初二数学二次根式知识点归纳
初二数学_二次根式_知识点+练习题__详细(1)
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
八年级初二数学二次根式知识归纳总结及解析
八年级初二数学二次根式知识归纳总结及解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．()222a b a b -=- B ．()322x x 8x ÷=+ C ．1a a a a÷⋅= D ．()244-=-2．下列运算正确的是（ ） A ．235+=B ．322-＝3C ．2(2)-＝﹣2D ．24322÷=3．下列计算正确的是（ ） A ．532-=B ．223212⨯=C ．933÷=D ．423214+=4．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣15．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）A ．（8﹣3cm 2B ．（4﹣3cm 2C ．（16﹣3cm 2D ．（﹣3）cm 26．下列各式一定成立的是（ ） A 2()a b a b +=+ B 222(1)1a a +=+ C 22(1)1a a -=- D 2()ab ab =7．设2222222211111111111112233499100+++++++++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1018．已知实数x ，y 满足（x 22008x -y 2-2008y ）=2008，则3x 2-2y 2+3x -3y -2007的值为（ ） A ．-2008B ．2008C ．-1D ．19．12的下列说法中错误的是（ ）A 12的算术平方根B ．34<<C 不能化简D 是无理数10．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D12．下面计算正确的是（ ）A ．BCD 2-二、填空题13．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A()3-14．已知aa 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．15．已知|a ﹣2007=a ，则a ﹣20072的值是_____．16．若0xy >，则二次根式________．17．===据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．18．，3，，，则第100个数是_______．y=，则2xy的值为__________．19．3有意义，则x的取值范围是____．20．三、解答题21．计算（1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差．【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3；（2）原式=﹣3﹣2+﹣3=-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．22．-10【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．23．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得 【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++ =6x+6把1x =代入原式=61）【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.24．计算②)21-【答案】① 【分析】①根据二次根式的加减法则计算； ②利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】解：①原式＝②原式＝(5-2-＝【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．25．计算：（1）0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(4【答案】（1）-5;（2）9【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--，5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．计算：（1)11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：)1131-＝233÷3＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．27．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．观察下列各式．====…… 根据上述规律回答下列问题． （1）接着完成第⑤个等式： _____；（2）请用含(1)n n ≥的式子写出你发现的规律；（3）证明（2）中的结论．【答案】（1=2(n =+3）见解析 【分析】（1）当n=5=（2(n =+ （3）直接根据二次根式的化简即可证明． 【详解】解：（1=（2(n =+（3=(n ==+【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．29．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.30．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，113x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】解： A ．()222a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确； C ．111a a 1a a a÷⋅=⋅=，选项错误；D 44=-=，选项错误．故选：B ．2．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：AB 、＝，故此选项错误；C 2，故此选项错误；D ，正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．3．B解析：B 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】A 不符合题意；∵12=，故选项B 符合题意；C 不符合题意；∵=D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．A解析：A 【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小5．D解析：D 【分析】根据正方形的面积求出边长AB ＝4cm ，BC ＝（）cm ，利用四边形ABCD 的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，4cm ＝cm ，∴AB ＝4cm ，BC ＝（+4）cm ，∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，＝﹣12﹣16，＝（﹣）cm 2， 故选：D . 【点睛】此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.6．B解析：B 【分析】分别利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解；A 2=|a+b|，故此选项错误；B 2+1，正确；C ，无法化简，故此选项错误；D ，故此选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．7．