拉宾公钥密码
公钥密码学及RSA
给定 M = 88 加密:
C = 887mod 187 =(884 mod187)(882 mod187 ) (881mod187) =11
解密:
M = 1123 mod 187=88
公钥密码体制的加密
公钥密码体制的认证
A向B发送消息X A的公钥为KUa,私钥为KRa “加密”: Y = EKRa(X) （数字签名） “解密”： X = DKUa(Y) 思考：能保证消息的保密性吗？ 请问：利用公钥密码体制，n个用户通信
需要多少个密钥？
公钥密码体制的认证
具有保密与认证的公钥体制
除了要指定n的大小外,研究者还提出了 其他一些限制条件，为了防止可以很容 易地分解n，RSA算法的发明者建议p 和q还应满足下列条件
1. P和q的长度应仅相差几位。这样对 1024位的密钥而言，p和q都应约在 1075到10100之间
2. (p-1)和(q-1)都应有一个大的素因子。
3. gcd(p-1, q-1)应该比较小
关于公钥密码的几种误解
公钥密码比传统密码安全？ ➢ 事实上,任何加密方法的安全性依赖于密
钥的长度和破译密文所需要的计算量。 从抗密码分析的角度看，原则上不能说 传统密码优于公钥密码，也不能说公钥 密码优于传统密码
公钥密码是通用方法,所以传统密码已经 过时？
➢ 由于现有的公钥密码方法所需的计算量 大，所以取缔传统密码似乎不太可能
三种数学攻击方法
分解 N=p.q, 因此可计算出 ø(N),从而确定d 直接确定ø(N)，然后找到d 直接确定d
由N确定ø(N)等价于因子分解
公钥密码学发展历史和脉络
公钥密码学发展历史和脉络介绍如下：
公钥密码学是一种基于数学原理和算法的加密技术，它的发展历史可以追溯到20世纪70年代。
以下是公钥密码学发展的主要历史和脉络：
1.1976年，惠特菲尔德和迪菲发明了著名的迪菲-惠特菲尔德密钥交换协议，这是公钥密码学的开端。
2.1978年，拉宾在论文中首次提出了公钥加密算法，这是公钥密码学的里程碑之一。
3.1979年，麦克劳德和威尔逊在论文中提出了一种新的公钥加密算法——RSA算法。
4.1985年，埃尔加马尔和沙密尔发明了一种基于离散对数问题的公钥密码算法——DH算法。
5.1991年，埃尔加马尔、沙密尔和德斯特发明了一种基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码算法——ECC算法。
6.1997年，NIST发布了第一版数字签名标准——DSA标准。
7.1999年，NIST发布了第一版公钥密码标准——RSA标准。
8.2000年，NIST发布了第一版椭圆曲线公钥密码标准——ECC标准。
9.2001年，NIST发布了第一版身份认证标准——PKI标准。
10.2002年，NIST发布了第一版数字证书更新标准——OCSP标准。
11.2007年，NIST发布了第一版密码安全标准——SP800-131标准。
12.2013年，NSA泄露的“棱镜门”事件引发了公钥密码学安全问题的关注，开启了公钥密码学安全问题的新篇章。
总之，公钥密码学在过去几十年的发展中，不断推陈出新，逐步成为现代加密技术的核心。
随着网络技术的迅猛发展和信息安全问题的日益突出，公钥密码学的发展和应用将会更加广泛和深入。
数学知识点归纳数论与密码学的基础
数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。
本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。
一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。
整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。
3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。
常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。
4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。
二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。
它利用了大数分解的困难性来提供安全性。
1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。
首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。
2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。
三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。
1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。
因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。
费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。
rsa 公钥密码算法
RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（��钥和私钥）来加密和解密数据。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA算法的基本原理是基于大素数的乘法和取模运算。
下面是RSA算法的基本步骤：
1. 选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
2. 计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个整数e，使得1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
e称为公钥。
4. 计算整数d，使得d ≡e^(-1) (mod φ(n))。
d称为私钥。
5. 公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
6. 加密消息m：c ≡m^e (mod n)。
7. 解密密文c：m ≡c^d (mod n)。
RSA算法的安全性依赖于大素数分解的困难性，即从n=p*q中分解出p和q的困难性。
因此，RSA算法的安全性取决于选择足够大的素数p和q。
RSA算法被广泛应用于加密通信、数字签名、身份认证等领域，是目前最常用的公钥密码算法之一。
公钥密码5.3基于离散对数问题的公钥密码ppt课件
对大素数p，模 p 指数运算是一个单向函数。
离散对数问题是NP问题。
一、离散对数问题
离散对数问题的求解难度：
•按目前的最好算法,求解素域Fp上的离散对数的计 算复杂性为
1
1
exp[ c o(1)(log p)2 (log log p)2 ]
Diffie-Hellman问题(DHP)： 给定一个素数p和Fp上的一个本原元 g及ga mod p和 gb mod p ，求gab mod p.
