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解. 【详解】依题意得()2,0A ，()2,2C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥， 所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为()2,1，2AC =， 所以点M 的轨迹方程为()()22211x y -+-=，圆心()2,1D ，设()2,0A 关于直线0x y +=的对称点为(),A m n '， 则有0122022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，所以()0,2A '-，所以由对称性可知MN AN +的最小值为111A D '-==．故答案为：()()22211x y -+-=1 17．(1)21n a n =-；(2)21n nT n =+. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解. (1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． (2)由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．0y +-=； (2)(2,. 【解析】 【分析】(1)延长CB 交x 轴于点N ，根据给定条件求出ANB ∠即可计算作答.(2)利用待定系数法求出圆M 的方程，再由给定弦长确定C 点位置，推理计算得解. (1)延长CB 交x 轴于点N ，如图，因120OAB ∠=︒，则60NAB ∠=︒，又2AB OA ==，则有(B ，又120ABC ∠=︒，于是得60ANB ∠=︒，则直线BC 的倾斜角为120°，直线BC的斜率BC k =)3y x -，即0y +-=所以直线BC0y +-=. (2)依题意，设圆M 的方程为22220D E 4F 0x y Dx Ey F ++++=+->，，由(1)得：04209330F D F D F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得20D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 于是得圆M的方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+=，圆心(M ，半径2r =，因直线OC 被圆M 所截的弦长为4，则直线OC过圆心(M，其方程为y =，由0y y +-=⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,C ，所以点C的坐标是(2,. 19．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出10DO AP ⋅≠，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值. (1)证明：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()1,1,0O 、()2,2,0C 、()10,2,2D ， 由112BP PB =得P 点的坐标为22,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2DO =--，22,0,3AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1203D O AP ⋅=≠， 所以1D O 与AP 不垂直，所以1D O 与平面PAC 不垂直．(2)解：设()()2,0,02P a a ≤≤，则()2,0,AP a =，()2,2,0AC =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220DO AP a ⋅=-=，得1a =， 且1220DO AC ⋅=-=，即1D O AC ⊥， 所以()0,2,1CP =-，()12,0,2CD =-，设平面1PCD 的法向量为(),,m x y z =，由122020m CD x z m CP y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得()2,1,2m =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()11,1,2DO =--，所以111cos ,6m D O m D O m DO⋅<>==-⋅ 所以平面1PCD 与平面PAC20．(1)24y x =； (2) 【解析】 【分析】(1)设出圆N 与l 的公共点坐标，再探求出点N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得. (2)设出直线AB 的方程，与Γ的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答. (1)设(),P x y 为圆N 与l 的公共点，而直线l x ⊥轴，垂足为H ，则(),0H x ，又()4,0M ，HN NM =，于是得4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭，因O ，P 在圆N 上，即NO NP =， 则有42x +=，化简整理得：24y x =，所以Γ的方程为24y x =. (2)显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y由244x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-． 因为2MA MB =，则点A 到x 轴距离是点B 到x 轴距离的2倍，即122y y =-， 由1212216y y y y =-⎧⎨=-⎩解得12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩1242y ym +==，因此有12AB y =-= 所以AB =21．(1)∥1 1.02n n a a m +=+；∥证明见解析，()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-(2)最少为6.56吨【解析】 【分析】（1）∥根据题意直接写出一个递推公式即可； ∥要证明{}50n a m +是等比数列，只要证明15050n n a ma m+++为一个常数即可，求出等比数列{}50n a m +的通项公式，即可求出{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，根据题意求出15S ，利用分组求和法求出数列{}n a 的前n 项和，再令153095S >，解之即可得出答案. (1)解：∥依题意得()()12132130,12%,12%a a a m a a m ==++=++, 则1 1.02n n a a m +=+，∥因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+， 所以()150 1.0250n n a m a m ++=+，因为150130500a m m +=+≠ 所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02， 所以()15013050 1.02n n a m m -+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-；(2)解：记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+-++⨯-+++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()141305013050 1.0213050 1.021550m m m m =+++⨯+++⨯-⨯()()15130501 1.027501 1.02m m +-=--()()130501 1.357501 1.02m m +-≈--2275125m =+，依题22751253095m +≥，所以 6.56m ≥， 所以m 最少为6.56吨． 22．(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得BF AF '=，则三角形ABF 的周长为22a AO +，再设(),A x y 根据二次函数的性质得到AO b ≥，即可求出ABF 的周长的最小值为22a b +，从而得到224a b +=+221a b -=，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程11x m y =+、()33,A x y ，直线FB 的方程21x m y =+、()33,B x y --，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示3y ，即可得到()221122123340m y m y y y +++=，整理得()()()()2212121234121310y y m y y m b n y y ++++-+-=，再代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，即可得到()580m n -=，从而求出n ，即可得解； (1)设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=，所以ABF 的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+设(),A x y ，则AO b =， 当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF 的周长取得最小22a b +，所以224a b +=+2+=a b ()1,0F ，所以221a b -=，所以()()1a b a b -+=，所以2a b -=解得2a =，b =Γ的方程为22143x y +=.(2)解：当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合； 当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =；设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223463120m y mny n +++-=，0∆>，122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+， 设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y -=，()11,M x y ，()33,A x y ， 由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134690m y m y ++-=，0∆>，1321934y y m -=+，()3211934y m y -=+， 设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y -=，()22,N x y ，()33,B x y --由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234690m y m y ++-=，0∆>，2322934y y m --=+，()3222934y m y -=-+ 所以()()221122993434m y m y --=+-+，所以()()22112234340m y m y +++=， 所以()221122123340m y m y y y +++=，2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221221212121211411my n my n y y m y y m n n y y y y +-+-+=+=++-+- 则()()()()221212121231213140y y my y m n n y y y y +++-+-++=，即 ()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，得()()()2222663412131034312mn mn m m n n m n --++-+-=+-，整理得()580m n -=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+，综上直线MN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭。