B解析：B 【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+， ∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100-=100-1100， ∴不大于S 的最大整数为99．故选B.【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础． 8．D解析：D【解析】由（x y ）=2008，可知将方程中的x,y 对换位置，关系式不变，那么说明x=y 是方程的一个解由此可以解得，或者则3x 2-2y 2+3x -3y -2007=1，故选D.9．C解析：C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A 12的算术平方根，故该项正确；B 、34<<，故该项正确；C =D =是无理数，故该项正确；故选：C .【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.10．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=，故C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．11．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．12．B解析：B【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【详解】解：A A 选项错误；B ==＝3，故B 选项正确；C ==C 选项错误；D ．2(2)2-==，故D 选项错误；故选B ．【点睛】考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．二、填空题13．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.14．-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a ＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a －(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a－3时， 原式＝a 3+6a 2+9a －(a 2+6a +9)－7a +3＝a (a +3)2－(a +3)2－7a +3＝7a －7－7a +3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.15．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．16．－【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵，且有意义，∴，∴．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是 解析：【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，∴x ==．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，b >0）． 17．【解析】上述各式反映的规律是(n ⩾1的整数),得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).故答案是： (n ⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n ⩾1的整数),得到第5==n ⩾1的整数).=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.18．【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n 个数是，进而可得答案．【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，∴第100个数是．故答案为：．【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考解析：【分析】，，于是可得第n 进而可得答案．【详解】，∴第100=．故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．19．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy=-2×52×3=-15.20．x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】∵有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
人教版初二下册数学知识点
人教版初二下册数学知识点二次根式二次根式是指形如a√b（a≥0）的式子。
其中，a被称为系数，b被称为被开方数。
最简二次根式必须同时满足以下三个条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。
同类二次根式是指二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有以下几个性质：a²=a（a≥0）；a√b × c√d =ac√bd（a,b,c,d≥0）；a√b ÷ c√d = a÷c √b÷d（a,b,c,d≥0,c≠0,d≠0）。
二次根式的运算包括因式的外移和内移、加减法、乘除法。
在运算过程中，需要将二次根式化为最简二次根式，并合并同类项。
例题：1、下列哪些式子是二次根式？1)11；3)−x²+2；4)4；5)(−5)²；6)1−a；7)a²−2a+1.答案：1、3、4、5、6.2、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）(x+5)÷(3−x)；（2）√((x-2)²+1)。
答案：（1）x≠3；（2）x∈R。
3、在1) a²+b²；2) x；3) x²-xy；4) 27abc中，最简二次根式是哪个？答案：C。
4、已知y=1−8x+8x⁻¹，求代数式1÷y+2−2y⁻¹的值。
答案：4x²-4x+1.5、已知数a，b，若(a−b)²=b−a，则a≤b。
给定$a=11,b=5$，求$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}$的值。
首先，将$a$和$b$的值代入，得到：$\frac{5^5+1}{2\times11+5(5+11)}$。
计算分子和分母，得到：$\frac{3126}{96}$。
化简分数，得到：$\frac{1043}{32}$。
因此，$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}=\frac{1043}{32}$。
初二数学二次根式知识点归纳
