随机时间序列分析模型
ARMA模型介绍
习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来 表示对应的滞后时期。
AR(p)模型
AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形 式为：
Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYt p ut
另一种表达方式是用差分形式： Yt Yt1 1Yt1 ... p1Yt p1 ut
调整可决系数、AIC和SC准则都是模型 选择的重要标准。
AIC准则和SC准则
赤池信息准则：AIC=-2L/n+2k/n，其中L 是对数似然值，n是观测值数目，k是被 估计的参数个数。AIC准则要求其取值 越小越好。
施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时 也要求SC值越小越好。
ARIMA模型
maq的偏自相关系数随着滞后期的增加呈现指数衰减趋向于零这称为偏自相关系arprp序列的自相关函数是非截尾序列称为拖尾序列
时间序列模型-ARMA模型
ARMA模型是一类常用的随机时间序列 分析模型，由博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins) 创立，也称B-J方法。
AR（p）的自相关函数（AC）和偏相关函 数（PAC）
根据自相关函数的特征，可见AR（p） 序列的自相关函数是非截尾序列，称为 拖尾序列。因此，自相关函数拖尾是AR （ p ）序列的一个特征。
根据偏自相关函数的特征，当k>p时， PACkk =0，也就是在p以后截尾。
模型的识别
AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以 后截尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自 回归AR（p）序列。
MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后 截尾，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移 动平均MA（q）序列。
ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和 偏自相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动 平均ARMA（p,q）序列。至于模型中p和q的识别， 则要从低阶开始逐步试探，直到定出合适的模型为 止。
时间序列分析模型课件(PPT108张)
确定性时序分析的目的
• 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个 确定性因素对序列的影响 • 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作 用关系及它们对序列的综合影响
4-3-2 时间序列趋势分析
• 目的
–有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析 的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用 这种趋势对序列的发展作出合理的预测
随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
Cramer分解定理（1961）
• 任何一个时间序列 { x t }都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
x t t t
d j0
jt j
(B)at
随机性影响
确定性影响
对两个分解定理的理解
（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固 定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3）循环变化 周期不固定的波动变化。
(4)随机性变化
由许多不确定因素引起的序列变化。 随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
确定性变化分析 时间序列分析
趋势变化分析 周期变化分析 循环变化分析
（1 ）
0 1 , 2 j
j0
2 ~ WN ( 0 , （2） t )
( V , ) 0 , t s （3 ） E t s
确定性序列与随机序列的定义
• 对任意序列 而言，令 序列值作线性回归 关于q期之前的
2 ( t ) q 其中{ t } 为回归残差序列， Var
参数估计方法
线性最小二乘估计
Tt ab
t
a ln a b ln b
b t T t a
随机时间序列分析
参数模型
参数模型是指通过已知的参数来描述 时间序列的统计特性，如AR模型、 MA模型和ARMA模型等。
非参数模型
非参数模型是指通过数据本身来描述 时间序列的统计特性，如滑动平均模 型和自回归积分滑动模型等。
04 随机时间序列分析的方法 与技术
参数估计与模型选择
参数估计
利用已知数据估计模型中的未知参数，常用方法包括最小二乘法、极大似然估计法等。
的问题。
非线性过程的建模挑战
要点一
非线性动态
许多时间序列数据具有非线性动态，这意味着传统的线性 模型可能无法准确描述数据的复杂行为。因此，需要开发 更复杂的非线性模型来捕捉数据的非线性特征。
要点二
模型复杂度
为了更好地描述非线性动态，需要增加模型的复杂度。然 而，这可能导致模型过拟合和欠拟合问题，影响模型的泛 化能力和解释性。
提高数据利用效率
提高数据利用效率。
随机时间序列分析的应用场景
金融领域
气象领域
经济领域
用于股票价格、汇率等 金融时间序列的预测和
分析。
用于气温、降水等气象 时间序列的预测和分析。
用于GDP、消费、投资 等经济时间序列的预测
和分析。
交通领域
用于车流量、客流量等 交通时间序列的预测和
就业形势分析
通过分析历史就业数据，利用随机 时间序列模型预测未来就业形势， 为政府和企业的决策提供支持。
金融市场的随机时间序列分析
股票价格预测
通过对股票价格的历史数据进行随机时间序列分析，可以预测未 来股票价格的走势，有助于投资者做出更明智的投资决策。
利率变动预测
利用随机时间序列模型对利率变动进行建模，有助于金融机构制定 合理的贷款和存款利率政策。
第3讲 时间序列的随机性分析
(3.8)
特别当0=0时，称模型为中心化AR(p)模型. 非中心化 模型可以通过下面的变换:
=0/(1-0-1-„-p) ； Yt=Xt-
化成中心化模型，今后只讨论中心化模型.
