河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题(扫描版)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(有答案解析)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
2019届河北衡水中学高三上学期调研三考数学(理)试卷【含答案及解析】
试卷【含答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数____________
题号
-二二
三
总分
得分
、选择题
1. 已知集合一：：一一-二二-，集合：中至少有 3 个元素，则 （ ）
A-
■ _____________ B ——心：'< _____________________ C.
4
Eg = 3
■+ 疋（EU 二 ^tlll 2tz * VJco&2ff * —二
222
Zsinacosn 」只 cosu a -sin- a
*匚
sin- a +cos' a
sin- a + cos- a
2 tail a 十 JV -tan2 a tan2 cz +1 \An~a -^1
第 15 题【答案】 EO
—2W2F 不满足稠环条件，退出循环'输出
,即计算魏列｛厂｝前白项的和，购・
第 8 题【答案】 A
【解析】
试題分析；由角 A.B,C 成等差魏列」得迓吕扌 J 由血 C ■(苗 8 曲十血卫)3 訪■得 sh(j< + ^ = (TTc-OTJ + sin^COTB r 优简得 cosJsin(5-—) = 0 ,所以/二兰，或召=彳、所臥"甬/卫 1 成等羞数列抿是“河「二
ห้องสมุดไป่ตู้
I-）
I 存在极值？并求出相应
的极值点.
22. 选修 4-1 :几何证明选讲
已知四边形，：,叫：」为圆.的内接四边形，且 补；二第？，其对角线二 与亍:二 相交于点■■-，过点.’
衡水中学2018-2019学年度上学期高三年级三调考试理科数学答案
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试答案1-12 BCCDD ACCDB CA13. 2 14. 3 15.43316. 414、平面上有四点，满足，是的重心，， ，即，同理可得：，即是垂心，故是正三角形，，设外接圆半径为，则，即，即，即，故周长16、试题分析：当1n =时，21122=-S a 得14a =，122+=-n n n S a ；当2n ≥时，122-=-n n n S a ，两式相减得1222-=--n n n n a a a ，得122-=+nn n a a ，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，12n na n =+，即(1)2nn a n =+•． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352n n λ-->．记232-=n n n b ，2n ≥时，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--．所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==．所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4．17.【解析】（1）代入有即（2）法一：……①又……②联立①②有，即解得或又，若，则，，为直角三角形．同理，若，则也为直角三角形18．（Ⅰ）由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线上，所以求得圆心，半径为.所以圆的方程为.------4分(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)（Ⅱ）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，所以设直线为，代入圆的方程得，设，，则解得或，这时，符合题意，所以存在直线为或符合条件(细则：未判断的扣1分) 1219试题解析：（1）由11=a 及)(222*∈-+=N n p pa pa S n n n ，得：p p p -+=221=∴p 3分（2）由1222-+=n n n a a S ① 得1221211-+=+++n n n a a S ② 由②—①，得 )()(2212211n n n n n a a a a a -+-=+++即：0)())((2111=+--++++n n n n n n a a a a a a 0)122)((11=--+∴++n n n n a a a a 由于数列{}n a 各项均为正数， 1221=-∴+n n a a 即 211=-+n n a a ∴数列{}n a 是首项为1，公差为21的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是2121)1(1+=⨯-+=n n a n 7分（3）由21+=n a n ，得：4)3(+=n n S n n n n n n n S b 2234⋅=⋅+=∴ n n n T 223222132⋅++⨯+⨯+⨯=∴22)1(221)21(22222211132-⋅--=⨯---=⋅-++++=-+++n n n n n n n n n T1(1)22n n T n +=-⋅+ 12分20、试题解析：(1)因为,,所以 .因为原点到直线:的距离,解得,.故所求椭圆的方程为. 4分(2)由题意消去 ,整理得.可知.设,,的中点是, 则,. 所以. 所以.即. 又因为,所以. 所以21【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为 .（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.设，则有.化简得.所以点的轨迹的方程为. 4分（Ⅱ）设：，代入中，得.设，，则，.所以.因为：，即，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.22所以a ≥max 020)21(x x +-，]3,0(0∈x 当10=x 时，02021x x +-取得最大值21，所以a ≥21………8分(3)因为方程2)(2x x mf =有唯一实数解，因为0)1(=h ，所以方程（*）的解为21x =，即2412m m m +=，解得21=m ……12分。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题(解析版)
2
x1 x2
AB
1 10 ，又因为 x1 x2 1 ，所以 x1 ， x2 3 。 3 3
2
x2 x1
2 x2 2 x1
2
4 7 ，选 B 3
【知识点、能力】设计变量，并找到变量间的等式关系，利用余弦定理解决
【题号】12 【答案】D 【解题思路】 设 x 0 时， f x x e
x 的值， 再利用 tan 2
A : f (2 x) cos 2 x sin 2 2 x cos x sin 2 x f x ，正确 B : f ( x) cos x sin 2 x cos x sin 2 x f x ，为奇函数，周期函数，正确
2 棱爬行至顶点 B ,最短路径有 C4 6 条, 它可以爬行的不同的最短路径有 10 6 60 条,
所以 B 选项是正确的. 【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力 【题号】5 【答案】B 【解题思路】通过将所给函数 f x 转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出 x 2 和
V 125 3t 1 t 1 ， t
4000 1 时， Vmax ，选 B 27 3
【知识点、能力】空间想象能力，利用导数判断函数最值
【题号】11 【答案】B 【解题思路】 设 A x1 , 2 x1 ， B x2 , 2 x2 ， x2 x1 0 ， 因为 kQA kQB ,即
2
双曲线的一个焦点为 0, 2 ,
1 1 1 4, m m 3
双曲线的渐近线方程为 y 3x
所以 A 选项是正确的. 【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并 考查了推理能力与计算能力.