初二数学二次根式知识点归纳1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式.2.二次根式的性质：①≥0(a≥0)这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，则x=－2，y=2；②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a, 所以.3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式.4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=.典例讲解例1、填空题：（1）式子中x的取值范围是______________.（2）当x满足条件______________时，式子有意义.（3）当x=______________时，有最小值，最小值是______________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是______________.答案：（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1（3）－25；9 （4）6例2、选择题：（1）化简的值为（）A. 4B.－4C.±4D. 16（2）下列各组数中，互为相反数的是（）A. －2与B.C.－2和D. 2和（3）若x≥0，那么等于（）A. xB.－xC.－2xD. 2x（4）当a≥1，则=（）A.2a－1B. 1－2aC.－1D. 1（5）在实数范围内分解因式：x2－3=（）A. (x＋3)(x－3)B. (x＋)(x－)C. (x＋)(x－)D. (x＋9)(x－9)答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C 例3、用带有根号的式子表示：（1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长.解：设它的棱长为x，则所以．故它的棱长为．（2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？解：设这个正方形的边长为xcm.则所以．正方形的边长为㎝．例4、计算：(1)(2)(3)(4)解：(1)=(2)=63(3)=3＋2=5(4)=例5、已知|x＋y－7|＋，求x2＋y2的值.解：由已知得：∴所以，原式=(x＋y)2－2xy=72－2×12=25．例6、已知实数a满足,求a－20082的值. 解：因为所以a≥2009，所以2008－a<0，所以原等式可化为：，所以，所以a－2009=20082，所以a－20082=2009．1. 二次根式的乘法：①法则，=(a≥0，b≥0)；②利用这一法则，可以求出某些特殊的二次根式的值，如：15，7；③这一法则的探究我们采用的方法是不完全归纳法.2. 积的算术平方根的性质：①性质，与二次根式的乘法法则相比较互逆；②利用这一性质和二次根式的乘法法则，可以化简二次根式，如=3a2b，=；③性质应用：在化简二次根式时，通常要结合二次根式的性质，因此方法上应注意将被开方数进行因数分解或直接开算术平方根的原则是将开得尽方的因数分解出来. 化简实质上是将根号内完全平方的因数(式)移到根号外.典例讲解例1、填空题（1）化简：_____________；（2）计算：_____________；（3）计算：= _____________.答案：（1）；（2）；（3）6例2、把下列各式中根号外的因式移到根号内：；.解：；=－(－a).例3、计算：(1)(2)(3)(4)解：(1)==(2) ==x(x＋y)=x2＋xy(3)===(4)===2xy例4、比较下列各组中两个数的大小.(1)解：∵2，，而44<45∴，∴．(2)解：∵，，而32<，∴．例5、观察下列各式及其验证过程.验证：验证：3=.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证：(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式,并给出证明.解：(1)验证：(2)反映的规律为：证明：n=.1.二次根式的除法:①法则:；②法则中规定b>0的理由是分母不为零；③作用是化去分母中的根号.2.商的算术平方根：①性质（≥0，＞0）；②用语言叙述上述性质：算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；③作用是化去根号下的分母.3.最简二次根式：①最简二次根式必须满足两个条件是被开方数不含分母和被开方数中不含开得尽的因数或因式；②二次根式的乘除法运算，最后的结果一定要是最简二次根式或有理式.例1、化简下列二次根式(1)；(2)；(3)答案：（1）；（2）；(3)例2、选择题1.下列各式中正确的是（）A. B.C. D.答案：B2.在化简时，甲、乙、丙三位同学的解法如下：甲：乙：丙：正确的是（）A.甲B.乙C.丙D.甲、乙、丙均正确答案：D3.在下列根式、、、中，最简二次根式的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个答案：C例3、计算：(1)(2)(3)(4)(5)解：(1)(2)(3)(4)(5)例4、已知，，求与的近似值.解：∵，，∴，（此处视频中0.577误为0.5713）．1、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2、二次根式的加减法运算步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．（3）被开方数相同的二次根式进行合并．3、二次根式的加、减、乘、除、混合运算：①二次根式的加、减、乘、除、混合运算与实数的加、减、乘、除、混合运算一样，先算乘除，后算加减，如果含有括号，就先算括号里的．②如果二次根式中出现了形如多项式相乘的算式，则乘法公式都能适用．4、二次根式的运算可以类比实数的运算，实数的各运算律都适合于二次根式的运算，所以在二次根式运算中要充分运用实数的运算律，使运算更为简单．典例讲解例1、填空题1、计算：（1）=__________．（2）=__________．答案：（1）（2）2、若三角形的两边长分别为和，其周长为（）cm，则第三边长为__________．答案：例2、选择题（1）下列各式中运算正确的是（）A．B．C．D．答案：A（2）已知、，则a、b的关系为（）A．a=b B．a＋|b|=0C．ab=1 D．ab=－1答案：D例3、计算（1）（2）（）－（）（3）（）（）（4）解：（1）（2）（）－（）（3）（）（）（4）＝=例4、已知求的值．解：原式＝∵，∴，∴．∴原式＝．例5、利用乘法公式计算：,……（n为正整数）从以上计算中你发现了什么规律？请利用这一规律计算：答案：2007。
初二数学二次根式及其性质(最新整理)
二次根式及其性质（基础）学习目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化要点梳理要点梳理要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质 1、； 2.； 3.. 要点诠释： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即. 2.与要注意区别与联系： 1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值. 2).≥0时，==；<0时，无意义，=.典型例题类型一、二次根式的概念 1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____ 个.【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（） A．2 B.3 C.4 D.52. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）； （2）y=－；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1) (2)【变式】（1）=_____________ （2）=_____________ 4. 已知，那么可化简为（ ） A. B. C. D.【变式】若整数满足条件则的值是___________.巩固练习一．选择题 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）. A. B．x≥1 C.x<1 D.全体实数 2. 若,化简 ( ). A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（ ） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x≥1 C．8的立方根是 D.若点关于x轴对称，则的值为5. 4. 若a不等于0，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与 5.下列根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D.二. 填空题 7.当x______时，式子在实数范围有意义； 当x_______时，式子在实数范围有意义. 8.=____________. 若，则____________. 9．（1）=_____________ （2）（a>0）=__________________________ 10.若=0，则=_______________ 11.当x≤0时，化简=__________________________ 12.有如下判断： （1） (2）=1 （3） （4） （5） （6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.三综合题 13. 当为何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3）； （4）； 14. 已知实数x，y满足，求代数式的值. 15.若，求的值.。
