初中阴影面积题大全
中考数学 阴影部分面积-含答案
阴影部分面积未命名一、填空题1．如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径12cmOB=，截面圆心O到污水面的距离6cmOC=，则截面上有污水部分的面积为________．【答案】48π【分析】连接OA，阴影部分的面积等于扇形AOB的面积与三角形AOB的面积差，计算圆心角∠AOB的大小即可．【详解】如图，连接OA，∵OB=12，OC=6，OC⊥AB，∴sin∠OBA=12OCOB=，AC=BC，∴∠OBA=30°，BC AB=2BC ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∴212012=360AOB S π⨯⨯扇形=48π，∴11=622AOB S AB OC ⨯=⨯△∴阴影部分的面积为-AOB AOB S S △扇形=48π故答案为：48π【点睛】本题考查了垂径定理，特殊角的三角函数，扇形的面积，三角形的面积，熟练进行图形面积分割，并运用相应的公式计算是解题的关键．2．如图，已知Rt ABC 中，6AB =，8BC =，分别以点A 、点C 为圆心，以2AC 长为半径画圆弧，则图中阴影部分的面积为____________．（结果保留π）【答案】2524.4π-【分析】 先计算,,A C AC ∠+∠ 再由阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去一个圆心角为90,︒ 以12AC 为半径的扇形面积，再分别计算ABC 的面积，圆心角为90,︒ 以12AC 为半径的扇形面积，从而可得答案． 【详解】 解： Rt ABC 中，6AB =，8BC =，90,B ∠=︒90,10,A C AC ∴∠+∠=︒===115,6824,22ABC AC S ∴==⨯⨯= 又阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去一个圆心角为90,︒ 以12AC 为半径的扇形面积，290525,3604S ππ⨯∴==扇形 2524.4S π∴=-阴影 故答案为：2524.4π- 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算是解题的关键．3．如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC =A ，B ，C 为圆心，以12AB 的长为半径画弧分别与ABC 的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）【答案】82π-【分析】三角形面积公式S=1AC AB 2⨯，扇形面积公式：S ＝2360n r π，阴影面积=三角形面积—180°扇形的面积，计算即可．【详解】∵等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC =∴AB=BC•sin45°==42， ∴S △ABC =144=82⨯⨯， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴1=4=2212AB ⨯， 以2为半径，180°扇形是半圆=212=22ππ⨯， 阴影面积=8-2π．故答案为：8-2π．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，三角形面积，熟知扇形的面积公式的运用，解题的关键是阴影面积=等腰直角三角形的面积-以2为半径180°扇形面积．4．如图，在正方形ABCD 的边长为6,以D 为圆心，4为半径作圆弧．以C 为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为12S S 、时，则12S S -=_____________．(结果保留π)【答案】1336π-【分析】根据割补法可进行求解．【详解】解：由题意可得：设以以D 为圆心，4为半径作圆弧所在的扇形面积为S ，则有： 222906904636,==94360360ABCD DCB S S S ππππ⨯⨯====正方形扇形，， ∴12=1336ABCD DCB S S S S S π-=+--正方形扇形；故答案为1336π-．【点睛】本题主要考查扇形面积，熟练掌握扇形面积计算是解题的关键．5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧，刚好过点O ，以点D 为圆心，DO 的长为半径画弧，交AD 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）【答案】4π 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形ABO 和扇形DEO 的面积之和，然后根据题目中的数据，可以求得AB 、OA 、DE 的长，∠BAO 和∠EDO 的度数，从而可以解答本题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵AB ＝AO ，∴△ABO 是等边三角形，∴∠BAO ＝60°，∴∠EDO ＝30°，∵AC ＝2，∴OA ＝OD ＝1，∴图中阴影部分的面积为：22601301+=3603604ππ⨯⨯⨯⨯π， 故答案为：4π． 【点睛】本题主要考查扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于点D ，求图中阴影部分的面积为_____．