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题 Word版含答案
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA 二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+.20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =，因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。
【100所名校】2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(解析版)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．集合M ={x|2x 2−x −1<0|}，N ={x|2x +a >0|}，U =R ，若M ∩C U N =ϕ，则a 的取值范围是A ． a >1B ． a ≥1C ． a <1D ． a ≤1 2．若直线y =kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是A ． (0,23) B ． (−23,0) C ． (−23,23) D ． (−∞,−23)∪(23,+∞) 3．在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A ． −52B ． 52C ． −54D ． 544．已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2−n ，正项等比数列{b n }中，b 2=a 3 ，b n+3b n−1=4b n 2(n ≥2,n ∈N +)，则log 2b n =A ． n −1B ． 2n −1C ． n −2D ． n5．已知直线ax +y −1=0与圆C:(x −1)2+(y +a)2=1相交于A ，B ，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为A ． 17或−1 B ． −1 C ． 1 D ． 1或−16．在ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若a 2+b 2=2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为 A ． 2013 B ． 1 C ． 0 D ． 20147．已知点M(a,b)(ab ≠0)是圆C:x 2+y 2=r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx −ay =r 2，那么A ． l ⊥m 且m 与圆C 相切B ． l ∥m 且m 与圆C 相切 C ． l ⊥m 且m 与圆C 相离D ． l ∥m 且m 与圆C 相离8．若圆x 2+y 2−ax +2y +1=0和圆x 2+y 2=1关于直线y =x −1对称，过点C(−a,a)的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是A ． y 2−4x +4y +8=0B ． y 2+2x −2y +2=0C ． y 2+4x −4y +8=0D ． y 2−2x −y +1=09．平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为A ． √2−1B ． √3−1C ． 0D ． 2 10．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈[π6,π4]，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ． [√22,1] B ． [√22,√3−1] C ． [√22,√32] D ． [√33,√63] 11．已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．√5−12B ．√2+12C ． √2+1D ． √5−112．已知在R 上的函数f(x)满足如下条件：①函数f(x)的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，f(2+x)−f(2−x)=0；③当x ∈[0,2]时，f(x)=x ；④函数f (n)(x)=f(2n−1⋅x)，n ∈N ∗，若过点(−1,0)的直线l 与函数f (4)(x)的图象在x ∈[0,2]上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是A ． (0,811) B ． (0,118) C ． (0,819) D ． (0,198)二、填空题13．在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，已知sin(2A +π6)=12，b =1，△ABC 的面积为√32，则b+c sinB+sinC的值为_______________. 14．已知平面上有四点O,A,B,C ，向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则△ABC 的周长是_______________.15．已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第4页（共4页）16．已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n −2n+1，若不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n 对∀n ∈N ∗恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题17．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，已知向量m ⃗⃗ =(cos 3A 2,sin3A 2)，n ⃗ =(cos A2,sin A2)，且满足|m ⃗⃗ +n ⃗ |=√3.(1)求角A 的大小；(2)若b +c =√3a ，试判断△ABC 的形状.18．已知圆C 经过原点O (0,0)且与直线y =2x −8相切于点P (4,0) （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点M,N 关于直线y =kx −1对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由19．各项均为正数的数列{a n }中，a 1=1，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N ∗，有2S n =2pa n 2+pa n −p(p ∈R).(1)求常数p 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)记b n =4Snn+3⋅2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .20．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，原点到过点A(a,0)，B(0,−b)的直线的距离是4√55. (1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线y =kx +1(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点E,F ，且E,F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21．已知定点()0,1F ，定直线l ： 1y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A ， B 两点，分别过点A ， B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB V 外接圆面积的最小值.22．设函数f(x)=lnx −12ax 2−bx . (1)当a =b =12时，求函数f(x)的最大值；(2)令F (x )=f (x )+12ax 2+bx +a x ，(0<x ≤3)其图象上任意一点P(x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a =0，b =−1，方程2mf(x)=x 2有唯一实数解，求正数m 的值.2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求C U N，再根据M∩C U N=ϕ得到a的不等式，即得解. 【详解】由题得M={x|-12<x<1},N={x|x>−a2}，∴C U N={x|x≤−a2}，因为M∩C U N=ϕ，所以−a2≤−1,∴a≥1.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.2．C【解析】【分析】联立直线和双曲线的方程得到x2=364−9k2>0，即得k的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得4x2−9k2x2=36,∴（4-9k2)x2=36,当4−9k2=0时，k=±23，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当4−9k2≠0时，k≠±23，x2=364−9k2>0，解之得−23<k<23.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．C【解析】【分析】如图所示，由BD→=12BC→=12(AC→−AB→)，可得AD→=12(AC→+AB→)，代入即可得出．