第3讲 时间序列的随机性分析
3.2 平稳时间序列分析
2012年7月2日星期一
3.2.1 AR(p)模型
利用延迟算子可以将中心化AR(p)模型简写为:
第3讲 时间序列的随机性分析
3.1 时间序列的预处理
2012年7月2日星期一
3.1.1 宽平稳性检验
例3.1 若随机序列{Xt}满足以下条件则称为白噪声序 列(white noise): （1）E(Xt)=0 （2）Cov(Xt ,Xt+k)=0 显然，白噪声序列是宽平稳序列。 例3.2 由如下随机过程生成的序列{Xt}称为随机游走序 列(random walk)， Xt=Xt-1+et 这里，et 是一个独立白噪声，E(Xset)=0.
数学建模培训
2012年7月2日星期一
数学建模培训内容
第1讲 回归分析
第2讲 时间序列的确定性分析 第3讲 时间序列的随机性分析
第4讲 综合评价方法
第3讲 时间序列的随机性分析
第3讲 时间序列的随机性分析
2012年7月2日星期一
时间序列的随机性分析常采用的模型是ARMA模型和 GARCH模型，而ARMA模型是针对平稳非白噪声序列进 行建模。 所以本讲首先介绍时间序列的预处理---平稳性检验和 白噪声检验，然后介绍ARMA模型，最后介绍非平稳序列 的建模方法。
第3讲 时间序列的随机性分析
3.1 时间序列的预处理
2012年7月2日星期一
3.1.1 宽平稳性检验
时间序列模型的分析
时间序列模型的分析时间序列模型是一种用于分析时间序列数据的统计模型，在许多领域都有广泛的应用，如经济学、金融学、自然科学等。
时间序列模型通过建立数学模型，来描述随时间变化而产生的观测数据的模式和规律，从而可以预测未来的变化趋势。
时间序列模型的分析过程一般包括数据收集、数据预处理、模型选择和评估以及预测。
首先，收集数据是分析时间序列的第一步，可以通过各种途径获得观测数据。
然后，对数据进行预处理，包括去除趋势、季节性和异常值等，以保证模型分析的准确性。
接下来，选择适当的时间序列模型是至关重要的，常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
根据观测数据的特点和分析目的，选择合适的模型对数据进行拟合和预测。
最后，通过对模型进行评估，可以判断模型的拟合效果和预测准确性，如果模型不理想，需要对模型进行优化或者选择其他模型。
时间序列模型的选择和评估涉及到许多统计方法和技术。
首先，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来初步判断时间序列是否存在自相关性和季节性。
自相关图展示了观测值与某个滞后阶数的观测值之间的相关性，而偏自相关图则展示了在排除其他相关性的情况下，某个滞后阶数的观测值与当前观测值之间的相关性。
接着，可以使用信息准则（如赤池信息准则、贝叶斯信息准则）和残差分析等方法来选择合适的模型。
信息准则是一种模型选择标准，通过最小化信息准则的值来选择最优模型。
残差分析则用于检验模型的拟合效果，通常要求残差序列是白噪声序列，即残差之间不存在相关性。
在时间序列模型的预测过程中，常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法、ARMA模型预测法等。
其中，移动平均法用于捕捉序列的平稳性和周期性，指数平滑法适用于序列有趋势性和趋势变化的场景，而ARMA模型则可应对序列存在自相关性的情况。
根据实际情况，可以选择不同的方法进行预测。
随机时间序列分析
当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。
3、ARMA(p,q)模型的平稳性
由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平 稳性取决于AR(p)部分的平稳性。 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的， 否则，不是平稳的。
1、时间序列模型的基本概念
随机时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1, Xt-2, …, t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t =t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)： Xt=Xt-1+ t 这里， t特指一白噪声。
考虑p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p +t • 引入滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, …, LpXt=Xt-p
(*)
(*)式变换为 (1-1L- 2L2-…-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2-…-pLp),则称多项式方程
2、时间序列分析模型的适用性
