北京市平谷区2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷(扫描版)
北京平谷县马坊第二中学2018年高二数学理期末试卷含解析
北京平谷县马坊第二中学2018年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：B略2. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2参考答案：C3. 函数，为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是( )A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)<f(b)参考答案：A略4. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（）A. AB. BC.A C=DD.A C=B D参考答案：D略5. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点参考答案：C四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，所以由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面各正三角形的中心。
6. 要从已编号（1—50）的50件产品中随机抽取5件进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5件产品的编号可能是（）A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,22C．1,2,3,4,5 D．3,13,23,33,43参考答案：D7. 向量a=（2，﹣2），b=（4，x）且a，b共线，则x的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4参考答案：D【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据题意和向量共线的坐标表示列出方程，求出x的值．【解答】解：因为=（2，﹣2），=（4，x）且，共线，所以2x﹣（﹣2）×4=0，解得x=﹣4，故选D．8. 在△ABC中，已知，，M、N分别是BC边上的三等分点，则的值是（）A．5 B． C．6D．8参考答案：C9. 如果，则的最小值为（）A． B．C． D．参考答案：C考点：基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用问题，其中解答中根据题设条件构造基本不等式的条件，利用基本基本不等式是解得的关键，解答中有一定的技巧性，但覆盖知识较少，试题比较基础，属于基础题，着重考查了学生构造思想和转化思想，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力．10. 已知z=（）8，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，在由虚数单位i得性质求解．【解答】解：∵z=（）8=，∴．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，它满足第n行首尾两数均为n，则第7行第2个数是．第n 行（n≥2）第2个数是．参考答案：22；。
北京平谷县杏园中学高二数学理期末试题含解析
北京平谷县杏园中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆的圆心坐标是（）A． B． C． D．参考答案：Ａ略2. 已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．3. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＜c2，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】由条件利用余弦定理求得cosC=＜0，故C为钝角，从而判断△ABC的形状．【解答】解：△ABC中，由a2+b2＜c2 可得 cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC的形状是钝角三角形，故选：C．4. 函数y=xe x的导数是（）A．y=xe x B．y=x+xe x C．y=e x D．y=（1+x）e x参考答案：D【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由导数的加法计算法则可得y′=（x）′e x+x（e x）′，再化简计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y=xe x，其导数y′=（x）′e x+x（e x）′=e x+xe x=（1+x）e x，故选：D．5. 已知长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）参考答案：C略6. 函数的最大值是( )（A）1 （B）（C）（D）2参考答案：B略7. 若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2参考答案：B 考点：函数在某点取得极值的条件．专题：常规题型．分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）∵f（x）有极大值和极小值∴△=16a2﹣36（a+2）＞0解得a＞2或a＜﹣1故选B点评：本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同．8. 已知，，猜想的表达式为（）A .B .C .D .参考答案：B略9. 已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】先根据a2=2，a5=，求出公比q，再根据{a n a n+1}为等比数列，根据求和公式得到答案．A．B．C．D．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=a2q3=2?q3=，∴则q=，a1=4，a1a2=8，∵=q2=，∴数列{a n a n+1}是以8为首项，为公比的等比数列，∴a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1==（1﹣4﹣n）．故选：C．10. 设一随机变量的结果只有和,且，令随机变量则方差等于（）A、4B、C、D、参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果= 4+，那么cot（）的值等于_______________.参考答案：12. 在如图所示的数阵中，第行从左到右第3个数是参考答案：略13. ，则＝________.参考答案：1略14. 已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为．参考答案：15【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值．【解答】解：∵圆O：x2+y2=9，∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，∵M（1，），则d12+d22=OM2=12+（）2=3，又|AC|=2，|BD|=2∴四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=2?≤18﹣（d12+d22）=18﹣3=15，当且仅当d12 =d22时取等号，则四边形ABCD面积的最大值为15．故答案为：15．15. 如果执行右边的程序框图，那么输出的▲.参考答案：110略16. 若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为．参考答案：3+2【考点】基本不等式．【分析】由正弦函数的性质可求y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，代入直线方程可求a+b=1，而+=（）（a+b ），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心为（1，1）∴a+b=1则+=（）（a+b）=3+=3+2最小值为故答案为：3+217. 随机变量的分布列如下：其中a，b，c成等比数列，若，则的值为__________．参考答案：【分析】根据分布列可得，再根据及数学期望可解出，再根据公式计算方差. 【详解】，所以，又且，所以，解得∴.故填.【点睛】本题考查离散型随机变量概率分布列的性质、数学期望和方差的计算，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
北京市人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)_Word版含解析