Fp*中的Diffie-Hellman问题可以在多项式时 间内转化为离散对数问题。
二、Diffie-Hellman密钥交换协议
Diffie-Hellman密钥交换协议是Whitefield Diffie 和Martin Hellman在1976年提出的。
私钥是 x=5
B加密：为加密信息 m=7，秘密选择一个整数k=3,
并计算
ห้องสมุดไป่ตู้
c1
c2
gk my
mod p 8 k mod p 4
•A脱密: 对密文 c (8,4) 明文为m=4(85)1mod11=7
三、ElGamal公钥密码算法
例2：生成密钥：用户A选取素数p=2579及F2579* 的生成元 g=2，并选取私钥x=765,计算
p
A脱密: 对任意密文
c
(c1 , c2
)
Z
* p
Z
* p
明文为 m c2 (c1x )1 mod p
三、ElGamal公钥密码算法
例1：生成密钥：用户A选取素数p=11及F11*的生 成元 g=2，并选取私钥x=5, 计算
python拉宾公钥密码
拉宾公钥密码是一种基于大数质因数分解问题的公钥密码体制，其安全性依赖于大数质因数分解的难度。
在Python中实现拉宾公钥密码需要使用一些数学库，如Python标准库中的math和random，以及第三方库如pycrypto等。
下面是一个简单的Python代码示例，演示了如何使用Python实现拉宾公钥密码的基本原理：python复制代码import randomimport math# 生成大素数p和qp = random.randint(10**10, 10**20)q = random.randint(10**10, 10**20)n = p * qphi = (p - 1) * (q - 1)# 生成随机整数e，满足1 < e < phi，且gcd(e, phi) = 1e = random.randint(2, phi - 2)while math.gcd(e, phi) != 1:e = random.randint(2, phi - 2)# 计算私钥d，满足d * e ≡ 1 (mod phi)d = pow(e, -1, phi)# 公钥和私钥的生成public_key = (n, e)private_key = (n, d)# 明文加密和解密函数def encrypt(plain_text):cipher_text = pow(plain_text, e, n)return cipher_textdef decrypt(cipher_text):plain_text = pow(cipher_text, d, n)return plain_text在上面的代码中，我们首先生成两个大素数p和q，然后计算它们的乘积n和欧拉函数phi。
接着，我们生成一个随机整数e，并计算对应的私钥d。
最后，我们定义了明文加密和解密函数encrypt和decrypt。
在encrypt函数中，我们将明文m的每个比特分别计算对应的密文c，即c = m^e mod n。
公钥密码体制及典型算法-RSA
公钥密码算法应满足的要求
④ 敌手由B的公开钥PKB求秘密钥SKB在计算 上是不可行的。 ⑤ 敌手由密文c和B的公开钥PKB恢复明文m 在计算上是不可行的。 ⑥ 加、解密次序可换，即 EPKB[DSKB(m)]=DSKB[EPKB(m)] 其中最后一条虽然非常有用，但不是对 所有的算法都作要求。
发方首先用自己的秘密钥SKA对消息m加 密，用于提供数字签字。再用收方的公开钥 PKB第2次加密，表示为 c=EPKB[ESKA[m]] 解密过程为 m=DPKA[DSKB[c]] 即收方先用自己的秘密钥,再用发方的公 开钥对收到的密文两次解密。
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公钥保密和认证体制
为了要同时实现保密性和确证性，要采用双重加、 解密
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公钥密码体制认证的原理
以上认证过程中，由于消息是由用户自 己的秘密钥加密的，所以消息不能被他人篡 改，但却能被他人窃听。这是因为任何人都 能用用户的公开钥对消息解密。为了同时提 供认证功能和保密性，可使用双重加、解密。 如下图所示。
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公钥密码体制的认证、保密框图
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公钥密码体制认证的原理
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公钥密码体制认证的原理
因为从m得到c是经过A的秘密钥SKA加 密，只有A才能做到。因此c可当做A对m的 数字签字。 另一方面，任何人只要得不到A的秘密 钥SKA就不能篡改m，所以以上过程获得了 对消息来源和消息完整性的认证。