2023-2024学年福建省厦门市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年福建省厦门市高二上册期末考试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线1:210l x ay --=与直线2:210l x y ++=垂直，则=a （）A.1- B.1 C.2D.4【正确答案】B【分析】利用两直线垂直的条件求解.【详解】因为直线1:210l x ay --=与直线2:210l x y ++=垂直，所以()2120a ⨯+-⨯=，即1a =.故选：B2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足252,20a S ==，则4a =（）A.3B.4C.5D.6【正确答案】D【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则212a a d =+=，5151020S a d =+=，解得10,2a d ==，所以40236a =+⨯=.故选：D.3.已知直线l 过点(2,0)P ，方向向量为()1,1n =-，则原点O 到l 的距离为（）A.1B.C.D.3【正确答案】B【分析】求出直线的解析式，即可求出原点O 到l 的距离.【详解】由题意，在直线l 中，方向向量为()1,1n =-，∴直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则直线l 的斜率为：111k -==-，∴:l y x b =-+，∵直线l 过点(2,0)P ，∴02b =-+，解得：2b =，∴:2l y x =-+，即:20+-=l x y ，∴原点O 到l的距离为：d ==，故选：B.4.已知圆2221:290C x y mx m +-+-=与圆222:20C x y y +-=，若1C 与2C 有且仅有一条公切线，则实数m 的值为（）A.1± B. C. D.2±【正确答案】C【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆2221:290C x y mx m +-+-=可化为()221:9C x m y -+=，圆心为()1,0C m ，半径为13r =，圆222:20C x y y +-=可化为()222:11C x y +-=，圆心为()20,1C ，半径为21r =，又1C 与2C 有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此2112r r C C =-2=，解得m =故选：C5.在三棱锥A BCD -中，点M 是BC 中点，若DM x AB y AC z AD =++，则x y z ++=（）A.0B.12C.1D.2【正确答案】A【分析】表达出AM 和DM，得出x ，y ，z 的值，即可求出x y z ++的值.【详解】由题意，在三棱锥A BCD -中，点M 是BC 中点，连接AM ，DM ，在ABC 中，()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，在AMD 中，DM AM AD =- ，∴()12DM AM AD AB AC AD =-=+-,∴12x y ==，1z =-，∴111022x y z ++=+-=，故选：A.6.已知点P 在双曲线222:1(0)y C x b b-=>的右支上，直线OP 交曲线C 于点Q （异于P ），点F 为C 的左焦点，若||4,PF PFQ =∠为锐角，则b 的取值范围为（）A.(0,2)B.C.(2,D.(2,)+∞【正确答案】C【分析】设双曲线的右焦点2F ，根据双曲线的定义，可求得22PF =，根据已知条件PFQ ∠为锐角，可判断2FPF ∠为钝角，结合余弦定理即可求得b 的取值范围.【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为2F ，则22PF PF a -=，且1a =，则22PF PF -=，又||4,PF =则22PF =，又2226FF c PF PF =<+=，所以3c <，而222c a b =+，即219b +<，解得0b <<又因为PFQ ∠为锐角，且根据双曲线的对称性知，,P Q 关于原点对称，22FQ F P ==，22QFF PF F ∠=∠，所以2222PFQ QFF PFF PFF PF F ∠=∠+∠=∠+∠为锐角，所以2FPF ∠为钝角，则22222424204cos 024216c c FPF +--∠==<⨯⨯①，且22041016c --<<，又221c b =+②，由①②两式解得2<<b所以b 的取值范围为(2,.故选：C7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111,60AB AD AA DAB BAA DAA ==∠=∠=∠=︒，11(01)A Q A B λλ=<<，则直线1AC 与直线DQ 所成角的余弦值为（）A.0B.12C.2D.1【正确答案】A【分析】设1,,a AB b AD c AA ===，由向量的运算得出10AC DQ ⋅= ，进而得出直线1AC 与直线DQ 所成角的余弦值.【详解】设1,,a AB b AD c AA ===，不妨设11AB AD AA ===，则12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= 1AC a b c =++ ，11A B A A AB a c =+=-，1111()(1)DQ DD D A A Q c b a c a b c λλλ=++=-+-=-+- ()2221(1)(1)1AC DQ a a b a c a b b b c a c b c c λλλλλλ⋅=-⋅+-⋅+⋅-+-⋅+⋅-⋅+- 1111111111022222222λλλλλλ=-+-+-+-+-+-=即1AC DQ ⊥，则直线1AC 与直线DQ 所成角的余弦值为0.故选：A8.椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，||FO 为半径的圆与E 交于点P ，且PF PA ⊥，则E 的离心率为（）A.B.23C.2D.2【正确答案】C【分析】由已知得cos PF cPFA FA a c∠==+，右焦点为F '，PFF ' 中利用余弦定理列方程，由,a c 齐次式可求E 的离心率.【详解】由题意，PF c =，FA a c =+，由PF PA ⊥，cos PF cPFA FA a c∠==+，右焦点为F '，连接PF '，有2PF a c '=-，PFF ' 中，()()222222222cos 24c c a c PF FF PF c PFF PF FF c a c+--''+-'∠==='⋅+，化简得222c a =，即a =，则E 的离心率为22c e a ==.故选：C思路点睛：点P 在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a ，求椭圆离心率，结合其它条件构造,a c 齐次式即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--，则（）A.9k <B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【正确答案】AC【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.【详解】由题意，在221259x y +=中，有5a =，3b =，4c ===，∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为428⨯=，离心率45c e a ==，在221259x y k k+=--中，有a =b =4c ===，428⨯=，25090k k ->⎧⎨->⎩，解得：9k <，离心率e =，∴AC 正确，BD 错误.故选：AC.10.如图，四边形ABCD 为正方形，//EA BF ，EA ⊥平面ABCD ，22AB AE BF ===，点M在棱EC 上，且EM EC λ=，则（）A.当14λ=时，//DM 平面BFC B.当12λ=时，MF ⊥平面EAC C.当12λ=时，点M 到平面BCF 的距离为1D.当14λ=时，平面MBD 与平面ABCD 的夹角为π4【正确答案】BC【分析】以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.【详解】因为EA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、()2,2,0C 、()2,0,0D 、()0,0,2E 、()0,2,1F ，对于AD 选项，当14λ=时，113,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，313,,222DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，易知平面BFC 的一个法向量为()0,1,0m =，因为102DM m ⋅=≠ ，因此，DM 与平面BFC 不平行，A 错，设平面MBD 的法向量为()1,,n x y z = ，()2,2,0DB =-，则11220313222n DB x y n DM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取3x =，可得()13,3,2n = ，易知平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，12121222cos ,11n n n n n n ⋅<>==⋅，所以，平面MBD 与平面ABCD 的夹角不是π4，D 错；对于BC 选项，当12λ=时，()1,1,1M ，()1,1,0FM =- ，()2,2,0AC = ，()0,0,2AE =，所以，220FM AC ⋅=-= ，0FM AE ⋅=，所以，FM AC ⊥，FM AE ⊥，又因为AC AE A ⋂=，AC 、AE ⊂平面EAC ，FM∴⊥平面EAC ，B 对，点M 到平面BCF 的距离为1FM md m⋅== ，C 对.