2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤02．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．57．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为______．12．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是______．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=______；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为______．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=______；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A．（x3）'=3x2故A错误；B．（lgx）'=故B正确；C．（e x）'=e x故C错误；D．（cosx）'=﹣sinx 故D错误；故选B3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a ＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f（x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得x=0 或x=6，根据导数在x=0和x=6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f′（）=cos=，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确∵函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C的方程；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0，即可求线段AB的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，∴p=6．故所求抛物线C的方程为y2=12x；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，通过求导得出f′（x）＜0，解出即可；（Ⅱ）f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2∴f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f（﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f（2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f（2）＞f（﹣2）．∵x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f（x）max=20，f（x）min=﹣7．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆D的标准方程．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：•=0，即x1x2+y1y2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D的标准方程为： +y2=1．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．联立，化简整理可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m2﹣1）=40﹣8m2＞0，可得：＜m＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．从而•=0，∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+y1y2=x1x2+=3x1x2+（x1+x2）+m2=3×+m×（﹣）+m2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=6；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为54．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I）求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=6，进而可得所求；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I）双曲线C：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F1（﹣6，0），F2（6，0），∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=2；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）...（x+100），则f′（0）=1×2×3× (100)（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2018年9月28日。
【平谷区】2017—2018学年度第一学期期末质量监控试卷
= 6 2 2 ．················································································ 5
18．解：（1）∵抛物线经过点 A（﹣1,0），B（0,3），
1 b c 0,
∴பைடு நூலகம்
c
3.
．···································································2
图1
备用图
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28．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到
的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以 O 为圆心，半径为 5 的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换
点”
；
（2）点 M,N 是一对“互换点”，点 M 的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P 经过点 M,N．
数是
．
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2017-2018年北京市十一学校高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
16．（ 35 分）已知椭圆
的一个顶点为 B（0，1），半焦距
为 c，离心率
，又直线 l：y=kx+m（k≠ 0）交椭圆于 M （x1，y1），N（x2，
y2）两点，且 P（x0， y0）为 MN 中点． （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 k=1，m=﹣1，求弦 MN 的长；
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12．（ 4 分）已知直线 l 的参数方程为
（t 为参数），以平面直角坐标系的
坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ ﹣ 4cosθ=（0 ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线 l 与曲线 C 的位置关系是 相切 ．
【解答】 解：∵直线 l 的参数方程为
y2）两点，且 P（x0， y0）为 MN 中点． （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 k=1，m=﹣1，求弦 MN 的长；
三、解答题（共 2 道大题，共 44 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
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பைடு நூலகம்
程） . 15．（ 9 分）设函数 f （x）=
+ax﹣ lnx（ a∈ R）．
（ 1）当 a=1 时，求函数 f（x）的极值； （ 2）当 a≥2 时，讨论函数 f（x）的单调性．
【解答】 解：（1）函数的定义域为（ 0，+∞），
上是减函数； ，令 f' （ x）＞ 0，
得
，
当
，a＜2 时与已知矛盾，舍，
综 上 ， 当 a=2 时 ， f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 单 调 递 减 ； 当 a ＞ 2 时 ，
上单调递减，在
上单调递增；
北京市第二中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
p
3 4
3 4
1 1
3 4
.
本题选择 C 选项.