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公钥密码体制认证的原理
在实际应用中，特别是用户数目很多时，以 上认证方法需要很大的存储空间，因为每个文件都 必须以明文形式存储以方便实际使用，同时还必须 存储每个文件被加密后的密文形式即数字签字，以 便在有争议时用来认证文件的来源和内容。改进的 方法是减小文件的数字签字的大小，即先将文件经 过一个函数压缩成长度较小的比特串，得到的比特 串称为认证符。 认证符具有这样一个性质：如果保持认证符的 值不变而修改文件这在计算上是不可行的。用发送 者的秘密钥对认证符加密，加密后的结果为原文件 的数字签字。
通信保密系统
确定分析法：利用一个或几个已知量（已知的明 文――密文对）用数学模型表示明文，密文的关 系。 统计分析法：利用明文的统计规律，密码破译者 对截获的密文或密文之间的差，进行统计分析， 总结其统计规律，从中提取明密文间的变换关系。
密码分析有六种方法
) 唯密攻击：已知密文有一算法从C e (m 推出 已知明文攻击：密码分析者已知一些密文以 及对应的明文，推导出密钥的算法 选择性明文攻击：分析者不仅得到一些消息 的明文密文对，而且有被加密的明文和密文 对，推导密钥的算法（相当于密码分析者得 到了加密设备（仅不知密钥）） 自适应选择明文攻击：密码分析者不仅能选 择被加密的明文，而且还能基于以前加密结 果进行选择
H ( XY ) H ( X ) H (Y | X ) H (Y ) H ( X | Y )
i, j
H ( X | Y ) H ( X );
H (Y | X ) H (Y )
定义：X,Y分别是系统的输入和输出空间， 当输入xi X ，输出yi Y 则给出的关于的信 p( x | y ) I ( x , y ) I ( x , y ) log 息量 i j 定义为 p( x ) 定义：系统作为一个传递信息的通道，则 在所有可能输入分布下平均互信息的极大 值，为信道容量 C max I ( X ;Y )
C=E(p)=(p+k)mod(26) p=D(C)=(C-k)mod(26)
25个可能的密钥k 明文已知且易于识别
三.保密系统的保密性和随机性
是以shannon的信息论为基础 信息量和熵 信息量：给定一个离散集合 X x ,i 1,n, 1 p( x )，事件包含 p( x ) 0 令 出x现的概率是 且 i 的信息量定义为 I ( x ) log p( x ) a=2,此时相应的信息量单位为bit 熵：将集合X中事件所包含的信息量统计 平均，则平均值 H (x) p(x ) log p(x ) 0 0 H ( x) log n 熵越大，则事件的不确定性越大
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拉宾公钥密码
有些密码，如：“爱因斯坦全质能公式”的密文是“ E=MC2=0”，即每个方程的左边为自然数，右边是一个质量为1、物体速度为光速的假想物体；“拉宾公钥密码”的密文是“ Q=LMS=LSS”，即其中每一个方程的左边为自然数，右边是相应的由32位数据组成的“公钥密码”。
有人说，拉宾将密码的设计带进了一个新时代——他是人类历史上第一个提出并实践了一种公钥密码的人，被誉为“现代密码之父”。
拉宾密码技术首创了二元对立密码体制，将“消息认证”和“加密解密”合二为一，从而成功地解决了传统加密和数字签名所面临的两大难题。
在加密方面，拉宾的发明确保了机密信息的安全性，为后来的各项技术开辟了道路。
在解密方面，拉宾密码首次将密文还原成明文，开创了信息认证的新方法。
“拉宾公钥密码”就是由这样的二元对立关系组成的。
它以拉宾的名字命名，也因此被称为拉宾密码。
这个二元对立的体制可以概括为：其一，每一个非对称密钥都有相应的对称密钥；其二，任何一个密钥对可以用多个公钥来表示。
对称密钥是不可替代的，这与一般的二元对立密码完全不同。
其三，公钥的密文只能用来产生私钥。
其四，除了自身外，公钥对任何事物都是不可见的。
任何使用密码的人，要想推导出私钥，必须首先找到公钥。
“拉宾公钥密码”是一种密码体制，但它与传统密码体制有很大区别。
传统的秘密分享与认证模式有很大缺陷，而“拉宾公钥密码”
克服了这些缺陷。
这个密码体制比较简单，非常容易掌握，而且应用方便，已经在政府机关、银行、军事等许多领域得到广泛应用。
以银行的网络服务为例，许多银行现在利用一个固定的密钥对来提供信用卡交易服务，而每一个客户都可以拥有自己的一把专属密钥，他们在自己的电脑上输入卡号和密码就可以使用这个服务。
这个二元对立的体制就是基于拉宾的实践经验，用来保护各种各样的关键资料的一个标准方案。
拉宾的贡献远远超过密码学本身，因为正是他建立起了一套行之有效的资料加密方法。
拉宾的理论思想，既是密码学发展的一个重要源泉，也是密码学研究的重要方向。
他的成果在今天仍有很高的参考价值。