故选：BC.11.2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60︒，则彗星与地球的最短距离可能为（单位：千万公里）（）A.13B.12C.1D.3【正确答案】CD【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线的方程为()220y px p =>，彗星离地球4千万公里时假设为A 点，作AB x ⊥轴于B ，分B 在F 的左侧和右侧进行讨论，即可求出最短距离【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为()220y px p =>，地球即焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设彗星的坐标为()()000,0x y x ≥，当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A 点，即4AF =，作AB x ⊥轴于B ，则60AFB ∠=︒，当B 在F 的右侧时，2AB BF ==，所以2,2p A ⎛+ ⎝，代入抛物线可得12222p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，解得2p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为00112px x +=+≥，则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里，当B 在F 的左侧时，2AB BF ==，所以2,2p A ⎛- ⎝，代入抛物线可得12222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，解得6p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为00332px x +=+≥，则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里，故选：CD12.大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列{}n a 可以用递推的方法来定义：()12211,1,N n n n a a a a a n *++===+∈，则（）A.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=B.12320202022a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=D.132420192021202020221220212022111111a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++=-【正确答案】ACD【分析】用累加法判断选项AB ，对于C ，只需证明22221231n n n a a a a a a +++++= 即可,用数学归纳法证明;对于D ，得到2112122111n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-，即可判断【详解】对于A ，由21n n n a a a ++=+，可得12n n n a a a ++=-，则342a a a =-，564a a a =-，786,,a a a =- 202120222020a a a =-，将上式累加得223570212022a a a a a a ++⋅⋅=-⋅+，又121a a ==，则有1320212022a a a a ++⋅⋅⋅+=.故A 正确；对于B ，由21n n n a a a ++=+，可得321a a a =+，432,,a a a =+ 202220212020a a a =+，将上式累加得()123202020222a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+，又21a =，则123202020221a a a a a +++⋅⋅⋅=-+，故B 错误；对于C ，有22221231n n n a a a a a a +++++= 成立,用数学归纳法证明如下:①当1n =时,21121a a a ==⋅,满足规律,②假设当n k =时满足22221231k k k a a a a a a +++++= 成立,当1n k =+时，则222222123111k k k k k a a a a a a a a ++++++++=+ ()11k k k a a a ++=+12k k a a ++=成立，满足规律,故22221231n n n a a a a a a +++++= ，令2021n =，则有2222123202*********a a a a a a ++++= 成立，故C 正确;对于D ，由21n n n a a a ++=+可得2221121111n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-，所以132420192021202020221111a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++223334202120212022122020111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122021202211a a a a =-，故D 正确故选：ACD思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出双曲线22:14y C x -=的一条渐近线方程__________．【正确答案】2y x =（或2y x =-）【分析】由双曲线的性质求解即可.【详解】由题意可得，1,2a b ==，则双曲线22:14yC x -=的渐近线方程为2b y x x a =±=±.故2y x =（或2y x =-）14.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点，则直线1C E 与平面11A D B 所成角的正弦值为__________．【正确答案】1010【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则()()()()()1112,2,0,2,0,2,0,0,2,2,2,1,0,2,2B A D E C ;()()()11112,0,1,0,2,2,2,0,0EC BA D A =-=-=；设平面11A D B 的一个法向量为(),,n x y z = ，则11100n D A n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，20220x z y =⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n =.设直线1C E 与平面11A D B 所成角为θ，则11110sin 1025n EC n EC θ⋅===⨯ .故答案为.101015.在平面上给定相异的两点A ，B ，设点P 与A ，B 在同一平面上，满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在PAD 中，||||,(3,0)PA PD A =-，边PD 中点为(3,0)B ，则∠PAB 的最大值为__________．【正确答案】π6【分析】设(),P x y ，可得()6,D x y --，利用||||PA PD =可得()()225160x y y-+=≠，结合图象即可得到PA 与该圆相切时，∠PAB 最大【详解】设(),P x y ，由边PD 中点为(3,0)B 可得()6,D x y --，因为||||PA PD =()()()22223622x y x y ++=-+，整理可得()()225160x y y -+=≠，所以P 的轨迹是圆心为()5,0Q，半径为4的圆上（排除x 轴上的点），则当PA 与该圆相切时，∠PAB 最大，1tan 2PQ PAB AQ∠==，因为π0,2PAB ∠<<所以π,6PAB ∠=故π616.平面上一系列点()()()111222,,,,,,,n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中11(1,2),0n n A y y +>>，已知n A 在曲线24y x =上，圆()()222:n n n n A x x y y r -+-=与y 轴相切，且圆n A 与圆1n A +外切，则3A 的坐标为__________；记1n n n b y y +=，则数列{}n b 的前6项和为__________．【正确答案】①.12,93⎛⎫⎪⎝⎭②.247【分析】由圆n A 与y 轴相切得出圆n A 的半径为n x ，由圆n A 与圆1n A +外切，得出()112n n n n y y y y ++=-，进而由递推公式结合12y =求解即可.【详解】因为圆n A 与y 轴相切，所以圆n A 的半径为n x ，又圆n A 与圆1n A +1n n x x +=+.两边平方并整理得()2114n n n n y y x x ++-=，结合22114444n n n n y y x x ++⋅=⨯⨯，10n n y y +>>，得()112n n n n y y y y ++=-，122n n ny y y +=+即121212y y y ==+，323y =，以此类推727y =因为323y =，所以319x =，故312,93A ⎛⎫⎪⎝⎭.数列{}n b 的前6项和为()()()()()()1223344556672y y y y y y y y y y y y -+-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦()177224y y ==-故12,93⎛⎫ ⎪⎝⎭；247.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC为菱形，,3COA C π∠=，点D 为AB 的中点，OAC 的外接圆为圆M．（1）求圆M 的方程；（2）求直线CD 被圆M 所截得的弦长．【正确答案】（1）2234(1)33x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭（2）233【分析】（1）由已知可得OAC 为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M 的方程；（2）根据相应点的坐标，得到直线CD 的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长.【小问1详解】（1）因为OA OC =，π3COA ∠=，所以OAC 为正三角形，由2OA OC ===，得(20)A ，，所以OAC 外接圆圆心为31,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又半径233R MO ==，所以圆M的方程为224(1)33x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意得B，5,22D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线CD的斜率325312k -==--，直线CD方程为3(1)3y x -=--即40x +-=，M 到CD的距离为1d ==，所以CD 被圆M截得的弦长为3==.18.