【答案】1【分析】连接AD ，由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面积．【详解】解：连接AD ，∵AB ＝BC ＝2，∠A ＝90°，∴∠C ＝∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴BD ＝AD ，∴BD ＝AD∴由BD ，AD 组成的两个弓形面积相等，∴阴影部分的面积就等于△ABD 的面积，∴S △ABD ＝12AD•BD ＝121．故答案为：1．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆，半圆恰好经过△ABC 的直角顶点C ，以点D 为顶点，作∠EDF ＝90°，与半圆交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积是_______．【答案】142π- 【分析】连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，证明△DMG ≌△DNH ，则S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ，求得扇形FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得．【详解】。
利用扇形面积公式求阴影部分面积(精选4种类型32道)—2024学年九年级数学上册(解析版)
z k.com利用扇形面积公式求阴影部分面积（精选4种类型32道）1．如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，BC =4，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．8√3−4πB ．8√3−2πC ．16√3−8πD ．16√3−4π【答案】A【分析】根据直角三角形的性质得到AC =4√3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，BC =4， ∴AB =2BC =8，AC =√8!−4!=4√3， ∴阴影部分的面积=S △#$%−S 扇形#$&='!×4×4√3−()*⋅,-√(/!(0)=8√3−4π，故选：A ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．2．如图，以Rt △AOB 直角顶点为圆心、以一定的长为半径画弧CD ，恰好与边AB 相切，分别交OA ，OB 于点C ，D ，已知OA =OB =4，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．8−2πB ．2π−√!!C ．8−4πD ．4π−2√2【答案】A【分析】过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，先求出扇形的半径长，根据阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积减去扇形COD 的面积即可求解．【详解】过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，com∵Rt △AOB 中，OA =OB =4， ∴AB =√OA !+OB !=4√2， ∴OE =2√2，阴影部分的面积=S △#1%−S 扇形#1%='!⋅OA ⋅OB −2)π⋅,!√!/!(0)='!×4×4−2π=8−2π．故选：A ．【点睛】本题考查了不规则图形的面积，涉及勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，若AC 绕点C 旋转后，点A 落在CD 的延长线上的点A 3处，点A 经过的路A ．π-−2 B ．π!−1C ．π(−1D ．π−2【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ACD =45°，由勾股股定理可得AC =2√2，利用S 阴影=S 扇形$##"−S △#$&解题即可．【详解】解：∵ABCD 是正方形， ∴∠ACD =45°，AB =BC =DA =2, ∴AC =√AB !+BC !=√2!+2!=2√2， ∴S 阴影=S 扇形$##"−S △#$&=-5*×,!√!/!(0)−'!×2×2=π−2，故选D ．【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积，掌握正方形的性质是解题的关键．zcm4．如图，以边长为4的等边△ABC 顶点A 为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于点D ，E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4√3−π B ．8√3−πC ．(08π)√((D ．4√3−2π【答案】D【分析】作AF ⊥BC ，再根据勾股定理求出AF ，然后根据阴影部分的面积= S △#%$−S 扇形#&:得出答案． 【详解】解：如图所示，过点A 作AF ⊥BC ，交BC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，BC =4， ∴CF =BF =2．在Rt △ACF 中，AF =√AC !−CF !=2√3．∴S 阴影=S △#%$−S 扇形#&:=12×4×2√3−60π×,!√3/2360=4√3−2π．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．