一阶归纳推理算法
05 一阶逻辑等值演算与推理
例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
一阶逻辑推理理论
在一阶逻辑的推理过程中，还要用到下面的四个推理规则： 1．全称量词消去规则(简记为UI规则或UI ) xA(x) A(y) xA(x) A(c) 两式成立的条件是： (1)在第一式中，取代 x 的 y 应为任意的不在A(x)中约束出 现的个体变项。 例如：xyF(x，y) yF(y，y)是错误的。应该用s、t等公 式中没有出现的字母代替 x 。(见P53的具体说明) (2)在第二式中，c为任意个体常项。 (3)用 y 或 c 去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要在 x 自由出现的一切地方进行取代。 在使用UI规则时，用第一式还是第二式要根据具体情况而 定。
例2.17 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示 成分数。因此，有理数都不是无理数。 F(x)：x为无理数。G(x)：x为有理数。 H(x)：x能表示成分数。 前提：x(F(x) ∧H(x))，x(G(x) H(x)) 结论：x(G(x) F(x)) 证明： ① x(F(x) ∧H(x)) 前提引入 ②x(F(x) ∨H(x)) ①置换 ③x(H(x) F(x)) ②置换 ④H(y) F(y) ③ UI规则 ⑤x(G(x) H(x)) 前提引人 ⑥G(y) H(y) ⑤ UI规则 ⑦G(y) F(y) ④ ⑥假言三段论 ⑧x(G(x) F(x)) ⑦ UG规则 正确推理
一阶逻辑公式及解释
(7)括号和逗号:（） ，
.
2
定义4.2（项）
项的递归定义如下： （1）个体常项和个体变项是项。 （2）如果(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任
意的n个项，则(t1,t2,…,tn)仍然是项。 （3）只有有限次使用(1)，(2)生成的符号串才是项。
.
15
定义4.8（一阶公式的分类）
设A为一公式，若A在任何解释下均为真，则称A 是永真式（或称逻辑有效式）。若A在任何解释下均 为假，则称A是矛盾式（或永假式）。若至少存在一 个解释使A为真，则称A是可满足式。
说明：（1）永真式是可满足式，反之不然。
（2）由于公式的复杂性和解释的多样性，到 目前为止，还没有一个可行的算法判断某一公式 是否是可满足的。
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
.
16
定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。
词公式
简单起见，谓词公式简称为公式。
.
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
.
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（1）x（ F（x，y）→G（x，z）） （2） x（ F（x）→G（y））→
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
数理逻辑课件 第5节 一阶逻辑基本概念
代换实例
定义9 设A0是含命题变项 p1, p2, …, pn的命题公式， A1, A2, …, An是n个谓词公式，用Ai (1in) 处处代替 A0中的pi，所得公式A称为A0的代换实例. 例如: F(x)G(x), xF(x)yG(y)等都是pq的代 换实例. 定理2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
（也可能相同），真值可能不同（也可能相同）. 12/29
实例
注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域.
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化. (1) 正数都大于负数.
解: (1) 令 F(x)：x为正数， G(x)：x为负数, H(x,y)：x>y， 则有
xy(F(x)G(y)H(x,y))
13/29
21/29
封闭的公式
又如: x, x中的x是指导变元, 辖域为 (F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中的y是指导变元, 辖域为(G(x,y)H(x,y,z)). x的3次出现都是约束出现, y的第一次出现是自由出现, 后2次是约束出现, z的2次出现都是自由出现.
实例
例1 用0元谓词将命题符号化. (1) 墨西哥位于南美洲. (2)2 是无理数仅当3 是有理数. (3) 如果2>3，则3<4.
在一阶逻辑中： (1) F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲. (2) F(2 )G3( ), 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)， 其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
9/29
实例
注意： (1) 不含个体变项的谓词称为0元谓词. (2) 当谓词为谓词常项时， 0元谓词为命题. (3) 任何命题均可以表示成0元谓词，因而可 将 命题看成特殊的谓词.