初二下册数学知识点归纳
初二下册数学知识点归纳第十六章二次根式。
1. 二次根式的概念。
- 形如√(a)(a≥slant0)的式子叫做二次根式。
被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。
例如√(4)，√(x + 1)(x≥slant - 1)都是二次根式。
2. 二次根式的性质。
- (√(a))^2=a(a≥slant0)，例如(√(3))^2 = 3。
- √(a^2)=| a|=a(a≥slant0) - a(a<0)，如√((-2)^2)=| - 2|=2。
3. 二次根式的乘除。
- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥slant0,b≥slant0)，例如√(2)·√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 二次根式的除法法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥slant0,b>0)，如(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
4. 二次根式的加减。
- 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
最简二次根式需满足被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如√(12)=√(4×3)=2√(3)，3√(2)+2√(2)=(3 + 2)√(2)=5√(2)。
第十七章勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
例如在直角三角形中，a = 3，b = 4，则c=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如三边长为3、4、5的三角形，因为3^2+4^2=5^2，所以它是直角三角形。
3. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数，如3、4、5；5、12、13等。
第十八章平行四边形。
初二数学二次根式的乘法与除法运算
初二数学二次根式的乘法与除法运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，学好二次根式的乘法与除法运算对于学生正确理解和解决相关的数学问题至关重要。
本文将详细介绍二次根式的乘法与除法运算方法，旨在帮助初二学生掌握这一知识点。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的操作。
具体方法如下：首先，我们需要将两个二次根式进行合并，合并的规则是将根号内的数相乘，并将外面的系数相乘。
例如：√a * √b = √(a * b)当然，在实际运算中还需要注意一些特殊情况，如二次根式的下标、系数与被开方数的关系等。
下面通过例子来说明：例1：化简√8 * √3解析：根据乘法运算的规则，√8 * √3可以合并为√(8 * 3)，即√24。
进一步化简：√24 = √(4 * 6) = √4 * √6 = 2√6例2：化简2√5 * 3√5解析：根据乘法运算的规则，2√5 * 3√5可以合并为(2 * 3)√(5 * 5)，即6√(25)。
进一步化简：6√(25) = 6 * 5 = 30通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的乘法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的操作。
具体方法如下：首先，我们需要根据乘法的逆运算，将除数的根号有理化为整数。
例如，将√a有理化为√(a * a)。
然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并，并化简。
例3：化简√32 / √8解析：首先，我们有理化除数：√8 = √(8 * 8) = 8然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：√32 / 8 =√(32 / 8) = √4 = 2例4：化简3√12 / 2√3解析：首先，我们有理化除数：2√3 = 2 * √3然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：3√12 / (2 * √3) = 3 * (√(12 / 3)) / (2 * √3) = 3 * √4 / 2 = 3 * 2 / 2 = 3通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的除法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。
初二数学二次根式知识点大全
第1关 二次根式（讲义部分）知识点1 二次根式1．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（0≥a ）的式子叫做二次根式． （1）“”称为二次根号；（2）a （0≥a ）是一个非负数. 2．二次根式有意义的条件（1）二次根式的概念．形如（0≥a ）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（0≥a ）是一个非负数． 3．二次根式的双重非负性（1）0≥a 被开方数的非负性；（2）0≥a （算数平方根的非负性）． 4．二次根式化简（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．题型1 二次根式定义【例1】0)y 0,0)a b <<中，是二次根式的有( ) A ．3个B ．4个C ．5个D ．5个【解答】0)y 0,0)a b <<是二次根式，共4个， 故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．【例2】y( ) A ．0x B ．0x 且0y >C ．x 、y 同号D ．0x ，0y >或0x ，0y <【解答】解：依题意有20x y 且0y ≠，即0xy且0y ≠． 所以0x ，0y >或0x ，0y <． 故选：D ．【点评】0)a 叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．题型2 二次根式有意义的条件【例3】若a 、b 为实数，且4b =+，则a b +的值为( ) A ．1± B ．4 C ．3或5 D ．5【解答】解：由题意得，210a -，210a -，则21a =，解得，1a =±，4b ∴=，则3a b +=或5， 故选：C ．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【例4】若2y =，求x y 的值． 【解答】解：22y x =，24x ∴=，解得：2x =±， 故2y =-，则2(2)4x y =-=或21(2)4x y -=-=． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x 的值是解题关键．题型3 二次根式化简求值【例5】已知a 、b 、c ||||a bb c ++．