• • 经典回归模型的问题： 迄今为止，对一个时间序列 Xt 的变动进行解释或预测， 是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的， 由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因 此也常称为结构式模型（structural model）。 • 然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因 素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来 解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量 化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。 • 有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程， 但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚 至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回 归模型及其预测技术就不适用了。
时间序列分析简介与模型
时间序列分析简介与模型时间序列分析是一种统计分析方法，用于研究时间序列数据的发展趋势、周期性和随机性。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，如股票市场的每日收盘价、气温的每月平均值等。
时间序列分析可以帮助我们理解数据的变化规律，预测未来的趋势，并支持决策和规划。
在时间序列分析中，一般将数据分为三个主要成分：趋势、季节性和随机扰动。
趋势是序列长期的增长或下降趋势，季节性是周期性的波动，随机扰动是非系统性的噪声。
为了进行时间序列分析，我们需要选择适当的模型。
常见的时间序列模型包括平滑模型、自回归移动平均模型（ARMA）、季节性自回归移动平均模型（SARMA）、季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
平滑模型适用于没有趋势和季节性的数据。
其中，移动平均法是一种常用的平滑方法，它通过计算观测值的移动平均值来估计趋势。
指数平滑法是一种适应性的平滑方法，根据最新的观测值赋予较大的权重，较旧的观测值则被较小的权重所影响。
自回归移动平均模型(ARMA)是一种常用的线性模型，它将序列的当前值与它的滞后值和滞后误差联系起来，以预测序列的未来值。
ARMA模型的参数包括自回归阶数(p)和移动平均阶数(q)，通过拟合模型可以估计这些参数。
季节性自回归移动平均模型（SARMA）是一种在季节性数据上拓展了ARMA模型的模型。
它引入了季节性序列和季节性滞后误差，以更准确地预测季节性数据的未来值。
季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型在季节性数据上的扩展。
ARIMA模型是一种广义的线性模型，包括自回归、差分和移动平均三个部分。
ARIMA模型的参数包括自回归阶数(p)、差分阶数(d)和移动平均阶数(q)。
SARIMA模型加入了季节性差分和季节性滞后误差，以更好地拟合季节性数据。
时间序列分析的核心目标是对未来趋势进行预测。
通过拟合适当的时间序列模型，我们可以估计模型的参数，并使用已知的数据来预测未来时间点的值。
典型时间序列模型分析
典型时间序列模型分析时间序列模型是一种用于预测未来时间上连续变量的模型。
它基于过去的观察数据，通过识别出时间序列中的趋势、季节性和随机性等特征，来预测未来的发展趋势。
典型的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归综合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归综合移动平均模型（SARIMA）、指数平滑模型、神经网络模型等。
自回归移动平均模型（ARMA）是一种广泛应用于时间序列分析和预测中的模型。
它结合了自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型的特点，能够较好地对时间序列进行建模。
ARMA模型的基本思想是通过过去p个时刻的观察值和过去q个残差项来预测当前时刻的观察值。
参数p和q是模型的阶数，可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来选择。
自回归综合移动平均模型（ARIMA）是ARMA模型的一种推广形式，它解决了ARMA模型无法处理非平稳时间序列的问题。
ARIMA模型通过差分运算将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，再利用ARMA模型对差分后的时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型的阶数包括差分阶数d、自回归阶数p和移动平均阶数q，可以通过观察时间序列的趋势和周期性来确定。
季节性自回归综合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型在季节性时间序列上的推广形式。
它考虑了时间序列中的季节性变化，并通过季节性差分运算将季节性时间序列转化为平稳时间序列。
SARIMA模型的参数包括季节性差分阶数D、季节性自回归阶数P和季节性移动平均阶数Q，还有非季节性差分阶数d、非季节性自回归阶数p和非季节性移动平均阶数q。
指数平滑模型是一种简单且常用的时间序列模型，适用于没有明显趋势和季节性的数据。
指数平滑模型通过对过去一段时间内的观察值进行加权平均，来预测未来的观察值。
基本的指数平滑模型有简单指数平滑模型（SES）、双指数平滑模型和三指数平滑模型等。
双指数平滑模型适用于具有一定趋势性的数据，而三指数平滑模型适用于具有趋势性和季节性的数据。