【详解】如图所示，∵BD→=12BC→=12(AC→−AB→)，∴AD→=12(AC→+AB→)，∴AD→•BD→=14(AC→−AB→)⋅(AC→+AB→)=14(22−32)=﹣54．故答案为：C【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．D【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），化为q2=4，解得q，可得b n．【详解】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），∴b1q n+2⋅b1q n−2=4(b1q n−1)2，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴b n=2n．则log2b n=n．故答案为：D好教育云平台名校精编卷答案第1页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共18页）【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：S n=f(a n)或S n=f(n)的关系，可以利用项和公式a n={S1(n=1)S n−S n−1(n≥2)，求数列的通项.5．D【解析】【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°，即√1+a2=√2 2，整理得：1+a2=2，即a2=1，解得：a=﹣1或1，故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．A【解析】【分析】由a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosA⋅sinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB)=2sinAsinBcosCsinCsin(A+B)=2abcosCc2即可得出．【详解】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．∴2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosA⋅sinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB)=2sinAsinBcosCsinCsin(A+B)=2abcosCc2=2013．故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．7．C【解析】【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2＜r2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣ab，直线m的斜率为ba，∴直线l⊥m，∵点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，∴a2+b2＜r2，∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是2√a2+b2＞r，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（a2，−1），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣1对称，设圆心（a2，−1）和（0,0）的中点为（a4，−12），所以（a4，−12）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）所以√(x+2)2+(y−2)2=|x|解得：y2+4x﹣4y+8=0，所以圆心P的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，故答案为：C【点睛】好教育云平台名校精编卷答案第3页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第4页（共18页）好教育云平台 名校精编卷答案 第5页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第6页（共18页）（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： ①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点M(x,y)的运动主要是由于某个参数φ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即{x =f(φ)y =g(φ)，再消参.9．D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA →•MB →=x （x ﹣2）+34=x 2﹣ 2x+34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决． 【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1， AB →•AD →=﹣1，点M 在边CD 上， ∴|AB →|•|AD →|•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴， 建立如图所示的坐标系，∴A （0，0），B （2，0），D （﹣12，√32），设M （x ，√32），则﹣12≤x≤32，∴MA →=（﹣x ，﹣√32），MB →=（2﹣x ，﹣√32），∴MA →•MB →=x （x ﹣2）+34=x 2﹣2x+34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，则f （x ）在[﹣12，1）上单调递减，在[1，32]上单调递增， ∴f （x ）min =f （1）=﹣14，f （x ）max =f （﹣12）=2， 则MA →•MB →的最大值是2， 故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10．B 【解析】 【分析】椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义： |AF|+|AF 1|=2a ，∠ABF=α，则∠AF 1F=α．椭圆的离心率e=2c2a =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，α∈[π6，π4]，√2(√3+1)4≤sin （α+π4）≤1，√22≤√2sin(α+π4)≤√3﹣1，即可求得椭圆离心率e 的取值范围．【详解】 椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1，连接AF ，AF 1，BF ， BF 1，∴四边形AFF 1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，则：∠AF 1F=α． ∴2a=2ccosα+2csinα 椭圆的离心率e=2c2a =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，α∈[π6，π4]，∴5π12≤α+π4≤π2， 则：√2(√3+1)4≤sin （α+π4）≤1， ∴√22≤√2sin(α+π4)≤√3﹣1，∴椭圆离心率e 的取值范围：[√22，√3−1]， 故答案为：B好教育云平台 名校精编卷答案 第7页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第8页（共18页）【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离 心率公式的应用，属于中档题型．(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11．C 【解析】 【分析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得1m =|PN||PA|，设PA 的倾斜角为α，则当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【详解】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴1m =|PN||PA|，设PA 的倾斜角为α，则sinα=1m，当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1）， 即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1， ∴P （2，1），∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2（√2﹣1）， ∴双曲线的离心率为2(√2−1)=√2+1．故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力， 当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，是解题的关键．(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12．A 【解析】 【分析】根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．