【解答】解：如图所示：0a <，0a b +<，0c a ->，0b c +<，||||a b b c ++a ab c a bc =-+++---a=-．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和数轴，正确得出各部分符号是解题关键．【例6】设a ，b ，c 为ABC ∆的三边，化简：【解答】解：根据a ，b ，c 为ABC ∆的三边，得到0a b c ++>，0a b c --<，0b a c --<，0c b a --<，则原式||||||||4a b c a b c b a c c b a a b c b c a a c b a b cc=+++--+--+--=++++-++-++-=． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本 题的关键．【例7】数a ，b【解答】解：如图得，21a-<<-，12b <<，0a b ∴-<，10b ->，10a +<，∴1(1)b a b a =-+----， 211b a a =--++， 2b =．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，掌握二次根式的化简是解题的关键．知识点2 二次根式运算1．最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理 化因式． 3．同类二次根式（1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这 几个二次根式叫做同类二次根式． （2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式 的混合运算应注意：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括 号的先算括号里面的．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解 题途径，往往能事半功倍．题型4 最简二次根式【例8】下列说法错误的是( )A ． BC ．是一个非负数D 的最小值是4【解答】解：A |3|a =-，说法错误，故本选项正确；BC 是一个非负数说法正确，故本选项错误；D 、4说法正确，故本选项错误． 故选：A ．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分 母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型5 分母有理化【例9】阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①2525555==；②1===等运算都是分母有理化．根据上述材料， （1（2．【解答】解：（1）原式==（2）原式11．【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【例10】观察下列运算①由1)1=1=；②由1=③由1=④由1==；⋯（1）通过观察，将你发现的规律用含有n 的式子表示出来． （2）利用你发现的规律，+⋯+．【解答】解：（1n =为正整数）；（2）原式1)=+++⋯+，1=1=．【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．题型6 同类二次根式【例11】( )A B CD【解答】解：，∴ 故选：A ．【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．【例12】 是同类二次根式的是( )A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④【解答】解：=2==3==，∴故选：C ．【点评】本题考查了同类二次根式的定义： 化成最简二次根式后， 被开方数相同， 这样的二 次根式叫做同类二次根式 ．【例13】是同类二次根式，则a = ．【解答】解：38172a a ∴-=-，解得：5a =．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．【例14】计算：（1）-．（2）-．（3）2132 3+（4）【解答】解：（1）原式==（2）原式22=-1812=-6=；（3）原式23=-+5=；（4）原式13932=⨯⨯=【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．题型7 二次根式化简求值【例15】先化简，再求值(6(4-，其中32x=，27y=．【解答】解：32x=，27y=，∴原式=-=-====【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键．【例16】已知x=，y=，求代数式22242x xy y-+的值．【解答】解：353x+==+-5y ==-∴原式222(2)x xy y =-+22()x y =-22(55=++2= 296=⨯ 192=．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先化简x ，y 的值是解题的关键．第1关 二次根式（题册部分）【课后练1】下列各式中，不属于二次根式的是( )A 0)xB C D【解答】解：当0aA ∴、属于二次根式，故本选项错误；B 、属于二次根式，故本选项错误；C 、属于二次根式，故本选项错误；D 、210x --<不属于二次根式，故本选项正确； 故选：D ．【课后练2】实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，( )A ．3a b -+B ．1a b +-C ．1a b --+D ．1a b -++【解答】解：由数轴可知：102a b -<<<<，10a ∴+>，20b ->， ∴原式|1||2|a b =+--12a b =+-+ 3a b =-+， 故选：A ．【课后练3】a 的值可能是( ) A ．2- B ．2C ．32D ．8【解答】解：0a ∴，且a故选项中2-，32，8都不合题意，a ∴的值可能是2． 故选：B ．【课后练4】，那么x 的取值范围是( )A ．12xB ．12x <C ．2xD ．2x >【解答】解：由题意可得，10x -且20x ->，解得2x >． 故选：D ．【课后练5】下列根式中，与是同类二次根式的是( )A ．BC D【解答】与A 错误；=B 错误；C 错误；=是同类二次根式，D 正确； 故选：D ．【课后练6】的结果是( )A ．BC ．D ．3-【解答】解：原式6===． 故选：B ．【课后练7】x 的取值范围是 ．【解答】1200x x -⎧⎨≠⎩． 解得12x且0x ≠， 故答案为：12x 且0x ≠．【课后练8】实数a 化简后为 ．【解答】解：由数轴可得，48a <<，∴310a a =-+- 7=，故答案为：7．【课后练9】先观察下列的计算，再完成：（11==；====请你直接写出下面的结果：= ；= ； （2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：1)+⨯．【解答】解：（12==；==（2）根据题意得：原式111==．故答案为：（12【课后练10】计算题：①②(2+-③④⑤⑥2314()22+⨯--．【解答】解：①原式==，②原式43=- 1=，③原式==1311=⨯ 143=，④原式==89=⨯ 72=，⑤原式328=-- 7=-．【课后练11】已知1a =，1b =，分别求下列各式的值．（1）22a b +； （2）b a a b+．【解答】解：当1a =，1b =时，（1）原式221)1)=+44=-+8=；（2）原式22a b ab+=22=82= 4=．【课后练12】化简求值（1）23)3)+；（2）已知x =-【解答】解：（1）原式59119=-+-16=-．（2）原式(2x =-，1212x ==+，∴原式1(2(1)xx x x -=--1(2x x =+，当2x =原式(2(2=-++9=-。
初二数学二次根式知识点大全
初二数学二次根式知识点大全知识点1 二次根式1.二次根式的定义一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。