5．如图，扇形的圆心角为90°，半径OC =4，∠AOC =60°，CD ⊥OB 于点D ，则阴影部分的面积是（ ）A ．-(π−√3B ．π−4√3C ．π−2√3D ．-*(−2√3.com【答案】D【分析】根据S 阴=S 扇形1$%−S △1$&求解即可． 【详解】解：∵∠AOB =90°，∠AOC =60°， ∴∠BOC =90°−60°=30°， ∵CD ⊥OB ， ∴∠CDO =90°，∴CD ='!OC =2，OD =√OC !−CD !=√4!−2!=2√3， ∴S 阴=S 扇形1$%−S ;1$&=()*×-!(0)−'!×2×2√3=-(π−2√3，故选：D ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用分割法求阴影部分面积．6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =8，∠C =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点A ．8√3−<(π B ．16√3−<(πC ．8√3−'0(π D ．16√3−'0(π【答案】A【分析】先求出AB ='!BC =4，∠B =60°，AC =√BC !−AB !=√8!−4!=4√3，再由S △$%&−S扇形$%'即可求出答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =8，∠C =30°， ∴AB ='!BC =4，∠B =60°，∴AC =√BC !−AB !=√8!−4!=4√3， ∴图中阴影部分的面积是S △$%&−S扇形$%'='!AB ⋅AC −0)*×-!(0)='!×4×4√3−<(π=8√3−<(π．故选：A【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积等知识，准确计算是解题的关键．z7．如图，正六边形边长为a ，分别以C 、F 为圆心，a 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）A．C (√(!−!(πD a !B ．C(√(!−'(πD a !C ．C(√(-−!(πD a !D ．C3√3−!(πD a !【答案】A【分析】根据S 阴影=S 正六边形−2S 扇形计算即可． 【详解】边长为a 的等边三角形的面积为：'!×a ×√(!a =√(-a !， 则正六边形的面积S 正六边形=6×√(-a !=(√(!a !， 正六边形的内角度数为120°，即∠EFA =∠DCB =120°， 则S 扇形='!)°×*×>!(0)°=*>!(则阴影的面积为：S 阴影=S 正六边形−2S 扇形=(√(!a !−!*>!(=C(√(!−!(πD a !，故选：A ．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的面积公式和扇形的面积公式等知识，得到S 阴影=S 正六边形−2S 扇形是解答本题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，分别以点B ，C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB ，BC ，AC 于点D ，E ，F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．16−2πB ．8−4πC ．8−2πD ．4−π【答案】C【分析】阴影部分的面积等于△ABC 的面积减去空白处的面积即可得出答案． 【详解】解：等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，∴∠B =∠C =45°，BC =√2AB =4√2， ∵E 为BC 中点，∴BE =CE ='!BC =2√2，∴阴影部分的面积S =S △#%$−S 扇形%&:−S 扇形$:?='!×4×4−-5*×(!√!)!(0)×2=8−2π．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．9．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（ ）【答案】C【分析】由题意可知S △#1%=S △1&%，所以图中阴影部分的面积=S 扇形1#%=0)(0)π×2!=!(π．【详解】解：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ， ∴∠ABD =90°,∠AOB =(0)°0=60°,OA =OD ，∴S △#1%=S △1&%，∴图中阴影部分的面积=S 扇形1#%=0)(0)π×2!=!(π，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题的关键．10．如图，菱形OABC 的三个顶点A ，B ，C 在⊙O 上，对角线AC ，OB 交于点D ，若⊙O 的半径是2√3，则图中阴影部分的面积是（ ）z co mA ．2π B ．6π C ．√((π D ．√3π【答案】A【分析】根据四边形OABC 是菱形，得BC =OC =OB ，即△COB 是等边三角形，根据S △#&%=S △1$&，所以图中阴影部分的面积=S 扇形$1% 【详解】解：∵四边形OABC 是菱形， ∴BC =OC =OB, ∴△COB 是等边三角形， ∴∠COB =60°, ∵S △#&%=S △1$&,∴图中阴影部分的面积=S 扇形$1%=0)*×(!√()!(0)=2π．