【详解】∵函数f （x ）的图象关于y 轴对称， ∴函数f （x ）是偶函数，由f （2+x ）﹣f （2﹣x ）=0得f （2+x ）=f （2﹣x ）=f （x ﹣2）， 即f （x+4）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数， 若x ∈[﹣2，0]，则x ∈[0，2]， ∵当x ∈[0，2]时，f （x ）=x ， ∴当﹣x ∈[0，2]时，f （﹣x ）=﹣x ， ∵函数f （x ）是偶函数， ∴f （﹣x ）=﹣x=f （x ）， 即f （x ）=﹣x ，x ∈[﹣2，0]，则函数f （x ）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f （x ）={x0≤x ≤2−x −2≤x ＜0，∵f （n ）（x ）=f （2n ﹣1•x ），n ∈N *，∴数f （4）（x ）=f （23•x ）=f （8x ），n ∈N *，故f （4）（x ）的周期为12，其图象可由f （x）的图象压缩为原来的18得到，好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共18页）作出f （4）（x ）的图象如图： 易知过M （﹣1，0）的斜率存在，设过点（﹣1，0）的直线l 的方程为y=k （x+1），设h （x ）=k （x+1）， 则要使f （4）（x ）的图象在[0，2]上恰有8个交点， 则0＜k ＜k MA ， ∵A （74，0）， ∴k MA =2−074+1=811，故0＜k ＜811， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决本题 的关键．综合性较强，难度较大．(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.13．2 【解析】 【分析】根据sin(2A +π6)=12解出A=π3，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 的式子算出c=√3，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案． 【详解】∵sin(2A +π6)=12，A ∈（0，π）∴2A+π6=5π6，可得A=π3 ∵b=1，△ABC 的面积为√32，∴S=12bcsinA=√32，即12×1×c ×sinA =√32，解之得c=2由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=1+4﹣2×1×2cos π3=3∴a=√3（舍负） 根据正弦定理，得b+csinB+sinC =asinA =√3sinπ3=2 故答案为：2 【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属 于中档题． 14．3√6 【解析】 【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决． 【详解】平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →+OB →+OC →=0→， ∴O 是△ABC 的重心，∵OA →•OB →=OB →•OC →，∴OB →•（OA →﹣OC →）=OB →•CA →=0， 即：OB →⊥CA →，同理可得：OC →⊥BA →，OA →⊥BC →， 即O 是垂心， 故△ABC 是正三角形，∵OA →•OB →=OB →•OC →=OC →•OA →=﹣1，令外接圆半径R ，则：R 2cos （∠AOB ）=R 2cos （2π3）=﹣1 即：R=√2即：asinA =asinπ3=2R=2√2，即：a=√6， 故周长：3a=3√6， 故答案为：3√6【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题． 15．4√33好教育云平台 名校精编卷答案 第11页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第12页（共18页）【解析】 【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos π3，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，化简为即4c2=4a 12+r 1r 2…③，所以1e 12+3e 22=4，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2,∵∠F 1PF 2=π3，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos π3，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③， 所以1e 12+3e 22=4，由柯西不等式得（1+13）（1e 12+3e 22）≥（1e 1+√3e 2×√3）2所以1e 1+1e 2≤4√33故答案为：4√33【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题． 16．4 【解析】 【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{a n2n }，求出通项后代入不等式2n 2﹣n ﹣3＜（5﹣λ）a n ，整理后得到5﹣λ＞2n−32n．然后根据数列b n =2n−32n的单调性求得最值得答案．【详解】当n=1时，S 1=2a 1−22，得a 1=4；当n≥2时，S n−1=2a n −2n ，两式相减得a n =2a n −2a n−1−2n ，得a n =2a n−1+2n ，∴a n 2n −an−12n−1=1．又a 12=2，∴数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列，a n 2n=n +1，即a n =(n +1)⋅2n ． ∵a n ＞0，∴不等式2n 2﹣n ﹣3＜（5﹣λ）a n ，等价于5﹣λ＞2n−32．记b n =2n−32n，n≥2时，b n+1b n=2n−12n+12n−32n=2n−14n−6．∴n≥3时，b n+1b n＜1，(b n )max =b 3=38．∴5﹣λ＞38，即λ＜5−38=378，∴整数λ的最大值为4． 故答案为:4 【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了 不等式的恒成立问题，是中档题．(2)解答本题的关键有两点,其一是根据a n =2a n−1+2n 求数列的通项a n =(n +1)⋅2n ,其二是求b n =2n−32n的最大值.17．（1）A =60°（2） 直角三角形 【解析】【分析】(1)直接化简|m ⃗⃗ +n ⃗ |=√3得cosA =12，A =60°.（2）联立b 2−c 2−a 22bc=12①，b +c =√3a ②，化简得b =2c 或c =2b ，当b=2c 时，可以推理得到△ABC 为直角三角形，同理，若c =2b ，则△ABC 也为直角三角形.【详解】(1)∵(m ⃗⃗ )2+(n ⃗ )2+2m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =3，代入m ⃗⃗ =(cos 3A 2,sin3A2)，n ⃗ =(cos A 2,sin A2)，有 1+1+2(cos 3A 2cos A 2+sin3A 2sin A2)=3，∴(cos3A 2cos A2+sin3A 2sin A2)=12，即cos(3A2−A2)=12，∴cosA =12，A =60°.(2)∵cosA =12，∴b 2−c 2−a 22bc=12①又∵b +c =√3a ②联立①②有，bc =b 2+c 2−(√3)2，即2b 2−5bc −2c 2=0，解得b =2c 或c =2b ，又∵b +c =√3a ，若b =2c ，则a =√3c ，好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共18页）∴a 2+c 2=(√3c)2−c 2=4c 2=b 2，△ABC 为直角三角形，同理，若c =2b ，则△ABC 也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到b =2c 或c =2b .18．（Ⅰ）(x −2)2+(y −1)2=5. （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线y =−12x +2上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1），半径为√5，可得圆C 的方程．（Ⅱ）假设存在两点M ，N 关于直线y=kx ﹣1对称，则y=kx ﹣1通过圆心C （2，1），求得k=1，设直线MN 为y=﹣x+b ，代入圆的方程，利用韦达定理及 OM →•ON →=0，求得b 的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点P (4,0)且与y =2x −8垂直的直线y =−12x +2上，它又在线段OP 的中垂线x =2上，所以求得圆心C (2,1)，半径为√5.所以圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5.(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分) 法二：设圆C 的方程为(x −x 0)2+(y −y 0)2=r 2，可得{x 02+y 02=r 2,y 0x 0−4=−12,(x 0−4)2+y 02=r 2(005=r)解得{x 0=2,y 0=1,r =√5.,所以圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5 (细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点M,N 关于直线y =kx −1对称，则y =kx −1通过圆心C (2,1)，求得k =1，所以设直线MN 为y =−x +b代入圆的方程得2x 2−(2b +2)x +b 2−2b =0，设M(x 1,−x 1+b)，N(x 2,−x 2+b)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1x 2−b(x 1+x 2)+b 2=b 2−3b =0 解得b =0或b =3这时Δ>0，符合题意，所以存在直线MN 为y =−x 或y =−x +3符合条件 (细则：未判断Δ>0的扣1分). 