11.若 1
1 3
x
2018
a0
a1x
a2 x 2 a2018x ( 2018 x
R)
，则
3a1
32 a2
33 a3
3 a 2018 2018
的值为
5
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（ ）．
A. 2
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】
令 x 0 可得： a0 1 ，令 x 3 可得： a0 3a1 32 a2 33 a3 32018 a2018 0 ，
Tr1 Cnr
3x3
nr
1 x
r
3nr
Cnr
3n
x
7 2
r
，
展开式中含有常数项，则： 3n 7 r 0 有正整数解， 2
满足题意的最小的正整数为： r 6, n 7 .
D. 7
本题选择 D 选项. 点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含 条件，即 n，r 均为非负整数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二 步是根据所求的指数，再求所求解的项．
D. 60
6.将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（ ）．
5
A.
16
B. 13 16
C. 21 32
【答案】B
【解析】
由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：
1 2
5
2017-2018北京平谷高二上期末【理】
平谷区2017-2018学年度第一学期期末质量监控试卷高二数学（理）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合要求的．）1．抛物线28y x =的焦点坐标是（ ）． A ．(0,4) B ．(4,0) C ．(0,2) D ．(2,0)【答案】D【解析】由抛物线方程可知，4p =，22p=． ∴焦点坐标为(2,0)． 故选：D ．2．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ）．A ．12y x =±B ．2y x =± C．y x = D．y =【答案】A【解析】由双曲线方程可知，2a =，1b =．∴渐近线方程为by x a=±．故选：A ．3．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）． A ．9B ．16C ．25D ．27【答案】B【解析】运算过程如下：输入：0S =，1i =→1S =，3i =→=4S ，5i =→=9S ，7i =→16S =，9i =． 输出=16S ． 故选：B ．4．已知a ，b 是两条不同的直线，α是平面，且b α⊂，那么“a α∥”是“a b ∥”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要体 【答案】D【解析】a α∥时，a 与b 可以不平行．a b ∥时，可以a α⊂．故选：D ．5．若两条直线210ax y +-=与320x y -+=垂直，则a 的值为（ ）． A ．6 B ．6- C ．23D ．23-【答案】A【解析】∵两直线垂直． ∴12(3)0a ⨯+⨯-=． ∴6a =． 故选：A ．6．直线3y x =-被圆2240x y x +-=所截得弦长为（ ）． A．BC ．7D ．14【答案】A【解析】由圆方程可知，圆心坐标为(2,0)，半径2r =． 圆心到3y x =-的距离d =．∴ 故选：A ．7．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，==1AB AC ，两个动点M ，N 在棱11B C 上，且1MN =，则下列结论中错误的是（ ）． A ．MN 与AB 成的角为45︒ B ．MN ∥平面ABCC ．三棱锥A BMN -的体积为定值D ．AMN △的面积与BMN △的面积相等C 1B 1A 1NMCBA【答案】D【解析】∵11A B AB ∥．∴MN 与AB 所成的角与MN 与11A B 所成的角相等，为45︒，A 正确．MN BC ∥，MN ⊄平面ABC ．∴MN ∥平面ABC ． ∴B 正确．BMN S △为定值，即112MN BB ⋅，A 到平面11B BCC 的距离为定值，即三棱锥的高为定值，故体积为定值，C 正确．AMN △与BMN △底相等，高不相等，D 错误．故选：D ．8．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于常数(0)a a ≠，则动点P 的轨迹不可能是（ ）． A ．圆 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C【解析】设P 点坐标(,)x y ，1AP y k x =+，1BP yk x =-． ∵221AP BPy k k a x ⋅==-，整理得2221y x a-=． 1a =-时，P 点轨迹为圆．0a <且1a ≠-时，P 点轨迹为椭圆． 0a >时，P 点轨迹为双曲线．故选：C ．二．填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上．）9．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是__________． 【答案】0x ∃∈R ，200x ≤ 【解析】0x ∃∈R ，200x ≤． 故答案为：0x ∃∈R ，200x ≤．10．北京市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生抽取11人，则n 的值等于__________． 【答案】33【解析】三个年级的人数之比为12:10:11．高三抽取11人时，高一，高二分别抽取12人与10人． ∴11121033n =++=． 故答案为：33．俯视图侧视图11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，M 是双曲线上的一点，1MF 21MF =，且12MF MF ⊥那么该双线的离心率是__________．1【解析】1221a MF MF =-=．1222c F F ==．∴1c e a ==．1．12．已知某四棱锥的三视图（如图），那么该几何体的体积为__________．【答案】83【解析】由三视图可知，该四棱锥底面为正方形．224S =⨯=底，高2h =．【注意有文字】∴18=4233V ⨯⨯=．故答案为：83．13．