2019-2020年高考数学大一轮复习第八章解析几何第41讲直线的倾斜角与斜率直线的方程优选学案

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章解析几何第41讲直线的倾斜角与斜率直线的方程优选学案1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l！！！！__向上方向__####之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴！！！！__平行或重合__####时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是！！！！__[0，π)__####.2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝！！！！__tan θ__####.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝！！！！__y2－y1 x2－x1__####.3．直线方程的五种形式1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)当直线l 1和l 2斜率都存在时，若k 1＝k 2，则l 1∥l 2.( × ) (4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．( × ) (5)任何直线方程都能写成一般形式．( √ )解析 (1)正确．直线的倾斜角仅反映直线相对于x 轴的倾斜程度，不能确定直线的位置．(2)错误．当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在． (3)错误．当k 1＝k 2时，两直线可能平行，也可能重合．(4)错误．当直线与x 轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示． (5)正确．无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式． 2．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( C ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析 由k ＝tan α＝－33，α∈[0°，180°)，得α＝150°. 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( A )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.4．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( A ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，即m ＝1.5．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为！！！！__4__####.解析 k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.一 直线的倾斜角与斜率直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]． 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．二 直线方程的求法求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．【例2】 根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.三 直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【例3】 (1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解析 (1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4－k ＝12×(12＋12) ＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B ．2．过点P (3，1)，且与直线l ：x ＋3y －1＝0垂直的直线方程为！！！！＝0__####.解析 直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以与其垂直的直线的斜率k ＝ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝3(x －3)，即3x －y －2＝0.3．当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为！！！！4解析 因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k.又因为k >0，所以k ＋2k≥2k ·2k ＝22，故三角形面积的最大值为24.4．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为！！！！__12__####.解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)．由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12.由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.易错点 忽略直线方程的适用范围错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与x 轴垂直，则需要讨论．【例1】 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线a 过点C (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且||AB ＝23，求直线a 的方程．解析 ∵r ＝2，||AB ＝23， ∴圆心M (1,1)到直线a 的距离为1.当直线a 垂直于x 轴时，符合题意，此时直线a 的方程为x ＝2. 当直线a 不垂直于x 轴时， 设其方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋(3－2k )＝0， ∴||k －1＋3－2k k 2＋1＝1，∴k ＝34，∴y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.综上可知，直线a 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.【跟踪训练1】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为！！！！__x －y ＝0或x ＋y －2＝0__####.(2)若a ＞－1，直线l 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积最小时，直线l 对应的方程为！！！！__x ＋y －2＝0__####.解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2.此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0； 当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2，且a ≠－1时， 由直线在两坐标轴上的截距相等可得 2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a ＋1)·1a ＋1＋2＝2. 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时，等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.课时达标 第41讲[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程，常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题1．(2018·四川绵阳南山中学期中)直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( A )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解析 由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A ． 2．过点A (5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为( C ) A ．x －y －3＝0B ．2x －5y ＝0C ．2x －5y ＝0或x －y －3＝0D ．2x ＋5y ＝0或x ＋y －3＝0解析 直线l 的斜率存在且不等于0，设l ：y －2＝k (x －5)，则l 在x 轴上的截距为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋5，0，在y 轴上的截距为(0，－5k ＋2)．由题意得－2k ＋5＋2－5k ＝0，所以k ＝1或25，即l 为2x －5y ＝0或x －y －3＝0.故选C ． 3．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D ．4．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( A ) A ．(1，－2) B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－AB ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不通过第三象限．6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.二、填空题7．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为！！！！__x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0__####.解析 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵A (－2,2)在直线上， ∴－2a ＋2b＝1. ①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1. ② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是！！！！__3__####. 解析 ∵直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，易知x ＞0，y ＞0时，xy 能取到最大值， ∴1＝x 3＋y4≥2|xy |12， ∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为！！！！__16__####.解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1， 又C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．故ab 的最小值为16. 三、解答题10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析 设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解析 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解析 (1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1，故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．故k ≥0，即k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB | ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。