【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19．（1）p =1（2）a n =n+12（3） T n =(n −1)⋅2n+1+2【解析】 【分析】(1)令2S n =2pa n 2+pa n −p(p ∈R)中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{a n }的通项公式.(3)先求出b n =4S n n+3⋅2n =n ⋅2n ，再利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n .【详解】解：(1)由a 1=1及2S n =2pa n 2+pa n −p(n ∈N ∗)，得：2=2p +p −p ，∴p =1.(2)由2S n =2a n 2+a n −1①，得2S n+1=2a n+12+a n+1−1② 由②－①，得2a n+1=2(a n+12−a n 2)+(a n+1−a n )，即：2(a n+1+a n )(a n+1−a n )−(a n+1+a n )=0， ∴(a n+1+a n )(2a n+1−2a n −1)=0，由于数列{a n }各项均为正数，∴2a n+1−2a n =1，即a n+1−a n =12， ∴数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式是a n =1+(n −1)×12=n+12.(3)由a n =n+12，得：S n =n(n+3)4，∴b n =4Snn+3⋅2n =n ⋅2n ，∴T n =1×2+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n2T n =1×22+2×23+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1， −T n =2+22+23+⋯+2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ×2n+1=−(n −1)⋅2n+1−2T n =(n −1)⋅2n+1+2.好教育云平台 名校精编卷答案 第15页（共18页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第16页（共18页）【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{b n ·c n }，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列，则采用错位相减法.20．（1）x 216+y 24=1（2） k =±√24【解析】 【分析】(1)由题得到a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y 得到(1+4k 2)x 2+8kx −12=0，可知Δ>0，设E(x 2,y 2)，F(x 3,y 3)，EF 的中点是M(x M ,y M )，求出M 的坐标，再根据k BM =y M +2x M=−1k求出k 的值.【详解】 解：(1)因为ca =√32，a 2−b 2=c 2，所以a =2b ，因为原点到直线AB:x a−y b=1的距离d =√a 2+b 2=4√55，解得a =4，b =2，故所求椭圆C 的方程为x 216+y 24=1.(2)由题意{y =kx +1x 216+y 24=1消去y ，整理得(1+4k 2)x 2+8kx −12=0，可知Δ>0， 设E(x 2,y 2)，F(x 3,y 3)，EF 的中点是M(x M ,y M )，则x M =x 2+x 32=−4k 1+4k2，y M =kx M +1=11+4k 2，所以k BM =y M +2x M=−1k ，所以x M +ky M +2k =0，即−4k1+4k 2+k1+4k 2+2k =0，又因为k ≠0，所以k 2=18，所以k =±√24. 【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M 的坐标，根据已知得到k BM ⋅k EF =−1.21．（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【解析】试题分析：（Ⅰ）设(),M x y1y =+化简即可得结论；（Ⅱ）由题意PAB V 的外接圆直径是线段AB ，设AB l ： 1y kx =+，与 24x y =联立得2440x kx --=，从而得()241AB k =+， 0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题解析：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =. 设(),M xy = 1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ： 1y kx =+， 代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则124x x k +=， 124x x ⋅=-.所以AB = ()21241x x k ⋅-=+.因为C ： 24x y =，即24x y =，所以2xy '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =. 因为121214x x k k ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB V 为直角三角形.所以PAB V 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00{x g x y h x ==代入()00,0f x y =.本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22．（1）−34（2）a ≥12 （3）m =12 【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得a≥(−12x02+x0)max，x0∈(0,3].再求右边二次函数的最大值即得a≥12.(3)转化为x2−2mlnx−2mx=0有唯一实数解，设g(x)=x2−2mlnx−2mx，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=b=12时，f(x)=lnx−14x2−12x，f′(x)=1x −12x−12=−(x+2)(x−1)2x，令f′(x)=0，解得x=1.(∵x>0)因为g(x)=0有唯一解，所以g(x2)=0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)=−34，此即为最大值.(2)F(x)=lnx+ax ，x∈(0,3]，则有k=F′(x0)=x0−ax02≤12，在x0∈(0,3]上恒成立，所以a≥(−12x02+x0)max，x0∈(0,3].当x0=1时，−12x02+x0取得最大值12，所以a≥12.(3)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解，所以x2−2mlnx−2mx=0有唯一实数解，设g(x)=x2−2mlnx−2mx，则g′(x)=2x 2−2mx−2mx，令g′(x)=0，x2−mx−m=0，因为m>0，x>0，所以x1=m−√m2+4m2<0(舍去)，x2=m+√m2+4m2，当x∈(0,x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0,x2)上单调递减；当x∈(x2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2,+∞)上单调递增；当x=x2时，g′(x2)=0，g(x)取最小值g(x2).则{g(x2)=0g′(x2)=0，即{x22−2mlnx2−2mx2=0 x22−mx2−m=0，所以2mlnx2+mx2−m=0，因为m>0，所以2lnx2+x2−1=0(*) 设函数ℎ(x)=2lnx+x−1，因为当x>0时，ℎ(x)是增函数，所以ℎ(x)=0至多有一解，因为ℎ(1)=0，所以方程(*)的解为x2=1，即m+√m2+4m2=1，解得m=12.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.好教育云平台名校精编卷答案第17页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第18页（共18页）。
河北衡水中学2019届全国高三年级三调考试