其中，$\sqrt{}$ 称为二次根号，$a$（$a\geq0$）是一个非负数。
2.二次根式有意义的条件二次根式的概念是形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。
二次根式中被开方数是非负数，且具有非负性，即 $a\geq0$。
3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性包括被开方数的非负性和算数平方根的非负性，即 $a\geq0$ 和 $\sqrt{a}\geq0$。
4.二次根式化简化简二次根式的方法包括把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2.题型1 二次根式定义例1】在式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$a+5$，$-3y(y\geq0)$，$m^2-1$ 和 $ab$（$a<0,b<0$）中，是二次根式的有()A。
3个B。
4个C。
5个D。
5个解答】解：式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$-3y(y\geq0)$，$ab$（$a<0,b<0$）是二次根式，共 4 个，故选 B。
点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数。
题型2 二次根式有意义的条件例2】若 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ 是二次根式，则下列说法正确的是()A。
$x<y$B。
$x$ 且 $y>\frac{2x^2}{y^2}$C。
$x$、$y$ 同号D。
$x,y>0$ 或 $x,y<0$解答】解：依题意有 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$，即$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，是二次根式。
则 $\frac{2x}{y}>0$，即$x,y$ 同号且 $y\neq0$。
初二下数学-二次根式
二次根式基础知识通关16.1二次根式1.二次根式：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式，当a ＞0时， 表示a 的算术平方根,=0.2.二次根式有意义的条件：.3.二次根式的双重非负性：，①0a.4.二次根式的化简：()(0)0(0)a a a a >⎧⎪= = =⎨⎪ <⎩∣∣；()20a a =；)00a b =，；00)a b =>， .16.2二次根式的乘除5.)00a b =， 6.二次根式的除法：)0a = ，7.最简二次根式①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.16.3二次根式的加减8.同类二次根式：几个二次根式化成后，如果相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.9.二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成，再将被开方数相同的二次根式进行合并.本章知识结构图单元检测一．选择题（共10小题）1．若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ≥1B ．x ≤1C ．x ＜1D ．x ≠12．若代数式有意义，则x 的取值是（）A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ≥0D ．x ＞03．若代数式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ≠1B ．x ＞﹣3且x ≠1C ．x ≥﹣3D ．x ≥﹣3且x ≠14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列各选项中，化简正确的是（）A ．B ．C ．D ．|π﹣2|＝2﹣π6．下列各式中，最简二次根式是（）A ．B ．C ．D ．7．下列运算结果正确的是（）A ．＝﹣9B ．C ．D ．8．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④9．下列各式中，运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm 2和48cm 2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A ．78cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 2二．填空题（共10小题）11．若a ，b 都是实数，b ＝+﹣2，则a b 的值为．12．①＝；②＝．13．已知，化简的结果是．14．在二次根式、、、中，是最简二次根式的是．15．将根号外的因式移入根号内的结果是．16．＝，＝．17．最简二次根式与是同类二次根式，则mn＝．18．如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是．19．当时，代数式x2+2x+2的值是．20．关于x的不等式x﹣＜﹣1的非负整数解为．三．解答题（共5小题）21．已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．22．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2∴＝＝+请你仿照上例将下列各式化简（1）（2）．23．若x＝，y＝，求代数式x2﹣xy+y2的值．24．计算：+﹣9+（3+4）（3﹣4）25．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）四、附加题（共2小题）26．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需进一步化简：＝＝①＝＝②＝＝＝﹣1③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简＝.（2）参照④式化简.（Ⅱ）化简：+++…+．27．阅读学习计算：+++．可以用下面的方法解决上面的问题：+++=（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=1﹣＝1﹣利用上面的方法解决问题：（1）计算++++…+．（2）当n＝时，等式++＝成立．基础知识通关答案2．被开方数大于等于零4．a0a-6．0>b8．最简二次根式，被开方数9．最简二次根式单元检测答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0,解得x≥1故选：A【知识点】22．【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出x的取值范围【解答】解：由题意得：x≥0故选：C【知识点】23．【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则x﹣1≠0，x+3≥0∴实数x的取值范围是x≥﹣3且x≠1故选：D【知识点】24．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案【解答】解：A、是最简二次根式，正确B、不是最简二次根式，错误C、不是最简二次根式，错误D、不是最简二次根式，错误故选：A【知识点】4、95．【分析】根据平方根、立方根、绝对值的意义逐个选择判断得结论．【解答】解：因为±＝±3，所以A正确＝2≠﹣2，所以B不正确＝＝5≠﹣5，所以C不正确∵π≈3.14＞2，∴|π﹣2|＝π﹣2≠2﹣π，所以D不正确故选：A【知识点】4、96．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可【解答】解：＝3，A不是最简二次根式＝|n|m2，B不是最简二次根式＝，C不是最简二次根式D，是最简二次根式故选：D【知识点】97．