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2123264,9a a a a a +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和．【正确答案】（1）13n n a -=（2）()21312nn n +--【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案；（2）先求出n b 的通项公式，利用分组求和法可求和.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，因为2123264,9a a a a a +==，所以1124261149a a q a q a q+=⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以1113n n n a a q --==.【小问2详解】由（1）可得131n n b n -=+-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则()()21121333011n n n S b b b n -=+++=++++++++- ()()21131311322n nn n n n --=+=+---.19.已知点(0,1)F ，点B 为直线1y =-上的动点，过点B 作直线1y =-的垂线l ，且线段FB 的中垂线与l 交于点P ．（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）设FB 与x 轴交于点M ，直线PF 与Γ交于点G （异于P ），求四边形OMFG 面积的最小值．【正确答案】（1）24x y =（2【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；（2）设出直线，联立方程，得出124x x =-，用1x 表示出四边形OMFG 的面积，结合基本不等式求解最值.【小问1详解】由题意点P 到直线1y =-的距离与到点(0,1)F 的距离相等，所以点P 的轨迹是以(0,1)F 为焦点，以直线1y =-为准线的抛物线，所以方程为24x y =.【小问2详解】设直线PG 的方程为1y kx =+，1122(,),(,)P x y G x y ，则()1,1B x -.如图，设1y =-与y 轴的交点为N ，则易知OM 为FNB 的中位线，所以1,02x M ⎛⎫⎪⎝⎭.联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩ ，得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，不妨设1>0x ，则214x x =-，四边形OMFG面积为111221111142222222x x x S OF x OF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当1x =OMFG.20.世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在ABC 中，2,120AB BC ABC ==∠=︒．将ABC 绕着BC 旋转到DBC △的位置，如图所示．（1）求证：BC AD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -的体积最大时，求平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角.【小问1详解】取AD 的中点E ，连接,CE BE ，由题意可知,AC DC AB DB ==，所以,CE AD BE AD ⊥⊥；因为,,CE BE E CE BE ⋂=⊂平面BCE ，所以AD ⊥平面BCE ；因为BC ⊂平面BCE ，所以BC AD ⊥.【小问2详解】由题意可知三棱锥D ABC -的体积最大时，平面DBC ⊥平面ABC ；在平面DBC 内作出DO BC ⊥，且与CB 的延长线交于点O ，连接OA ；因为平面DBC ⊥平面ABC ，平面DBC 平面ABC BC =，DO BC ⊥，所以DO ⊥平面ABC ；根据旋转图形的特点可知，,,OD OA OC 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OA OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2,120AB BC ABC ==∠=︒，所以1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,0,0,,0,3,0B AD C；)(1,0,0,1,BA BD =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，0y y -=-=，令y =，则()n =r；易知平面BDC的一个法向量为)OA =,设平面ABD 和平面BDC 的夹角为θ，则cos 5OA n OA nθ⋅=== .所以平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值为55.21.甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为212n +千万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭千万元．（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？【正确答案】（1）甲超市第n 年销售额为1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，，乙超市第n 年销售额为12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年【分析】（1）设甲、乙超市第n 年销售额分别为n a 千万元、n b 千万元，利用1n n n a S S =－-即可求出n a ，利用累加法求出n b 即可；（2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用12n n b a <得到2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，通过10n n c c +->得到2n ≥，代入具体的n 值即可【小问1详解】设甲、乙超市第n 年销售额分别为n a 千万元、n b 千万元，假设甲超市前n 年总销售额为n S ，则212n n S +=，当2n ≥时，()2211111222n n n n n a S S n --++=-=-=-，易得11a =不满足上式，故1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩；112b n =≥，时，1123n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()()()211213212221...333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋯+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213213n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-12323n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，显然1n =也适合，故12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭；【小问2详解】甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下：①因为3n b <，11a b =，当2n ≥时，23122n n a a b ≥=>，所以甲超市不可能被乙超市收购；②设12n n b a <即1221334n n n ---<，即22130312n n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭，设2213312nn n c -⎛⎫=+⎪⎝⎭，令11221122131120312312633n n nn n n n c c ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭，解得2n ≥，所以1234c c c c <<><1104c =-<，552132132320,342434243128c ⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭662164164640,31272912729768c ⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭77210312c ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以22130312nn n c -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，解得6n ≥，综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点，且离心率为2．（1）求E 的方程；（2）过(1,0)T 作斜率之积为1的两条直线1l 与2l ，设1l 交E 于A ，B 两点，2l 交E 于C ，D 两点，,AB CD 的中点分别为M ，N ．探究：OMN 与TMN △的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【正确答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值为2，理由见解析【分析】（1）由题意可得写出关于,,a b c 的等式，即可求出E 的方程；（2）设直线:1,AB x my =+与椭圆进行联立可得222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，同理可得2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭可得到直线()221:2,m MN x y m +=+过定点(2,0)Q ，然后利用面积公式即可【小问1详解】由题意可得222222112 2a b ca ab c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则E 的方程22142x y +=【小问2详解】OMN 与TMN △面积之比为定值，定值为2，理由如下：设直线:1,AB x my =+（0m ≠），()()1122,,,,A x yB x y 联立221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222230m y my ++-=，216240m ∆=+>，则12122223, ,22m y y y y m m --+==++所以122222,11,2222M M M y y m m y x my m m m m +--===+=⋅+=+++所以222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，设1:1CD x y m =+，同理可得2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++，所以直线()222212:,22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭即()2212,m x y m +=+所以MN 恒过定点(2,0)Q ，设点,O T 到直线MN 的距离分别是12,,d d 则112212212OMNTMNMN d OQ S d S d TQ MN d ⨯====⨯ 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2023-2024学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√32．