2015甘肃省普通高中数学学业水平考

数学学业水平测试模拟卷（1）一.选择题（每小题4分，共40分）1.已知全集{0,2,4,6,8,10}U =，集合{2,4,6},{1}A B ==，则()UA B ⋃等于A.{0,1,8,10}B.{1,2,4,6}C.{0,8,10}D.∅ 2. 已知向量(1,2),(,1)a b x ==，若//a b ，则x ＝ （ ）A.2-B.12-C.12D.23.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对4.甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）A.12 B.23 C.13D.1 5.若圆C 与圆22(2)(1)1x y -++=关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)1x y -+-= C.22(2)(2)1x y -++= D.22(1)(2)1x y ++-= 6.函数1ln(2)y x x =-+-的定义域是A.[1,)+∞B.(,2)-∞C.(1,2)D.[1,2) 7.已知等差数列2185615{},36,n a a a a a a +=++=则 ( )A.130B.198C.180D.1568.若函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则ω和ϕ的取值是（ ） A.1,3πωϕ== B.1,3πωϕ==-C.1,26πωϕ== D.1,26πωϕ==- 9.阅读图2所示的流程图，输出的结果为（ ）A.24B.12C.4D.610.某观察站C 与两灯塔A B 、的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东130，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A B 、间的距离为（ ）A.400米B.700米C.500米D.800米 二.填空题（每小题4分，共20分）11.3,,sin ,tan 25πθπθθ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭已知则 .12.一个正方体棱长为a ,则其外接球的体积为 . 13.若1->x ，则当且仅当x = 时，函数11++=x x y 的最大值为 . 14.已知,x y 满足2001x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则yx z 42+=的最大值为 . 15.已知3,4,)(),a b a kb a kb ==+⊥-且(则k = . 三.解答题（本大题共5小题，共40分）16.（满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项a 和项数n .17.（满分8分）已知点(1,1)(5,1)A B -、,直线l 经过点A ,且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（II ）求以B 为圆心，并且与直线l 相切的圆的标准方程. 18.（满分8分）已知函数31()sin cos ()22f x x x x R =+∈. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （II ）求函数的单调递增区间；（III ）求函数的最大值，并求出对应的x 值的取值集合.19.（满分8分) 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且面ABCD ，60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点.（Ⅰ）求证：//MF面ABCD ； （II ）求证：⊥MF 面11B BDD .20.（满分8分）在甲.乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个A BCDAB 1AA C1DF M盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等. （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； （II ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.数学学业水平测试模拟卷（2）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.函数12log (32)y x =-的定义域是（ ）A.[1,)+∞B.2(,)3+∞C.2[,1]3D.2(,1]32.设)(x f 为在R 上的奇函数，当0≥x 时，b b x x f x (22)(++=为常数），则=-)1(f A.3 B.1 C.-1D.-33.已知函数()sin()(,0)4f x x x ωωπ=+∈>R 的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度B.向右平移8π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度4.化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果是 （ ）A.6aB.a -C.9a -D.9a5.当输入a 的值为1,b 的值为3-时，右边的程序运行的结果是（ ） A.1 B.-2 C.-3 D.26.已知,,0,00a b c a b ab ac +><<满足且，则下列选项中一定成立的是( ) A.ab ac > B.()0c b a -< C.22cb ab > D.()0c b a ->7.在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张，则所得卡片上的数字为5的倍数的概率是（ ）A.15B.45C.120D.24208.已知,,x y z 都是大于1的正数，0m >，且log 24,log 40,log 12x y xyz m m m ===，则log z m 的INPUT ,a b PRINT aEND值为（ ）. A.160B.60C.2003 D.3209.设m n 、是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥；②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ；③若m //α，n //α，则m n //；④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ.其中，正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 10.若函数122log (2log )y x =-的值域是(,0)-∞，那么它的定义域是（ ）A.(0,2)B.(2,4)C.(0,4)D.(0,1) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，则a = ，这五个数的标准差是 . 12.右图是2010年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 . 13.已知3312,(,),sin(),sin(),cos()454134πππαβπαββα∈+=--=+=则 . 14.函数22811()(31)3x x y x --+=-≤≤的值域是 .15.已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共40分.16.一空间几何体的三视图如图所示,求此几何体的体积.17.设212()21,()f x x f x x =-=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n S f n =，数列{}n b 中，12b =，11()n n b f b -=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求证：数列{1}n b -是等比数列.18. （Ⅰ）已知圆C 的圆心坐标是(1,3)-,且圆C 与直线30x y +-=相交于P Q 、两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程；（II ）已知⊙C 满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；222正视图 俯视图222侧视图③圆心到直线:20l x y -=的距离为55，求此圆的方程. 19.已知向量),cos ,cos 3(),cos ,(sin x x b x x a =-=设函数()12f x a b =-⋅. （Ⅰ）写出函数()f x 的单调递增区间；（II ）若x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππ求函数()x f 的最值及对应的x 的值；（III ）若不等式m x f >)(在x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππ恒成立，求实数m 的取值范.20.已知11()(),(0)212x f x x x =+≠-. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性； （II ）证明()0f x >.数学学业水平测试模拟卷（3）一、选择题：1.已知全集{1,2,3,4,5}U =, 集合{}1,3A =,则U A =ð( )A.∅B. {}1,3C. {}2,4,5D. {}1,2,3,4,5 2.