广西2020版高考数学一轮复习考点规范练37空间几何体的表面积与体积文

考点规范练37 空间几何体的表面积与体积一、基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r ×2r+2×12πr 2+πr ×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.2.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.2B.4C.6D.8.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A.√22B.1C.√2D.√3,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC 的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以(x2)2+(x2)2=1,即x=√2,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=√2×1=√2.4.(2018安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为()A.3π+4√2B.4(π+√2+1)C.4(π+√2)D.4(π+1),圆柱的底面半径为1,高为2,其表面积为S 1=12×π×2×2+π×12=3π,下半部分为正四棱锥,底面棱长为2,斜高为√2,其表面积S 2=4×(12×2×√2)=4√2,所以该几何体的表面积为S=S 1+S 2=3π+4√2.5.点A ,B ,C ,D 在同一个球的球面上,AB=BC=√6,∠ABC=90°.若四面体ABCD 体积的最大值为3,则这个球的表面积为( ) A.2πB.4πC.8πD.16π,知S △ABC =3,设△ABC 所在球的小圆的圆心为Q ,则Q 为AC 的中点,当DQ 与面ABC 垂直时,四面体ABCD 的最大体积为13S △ABC ·DQ=3,∴DQ=3,如图,设球心为O ,半径为R ,则在Rt △AQO 中,OA 2=AQ 2+OQ 2,即R 2=(√3)2+(3-R )2,∴R=2,则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D .6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A.14斛 B.22斛C.36斛D.66斛R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π. ∴体积V=14×13·πR 2h=112×π×(16π)2×5. ∵π≈3,∴V ≈3209(立方尺).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2018江苏,10)如图,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .,多面体是棱长均为√2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(√2)2×1=43.8.已知棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,×43=32.如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是129.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O 的表面积为.πP-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2√3,所以球O的直径是2√3,半径为√3,球O的表面积为4π×(√3)2=12π.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.,可得直三棱柱ABC-A 1B 1C 1如图所示.其中AB=AC=AA 1=BB 1=CC 1=A 1B 1=A 1C 1=1.∵M ,N ,P 分别是棱AB ,BC ,B 1C 1的中点,∴MN=12,NP=1. ∴S △MNP =12×12×1=14.∵点A 1到平面MNP 的距离为AM=12, ∴x x -x 1xx =x x 1-xxx =13×14×12=124.11.(2018重庆二诊)已知边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点A ,B ,C 都在以O 为球心的球面上,若球O 的表面积为148π3,则三棱锥O-ABC 的体积为 .R ,则4πR 2=148π3,解得R 2=373.设△ABC 所在平面截球所得的小圆的半径为r , 则r=23×(√32×2)=2√33.故球心到△ABC 所在平面的距离为d=√x 2-x 2=√373-43=√11,即为三棱锥O-ABC 的高, 所以V O-ABC =13S △ABC ·d=13×(√34×22)×√11=√333.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为√3、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形. (1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的表面积S.由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为√3,所以V=1×1×√3=√3.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A 1D ⊥平面ABCD ,CD ⊥平面BCC 1B 1,所以AA 1=2,侧面ABB 1A 1,CDD 1C 1均为矩形.S=2×(1×1+1×√3+1×2)=6+2√3.二、能力提升13.如图,在多面体ABCDEF 中,已知四边形ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE ,△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF=2,则该多面体的体积为( ) A.√23B.√33C.43D.32,分别过点A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连接DG ,CH ,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=√32,所以S △AGD =S △BHC =12×√22×1=√24. 所以V=V E-ADG +V F-BHC +V AGD-BHC=2V E-ADG +V AGD-BHC =13×√24×12×2+√24×1=√23.14.(2018湖南衡阳一模)刍薨,中国古代算术中的一种几何形体,《九章算术》中记载“刍薨者,下有褒有广,而上有褒无广.刍,草也.薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”.如图为一刍薨的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,若用茅草搭建它,则覆盖的面积至少为 ( )A.6√5B.7√5C.8√5D.9√5,得茅草覆盖面积即为几何体的侧面积.由题意可知,该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底长为2,下底长为4,高为√22+12=√5;等腰三角形的底边长为2,高为√22+12=√5.故侧面积为S=2×12×(2+4)×√5+2×12×2×√5=8√5.即需要茅草覆盖的面积至少为8√5,故选C .15.(2018全国Ⅲ,文12)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3C.24√3D.54√3由△ABC 为等边三角形且面积为9√3,设△ABC 边长为a ,则S=12a ·√32a=9√3.∴a=6,则△ABC 的外接圆半径r=√32×23a=2√3<4.设球的半径为R ,如图,OO 1=√x 2-x 2=√42-(2√3)2=2.当D 在O 的正上方时,V D-ABC =13S △ABC ·(R+|OO 1|)=13×9√3×6=18√3,最大.故选B . 16.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EB 1=12,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√xx 2-xx 2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即97(79也正确).三、高考预测17.已知球的直径SC=4,A ,B 是该球球面上的两点,AB=√3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC 的体积为( )A.3√3B.2√3C.√3D.1,过A作AD垂直SC于D,连接BD.因为SC是球的直径, 所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.因为AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以V S-ABC=V S-ABD+V C-ABD=13S△ABD·SC.因为在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2√3.由于AD=xx·xxxx=√3.同理在Rt△BSC中也有BD=xx·xxxx=√3.又AB=√3,所以△ABD为正三角形.所以V S-ABC=13S△ABD·SC=1 3×12×(√3)2·sin60°×4=√3,故选C.。