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√33．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ）A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√17174．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．16．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63D ．√327．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．678．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ）A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}，N ＝{（x ，y ）|（x ﹣a ）2+y 2≤1}．若N ⊆M ，则实数a 可以为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．210．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是DD 1和BD 1的中点，则（ ）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√7311．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ ．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ ． 15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 ．16．已知直线l 1：y ＝2x 与直线l 2：y ＝x ﹣1，点P 1是l 2与x 轴的交点．过P 1作x 轴的垂线交l 1于点Q 1，过Q 1作y 轴的垂线交l 2于点P 2，过P 2作x 轴的垂线交l 1于点Q 2，过Q 2作y 轴的垂线交l 2于点P 3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n ，Q n ，则|P 3Q 3|＝ ；设P n 的坐标为（x n ，y n ），则数列{x n +1x n+1⋅y n+1}的前n 项和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝4S 2，a 3n =3a n +2(n ∈N ∗)． （1）求a n ；（2）设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣4，0），B （﹣1，0），动点P 满足|P A |＝2|PB |． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，∠MON ＝120°，求l 的方程． 19．（12分）已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A ，P 为C 上（异于A ）一点． （1）已知点M （6，0），求当|PM |取得最小值时直线PM 的方程； （2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和．2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√3解：因为等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，所以（a 5）2＝a 3•a 7＝9． 又因为a 5＝a 3•q 2，即a 5与a 3同号， 故a 5＝3． 故选：C ．2．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√3解：l 1的倾斜角为π3，其斜率为k ＝tan π3=√3，则直线l 2的方程为：y −√3=√3（x +1），令x ＝0，得y =2√3． 故选：D ．3．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ） A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√1717解：∵双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线方程为：y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， ∴点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离d =|0±2|√2+(±1)=2√55． 故选：A ．4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →解：∵CE →=2EP →，∴CE →=23CP →，∴AE →=AC →+CE →=AB →+AD →+23CP →=AB →+AD →+23(AP →−AC →)=AB →+AD →+23AP →−23(AB →+AD →)=13AB →+13AD →+23AP →．故选：C ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：3S n ＝a n ﹣2，当n ＝1时，3a 1＝a 1﹣2，∴a 1＝﹣1， 当n ≥2时，3S n ﹣1＝a n ﹣1﹣2，两式相减得，3（S n ﹣S n ﹣1）＝a n ﹣a n ﹣1， ∴3a n ＝a n ﹣a n ﹣1， ∴a n a n−1=−12（n ≥2），∴数列{a n }是首项为﹣1，公比为−12的等比数列，∴a n ＝﹣1×(−12)n−1=（﹣1）n ×(12)n−1，∵（12）n ﹣1的值随着n 的增大而减小，∴当n ＝2时，a n 的值最大，最大值为a 2=12．故选：C ．6．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63 D ．√32解：因为△APF 1的周长为72a ，所以|AP|+|AF 1|+|PF 1|=7a2，因为A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，所以|AP |＝|AF 2|，所以|AF 2|+|AF 1|+|PF 1|=7a2， 由因为|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 所以|PF 1|=7a 2−2a =3a 2， 所以|PF 2|=2a −3a 2=a2，又因为PF 1⊥PF 2，|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2， 所以(3a 2)2+(a2)2=4c 2， 即5a 2＝8c 2，即c 2a 2=58，所以e =c a =√104．故选：B ．7．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67解：因为AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，所以∠BDC ＝120°，因为A ′C →=A ′B →+BD →+DC →，所以|A ′C →|2=A′B →2+BD →2+DC →2+2A ′B →⋅BD →+2BD →⋅DC →+2A ′B →⋅DC →，所以27＝9+4+1+2×3×2×cos60°+2×2×1×cos60°+2×3×1×cos ＜A′B →，DC →＞， 解得cos ＜A′B →，DC →＞=56，因为异面直线夹角的范围为（0°，90°]， 所以异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为56．故选：C ．8．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）解：抛物线C ：x 2＝8y 的焦点F （0，2）， 由题意可设P （x 0，x 028），x 0≠0，由x 2＝8y ，得y =18x 2，则y ′=14x ，所以k OQ＝k l=x0 4，所以l OQ：y=x04x，l FP：y=x02−168x0x+2，联立方程可得Q（16x0x02+16，4x o2x02+16），所以|OQ|2=16x02(16+x02)(x02+16)2=16x02x02+16=161+16x02∈（0，16），即|OQ|∈（0，4）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M＝{（x，y）|x2+y2≤4}，N＝{（x，y）|（x﹣a）2+y2≤1}．若N⊆M，则实数a可以为（）A．0B．12C．1D．2解：∵N⊆M，∴圆（x﹣a）2+y2＝1在圆x2+y2＝4内部，如图所示：∴﹣1≤a≤1，观察四个选项可知，A，B，C正确，D错误．故选：ABC．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则（）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√73解：建系如图，则根据题意可得C 1（2，2，2），F （1，1，1），A （0，0，0）， E （0，2，1），A 1（0，0，2），D （0，2，0），C （2，2，0）， ∴C 1F →=(−1，−1，−1)，AE →=(0，2，1)，A 1D →=(0，2，−2)， AF →=(1，1，1)，AC →=(2，2，0)，∴C 1F →与AE →不共线，∴C 1F 与AE 不平行，∴A 选项错误； ∵C 1F →⋅A 1D →=0，∴C 1F ⊥A 1D ，∴B 选项正确；设平面EAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=2y +z =0n →⋅AC →=2x +2y =0，取n →=(1，−1，2)，∴点F 到平面EAC 的距离为|AF →⋅n →||n →|=√6=√63，∴C 选项正确； ∴直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为： |cos ＜C 1F →，n →＞|=|C 1F →⋅n →||C 1F →||n →|=2√3×√6=√23，∴D 选项错误． 故选：BC ．11．