故选∶A ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．11．小明将直径为6cm 的半圆绕点A 逆时针旋转60°设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．4.5πcm 2B ．6πcm 2C ．9πcm 2D ．18πcm 2【答案】B【分析】根据整体思想，可知S 阴影=S 半圆#%"+S 扇形#%%"−S 半圆#%=S 扇形#%%"，再利用扇形面积公式计算即可．z【详解】解：∵S 阴影=S 半圆#%"+S 扇形#%%"−S 半圆#%， 而根据旋转的性质可知S 半圆#%"=S 半圆#%，∴S 阴影=S 半圆#%"+S 扇形#%%"−S 半圆#%=S 扇形#%%"， 而由题意可知AB =6cm ，∠BAB 3=60°， 即S 阴影=0)⋅*⋅0!(0)=6π(cm !)．故选：B ．【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可．12．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝√2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．*-B ．'!＋√!-C ．√!!D ．'!＋√!!【答案】A【分析】先利用圆周角定理可得∠ACB ＝90°，然后可得△ABC 是等腰直角三角形，进而可得△AOC 和△BOC 都为等腰直角三角形，于是得到S △#1$＝S △%1$，然后根据扇形面积公式可进行求解．【详解】解：∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵AC ＝BC ＝√2，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB ＝√2AC ＝2，则OA ＝OB ＝1， ∴OC ⊥AB ，∴△AOC 和△BOC 都为等腰直角三角形， ∴S △#1$＝S △%1$， ∴S 阴影＝S 扇形#1$＝2)⋅*×'!(0)＝*-；故选：A ．【点睛】本题主要考查扇形面积公式及圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式及圆周角定理是解题的关键．z13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ．连接OC ，DB ．如果OC∥DB ，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）A．√((π B ．!√((π C ．√3π D ．2√3π【答案】B【分析】连接OD ，BC ，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM =CM ，∠COB =∠BOD ，推出ΔBOD 是等边三角形，得到∠BOC =60°，之后证明阴影部分面积等于扇形面积，继而求出圆的半径，根据弧长公式即可得到结论．【详解】解：连接OD ，BC ，∵CD ⊥AB ，OC =OD ，∴DM =CM ，∠COB =∠BOD ， ∵OC//BD ， ∴∠COB =∠OBD ， ∴∠BOD =∠OBD ， ∴OD =DB ，∴ΔBOD 是等边三角形， ∴∠BOD =60°， ∴∠BOC =60°， ∵DM =CM ， ∴S ;1%$=S ;1%&， ∵OC//DB ， ∴S ;1%&=S ;$%&，z∴S ;1%$=S ;&%$，∴图中阴影部分的面积=扇形COB 的面积 设扇形的半径为r ，则0)*×A !(0)=2π，∴r =2√3， ∴弧BC 的长=0)*×!√('<)=!√(*(， 故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算、圆周角定理、弧长的计算，解答本题的关键是证明ΔBOD 是等边三角形．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，把△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到△A 3BC 3，则线段AC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A ．*!B ．πC ．*-D ．B*-【答案】C【分析】先求出AB 、BC 的长度，然后观察图像可以得到S 阴=S 扇#%#3+S △#"%$"−S 扇$%$3−S △#%$，用扇形面积计算公式代入数据计算即可．【详解】在Rt △ABC 中，∵∠ABC =30°，AC =1， ∴AB =2,BC =√AB !−AC !=√3，∵把△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到△A 3BC 3， ∴∠ABA′=90°,∠CBC′=90°，S △#%$=S △#"%$"， 由图可得，S 阴=S 扇#%#3+S △#"%$"−S 扇$%$3−S △#%$， 化简得S 阴=S 扇#%#3−S 扇$%$3， 即S 阴=2)*×!!(0)−2)*×(√()!(0)=*-，故选：C ．z 【点睛】本题考查了扇形面积计算，旋转的性质，求阴影部分面积的主要思路是将不规则图形转化为规则图形的面积．15．如图，半径为5的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 在OB 上，点E 在OA 上，点D 在弧AB 上，四边形OCDE 是正方形，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．!5*- B ．!5*< C ．!5*'0 D ．!5*(! 