【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式除法运算法则计算得出答案【解答】解：A、＝9，故此选项错误B、（﹣）2＝2，正确C、÷＝，故此选项错误D、＝5，故此选项错误故选：B【知识点】48．【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答【解答】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是①和④故选：C【知识点】4、89．【分析】分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、3﹣＝2≠3，故本选项错误B、＝2，故本选项正确C、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误D、＝2≠﹣2，故本选项错误故选：B【知识点】4、910．【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形大正方形的边长是+＝+4留下部分（阴影部分）面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）故选：D【知识点】9二．填空题（共10小题）11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案【解答】解：∵b＝+﹣2，∴1﹣2a＝0解得：a＝，则b＝﹣2，故a b＝（）﹣2＝4故答案为：4【知识点】312．【分析】①先对根式下的数进行变形，（﹣0.3）2＝（0.3）2，直接开方即得②已知25 ，所以开方后||＝【解答】解：①原式＝0.3②原式＝||＝【知识点】413．【分析】由于，则＝x﹣2，|x﹣4|＝4﹣x，先化简，再代值计算【解答】解：已知，则＝x﹣2+4﹣x＝2【知识点】414．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：根据最简二次根式的定义可知：（含有分母）、（被开方数含能开得尽方的因数）和（含有分母），故不是最简二次根式符合最简二次根式的定义故答案为：【知识点】915．【分析】根据二次根式有意义的条件先确定a的正负，然后化简根式，约分得出结果【解答】解：∵要使有意义必须﹣＞0即a＜0所以＝﹣＝【知识点】416．【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可【解答】解：•＝＝4y•＝＝＝18【知识点】4、517．【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，n﹣1＝2解得：m＝7，n＝3∴mn＝21故答案为：21【知识点】818．【分析】设两个正方形A ，B 的边长是x 、y （x ＜y ），得出方程x 2＝2，y 2＝4，求出x ＝，y ＝2，代入阴影部分的面积是（y ﹣x ）x 求出即可【解答】解：设两个正方形A ，B 的边长是x 、y （x ＜y ）则x 2＝2，y 2＝4x ＝，y ＝2则阴影部分的面积是（y ﹣x ）x ＝（2﹣）×＝2﹣2故答案为：2﹣2【知识点】919．【分析】根据x 的值求出（x +1）2的值，再把（x +1）2展开，即可得出要求的式子【解答】解：∵，∴x +1＝∴（x +1）2＝5∴x 2+2x +1＝5∴x 2+2x ＝4∴x 2+2x +2＝4+2＝6故答案为：6【知识点】5、920．【分析】首先解不等式确定不等式的解集，然后确定其整数解即可【解答】解：解不等式x ﹣＜﹣1得：x ＜﹣1∵3＜＜4∴2＜﹣1＜3∴x ＜﹣1的非负整数解为0，1，2故答案为：0，1，2【知识点】7三．解答题（共5小题）21．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案【解答】解：∵m ﹣2019≥0，∴m ≥2019∴2018﹣m ≤0∴原方程可化为：m ﹣2018+＝m∴＝2018∴m ﹣2019＝20182∴m ﹣20182＝2019【知识点】322．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2∴＝＝1+（2）＝＝＝﹣【知识点】423．【分析】首先利用完全平方公式将原式变形进而代入已知求出答案【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy∴把x＝，y＝代入得原式＝（﹣）2+×＝7+1＝8【知识点】5、6、924．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而结合乘法公式计算得出答案【解答】解：原式＝﹣2+2﹣9×+18﹣16＝﹣2+2﹣3+18﹣16＝﹣【知识点】4、5、6、925．【分析】首先在AB之间找一点F，且BF＝2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可【解答】解：如图在AB之间找一点F，使BF＝2.5m过点F作GF⊥AB交CD于点G∵AB＝3.2m，CA＝0.7m，BF＝2.5m∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.4m∵∠ECA＝60°，∴GFCF∴GF ＝CF＝1.4≈2.38m∵2.38＜3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过【知识点】5四．附加题（共2小题）26．【分析】（1）分母有理化的两种方法：1.同乘分母的有理化因式；2.因式分解达到约分的目的（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况【解答】解：（1）参照③式化简＝＝﹣故答案是：﹣（2）参照④式化简＝＝＝＝﹣故答案是：﹣（Ⅱ）原式＝（+++…+）＝[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（﹣1）\11/【知识点】4、727．【分析】（1）根据题意首先化简二次根式，进而得出答案（2）首先化简二次根式进而得出关于n的等式求出答案【解答】解：（1）原式＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣+﹣++…+﹣＝1﹣＝（2）∵++＝∴﹣+﹣+﹣＝，则＝解得：n＝1故答案为：1【知识点】4、7\12/。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初二数学二次根式知识点归纳
1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式.
2.二次根式的性质：
①≥0(a≥0)
这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若
，
则x=－2，y=2；
②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．
③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a, 所以.
3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式.
4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=.
典例讲解
例1、填空题：
（1）式子中x的取值范围是______________.
（2）当x满足条件______________时，式子有意义.
（3）当x=______________时，有最小值，最小值是______________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是______________.
答案：
（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1
（3）－25；9 （4）6
例2、选择题：
（1）化简的值为（）
A. 4
B.－4
C.±4
D. 16
（2）下列各组数中，互为相反数的是（）
A. －2与
B.