河北衡水中学2019 届全国高三年级三调考试理科数学本试卷 4 页，23 小题，满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合M x 2x2 x 1 0 ，N x 2x a 0 ，U R ，若M C N ，则a 的取值U范围是( )A. a 1B. a 1C. a 1D. a 12. 若直线y kx 与双曲线2 2x y9 41相交，则k 的取值范围是( )A. 0, 23B.23,0 C.2 2,3 3D.2 2, ,3 33. 在△ABC 中，AB 3 ，AC 2 ， 14. BD BC ，则AD BD ( )2A. 52B.52C.54D.545. 已知数列 a 的前n项和为n2S n n ，正项等比数列b n 中，b2 a3 ，n2b 3b 1 4b n 2,n N ，则log2 b n ( )n n nA. n 1B. 2n 1C. n 2D. n15.已知直线ax y 1 0 与圆 2 2C : x 1 y a 1 相交于 A ，B，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 17 或1 B. 1 C. 1 D.1 或 16.在ABC 中，a, b, c 分别是角A,B,C 的对边，若 2 2 2014 2a b c ，则2tan A tan Btan C tan A tan B的值为( )A. 2013B.1C.0D.20147.已知点M a,b ab 0 是圆 2 2 2C : x y r 内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为 2bx ay r ，那么( )A. l m 且m 与圆C 相切B. l ∥m且m 与圆C 相切C. l m 且m 与圆C 相离D. l ∥m且m 与圆C 相离8.若圆 2 2 2 1 0x y ax y 和圆2 2 1x y 关于直线y x 1 对称，过点 C a, a 的圆P与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A. 2 4 4 8 0y x y B.2 2 2 2 0 y x yC. 2 4 4 8 0y x y D.2 2 1 0 y x y9.平行四边形ABCD 中，AB 2 ，AD AD 1，点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为( )A. 2 1B. 3 1C.0D.210.已知椭圆2 2x y2 2 1 a 0,b 0a b上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右焦点，若AF BF ，设∠ABF ，且,6 4 ，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.22 ,1 B.22, 3 1 C.2 3,2 2D.3 6,3 311.已知点A是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB ，当m 取最大值时，点P 恰好在以 A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲2线的离心率为( )A. 5 12B.2 12C. 2 1D. 5 112.已知在R上的函数 f x 满足如下条件：①函数 f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ，f 2 x f 2 x 0 ；③当x 0,2 时， f x x ；④函数n 1f x f 2 x ，n*n N ，若过点1,0 的直线l 与函数f x 的图象在x 0,2 上恰有8 个交点，则直线l 斜4率k 的取值范围是( )A.80,11B.1180,C.80,19D.1980,二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13.在△ABC 中，a,b, c 分别是角A, B,C 的对边，已知1sin 2A ，b 1 ，△ABC 的6 2面积为32，则b csin B sin C的值为_______________.14.已知平面上有四点O, A, B,C ，向量OA，OB ，OC 满足：OA OB OC 0 ，OA OB OB OC OC OA 1，则△ABC 的周长是_______________.15.已知F、F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且 1 2∠F PF ，则13椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列 a 的前n 项和nn 1S 2a 2 ，若不等式n n22n n 3 5 a n 对*n N 恒成立，则整数的最大值为________________.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在△ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b, c ，已知向量3A 3Am cos ,sin ，2 2A An cos ,sin ，且满足m n 3 .2 2(1) 求角A的大小；(2) 若 b c 3a ，试判断△ABC 的形状.318.已知圆 C 经过原点O 0,0 且与直线y 2x 8 相切于点P 4,0 .(1) 求圆C 的方程；(2) 在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线y kx 1对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列a中，a1 1，S n 是数列a n 的前n 项和，对任意n*n N ，有22S n 2 pa n pa n p p R .(1) 求常数p 的值；(2) 求数列a的通项公式；n(3) 记 bn 4Snn 3n2 ，求数列b n 的前n 项和T n .20.已知椭圆2 2x yC : 1 a b 02 2a b的离心率3e ，原点到过点 A a,0 ，B 0, b 的直2线的距离是4 5 5.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 如果直线y kx 1 k 0 交椭圆 C 于不同的两点E, F ，且E,F 都在以 B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点 F 0,1 ，定直线m : y 1 ，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1) 求动圆M 的圆心轨迹 C 的方程；(2) 过点F 的直线与曲线 C 相交于A, B 两点，分别过点A, B 作曲线 C 的切线l1 ，l2 ，两条切线相交于点P ，求△PAB 外接圆面积的最小值.22.设函数12f x ln x ax bx .2(1) 当1a b 时，求函数 f x 的最大值；2(2) 令12F x f x ax bx2ax，0 x 3 其图象上任意一点P x0 , y0 处切线的斜率1k 恒成立，求实数 a 的取值范围；24(3) 当a 0 ，b 1 ，方程 22mf x x 有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019 学年度上学期高三年级三调考试数学( 理) 试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11 、12：CA二、填空题23.14. 3 6 15. 4 336.三、解答题17. 解：(1) ∵2 2m n 2m n 3 ，代入3A 3A A Am cos ,sin ，n cos ,sin ，有2 2 2 23A A 3A A1 12 cos cos sin sin 32 2 2 2，∴3A A 3A A 1cos cos sin sin2 2 2 2 2，即cos3A A 12 2 2，∴cos1A ，A 60°.2(2) 法一：∵cos 1A ，∴22 2 2 1b c a2bc 2①又∵b c 3a ②联立①②有，2b c2 2bc b c ，即32 22b 5bc 2c 0 ，解得b 2c 或 c 2b ，又∵ b c 3a ，若b 2c ，则a 3c，∴22 23 24 2 2a c c c cb ，△ABC 为直角三角形，同理，若c 2b ，则△ABC 也为直角三角形.18.(1) 由已知，得圆心在经过点P 4,0 且与y 2x 8 垂直的直线1y x 2 上，它又在线2段OP 的中垂线x 2 上，所以求得圆心 C 2,1 ，半径为 5 .所以圆 C 的方程为： 2 2x 2 y 1 5 .(2) 假设存在两点M , N 关于直线y kx 1对称，则y kx 1 通过圆心 C 2,1 ，求得k 1 ，所以设直线MN 为y x b ，代入圆的方程得 2 22x 2b 2 x b 2b 0 ，5设M x1, x1 b ，N x2, x2 b ，则O M ON 2x1x2 b x1 x2 b2 b2 3b 0 ，解得b 0 或b 3 ，这时0，符合题意，所以存在直线MN 为y x 或y x 3 符合条件.24.解：(1) 由a1 1及2 *2S n 2 pa n pa n p n N ，得：2 2 p p p ，∴p 1 .(2) 由 22S n 2a n a n 1①，得22S n 2a n a n 1 ②1 1 1由②－①，得 2 22a 2 a a a a ，n 1 n 1 n n 1 n 即：2a n a n a n a n a n a n 0 ，1 1 1∴a n 1 a n 2a n 1 2a n 1 0 ，由于数列1 a 各项均为正数，∴2a n 1 2a n 1 ，即a 1 a ，n n n2∴数列 a 是首项为1，公差为n 12的等差数列，∴数列 a 的通项公式是n1 n 1a 1 n 1 . n2 2(3) 由 1na ，得：n2n n 3S ，∴n44Sn n nb 2 n 2nn 3，∴ 2 3T 1 2 2 2 3 2 ⋯n2nn2 3 n n 12T 1 2 2 2 ⋯n 1 2 n 2 ，nn2 3 1 2 1 2 1 1n n n nT 2 2 2 ⋯ 2 n 2 n 2 n 1 2 2 n1 2n 1T n 1 2 2 .n25.解：(1) 因为ca32， 2 2 2a b c ，所以 a 2b ，x y因为原点到直线: 1AB的距离dab2 2a b4 55，解得 a 4 ，b 2 ，a b故所求椭圆C 的方程为2 2x y16 41.6y kx 1(2) 由题意x2 y2 消去y ，整理得116 42 21 4k x 8kx 12 0 ，可知0 ，设E x2, y2 ，F x3 , y3 ，EF 的中点是M x M , y M ，则xM x x 4k2 322 1 4k，y kx M M 1121 4k，所以kBM y2 1Mx kM，所以x M ky M 2k 0 ，即4k k2 21 4k 1 4k2k 0 ，又因为k 0 ，所以 2 1k ，所以82 k .426.