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大解：由α∈[0，π]，得sin α∈[0，1]，cos α∈[﹣1，1]， 对于A ，当α=3π4时，sin α=√22，cos α=−√22，曲线C 可化为√22x 2+√22y 2=1，即x 2+y 2=√2，表示圆，即A 正确；对于B ，当α=π2时，sin α＝1，cos α＝0，曲线C 可化为x 2＝1，即x ＝1或x ＝﹣1，表示两条直线，即B 正确；对于C ，当α∈（0，π2）时，曲线C 为双曲线，离心率e =√1+1cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（0，π2）上单调递增，所以α越大，C 的离心率越大，即C 正确；对于D ，当α∈（π2，3π4）∪（3π4，π）时，曲线C 为椭圆，若焦点在x 轴上，则α∈（3π4，π），离心率e =√1−1−cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（3π4，π）上单调递增，若焦点在y 轴上，则α∈（π2，3π4），离心率e =√1−1sinα1−cosα=√1+1tanα，在α∈（π2，3π4）上单调递减， 所以α越大，C 的离心率不是越大，即D 错误． 故选：ABC ．12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024解：选项A ：由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可知当a 1＝0，a 2＝0时，满足递推式，但此时数列{a n }不是等比数列，故选项A 错误； 当a n ≠0时，(a n+1a n )2+2an+1a n −2=0，则a n+1a n=−1−√3或a n+1a n=−1+√3，所以a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋯⋯an a n−1=a 1⋅(−1−√3)k ⋅(−1+√3)n−1−k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1， 化简可得：a n =a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−1−3−1+√3)k=a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1，当a 1＝1时，a n 的取值共有n 种，其和A n =∑ n−1k=0(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k =(−1+√3)n−1∑ n−1k=0(−2−√3)k，故选项B ，C 正确； 由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可得a n+12+2a n a n+1=2a n 2⇔1a n+1(2a n +a n+1)=12a n2⇔2a n a n+1(2a n +a n+1)=1a n，即1a n=a n+1+2a n −a n+1a n+1(2a n +a n+1)=1a n+1−12a n +a n+1，所以1a n+1+2a n=1a n+1−1a n，累加可得12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a n +a n+1=1a n+1−1a 1， 故当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024，故选项D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ 1 ． 解：因为A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）， 所以a →=AB →=（0，﹣1，﹣1），b →=AC →=（0，x +1，2x ）， 因为A ，B ，C 三点共线，所以a →与b →共线，所以存在实数λ，使a →=λb →，即（0，﹣1，﹣1）＝（0，λ（x +1），2λx ）， 所以λ（x +1）＝﹣1，2λx ＝﹣1，解得λ=−12，x ＝1．故答案为：1．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ 5 ． 解：由题意知，F （1，0），p ＝2，因为△MOF 的面积为2，所以2=12•|OF |•|y M |=12⋅1⋅|y M |，即|y M |＝4，所以x M =y M 24=164=4，由抛物线的定义知，|MF |＝x M +p2=4+1＝5．故答案为：5．15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 √15 ． 解：根据题意，设P 的坐标为（m ，n ），圆O ：x 2+y 2＝1，其圆心为（0，0），半径为r 1＝1， P A 为圆O 的切线，则|PO |2＝|P A |2+1，则有m 2+n 2＝|P A |2+1， 圆O 1：(x −2)2+y 2=1，其圆心O 1为（2，0），半径为r 2＝1，PB为圆O1的切线，则|PO1|2＝|P A|2+1，则有（m﹣2）2+n2＝|PB|2+1，又由|P A|2+|PB|2＝18，则有（m2+n2）+[（m﹣2）2+n2]＝20，变形可得：（m﹣1）2+n2＝9，则P的轨迹是以（1，0）为圆心，半径为R＝3的圆，设M为（1，0），则|MO|的最大值为3+1＝4，故|P A|的最大值为√16−1=√15．故答案为：√15．16．已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝x﹣1，点P1是l2与x轴的交点．过P1作x轴的垂线交l1于点Q1，过Q1作y轴的垂线交l2于点P2，过P2作x轴的垂线交l1于点Q2，过Q2作y轴的垂线交l2于点P3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n，Q n，则|P3Q3|＝8；设P n的坐标为（x n，y n），则数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为2n−12n+1−1．解：根据题意可得y n＝x n﹣1，P n（x n，x n﹣1），则Q n（x n，2x n），P n+1（x n+1，2x n），∴y n+1＝2x n，即x n+1﹣1＝2x n，∴x n+1+1＝2（x n+1），又x1+1＝2，∴x n+1=2n，∴x n=2n−1，∴|P n Q n|＝2x n﹣（x n﹣1）＝x n+1＝2n，∴|P3Q3|＝23＝8；∴x n+1x n+1⋅y n+1=2n(2n+1−1)(2n+1−2)=2n−1(2n+1−1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1−1)，∴数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为：1 2[(1−13)+(13−17)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1−1)]=12(1−12n+1−1)=2n−12n+1−1．故答案为：8；2n−12n+1−1．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝4S2，a3n=3a n+2(n∈N∗)．（1）求a n；（2）设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1+6d＝4（2a1+d），即d＝2a1①，因为a3n＝3a n+2，所以a1+（3n﹣1）d＝3[a1+（n﹣1）d]+2，即d＝a1+1②，联立①②解得d＝2，a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n=2a n=22n−1=2•4n﹣1，所以数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）过点A的直线l与Γ交于M，N两点，∠MON＝120°，求l的方程．解：（1）设P（x，y），因为|P A|＝2|PB|，所以√(x+4)2+y2=2√(x+1)2+y2，化简得x2+y2＝4，所以点P的轨迹Γ的方程为x2+y2＝4．（2）因为∠MON＝120°，|OM|＝|ON|＝2，所以圆心O到直线l的距离d＝2sin30°＝1，①当直线l的斜率不存在时，l与圆无交点，舍去；②当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，所以d=|4k|√k+1=1，解得k=±√1515，所以l的方程为x+√15y+4=0或x−√15y+4=0．19．（12分）已知双曲线C：x2﹣y2＝4的左顶点为A，P为C上（异于A）一点．（1）已知点M（6，0），求当|PM|取得最小值时直线PM的方程；（2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．（1）解：设P （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，x 0＜﹣2或x 0＞2，|PM |=√(x 0−6)2+y 02=√x 02−12x 0+36+x 02−4=√2(x 0−3)2+14≥√14， 当x 0＝3时，|PM |取得最小值√14，此时y 0=±√5， 即P （3，√5），或P （3，−√5）， 所以直线PM 的方程y =√53−6(x −6)，或y =−√53−6(x −6)，即直线PM 的方程√5x +3y ﹣6√5=0，或√5x −3y ﹣6√5=0． （2）证明：双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣2，0）， 依题意设AP ：x ＝my ﹣2（m ≠0且m ≠±1）， 令x ＝﹣1，则y =1m ，即Q （﹣1，1m）， 所以OQ →=(−1，1m)，联立{x 2−y 2=4x =my −2，消x 得（m 2﹣1）y 2﹣4my ＝0，解得y P =4mm 2−1，y A ＝0，所以x P =4m 2m 2−1−2=2m 2+2m 2−1，即P （2m 2+2m 2−1，4m m 2−1），所以OP →=（2m 2+2m 2−1，4mm 2−1），所以OP →⋅OQ →=−2m 2+2m 2−1+4m m 2−1×1m =−2m 2+2m 2−1=−2，故OP →⋅OQ →为定值﹣2．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．解：（1）记从今年1月起，第n 月的产量为a n ，第n 月的产品合格率为b n ， 由题可知，数列{a n }为等比数列，首项a 1＝1000，公比q ＝1+10%＝1.1， 数列{b n }为等差数列，首项b 1＝0.85，公差d ＝0.01，所以a n ＝1000×1.1n ﹣1，b n ＝0.85+（n ﹣1）×0.01＝0.0ln +0.84，所以今年2月份生产的不合格产品数为a 2（1﹣b 2）＝1000×1.1×（1﹣0.86）＝154， 设第n 月生产的不合格产品数为c n ，则c n =a n (1−b n )=10×1．1n−1×(16−n)，所以c n+1c n=10×1．1n ×(15−n)10×1．