C.－2和
D. 2和
（3）若x≥0，那么等于（）
A. x
B.－x
C.－2x
D. 2x
（4）当a≥1，则=（）
A.2a－1
B. 1－2a
C.－1
D. 1
（5）在实数范围内分解因式：x2－3=（）
A. (x＋3)(x－3)
B. (x＋)(x－)
C. (x＋)(x－)
D. (x＋9)(x－9)
答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C 例3、用带有根号的式子表示：
（1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长.
解：设它的棱长为x，则所以．
故它的棱长为．
（2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？解：设这个正方形的边长为xcm.
则所以．
正方形的边长为㎝．
例4、计算：
(1)(2)
(3)(4)
解：
(1)=
(2)=63
(3)=3＋2=5
(4)=
例5、已知|x＋y－7|＋，求x2＋y2的值.
解：
由已知得：∴
所以，原式=(x＋y)2－2xy=72－2×12=25．
例6、已知实数a满足,求a－20082的值.
解：
因为所以a≥2009，所以2008－a<0，
所以原等式可化为：，
所以，所以a－2009=20082，
所以a－20082=2009．
1. 二次根式的乘法：
①法则，=(a≥0，b≥0)；
②利用这一法则，可以求出某些特殊的二次根式的值，如：15，
7；
③这一法则的探究我们采用的方法是不完全归纳法.
2. 积的算术平方根的性质：
①性质，与二次根式的乘法法则相比较互逆；
②利用这一性质和二次根式的乘法法则，可以化简二次根式，如=3a2b，
=；
③性质应用：在化简二次根式时，通常要结合二次根式的性质，因此方法上应注意将被开方数进行因数分解或直接开算术平方根的原则是将开得尽方的因数分解出来. 化简实质上是将根号内完全平方的因数(式)移到根号外.
典例讲解
例1、填空题
（1）化简：_____________；
（2）计算：_____________；
（3）计算：= _____________.
答案：
（1）；（2）；（3）6
例2、把下列各式中根号外的因式移到根号内：
；.
解：
；
=－(－a).
例3、计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：
(1)==
(2) ==x(x＋y)=x2＋xy
(3)===
(4)
=
=
=2xy
例4、比较下列各组中两个数的大小.
(1)
解：∵2，，而44<45
∴，∴．
(2)
解：∵，，而32<，
∴．
例5、观察下列各式及其验证过程.
验证：
验证：
3=.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证：
(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式,并给出证明.
解：
(1)
验证：
(2)反映的规律为：
证明：
n=.
1.二次根式的除法:
①法则:；
②法则中规定b>0的理由是分母不为零；
③作用是化去分母中的根号.
2.商的算术平方根：
①性质（≥0，＞0）；
②用语言叙述上述性质：算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；
③作用是化去根号下的分母.
3.最简二次根式：
①最简二次根式必须满足两个条件是被开方数不含分母和被开方数中不含开得尽的因数或因式；
②二次根式的乘除法运算，最后的结果一定要是最简二次根式或有理式.
例1、化简下列二次根式
(1)；(2)；(3)
答案：（1）；（2）；(3)
例2、选择题
1.下列各式中正确的是（）
A. B.
C. D.
答案：B
2.在化简时，甲、乙、丙三位同学的解法如下：
甲：
乙：
丙：
正确的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.甲、乙、丙均正确
答案：D
3.在下列根式、、、中，最简二次根式的个数是（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
答案：C
例3、计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
例4、已知，，求与的近似值.
解：
∵，，
∴，（此处视频中0.577误为0.5713）
．
1、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2、二次根式的加减法运算步骤：
（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
（3）被开方数相同的二次根式进行合并．
3、二次根式的加、减、乘、除、混合运算：①二次根式的加、减、乘、除、混合运算与实数的加、减、乘、除、混合运算一样，先算乘除，后算加减，如果含有括号，就先算括号里的．②如果二次根式中出现了形如多项式相乘的算式，则乘法公式都能适用．
4、二次根式的运算可以类比实数的运算，实数的各运算律都适合于二次根式的运算，所以在二次根式运算中要充分运用实数的运算律，使运算更为简单．
典例讲解
例1、填空题
1、计算：
（1）=__________．
（2）=__________．
答案：（1）（2）
2、若三角形的两边长分别为和，其周长为（）cm，则第三边长为__________．
答案：
例2、选择题
（1）下列各式中运算正确的是（）
A．
B．
C．
D．
答案：A
（2）已知、，则a、b的关系为（）A．a=b B．a＋|b|=0
C．ab=1 D．ab=－1
答案：D
例3、计算
（1）
（2）（）－（）
（3）（）（）
（4）
解：
（1）
（2）（）－（）
（3）（）（）
（4）＝
=
例4、已知求的值．
解：
原式＝
∵，∴，∴．
∴原式＝．
例5、利用乘法公式计算：
,……
（n为正整数）从以上计算中你发现了什么规律？请利用这一规律计算：
答案：2007。