解：(1) 设点M 到直线l 的距离为 d ，依题意 2M d ，设M x, y ，则有22 1 1x y y ，化简得2 4x y . 所以点M 的轨迹 C 的方程为2 4x y .(2) 设l AB : y kx 1，代入 2 4x y 中，得2 4 4 0x kx ，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则x1 x2 4k ，x1 x2 4 ，所以 2 2AB 1 k x x 4 k 1 ，因为1 22C : x 4y ，即2xy ，4所以xy ，所以直线l1 的斜率为2x1k ，直线l2 的斜率为12x2k ，因为22x x1 2k1k2 1，4所以PA PB ，即△PAB 为直角三角形.所以△PAB 的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB是直径，因为 2AB 4 k 1 ，所以当k 0时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为 4 . 27.解：(1) 依题意，知 f x 的定义域为0, ，当 1a b 时，21 12f x ln x x x ，4 21 1 1 x2 x 1f ' x xx 2 2 2x，令 f ' x 0 ，解得x 1 . ( ∵x 0 )因为g x 0 有唯一解，所以g x2 0 ，当0 x 1时， f ' x 0 ，此时 f x 单调递增；当x 1 时， f ' x 0 ，此时 f x 单调递减，所以 f x 的极大值为3f 1 ，此即为最大值.4(2) F x ln x ax ，x 0,3 ，则有x ak F ' x0 212，在x0 0,3 上恒成立，x0 7所以12a x x ，x0 0,3 .0 02max当x0 1时，122x x 取得最大值0 012，所以 1a .2(3) 因为方程 22mf x x 有唯一实数解，所以 2 2 ln 2 0x m x mx 有唯一实数解，设 2 2 ln 2g x x m x mx ，则g' x22x 2mx 2mx，令g ' x 0 ， 2 0x mx m ，因为m 0 ，x 0 ，所以2m m 4mx 0 (舍去) ，122m m 4mx ，22当x0, x 时，g ' x 0 ，g x 在0, x2 上单调递减；2当x x2 , 时，g ' x 0，g x 在x2, 上单调递增；当x x2 时，g ' x2 0 ，g x 取最小值g x2 .则g x2g ' x 02，即2x 2m l n x 2mx 02 2 22x mx m2 2，所以2m ln x mx m 0 ，因为m 0 ，所以2ln x2 x2 1 0 (*)2 2设函数h x 2ln x x 1，因为当x 0 时，h x 是增函数，所以h x 0 至多有一解，因为h 1 0，所以方程(*) 的解为x2 1，即 2 4m m m2 1，解得1m .2。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题(精编含解析)
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，，若，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求，再根据得到a的不等式，即得解.【详解】由题得，因为，所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.2.若直线与双曲线相交，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当，，解之得.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.在中，，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示，由==，可得，代入即可得出．【详解】如图所示，∵==，∴，∴•===﹣．故答案为：【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4.已知数列的前项和为，正项等比数列中，，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），化为q2=4，解得q，可得b n．【详解】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），∴=4，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴b n=2n．则log2b n=n．故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.5.已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为( )A. 或B.C.D. 1或【答案】D【解析】【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°，即=，整理得：1+a2=2，即a2=1，解得：a=﹣1或1，故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6.在中，分别是角的对边，若，则的值为( )A. B. 1 C. 0 D. 2014【答案】A【解析】【分析】由a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得===即可得出．【详解】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．∴====2013．故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．7.已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么( )A. 且与圆相切B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2＜r2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣，直线m的斜率为，∴直线l⊥m，∵点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，∴a2+b2＜r2，∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是＞r，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.若圆和圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣1对称，设圆心（）和（0,0）的中点为（），所以（）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）所以解得：y2+4x﹣4y+8=0，所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求轨迹方程的四种主要方法：①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.9.平行四边形中，，，点在边上，则的最大值为( )A. B. C. 0 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决．【详解】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，•=﹣1，点M在边CD上，∴||•||•cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则•的最大值是2，故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10.已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则∠AF1F=α．椭圆的离心率e===，α∈[，]，≤sin（α+）≤1，≤≤﹣1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．【详解】椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e===，α∈[，]，∴≤α+≤，则：≤sin（α+）≤1，∴≤≤﹣1，∴椭圆离心率e的取值范围：，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．(2)求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12.已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，则直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．