已知顺平段汽车行驶限速70km/h ，交通管理局为调查此路段汽车超速情况，在某时段，从监控中随即抽取100辆汽车进行了测速记录，将所得数据按照[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分成5组，得到了如图所示频率分布直方图．那么图中a =__________；试估计某一天的同一时段通过该路段的5000辆汽车中超速的大约有__________辆．主视图【答案】0.001，50【解析】(0.0120.0230.0340.03)101a ++++⨯=． ∴0.001a =．∴超速频率约为0.001100.01⨯=． 超速车辆约有50000.0150⨯=辆． 故答案为：0.001，50．14．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两端点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，若圆22:(4)(3)1C x y -+-=上存在点M 是线段AB 的中点，则线段AB 长度的最小值为__________． 【答案】8【解析】由已知得：AOB △为直角三角形，设AB 中点为P ，圆心为C ，则=2AB OP ． ∴OP 最短时，AB 取最小值，连接OC 与圆的交点，即为OP 最短时P 点的位置．此时=14OP OC r -=． ∴=8AB ． 故答案为：8．三．解答题．（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．在平面直角坐标系xOy 中，设圆C 的圆心在y x =上，且与x 轴相切于点(1,0)． （1）求圆C 的方程．（2）求过点(2,3)且与圆C 相切的直线方程． 【答案】（1）22(1)(1)1x y -+-=． （2）2x =或3460x y -+=．【解析】（1）由圆C 的圆心在y x =上可设得圆心C 为(,)a a ． ∴设圆C 的方程为：222()()x a y a r -+-=． ∵圆C 与x 轴相切于点(1,0)． ∴1a r ==．∴圆C 的方程为：22(1)(1)1x y -+-=（2）当斜率不存在时，直线方程为2x =，显然与圆相切． 当斜率存在时，设直线方程为(2)3y k x =-+． 即230kx y k --+=．0.03a∴由圆心到直线的距离1d ==．解得34k =． ∴切线方程为2x =或3460x y -+=．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱柱垂直于底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 中点． （1）求证：AC ⊥平面11BCC B ． （2）求证：1AC ∥平面1CDB ．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析． 【解析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中． ∵1CC ⊥底面ABC ． ∴1CC AC ⊥． ∵AC BC ⊥，1=CC BC C ．∴AC ⊥平面11BCC B ．（2）连接1BC 与1B C 交于点O ，连接OD ． ∵平行四边形11BB C C ． ∴O 为1BC 中点． ∵D 是AB 中点． ∴1ABC △中，1AC OD ∥．∵OD ⊂面1CDB ，1AC ⊄面1CDB ． ∴1AC ∥面1CDB ．17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，经过点0(,1)M x ，并且点M 到该抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程及焦点坐标．（2）若直线3:14l y x =+与抛物线交于A ，B 两点，求AOB △的面积． 【答案】（1）24x y =，(0,1)．（2）52．【解析】（1）依题意设抛物线方程为：22(0)x py p =>． ∵点M 到焦点F 的距离为2．DABC A 1B 1C 1∴点M 到准线2py =的距离为2． ∵0(,1)M x ，∴122p+=，2p =．∴抛物线的标准方程为24x y =． 焦点坐标为(0,1)．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程24314x y y x ==+⎧⎪⎨⎪⎩，消y 得2340x x --=． ∴14x =，21x =-． ∵直线l 过焦点． ∴=AOB AOF BOFS S S +△△△．∴AOB △的面积为1215=122AOB S x x ⨯⨯-=△．18．如图，平面ABCD ⊥平面CDE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，=CD DE ，=90CDE ∠︒，F 为CE 的中点，点P 在线段AF 上．（1）求证：CE AF ⊥．（2）如果点P 是AF 的中点，求直线CP 与平面ADF 所成角的正弦值． （3）是否存在点P ，使得二面角C PD F --的大小是60︒？若存在，求APAF的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析．（2（3）存在，23AP AF =． 【解析】（1）∵正方形ABCD ． ∴AD CD ⊥．∵平面ABCD ⊥平面CDE ，且平面ABCD 平面CDE CD =．∴AD ⊥平面CDE ． ∵CE ⊂平面CDE ． ∴AD CE ⊥．P FED CBA∵=CD DE ，F 为CE 的中点． ∴DF CE ⊥，且=AD DF D ．∴CE ⊥平面ADF ． ∴CE AF ⊥．（2）由（1）可知AD ⊥平面CDE ，且=90CDE ∠︒． 可如图建立空间直角坐标系D xyz -．由题意(0,0,0)D ，(0,0,2)A ，(0,2,0)C ，(2,0,0)E ，(1,1,0)F ． ∵P 是AF 的中点．∴11,,122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13=,,122CP ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 由（1）知CE ⊥平面ADF ．∴平面ADF 的一个法向量是=(2,2,0)CE -．∵cos ,CE CP <=．∴直线CP 与平面ADF（3）设(,,)P x y z ，点P 在线段AF 上． ∴存在[0,1]λ∈，使得=AP AF λ． ∵(,,2)AP x y z =-，(1,1,2)AF =-．∴22x y z λλλ==-=-⎧⎪⎨⎪⎩，(,,22)P λλλ-． ∴(22)DP λ,λ,λ=-，=(0,2,0)DC ． 