1n−1×(16−n)=16.5−1.1n16−n ，当n ＜5时，c n+1c n ＞1；当n ＝5时，c n+1c n =1；当n ＞5时，c n+1c n＜1，所以c 1＜c 2＜••＜c 5＝c 6＞c 7＞••＞c 12，即5月或6月生产的不合格产品数最多； （2）设今年前n 个月生产的合格产品总数为S n ，则S n ＝a 1b 1+a 2b 2+•+a n b n ， 所以S 12＝850×1.10+860×1.11+870×1.12+…+950×1.110+960×1.111①， 所以1.1S 12＝850×1.11+860×1.12+870×1.13+…+950×1.111+960×1.112②， ①﹣②得﹣0.1S 12＝850+10×（1.1+1.12+…+1.111）﹣960×1.112 ＝850+10×1.1(1−1．111)1−1.1−960×1.112＝740﹣840×1.112，所以S 12=10×(860×1．112−740)≈19604， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥DA ，所以DD 1→⋅DA →=0， 因为DC 1⊥D 1B ，所以DC 1→⋅D 1B →=0，又因为DC 1→=DC →+DD 1→，D 1B →=DB →−DD 1→=DA →+DC →−DD 1→， 所以(DC →+DD 1→)⋅(DA →+DC →−DD 1→)=0，化简得DA →⋅DC →=−4，所以DA →⋅DB →=DA →⋅(DA →+DC →)=DA →2+DA →⋅DC →=4−4=0，所以DA ⊥DB ． （2）解：假设存在E 点满足条件．因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊥DB ， 以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），B(0，2√3，0)，C(−2，2√3，0)，D 1(0，0，2√3)，C 1(−2，2√3，2√3)，DB →=(0，2√3，0)，AA 1→=(0，0，2√3)，D 1C 1→=(−2，2√3，0)， 设D 1E →=λD 1C 1→(0≤λ≤1)，则DE →=DD 1→+D 1E →=（﹣2λ，2√5λ，2，5），设平面EBD 的一个法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅DB →=2√3y 1=0n 1→⋅DE →=−2λx 1+2√3λy 1+2√3z 1=0，令x 1=√3，得z 1＝λ，所以 n 1→=(√3，0，λ)，设平面ABB 1A 1的一个法向量n 2→=(x 2，y 2，z 2)，可得{n 2→⋅AA 1→=2√3z 2=0n 2→⋅AB →=−2x 2+2√3y 2=0，令x 2=√3，得y 2＝1，所以n 2→=(√3，1，0)，所以cos〈n 1→，n 2→〉=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=32√3+λ，因为平面EBD 与平面D 1BD 的夹角为π4，即2√3+λ2=√22，解得λ=±√62，又因为0≤λ≤1，所以λ=±√62（舍去），所以线段C 1D 1上不存在点E 使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和． 解：（1）当λ＝1时，F 1A →=F 2B →，则四边形F 1F 2BA 为平行四边形，由椭圆的对称性可知，四边形F 1F 2BA 为矩形，即F 1A ⊥x 轴，所以|F 1A|=b 2a ，所以{b 2a 2=83a 2−b 2=1，解得{a =3b =2√2，所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1．（2）因为F 1A →=λF 2B →，所以|F 1P||PB|=|AP||PF 2|=|F 1A||F 2B|=λ，由对称性，不妨设P （x 0，y 0），y 0＞0， 由S △PAB =S △PFF 1=1，可得y 0＝1，又S △PAF 1=λS △PAB =λ，S △PBF =1λS △PAB =1λ，所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ，延长AF 1交C 于点D ，易知B ，D 关于原点对称，设直线F 1A ：x ＝ty ﹣1，t 显然存在，设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （﹣x 2，﹣y 2）， 联立方程组{x =ty −18x 2+9y 2=72，化简可得：（8t 2+9）y 2﹣16ty ﹣64＝0， 所以Δ＝256t 2+256（8t 2+9）＞0，y 1+y 2=16t 8t 2+9，y 1y 2=−648t 2+9， 直线F 1B ：x +1=−x 2+1−y 2y ，直线F 2A ：x −1=x 1−1y 1y ， 所以{x 0+1=x 2−1y 2x 0−1=x 1−1y 1，即x 2−1y 2−x 1−1y 1=2，所以x 2−1y 2−x 1−1y 1=ty 2−2y 2−ty 1−2y 1=2(y 2−y 1)y 1y 2=2，即y 2﹣y 1＝y 1y 2，所以(y 2−y 1)2=y 12y 22，(y 2+y 1)2=y 12y 22+4y 1y 2，代入韦达定理可得：(16t 8t 2+9)2=(648t 2+9)2−2548t 2+9，解得t 2=79，由F 1A →=λF 2B →，可得y 1＝﹣λy 2， 所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ=−y 1y 2−y 2y 1=−y 12+y 22y 1y 2=−(y 1−y 2)2+2y 1y 2y 1y 2=−y 1y 2−2=648t 2+9−2=302137．。
福建省厦门市学年高二数学上学期期末考试(理)人教版选修2-1
厦门市2020～2020学年(上)高二质量检测数学(理科)选修2—1试题试卷分A 卷和B 卷两部分。
满分为150分，考试时间120分钟． A 卷(共100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。
1．以14y =-为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．212y x = B ．2y x = C ．212x y = D ．2x y =2，下列命题中，是全称命题并且是真命题的是( )A ．每个二次函数的图象开口都向上．B ．对任意非正数c ，若a ≤b+c ，则a ≤b ．C ．存在一条直线与两个相交平面都垂直．D ．存在一个实数x 使不等式236x x -+<0成立． 3．设a ∈R ，则a>1是1a<1的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在平行六面体ABCD--1111A B C D 中，用AB −−→、AD−−→、1AA −−→，表 示向量1AC−−→，正确的是( ) A. 11AC AB AD AA−−→=−−→-−−→+−−→ B. 11AC AB AD AA−−→=−−→+−−→+−−→ C. 11AC AB AD AA−−→=−−→+−−→-−−→ D. 11AC AB AD AA−−→=−−→-−−→-−−→ 5．已知a=(0，3，3)，b=(-一1，1，0)，则向量a 与b 的夹角为( ) A.030 B.045 C. 060 D. 090 6.已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则（ ）A ．00:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B ．:,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C ．00:,sin p x R x ⌝∃∈>1D ．:,sin p x R x ⌝∀∈>17．双曲线221y mx +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ） A ．14-B ．-4C ．4D ． 148．若椭圆2215x y m+=的离心率10e =，则m 值为（ ）A ．3B ．253 C ． 3或253 D ．2579．在正方体ABCD--1111A B C D 中，N 和M 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AN 与直线CM 所成角的余弦值是（ ） A ．25-B ．25C ．35D ．1010．下列命题中正确的是（ ）①命题“实数x,y,若220x y +≠，则x,y 不全为零”的否命题 ②命题“正三角形都是相似三角形”的逆命题③命题“若，则关于x 的方程20x x m +-=有实根”的逆否命题 ④命题“若123x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①④ 11．若椭圆2212516x y +=和双曲线2212516x y +=的共同焦点为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF •的值为（ ） A ．212B ．84C ．3D ．21 12．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43 B ．75 C ．85D ．3 二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分．在答题卷上的相应题目的答题区域 内作答．13．向量a=(1，2，-2)，b=（-2，x ，y ），且a//b ，则x-y= 。
福建省厦门市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
福建省厦门市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分）命题p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则（）A . p是假命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1B . p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x＞1C . p是真命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1D . p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≥13. （2分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A .C .D .4. （2分）某数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件是（）A . 恰有1名男生与恰有2名女生B . 至少有1名男生与全是男生C . 至少有1名男生与至少有1名女生D . 至少有1名男生与全是女生5. （2分） (2016高二上·水富期中) 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（）A . 甲的极差是29B . 乙的众数是21C . 甲罚球命中率比乙高D . 甲的中位数是246. （2分）已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量=(2,1,1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（）A . （1，﹣4，2）B . (,-1,)D . （0，﹣1，1）7. