【精品推荐】2021考研高数0基础第7章-第2节常系数齐次方
合集下载
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。
在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
常系数齐次线性微分方程
原方程通解: 原方程通解
r =1 5
y = C + C2x + C3x2 + C4x3 + C5ex 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11
【例6】 求 程 】 方
y(5) + y(4) + 2y(3) + 2y′′ + y′ + y = 0的 解 通 .
【解】 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
有重根 r = r = −1, 1 2
【解】特征方程 r2 + 2r +1 = 0 因此原方程的通解为 利用初始条件得
s = (C +C2 t )e− t 1
C = 4, C2 = 2 1
于是所求初值问题的解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
9
【例3】 求 程y′′ + 2y′ + 5y = 0的 解 】 方 通 .
13
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
实根 r1 实根 r1 复根 r
r + pr +q = 0
2
通解的表达式
≠ r2 = r2
1, 2
= α ± iβ
y = C 1e + C 2 e rx y = (C1 + C 2 x )e y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y = C er1 x +C2er2 x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4
2. 当 p2 − 4q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r = r 特征方程有两个相等实根 1 2
r =1 5
y = C + C2x + C3x2 + C4x3 + C5ex 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11
【例6】 求 程 】 方
y(5) + y(4) + 2y(3) + 2y′′ + y′ + y = 0的 解 通 .
【解】 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
有重根 r = r = −1, 1 2
【解】特征方程 r2 + 2r +1 = 0 因此原方程的通解为 利用初始条件得
s = (C +C2 t )e− t 1
C = 4, C2 = 2 1
于是所求初值问题的解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
9
【例3】 求 程y′′ + 2y′ + 5y = 0的 解 】 方 通 .
13
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
实根 r1 实根 r1 复根 r
r + pr +q = 0
2
通解的表达式
≠ r2 = r2
1, 2
= α ± iβ
y = C 1e + C 2 e rx y = (C1 + C 2 x )e y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y = C er1 x +C2er2 x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4
2. 当 p2 − 4q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r = r 特征方程有两个相等实根 1 2
二阶常系数齐次
y1 ( r1 − r2 ) x =e ≡ 常数（ ∵ r1 − r2 ≠ 0） ∵ / y2 ∴ (1)的通解为： Y = c1 y1 + c 2 y 2 = c1e r1 x + c 2 e r2 x
二、 解法
上一页
r + p1r + p2 = 0有
2
2
y′′ + p1 y′ + p2 y = 0的通解 y = c1e r1x + c2 e r2 x y = (c1 + c2 x)e r1 x
其中 p1 , p 2 ,
r + p1r
n n −1
, p n 均为实常数
+ + pn −1r + pn = 0
微分方程(1)通解中的对应项 一项：ce rx k项：1 + c2 x + (c + ck x k −1 )e rx
( 2)
由y = e rx , 可导出方程 (1)的特征方程为一元 n次代数方程： 其特征方程为：
下一页 上一页 （自由振动） d2 例7-23中的方程： x + µ dx + k x = 0, 其初始条件为： x | = x , dx =0 解引例1 t =0 0
dt
m dt
m
dt
t =0
µ k ⎛ µ ⎞ k 2 ± ⎜ 解：从对应的特征方程 r + r + = 0 ⇒ r1, 2 = − ： ⎟ − 2m m m ⎝ 2m ⎠ m
(1)
下一页
补充定理 两个不相等实根r1 ≠ r2
二阶常系数齐 两个相等实根r1 = r2 次线性微分方 一对共轭复根 程(1)的通解按 r1, 2 = α ± iβ 右表给出：
线性常系数齐次方程
仍为常数。方程（3.3.10） b1, b2,L,bn仍为常数。方程（3.3.10）相应的特征 方程为： 方程为：
目录 上页 下页 返回 结束
G(µ) ≡ µn + b1µn−1 +L+ bn−1µ + bn = 0
3.3.11） （3.3.11）
由（3.3.7），（3.3.9），（3.3.10）， 3.3.7），（3.3.9），（3.3.10）， ），（3.3.9），（3.3.10 （3.3.11）得： 3.3.11）
显然它有k 显然它有k个解 1 t, t 2 ,L k−1 ，且它们线性无 , t 从而可得：特征方程的k重零根对应方程 关，从而可得：特征方程的k重零根对应方程 （3.3.5）k个线性无关解为 ） 个线性无关解为
2 k−1
n
n−1
k
1 t, t ,Lt ,
目录
上页
下页
返回
结束
λt （2）若 λ ≠ 0 我们作变换 x = ye 1，并代 ） 1
e =e
λt
λt
e
(λ +λ2 )t 1
= e +e