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n a b c =．则00DP n DC n ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=，即(22)020a b c b λλλ++-==⎧⎨⎩．∴2a =，0b =，1c λλ=-．∴2,0,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．∵平面ADF 的一个法向量是=(2,2,0)CE -． 又∵二面角C PD F --的大小是60︒．∴1cos ,2CE n <>==．∴23λ=或2[0,1]λ=∉舍去． ∴23AP AF =． 19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，左，右顶点分别为A ，B ，且离心率为，点D 在椭圆C 上，直线DA ，DB 分别与直线5x =交于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）是否存在点D ，使得PDQ △的面积等于ABD △的面积？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2214x y +=．（2）不存在，理由见解析．【解析】（1）由已知椭圆的左右顶点(2,0)A -，(2,0)B，离心率e =． ∴2a =，c∴椭圆C 的方程是2214x y +=．（2）假设存在满足题设的点00(,)P x y ． 则直线00:(2)2y DP y x x =++．直线00:(2)2y DQ y x x =--． 于是可得0075,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，0035,2y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭．即000020004573=224y x y y PQ x x x --=+--． 而点D 到直线PQ 的距离为05x -．∴DPQ △的面积20010202(5)1=524y x S PQ x x -⋅-=-．ABD △的面积2001=22S AB y y ⋅=．∵12=S S ． ∴2000202(5)24y x y x -=-．即2200(5)4x x -=-．∵022x -≤≤． ∴204x ≤．∴2200(5)4x x -=-，化简得200210210x x -+=． 由判别式1001680∆=-<． ∴方程无解．∴不存在点D ，使得PDQ △的面积等于ABD △的面积． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(F，2F，点P 在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程．（2）求直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆交于不同的两点A ，B ，设OA OB γ=⋅，求γ的取值范围．【答案】（1）2214x y +=．（2）114λ<≤．【解析】（1）根据题意124PF PF +=． 根据椭圆的定义得24a =． ∴2a =．∵椭圆的左，右焦点分别为1(F，2F ． ∴1b =．∴椭圆的标准方程为2214x y +=． （2）若直线l 的斜率不存在，则直线方程为1x =或1x =-．当1x =时，1A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭．此时1=1,1,4OA OB λ⎛⎛=⋅⋅= ⎝⎭⎝⎭． 同理当1x =-时，1=1,4OA OB λ⎛⎛=⋅-⋅-= ⎝⎭⎝⎭． ∴当直线l 的斜率不存在时1=4OA OB λ=⋅． 若直线l 的斜率存在，设直线:l y kx m =+，由题意可知0k ≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．∵直线l 和圆相切．∴1d ==．化简得221m k =+．联立方程22141y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消y 得222(41)8440k x kmx m +++-=． ∵0∆>．∴0k ≠．∴1228+41km x x k -=+，21224441m x x k -=+． 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m λ=+=+++=++++ 22211441441k k k +==+++． ∴114λ<<． 综上所述，114λ<≤．。
北京高二上学期期末数学试题与答案
北京高二上学期期末数学试题一、选择题（每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）1.已知命题：:p n ∀∈N ，2n n >，则¬p 是（ ） A. n ∀∈N ，2n n B. n ∀∈N ，2n n < C. n ∃∈N ，2nn D. n ∃∈N ，2n n >2.关于直线a ，b 以及平面M ，N 下列命题中正确的是（ ） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C.若b M ⊂，且a ⊥b ，则a ⊥M D.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.如果命题“p 或q ”是真命题，“非p ”是假命题，那么（ ） A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax+(a+1)y+1=0，l 2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=xsinx 的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（ ） A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=7.已知点A(6,0)，抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（ ）A. 23B. 25C.5D.68.已知点A(-1,1).