力学考题

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 小球，沿半径为40cm 的圆周作匀速圆周运动，这 时从孔下拉绳的力为10-3N 。

如果继续 向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的 F 速率是多少？拉力所做的功是多少？解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R 1=40cm,运动速率为v 1;后来的运动半径为R 2=10cm,运动速率为v 2.先求小球原来的速率v 1：据牛顿第二定律，F=mv 12/R 1，所以，s m m F R v /2.010/104.0/2311=⨯==--由于各力Jv v v v m v v m mv mv A F 322112122121222121212221103)2.08.0)(2.08.0(10))(()(--⨯=-+⨯=-+=-=-=对过小孔的竖直轴的力5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 的小球，沿半径为40cm 的圆周做匀速圆周运动，这是从孔下拉绳的力为310N -.如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm 的圆周做匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？ 解：(1)小球角动量守恒：00m R m R νν= ①由牛顿第二定律：最初200020F T mR ν== ②又②解出0ν代入①得 00R0.8(m /s)R νν==（2）拉力所作的功223011A m m 3.010(J)22νν-=-=⨯矩为零，所以小球对该轴的角5.1.9 质量为200g 的小球 v 0B 以弹性绳在光滑水平面上与固 A B 30º 定点A 相连。

弹性绳的劲度系数 为8 N/m ，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v 0如图所示。

当小球的速率变为v 时， 它与A 点的距离最大，且等于800mm ，求此时的速率v 及初速率v 0.解：设小球B 的质量m=0.2kg,原来与固定点A 的距离r 0=0.4m,当速率为v 时，与A 点距离r =0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d =0.6m.小球B 的速率由v 0→v 的过程中，作用在小球B 上的力对过A 点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A 点的角动量守恒，有r 0mv 0sin30º= rmv (最大距离时，)v r⊥ （1）另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，)2()(2212212021mvd r k mv +-=为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：)'2(6.1)'1(42200v v v v +==解此方程组，求得：v 0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s5.1.9 质量为200g 的小球B 以弹性绳在光滑水平面上与固定点A 相连.弹性绳的劲度系数为8N/m ，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度0ν如图所示.当小球的速度变为ν时，它与A 点的距离最大，且等于800mm ，求此时的速度ν及初速度0ν.解：由角动量守恒：00m d m d sin 30νν=00d d sin 30νν= （1） 再由机械能守恒：2220111m m k(d 0.6)222νν=+- （2） 联立求解：01.306(m /s),0.3266(m /s)νν==7.5.5 下面是匀质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.⑴沿圆柱体上缘作用一水平拉力F,柱体作加速滚动。

⑵水平拉力F 通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动。

⑶不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动。

⑷在主动力偶矩τ的驱动下加速滚动，设柱体半径为R 。

解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。

假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所 所示。

对每种情况，都可以根据质心定理、绕 质心轴的转动定理和只滚不滑条件，建立三个方程求解。

⑴R a mR R f F ma f F c c ββ==+=-,)(,221可求得f = - F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。

⑵可求得f = F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。

⑶ a c = 0 , f = 0mg fNF(1) F(2) C⑷R a mR fR ma f c c ββτ==+=-,,221,求得R f 32τ-=负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。

R a mR fR ma f F c c ββ===-,,2217.5.5 下面是均质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.（1）沿圆柱体上缘作用以水平拉力F ，柱体作加速滚动. （2）水平拉力F 通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动. （3）不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动.（4）在主动力偶矩τ的驱动下作加速滚动.设柱体半径为R. 解：取均匀圆柱体为隔离体，建立坐标系，水平向右为x 轴正方向，z 轴垂直纸面向里。

假设c f 方向水平向右。

（1）c 20c F f ma 1(F f )R I mR 2a R βββ-=⎧⎪⎪+==⎨⎪=⎪⎩得F f 3=-（符号表示实际方向与假设方向相反） （2）c 20c F f ma 1fR I mR 2a R βββ-=⎧⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩得F f 3=（符号表示实际方向与假设方向相同） （3）c 20c f ma 1M+fR I mR 2a R βββ-=⎧⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩得2M f 3R =-（符号表示实际方向与假设方向相反）9.2.12 天花板下以0.9m 长的轻线悬挂一个质量为0.9kg 的小球。