λ1t
λ2t
d λt λt (e ) = λe dt
我们仅证明性质3 我们仅证明性质3 性质
目录
上页
下页
返回
结束
d λt d (α+iβ )t (e ) = [e ] dt dt
d αt = [e (cos βt + i sin βt)] dt
=αe (cos βt +i sin βt) + e (−β sin βt + βi cos βt)
2 3
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
G(µ) ≡ µn + b1µn−1 +L+ bn−1µ + bn = 0
3.3.11） （3.3.11）
由（3.3.7），（3.3.9），（3.3.10）， 3.3.7），（3.3.9），（3.3.10）， ），（3.3.9），（3.3.10 （3.3.11）得： 3.3.11）
显然它有k 显然它有k个解 1 t, t 2 ,L k−1 ，且它们线性无 , t 从而可得：特征方程的k重零根对应方程 关，从而可得：特征方程的k重零根对应方程 （3.3.5）k个线性无关解为 ） 个线性无关解为
2 k−1
n
n−1
k
1 t, t ,Lt ,
目录
上页
下页
返回
结束
λt （2）若 λ ≠ 0 我们作变换 x = ye 1，并代 ） 1
e =e
λt
λt
e
(λ +λ2 )t 1
= e +e
λ1t
λ2t
d λt λt (e ) = λe dt
我们仅证明性质3 我们仅证明性质3 性质
目录
上页
下页
返回
结束
d λt d (α+iβ )t (e ) = [e ] dt dt
d αt = [e (cos βt + i sin βt)] dt
=αe (cos βt +i sin βt) + e (−β sin βt + βi cos βt)
2 3
目录 上页 下页 返回 结束
常系数齐次线性方程
算性质来求解方程。
矩阵法可以用于求解多变量线性方程组，并且可以方便地处理
0程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律
常系数齐次线性方程可以用来描 述物体在直线运动中的速度和加 速度之间的关系，例如自由落体 运动。
电磁波传播
在电磁波的传播过程中，常系数 齐次线性方程可以用来描述波动 方程，如电磁波在真空中的传播。
04
常系数齐次线性方程的扩展
变系数线性方程
变系数线性方程是指方程中的系数不再是常数，而是随着自变量的变化而变化。这类方程在物理、工 程和经济等领域有广泛的应用。求解变系数线性方程的方法通常包括分离变量法、变量代换法、积分 因子法等。
求解变系数线性方程的关键是找到一种方法，将原方程转化为一个或多个常系数线性方程，然后利用 已知的求解方法求解。
方程的表示形式
一般形式
ax+by+c=0
二元一次方程
例如，方程x+2y=0表示一个二元一次方程，其中 x和y是未知数，a=1，b=2，c=0。
一元一次方程
例如，方程3x+5=0表示一个一元一次方程，其中 x是未知数，a=3，b=0，c=5。
02
常系数齐次线性方程的解法
公式法
01
02
03
公式法是解常系数齐次 线性方程的一种常用方 法，通过对方程进行因 式分解，得到通解的公
(3x - 5y = 12)的解为：(x = frac{12 + 5y}{3})
(4x - y = 5)的解为：(y = 4x - 5)
THANKS
感谢观看
热传导
在热传导过程中，常系数齐次线 性方程可以用来描述温度随时间 和空间的变化规律。
《微积分》第七节 二阶常系数齐次线性微分方程
例1. 求 方 程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d d
2
t
s
2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0
2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
思考与练习
求方程
的通解 .
提示:
特征方程为 ： r2+a=0
a 0 : r1=r2=0, 通解为 y C1 C 2 x a 0 : r1,2=± ai , 通解为 y C1 cos a x C 2 sin a x a 0 : r1,2=± - a , 通解为 y C1 e a x C 2 e a x
第七节(1)二阶常系数齐次线性微分方程
①
和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2 pr q )er x 0
r2 pr q 0
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
补充题:1.
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 :
因此特征方程为 ( r 1)2 ( r 2 4) 0 即 r4 2r3 5r2 8r 4 0
故所求方程为 其通解为
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程解读
1 , 2 ,L, n
均为实根
方程 ( ) 的通解可表示为
x c1e 1t c2 e 2t cn e nt
②若特征方程有复根 因方程的系数是实常数。复根将成对共轭出现 设
1 a ib 是方程的一个特征根
2 a ib 也是一个特征根 则方程 ( ) 有两个复值解
e e
(a i b ) t (a i b ) t
e (cos bt i sin bt )
ea t (cos bt i sin bt )
at
对应两个实值解
e cos bt , e sin bt
at
at
例1 解
求方程 x 2 x 3x 0
第一步：求特征根
的通解。
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
dnx d n 1 x a1 (t ) n 1 n dt dt dx an 1 (t ) an (t ) x f (t ) dt ()
三、变系数齐次线性方程
欧拉(Euler) 方程
n n 1 d x d x dx n n 1 t a1t an1t an x f (t ) n n 1 dt dt dt
其中 a1 , a2 ,..., an 为常数。
引入自变量代换
t eu , u ln t
类似方法进行下去，可得
第二节常系数线性齐次递推关系
23
23
例2
求解递推关系
f (n) (k f (2) k(k
2) f (n 1) (k 1) f (n 2) 1), f (3) k(k 1)(k 2).