已知点(3,4)P -是角α终边上的一点, 则tan α=( )A.43-B.34-C.34D.433.若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直, 则实数a 的值为( )A.2-B.2C. 12-D.124.要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框, 不考虑焊接损耗, 则需要铁丝的长度至少为( )A.24B.12C.6D.35.如图1, 在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P , 分别以A 、B 、C 、D 为圆心、1为半径作圆, 在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为M (阴影部分), 则点P 取自区域M 的概率是( )图1A.2π B.4π C.14π- D.12π- 6.某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图2所示, 则该几何体的体积为( )A.16B.13C.12D.1 7.函数2()f x x x=-的零点所在的区间为( )A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8.已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项的和为n S ,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和( ) A.2(1)n n + B.12(1)n n + C.2(1)n n + D.21nn +9.在长方形ABCD 中, 2,1,AB AD AC CD ==⋅=则 ( )A.4B.2C.2-D.4-10.设函数()f x 的定义域为R ,若存在与x 无关的正常数M ,使()f x M x ≤对一切实数x 恒成立,则称()f x 为有界泛函.有下面四个函数:① ()1f x =；② 2()f x x =；③()2sin f x x x =；④2().2xf x x x =++其中属于有界泛函的是( )A.①②B.③④C.①③D.②④ 二、填空题：11.已知幂函数()f x x α=的图象过点()2,2, 则函数()f x 的定义域是 . 12.如图3,给出的是计算111123S n=++++值的一个程序框图,当程序结束时,n 的值为 . 13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是(2,4,0)A , (2,0,3)B ,(2,2,)C z , 若90C ∠=, 则z 的值为 .14.设实数x y 、满足3,20,40,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则22x y +的取值范围是 .三、解答题：15.在平面直角坐标系xOy 中, 已知(3,1),(1,0)A C .（Ⅰ）求以点C 为圆心,且经过点A 的圆C 的标准方程；（II ）若直线l 的方程为290x y -+=,判断直线l 与圆C 的位置关系,并说明理由. 16.已知函数()sin 3cos ,f x x x x R =+∈． （Ⅰ）求函数()f x 的的最小正周期；（II ）若6,0,,352f ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17.对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计,随机抽取N 名学生作为样本,得到这N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： （Ⅰ）求出表中,N p ，及图中的a 的值；（II ）在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人, 求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率. 18.如图4所示, AB 是⊙O 的直径, 点C 是⊙O 圆周上不同于A B 、的任意一点, PA ⊥平面ABC , 点E 是线段PB 的中点, 点M 在AB 上, 且//MO AC . （Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ； （II ）求证:平面EOM //平面PAC .19.已知数列{}n a 满足*111,2(N ,)n n n a a a n λλ+==+⋅∈为常数, 且123,2,a a a +成等差数列. （Ⅰ）求λ的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）设数列{}n b 满足23n n n b a =+, 证明: 9.16b ≤20. 设a 为常数, R a ∈, 函数2()||1,R.f x x x a x =+-+∈ （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数, 求实数a 的值; （II ）求函数()f x 的最小值. 一、选择题：分组频数 频率[3, 6) 10m [6, 9) n p [9, 12) 4 q [12, 15) 20.05合计N1.已知集合{|28,N}P x x x =≤<∈,则下列结论正确的是( ) A.1P ⊂ B.2P ∈ C.2P ∈ D. 2P ⊂2.函数1()()2x f x =在区间[-2,-1]上的最大值是( )A.1B.2C.4D.123.已知向量(1,2)a =，向量(,1)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A.2- B.2 C.1- D.14.如图，一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（ ） A.8π B.4π C.2πD.π 5.下列函数中，在R 内是单调递增函数的是（ ）A.2x y =B.2log y x =C.2y x =D. 2y x =- 6.不等式220x x --<的解集为 （ ） A.{|12}x x -<<B.{|21}x x -<<C.{|21}x x x <<-或D.{|12}x x x <<-或7.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（ ）cm 3 A.2 B.4C.6D.88.对于不同直线,,a b l 以及平面α，下列说法中正确的是（ ）A.如果,a b a αP P ，则b αPB.如果,a l b l ⊥⊥，则a b PC.如果,a b a α⊥P ,则b ⊥αD.如果,a b ⊥α⊥α,则a b P9.若执行如图所示的程序框图，如果输入6=n ，则输出的s 的值是（ ）A ．76B ．87C ．65D ．5410.直线l 的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线l 的方程是（ ） A.350x y --= B.350x y +-= C. 310x y -+= D.310x y +-=正视图322侧视图俯视图2(第8题)11.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若26c b ==，，，120B =,则a 等于（ ）A.6B.2C.3D.212.在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则)(222=+PCPB PAA.2B.4C.5D.10 二、填空题：13.直线21y x =-与直线1y kx =+平行，则k = ．14.某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 ．15.设函数2()2f x x x a =-+在区间(2,3)内有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．16.函数()sin cos f x x x =+的最大值是 ． 三、解答题：（17）（10分）如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点. （Ⅰ）BD ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：1AC BD ⊥.18.（10分）已知等差数列{}n a ，29,a =521.a = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,n a n b =求数列{}n b 的前n 项和n S . （19）（本小题满分10分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos .f x x x x x =-+ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值，以及取得最大值时x 的值.D 1A BCDOE B 1A 1C 120.（10分）某公司在统计2012年的经营状况时发现，若不考虑其他因素，该公司每月获得的利润y（万元）与月份之间满足函数关系式：（Ⅰ）求该公司5月份获得的利润为多少万元（Ⅱ）2012年该公司哪个月的月利润最大最大值是多少万元21.（10分）已知圆C的圆心C在直线y x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为2.（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点1(1,)2M且与圆C相交于,A B两点，求弦长AB的最小值及此时直线l的方程.。