若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线：①y=-x+3(0≤x ≤3)； ②)2220y x x =--；③()01y x x=-； ④()299024y x x=-；其中，Γ型曲线的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.函数f(x)=e x -x-1的零点个数是________.10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.若函数f(x)=alnx-x 在区间(0,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.12.已知点F ，B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________.13.如图，在三棱锥A-BCD 中，2BC DC AB AD ====，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-ax+a ，其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟） 15.（本小题13分）已知函数31()443f x x x =-+.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.16.（本小题13分）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B ，C 两点，求证：∠BOC=90°.17.（本小题14分）在Rt △ABF 中，AB=2BF=4，C ，E 分别是AB ，AF 的中点（如图1）.将此三角形沿CE 对折，使平面AEC ⊥平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面AEF ； （Ⅱ）求：三棱锥C-EBD 的体积.18.（本小题13分）已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y 0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a>0，且对x ∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l 与椭圆C 交于点E 、F ，且165EF =，求直线l 的方程； （Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）.设直线l 1的斜率k>0，在x 轴上是否存在点P(m,0)，使得以P G ，PH 为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x 2-x)lnx. （Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.北京高二上学期期末数学试题答案―、选择题（每小题4分，共40分。
【精品】2017-2018学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷
2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故选：C．【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出λ的值．【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率等于，建立方程组，可求双曲线的几何量．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用椭圆的定义和方程是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，则PF∥AE，从而∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【分析】根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点P 到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小值是2．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．【点评】本题给出点F1、F2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD所在直线为准线，可得当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，代入三棱锥体积公式求解．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD 所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠0【点评】本题主要考查四种命题之间关系的求解，利用逆否命题的定义是解决本题的关键．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．第11页（共19页）【分析】利用抛物线x 2=ay 的准线方程是y=﹣即可得出．【解答】解：∵抛物线x 2=ay 的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了抛物线的性质，确定抛物线x 2=ay 的准线方程是关键，属于基础题．11．（5分）已知点P （1，1）在双曲线C 上，C 的渐近线方程为y=±x ，则双曲线C 的方程为．【分析】设出曲线的标准方程利用双曲线的性质，求解即可．【解答】解：设双曲线C 的方程为，由题意点P （1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键．12．（5分）已知空间四点A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，﹣5），D （x ，﹣1，3）共面，则x 的值为11．【分析】根据空间四点A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，﹣5），D （x ，﹣1，3）共面，可得存在实数m ，n 使得=m +n ，解出即可得出．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x ﹣4，﹣2，0），∵空间四点A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，﹣5），D （x ，﹣1，3）共面，∴存在实数m ，n 使得=m +n，。