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随机时间序列分析模型
随机时间序列分析模型是用于描述时间序列数据的统计模型，旨在揭示数据的规律和变化趋势。
本文将介绍一种常用的随机时间序列分析模型——自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average model，简称ARMA模型）。
ARMA模型的一般形式为：$$ X_t = \sum_{i=1}^{p}
\phi_iX_{t-i} + \sum_{i=0}^{q}\theta_i\varepsilon_{t-i} +
\varepsilon_t$$ 其中，$X_t$为时间序列在时刻$t$的取值，
$\phi_i$和$\theta_i$分别是AR和MA部分的系数，$p$和
$q$分别表示AR和MA部分的阶数，$\varepsilon_t$是白噪声
误差。
AR部分表示当前时刻的取值与前几个时刻的取值之间的关系，MA部分表示当前时刻的取值与前几个时刻的白噪声误差之间
的关系。
这两部分分别用来描述时间序列的自相关和移动平均性质，通过确定合适的阶数和系数，可以很好地拟合并预测时间序列的未来趋势。
ARMA模型的建立一般包括以下几个步骤：
1. 确定AR和MA部分的阶数$p$和$q$：通过观察自相关图和偏自相关图，可以确定AR和MA部分的阶数。
2. 估计模型的参数$\phi_i$和$\theta_i$：可以使用最小二乘法
或极大似然估计法来估计模型的参数。
3. 检验模型的适应性：可以通过残差的自相关和偏自相关图来检验模型的适应性，如果图中没有明显的结构性相关，则说明模型适应良好。
4. 对模型进行预测：可以利用已有的数据对模型进行参数估计，然后使用模型对未来的数据进行预测。
ARMA模型具有一定的局限性，例如对于非平稳序列，需要
进行差分等预处理操作；对于长期依赖的序列，ARMA模型
的拟合效果可能较差。
在实际应用中，可能需要根据具体情况选择其他更适合的模型。
随机时间序列分析模型在经济学、金融学、气象学等领域都有广泛的应用。
例如，可以利用ARMA模型对股票市场的波动
进行预测，对气象数据进行预测，对宏观经济指标进行分析等。
通过分析时间序列的规律和趋势，可以为决策者提供有价值的信息和预测。
总之，随机时间序列分析模型是一种重要的统计模型，能够揭示时间序列数据的规律和趋势。
ARMA模型作为其中的一种，具有较好的适应性和预测能力，在实际应用中有广泛的应用前景。
然而，也需要注意该模型的局限性，并根据具体情况选择合适的模型和方法进行分析。
随机时间序列分析是一种重要的统计方法，广泛应用于经济学、金融学、气象学、医学等领域。
在这些领域中，时间序列往往反映出一定的规律和趋势，通过建立适当的时间序列模型，可以对未来的发展进行预测和分析。
随机时间序列分析模型中的ARMA模型是最常用的一种模型
之一。
ARMA模型的特点是能够同时描述时间序列的自相关
和移动平均性质。
AR部分表示当前时刻的取值与前几个时刻
的取值之间的关系，而MA部分表示当前时刻的取值与前几
个时刻的白噪声误差之间的关系。
通过确定合适的阶数和系数，ARMA模型可以很好地拟合并预测时间序列的未来趋势。
在建立ARMA模型时，首先需要确定AR和MA部分的阶数$p$和$q$。
一种常用的方法是通过观察自相关图和偏自相关图来确定阶数。
自相关图是用来描述一个时刻与前几个时刻的相关性，而偏自相关图则是描述一个时刻与前几个时刻的相关性，控制了其他时刻的影响。
通过观察这两个图形，可以发现时间序列的相关性结构，从而确定AR和MA的阶数。
确定阶数之后，接下来需要估计模型的参数$\phi_i$和
$\theta_i$。
常用的方法有最小二乘法和极大似然估计法。
最小二乘法通过最小化模型的误差平方和来估计参数，而极大似然估计法则通过最大化给定数据的似然函数来估计参数。
这两种方法都需要进行迭代，通过不断更新参数值以使似然函数达到最大值或误差平方和达到最小值。
在估计完模型的参数之后，需要对模型的适应性进行检验。
一种常用的方法是通过残差的自相关和偏自相关图来检验模型的适应性。
如果图中没有明显的结构性相关，则说明模型适应良好。
另外，还可以通过计算残差的平均值、标准差和偏度等统计指标来进行检验。
一旦确定了合适的ARMA模型，就可以利用该模型进行预测。
预测可以通过已有的数据对模型进行参数估计，然后使用模型对未来的数据进行预测。
预测结果可以帮助决策者制定合适的策略，做出准确的预测。
尽管ARMA模型在时间序列分析中有广泛的应用，但它也存
在一定的局限性。
首先，对于非平稳序列，需要进行差分等预处理操作，以使其变成平稳序列。
其次，对于长期依赖的序列，ARMA模型的拟合效果可能较差，此时可能需要选择其他更
适合的模型，如ARIMA模型或GARCH模型。
除了ARMA模型，还有许多其他的随机时间序列分析模型，
如ARIMA模型、GARCH模型、VAR模型等。
这些模型各具
特点，适用于不同的时间序列分析问题。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的模型和方法进行分析。
综上所述，随机时间序列分析模型是一种重要的统计模型，能够揭示时间序列数据的规律和趋势。
ARMA模型作为其中的
一种，具有较好的适应性和预测能力，在经济学、金融学、气象学等领域具有广泛的应用前景。
然而，建立ARMA模型需
要注意模型的阶数和参数的估计方法，并根据具体情况选择其他更适合的模型。
通过分析时间序列的规律和趋势，可以为决策者提供有价值的信息和预测。