【详解】∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）是偶函数，由f（2+x）﹣f（2﹣x）=0得f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，若x∈[﹣2，0]，则x∈[0，2]，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x，∴当﹣x∈[0，2]时，f（﹣x）=﹣x，∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x=f（x），即f（x）=﹣x，x∈[﹣2，0]，则函数f（x）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f（x）=，∵f（n）（x）=f（2n﹣1•x），n∈N*，∴数f（4）（x）=f（23•x）=f（8x），n∈N*，故f（4）（x）的周期为，其图象可由f（x）的图象压缩为原来的得到，作出f（4）（x）的图象如图：易知过M（﹣1，0）的斜率存在，设过点（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设h（x）=k（x+1），则要使f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，则0＜k＜k MA，∵A（，0），∴k MA==，故0＜k＜，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.【答案】2【解析】【分析】根据解出A=，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出c=，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案．【详解】∵，A∈（0，π）∴2A+=，可得A=∵b=1，△ABC的面积为，∴S=bcsinA=，即，解之得c=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3∴a=（舍负）根据正弦定理，得===2故答案为：2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．14.已知平面上有四点，向量，，满足：，，则的周长是_______________.【答案】【解析】【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．【详解】平面上有四点O，A，B，C，满足++=，∴O是△ABC的重心，∵•=•，∴•（﹣）=•=0，即：⊥，同理可得：⊥，⊥，即O是垂心，故△ABC是正三角形，∵•=•=•=﹣1，令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（）=﹣1即：R=即：==2R=2，即：a=，故周长：3a=3，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题．15.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.【答案】【解析】【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．16.已知数列的前项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为________________.【答案】4【解析】【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{}，求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜（5 ﹣λ）a n，整理后得到5﹣λ．然后根据数列的单调性求得最值得答案．【详解】当n=1时，，得a1=4；当n≥2时，，两式相减得，得，∴．又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．∵a n＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，等价于5﹣λ．记，n≥2时，．∴n≥3时，，．∴5﹣λ，即，∴整数λ的最大值为4．故答案为:4【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了不等式的恒成立问题，是中档题．(2)解答本题的关键有两点,其一是根据求数列的通项,其二是求的最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足.(1)求角的大小；(2)若，试判断的形状.【答案】（1）（2）直角三角形【解析】【分析】(1)直接化简得，.（2）联立①，②，化简得或，当b=2c时，可以推理得到为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.【详解】(1)∵，代入，，有，∴，即，∴，.(2)∵，∴①又∵②联立①②有，，即，解得或，又∵，若，则，∴，为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到或.18.已知圆经过原点且与直线相切于点（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）在圆上是否存在两点关于直线对称，且以线段为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程．（Ⅱ）假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，则y=kx﹣1通过圆心C（2，1），求得k=1，设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及•=0，求得b的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线上，所以求得圆心，半径为.所以圆的方程为.(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)法二：设圆的方程为，可得解得,所以圆的方程为(细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，所以设直线为代入圆的方程得，设，，则解得或这时，符合题意，所以存在直线为或符合条件(细则：未判断的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19.各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.(1)求常数的值；(2)求数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)令中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：(1)由及，得：，∴.(2)由①，得②由②－①，得，即：，∴，由于数列各项均为正数，∴，即，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴数列的通项公式是.(3)由，得：，∴，∴，.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.20.已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是.(1)求椭圆的方程；(2)如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题得到a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y得到，可知，设，，的中点是，求出M的坐标，再根据求出k的值.【详解】解：(1)因为，，所以，因为原点到直线的距离，解得，，故所求椭圆的方程为.(2)由题意消去，整理得，可知，设，，的中点是，则，，所以，所以，即，又因为，所以，所以.【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M的坐标，根据已知得到.21.已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设，由化简即可得结论；（Ⅱ）由题意的外接圆直径是线段，设：，与联立得，从而得，时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.试题解析：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.设，则有.化简得.所以点的轨迹的方程为.（Ⅱ）设：，代入中，得.设，，则，.所以.因为：，即，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22.设函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得，.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解，设，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意，知的定义域为，当时，，，令，解得.(∵)因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以的极大值为，此即为最大值.(2)，，则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.(3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，，因为，，所以(舍去)，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，，取最小值.则，即，所以，因为，所以(*)设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，因为，所以方程(*)的解为，即，解得.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.。
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(含答案解析)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。