(n
4)
解 递推关系的特征方程为：x2 (k 2)x (k 1) 0,
特征根为:
q1 k 1, q2 1,
所以递推关系的通解为
下面研究当特征根有重根时，递推关系的通解． 引理1. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系(1)
的二重特征根，则 nqn为递推关系的解．
证明 令
P(x) xk C1xk1 C2 xk2 Ck1x Ck ,
Pn (x) xnk P(x) xn C1xn1 C2 xn2 Ck xnk , 因为q为P(x)的二重根，所以q也为Pn(x)的二重根， 从而q为 Pn '(x)的一重根，也为 xPn '(x)的一重根． 又由于
称{bn} 为满足初始条件的特解，显然满足初始条件的特 解是唯一的．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2) Ck f (n k) (n k) (1)
定义2 方程 xk C1xk1 C2xk2 Ck 0 称为递推关系(1)的 特征方程，它的根称为递推关系的特征根．
3.
它的特征方程为：x2 2x 3 0,
特征根为: x1 3, x2 1,
所以递推关系的通解为 g(t) C1(3)t C2 (1)t .
代人初值有
3CC11CC22
0, 3.
解方程组，得
C1
3 4
, C2
3 4
,
所以递推关系的解为 g(t) 3 3t 3 (1)t. 44
从而有
f (n) A(k 1)n B(1)n.
高等数学课件--D7_3齐次方程
代回原变量, 得原方程的通解:
y5 arctan ln 1 ln C ( x 1) x 1 2 x 1 1
y5
2
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
2012-10-12
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
于是方程化为
(齐次方程)
令v x y ,
dx dy
v y
dv dy
y
dv dy
1 v
2
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
故有
y C
2 2
2y v C
2
1
( C 2
y C
v ) 1 v
2
2
得 y 2C ( x 故反射镜面为旋转抛物面.
作业
P309 1 (1), (4), (6) ; 2 (2), (3) ;
3;
*4 (4)
2012-10-12
同济版高等数学课件
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
解: 令
得 h 1, k 5
令 x X 1, y Y 5 , 得
再令 Y＝X u , 得
1 u 1 u
2
dY dX
X Y X Y
du
dX X
2
积分得
2012-10-12
arctan u 1 ln (1 u ) ln C X 2
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 解微分方程 解: 方程变形为
7.7 常系数齐次线性微分方程
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
7.7常系数齐次线性微分方程 注：n阶常系数齐次线性方程解法
( n)
y
P1 y
n
( n 1 )
Pn1 y Pn y 0
特征方程为
P 1
n 1
Pn1 Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
(C0 C1x Ck 1xk 1 )e x
( 0)
1 i ,
( i ) x
2 i ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2
1 y2 ( y1 y2 ) 2i
x
y1 e
,
y2 e
( i ) x
,
e sin x,
x
得齐次线性方程的通解为
7.7常系数齐次线性微分方程
y p y q y 0 ( p, q为常数 ) 特征方程: 2 p q 0,
小结: 特征根 通 解
1 x 2 x
实根
y C1 e
C2 e
y ( C1 C2 x ) e
1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
2
r1 x
r2 x
7.7常系数齐次线性微分方程
五、思考与练习
求微分方程 yy y y 2 ln y 的通解.
2
思考题解答
2 yy y ln y , y 0, 2 y y y ln y , ln y x , ln y ln y , y y 令 z ln y 则 z z 0, 特征根 1 x x x x z C e C e ln y C e C e . 通解 1 2 1 2
7.7常系数齐次线性微分方程 注：n阶常系数齐次线性方程解法
( n)
y
P1 y
n
( n 1 )
Pn1 y Pn y 0
特征方程为
P 1
n 1
Pn1 Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
(C0 C1x Ck 1xk 1 )e x
( 0)
1 i ,
( i ) x
2 i ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2
1 y2 ( y1 y2 ) 2i
x
y1 e
,
y2 e
( i ) x
,
e sin x,
x
得齐次线性方程的通解为
7.7常系数齐次线性微分方程
y p y q y 0 ( p, q为常数 ) 特征方程: 2 p q 0,
小结: 特征根 通 解
1 x 2 x
实根
y C1 e
C2 e
y ( C1 C2 x ) e
1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
2
r1 x
r2 x
7.7常系数齐次线性微分方程
五、思考与练习
求微分方程 yy y y 2 ln y 的通解.
2
思考题解答
2 yy y ln y , y 0, 2 y y y ln y , ln y x , ln y ln y , y y 令 z ln y 则 z z 0, 特征根 1 x x x x z C e C e ln y C e C e . 通解 1 2 1 2