最初小球静止，后另一质量为0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。

求两小球碰后的运动学方程。

解：设m 1=0.9kg,m 2=0.1kg,碰前m 2的速度为v 20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为v 0.由动量 l 守恒，有021202)(v m m v m +=s m v m m v m /1.01.09.00.11.0021202===+⨯+ m 2 v 20 m 1碰后两球构成一个单摆,圆频率3.39.08.90≈==lg ω.设运动学方程)2()3.3sin(3.3),1()3.3cos(αα+-==+=t A v t A x dtdx将t=0时,x=0,v=0.1代入,得：0=Acos α ⑴’, 0.1= - 3.3Asin α ⑵’ α要同时满足⑴’ ⑵’，只有取α=-π/2；代入⑵’得A ≈0.03.所以运动学方程为：)3.3cos(03.02π-=t x9.2.12天花板下以0.9m 长的轻线悬挂一个质量为0.9kg 的小球.最初小球静止，后另有一质量为0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。

求两小球碰撞后的运动学方程. 解：以小球12m ,m 为物体系。

碰撞前后的过程始末，在过程中认为12m ,m 仍在原小球2m 静止处。

水平方向动量守恒：22122212m (m m )m 0.1(m /s)m m x xxx νννν=+==+碰撞后成为一个单摆作简谐运动，设其运动方程为0A cos(t )θωα=+以碰后小球12m ,m 获得速度0.1(m/s)，而0θ=时为计时起点，即0t 000.1t 00,(0.9g9.83.39xνθθω========时角速度）2200000A ()0.0337θθθωω=+== 由cos 0α=，00sin 1,A 2θπααω=-=-=-故运动方程0.0337cos(3.3t )2πθ=-在θ很小的条件下，x θ=，所以用线量描述的运动方程为x 0.03cos(3.3t )2θ=- v 0o x9.2.8（1）一简谐振动的运动规律为)48cos(5π+=t x ，若计时起点提前0.5s ，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？ （2）一简谐振动的运动学方程为)3sin(8π-=t x .若计时起点推迟1s ，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t 0=时旋转矢量的位置. 解：（1）)48cos(5π+=t x （1）计时起点提前0.5，则0.5t t '=+，代入（1）式，运动方程为：5cos[8(0.5))5cos[84)44x t t ππ''=-+=-+设计时起点提前0t 秒，可使初相为零，即0t t t ''=+，代入（1）式得：05cos(88)5cos(8)4x t t t π''''=-+=有0080,432t t ππ-+==即即提前32π秒时计时可使其初相为零。

（2）38sin(3)8cos(3)2x t t ππ=-=- （2）计时起点提前0t 秒时0t t t '=+代入038cos(33)2x t t π'=--若计时起点推迟一秒，则01t =-，此时初相为0333322t αππ=--=-若要03302t απ=--=，需02t π=-即推迟2π秒计时时，可使初相为零。

（3）见图a,b(a)(b)9.2.8 ⑴一简谐振动的规律为x=5cos(8t+π/4),若计时起点提前0.5s ，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？⑵一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-π),若计时起点推迟1s ，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？⑶画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。

解：⑴设计时起点提前t 0秒，则t'=t+t 0，将t=t'-t 0代入原方程得 x=5cos(8t'-8t 0+π/4). 当t 0=0.5s 时，x=5cos(8t'-4+π/4)=5cos(8t'-184º)=5cos(8t'+176º) 若使初相为零，令 -8t 0+π/4=0，得 t 0=π/32，即计时起点提前 π/32秒可使初相为零。

⑵原方程x=8sin(3t-π)=8cos(3t-3π/2). 设计时起点推迟t 0秒，则t'=t-t 0，将t=t'+t 0代入原方程得 x=8cos(3t'+3t 0-3π/2).当t 0=1s 时，x=8cos(3t'+3-3π/2)=8cos(3t'-98º),∴t 0=1s 时，初相α=（3-3π/2）rad=-98º 若使初相为零，令 3t 0-3π/2=0，得t 0=π/2，即计时起点推迟 π/2秒可使初相为零。