一阶归纳推理算法
一阶归纳推理算法
1.首先，收集现有的数据，了解当前问题的状态。
2.根据已知的数据，找出所有可能的解决方案集合。
3.对于每个可能的解决方案，计算它所涉及的最大收益或最小损失。
4.最后，比较所有可能的解决方案，选择那些对当前问题有最大收益，或最小损失的方案，作为最终的解决方案。
1.迭代过程可以简单，代价低，容易理解和实现。
2.它能识别出当前问题的可行解决方案，因此能够有效地解决未知问题。
3.它只能解决有限解空间的问题，而具有无穷多解空间的问题不能得
到解决。
4.它不能保证求解出的解决方案是最优的，因此它只能作为一种方法，用在一些比较简单的问题上。
因此，一阶归纳推理算法适用于比较简单的解空间的问题，它既能够
快速求解出一个可行解，又能满足一些比较简单的约束问题，如求解最大
收益或最小损失等。
离散数学结构 第5章 一阶逻辑等值演算与推理复习
第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。
4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。
5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
第5章一阶逻辑等值演算与推理
学时: 5
3
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§5.1 一阶逻辑等值式与置换 (zhìhuà n)规则
在一阶逻辑中，有些命题可以(kěyǐ)有不同的符号化形式。 例如：没有不犯错误的人
令 M(x):x是人。 F(x):x犯错误。 则将上述命题的符号化有以下两种正确形式： (1) ┐ x(M(x)∧┐F(x)) (2) x(M(x)→F(x))
用A中未曾出现过的个体变项符号代替，A中其余部分不变，设所得公 式为A'，则A' A。
说明 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形
式上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。
13 13
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例5.1 将下面(xià mian)公式化成与之等值的公式，使其没有既
是约束出现又是自由出现的个体变项。
x的出现，则
（1） x(A(x)∨B) xA(x)∨B
x(A(x)∧B) xA(x)∧B
x(A(x)→B) xA(x)→B x(B→A(x)) B→ xA(x)
（5.3）
（2） x(A(x)∨B)
xA(x)∨B
x(A(x)∧B) xA(x)∧B
x(A(x)→B) xA(x)→B
x(B→A(x)) B→ xA(x)
m
í
而 xF(x)∧ xG(x)：有些(yǒuxiē)x是奇数并且有些(yǒuxiē)x
n
是偶数为真命题。
g
两边不等值。
)
全称量词“”对“∨”无分配律。 存在量词“”对“∧”无分配律。 说明 当B(x)换成没有x出现的B时，则有
x(A(x)∨B) xA(x)∨B x(A(x)∧B) xA(x)∧B
20 20
精品文档
（1） x(F(x)∧G(x,a)) (F(2)∧G(2,2)) ∧ (F(3)∧G(3,2))
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一阶归纳推理算法
一阶归纳推理是给定一系列有序的实例，根据已知实例，从它们中
推出下一个实例，也就是说，从有序的一系列实例中，通过寻找规律，将下一个实例推导出来。
简单地说，一阶归纳推理是基于规律推理，
从而把前驱结论应用到当前状况。
一阶归纳推理是一种非常重要的推理技术，它主要应用于计算机科学，人工智能，建模，实体推断，预测等领域，其中包括机器学习，
规则识别，细节推断，地图数据挖掘等应用方向。
一阶归纳推理有许多不同的类型，例如回归推理，聚类推理，推理树，基于模式的推理等等。
回归推理是基于一组有序的数据，拟合出
一个变化特征更加稳定的函数。
聚类推理是基于从大量数据中抽取的
不同类型的特定数据，把它们分配到不同的分类之中。
推理树是依据
“if-then”形式的规则，将一连串的结论表达成一个树形结构。
基于
模式的推理，是基于模式库中的规则来做出一系列关于模式的推理。
一阶归纳推理有一系列特殊的应用，它在实施模式识别，预测，信
息挖掘等任务中发挥着重大作用。
它可以用于实现规则识别，通过推
理树分析出一系列有用的模式，实现系统化的识别和分析。
它还可以
用于预测，通过实施聚类分析，我们可以从海量的数据中抽取有序标准，从而预测未来的变化趋势。
此外，它还可以用于信息挖掘，根据
已知的一系列数据，通过分析抽取出有益的信息，帮助实现更有效的
决策。
在今天的科技日新月异的世界里，一阶归纳推理扮演着一个越来越
重要的角色，它可以在预测，分析，模式识别，信息挖掘等领域帮助
人们做出更准确，有利的决定。
这项推理技术可以帮助我们在实际中
更全面地理解问题，从而精准地解决问题。
可见，一阶归纳推理是一
项重要的重要的推理技术，未来还将发挥更多的作用。