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A .B .C .D . 48. （2分） (2017高二下·三台期中) 若p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的（）A . 逆命题B . 否命题C . 逆否命题D . p与q是同一命题9. （2分）美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y=x，其离心率e=（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN= ，则MN与平面BB1C1C的位置关系为（）A . 相交B . 平行C . 垂直D . 不能确定二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二下·青浦期末) 双曲线的渐近线方程为________12. （1分）为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校1400份试卷、乙校640份试卷、丙校800份试卷中进行抽样调研．若从丙校800份试卷中抽取了40份试卷，则这次高三共抽查的试卷份数为________13. （1分）今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x（℃）171382月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________14. （1分）(2017·大连模拟) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．15. （1分） (2019高二下·上海期末) 曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨.给出下列四个结论：①曲线过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则；④若点P在曲线C上，则的面积 .其中，所有正确的序号是________.三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．17. （10分） (2019高一下·普宁期末) 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1） A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：表1：生产能力分组表2：生产能力分组人数6y3618①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图18. （10分）心理健康教育老师对某班50个学生进行了心里健康测评，测评成绩满分为100分．成绩出来后，老师对每个成绩段的人数进行了统计，并得到如图4所示的频率分布直方图．（1）求a，并从频率分布直方图中求出成绩的众数和中位数；（2）若老师从60分以下的人中选两个出来与之聊天，则这两人一个在（40，50]这一段，另一个在（50，60]这一段的概率是多少？19. （5分） (2019高二下·丽水期末) 如图，已知三点A，P，Q在抛物线上，点，Q关于y 轴对称（点A在第一象限），直线过抛物线的焦点F.（Ⅰ）若的重心为，求直线的方程；（Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值．20. （10分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都为正三角形且BC=2，，E，F，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为FD的中点．（1）求异面直线AD和EC所成的角的大小；（2）求证：直线GH∥平面CEF．21. （10分） (2017高三上·安庆期末) 已知F1 ， F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且 |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2 ，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 =﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
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厦门市２0１5－2016学年（上)高二质量检测
数学(理科）试卷
一、选择题:本题共１２个小题,每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个
是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 1.抛物线22x y =的焦点坐标为
A.(1,0)
B.(0,1)
C.1(,0)2
D.1
(0,)2
2.命题“2000(0,),1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ )
A.2(0,),1x x x ∀∈+∞≠-
B.2(0,),1x x x ∀∈+∞=-
C.2000(0,),1x x x ∃∉+∞≠-
D.2000(0,),1x x x ∃∈+∞≠- 3.已知数列{}n a 满足:423a =,*121()n n a a n N +=+∈,则2a 等于 A.５ﻩﻩ Ｂ.
112 C. 6 D.13
2
4.已知向量(1,0,1)AB =，(0,1,1)AC =--，则AB 与AC 的夹角为
A.30︒
B.60︒ Ｃ．120︒ D.150︒ 5.下列命题中,真命题的是
Ａ. 若a b >,c d >,则a c b d ->- Ｂ. 若a b >,c d >，则ac bd > C. 若
110a b <<,则2ab b < Ｄ. 若1
1
b b a a ->
-，则a b > ６．命题p ：若1
sin 2
α=
,则30α=︒；命题q ：若点(,)m n 在直线10x y ++=的上方，则10m n ++>.则下列是真命题的是
Ａ．p q ∨⌝ B . p q ⌝∧ C . p q ⌝∧⌝ D .p q ∧ 7.已知a ，b ,c 分别为ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差 数列,则角B 等于
A.30︒
B.60︒
C. 90︒
D.120︒ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,若111AC xAC yAB z AD =++,则x y z ++等于
A.3 Ｂ.2 C.3
2
D.1
９.已知直线l :1(0)x y
a b a b
+=>>，直线l 过点(14)P ，,则a b +的最小值为
A ．6
B ． 8 Ｃ. 9 D. １0
10.已知正项等比数列{}n a ,其前n 项和为n S ,12k a -=,2
2564k k a a a +⋅== ,则10S 等于
A.1041-ﻩ
B.1041
3
- Ｃ.1021-
D.1021
2
-
11.长方体1111ABCD A B C D -中,1AB =，2AD =，13AA =,E 为对角线1A C 上的动点，则满足1ED ED ⊥的点E 的个数为
Ａ.0 B ．1 C ．2 D.无数个
1２．已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦点,过F 作直线l 与双曲线C
相交于,A B 两点,若满足||2AB =的直线l 有且仅有两条,则双曲线C 的方程可以是
A.2
2
41x y -= B ．2
2
12
y
x -= Ｃ.22221x y -= D.221x y -=
二、填空题:本大题共４小题，每小题5分,共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
１３．若“220x x +-≤”是“x k ≤”的充分不必要条件,则k 的取值范围是 ．
14.已知点(0,1)P 到双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的距
离为1
3
,则双曲线C 的离心率为 ．
15.如图,某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30︒ ，乙山山顶B 的仰角为45︒,角APB 的大小为45︒ ，山脚P 到山顶A 的直线距离为2km ,在A 处测得山顶B 的仰角为30︒,则乙山的高度为 km ．
１6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且11n n n a S S λ++=-，其中λ是常数．若{}n a 是递增数列,则λ的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤,在答题
卷上相应题目的答题区域内作答. 17.（本题满分10分)
C 1
1
A 1
E
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3722a a +=，424S =. (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ,求证3
4n T <．
１8（本题满分１2分）
在ABC ∆中，4AB =,6AC =，1
cos 8
B =.
（Ⅰ)求ABC ∆面积;
(Ⅱ)求AC 边上的中线BD 的长度.
19．(本题满分1２分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,2AB =,2AC =,22BC =, 12AA =,点D ，
E 分别为棱BC ,11A C 的中点.
(Ⅰ）求证：//DE 平面11A B BA ； (Ⅱ)求二面角1B AB D --的余弦值.
２０.（本题满分１２分)
在平面直角坐标系xoy 中,点(1,0)F ，直线1x =-与动直线y n =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y n =的交点为P . （Ⅰ）求点P 的轨迹Γ的方程;
(Ⅱ）过动点M 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,A B ，证明:AMB ∠的
E
1
A B 1
大小为定值．
21(本题满分12分)
甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库将调出１00吨大米,乙库将调出８0吨大米,A 镇至少需要6０吨大米，B 镇至少需要1０0吨大米,且甲往B 镇运送的大米的吨数不．少于．．乙往A 镇运送的吨数的２倍，两库到两镇运费如下表：（其中a 为常数,02a <<且1
2
a ≠）
为了满足上述要求,同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A 镇各多少吨大米？
２２（本题满分１2分)
如图，已知12(0,1),(0,1)F F -为椭圆22
22:1(0)y x a b a b
Γ+=>>的两个焦点. 过1F 作两条倾斜角互
补的直线12,l l ,12,l l 分别与椭圆Γ相交于,,,A B C D 四点，且2ABF ∆的周长为8. (Ⅰ）求椭圆Γ的方程;
(Ⅱ）求阴影部分面积S 的最大值;
（Ⅲ)求证：直线AD 与直线BC 的交点是定点.。