【答案】B【分析】连接OD ，交CE 于点F ．由正方形的性质得出S △1:?=S △?$&，∠EOD =45°．即根据扇形面积公式求出扇形AOD 的面积即可．【详解】如图，连接OD ，交CE 于点F ．∵四边形OCDE 是正方形，∴S △1:?=S △?$&，∠EOD =45°，∴S 阴=S 扇形#1&=-5*×5!(0)=!5*<． 故选B ．【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解S 阴=S 扇形#1&是解题关键．16．已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（ ）zA．*!B ．π﹣2C ．1+*!D ．1﹣*! 【答案】B【分析】如图，标注顶点，连接AB ，由图形的对称性可得阴影部分面积=S 扇形AOB-S △ABO ，从而可得答案.【详解】解：标注顶点，连接AB ，由对称性可得：阴影部分面积=S 扇形AOB-S △ABO=2)*×!!(0)−'!×2×2=π−2． 故选：B ．【点睛】本题考查的是阴影部分的面积的计算，扇形面积的计算，掌握“图形的对称性”是解本题的关键. !17．如图，在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，取AD 的中点E ，连接BE 、CE ，以BE 为半径，B 为圆心画弧交BC 于G ；以CE 为半径，C 为圆心画弧交BC 于F ，则阴影部分面积是 ．【答案】*!−1【分析】根据题意得出∠GBE =∠AEB =45°，BE =√2，进而根据阴影部分的面积＝2S 扇形%:C −S △%:$，求出答案．【详解】解：在矩形ABCD 中，∵AB =1，AD =2，E 是AD 中点，∴ED =AE =1，AD ∥BC ，∴∠ABE =∠AEB =45°，∴∠GBE =∠AEB =45°，∴AB =AE =1，BE =√2，∴图中阴影部分的面积=2S 扇形%:C −S △%:$ =2×-5*×(√!)!(0)−'!×1×2=*!−1． 故答案为：*!−1．【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算以及矩形的性质等知识，正确得出BE 的长以及∠EBC 的度数是解题关键．18．如图，正方形ABCD 的边长是4，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面 【答案】16−4π/−4π+16 【分析】分析出阴影面积=正方形面积−圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可．【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积−4个扇形面积，即阴影面积=正方形面积−圆的面积，∴S 阴影=42−π⋅2!=16−4π．故答案为：16−4π．【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键．19．如图，在扇形OBA 中，∠AOB =135°，AC ∥OB ，交AB⌢于点C ，过点C 作AC 的垂线，交OB 于点D ．若OA =2，则图中阴影部分的面积之和为 ．z【答案】(!π−3/−3+(!π 【分析】作OH ⊥AC 于点H ，则∠OHC =90°，AH =HC ='!AC ，先证明△AOH 是等腰直角三角形，则AH =OH =√!!AO =√2，AH =HC =OH ，再证明四边形CDOH 是正方形，利用S 扇形)%$−S △$)*−S 正方形)'&*即可得到答案．【详解】解：如图，作OH ⊥AC 于点H ，则∠OHC =∠AHO =90°，AH =HC ='!AC ，∵AC ∥OB ，∴∠DOH =180°−∠CHO =90°，∴∠AOH =∠AOB −∠DOH =45°，∴△AOH 是等腰直角三角形，∴AH =OH =√!!AO =√2，AH =HC =OH =√2，∵过点C 作AC 的垂线，交OB 于点D ．∴∠DCH =90°，∴∠DCH =∠DOH =∠CHO =90°，∴四边形CDOH 是正方形，∴阴影部分的面积之和为=S扇形)%$−S △$)*−S 正方形)'&*='(5*×!!(0)−'!AH ⋅OH −OH !=(!π−3． 故答案为：(!π−3 【点睛】此题考查了扇形面积、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理等知识，证明△AOH 是等腰直角三角形是正方形是解题的关键．z 20．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O 3，B 3，连接BB 3，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】2√3−!*(【分析】连接OO 3，BO 3，根据旋转的性质得到∠OAO 3=60°，推出△OAO 3是等边三角形，得到∠AOO 3=60°，推出△OO 3B 是等边三角形，得到∠AO 3B =120°，得到∠O 3B 3B =∠O 3BB 3=30°，根据图形的面积公式即可得到答案．【详解】解：连接OO 3，BO 3，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO 3=60°， ∴△OAO 3是等边三角形，∴∠AOO 3=60°，OO 3=OA ，∴当O 3中⊙O 上，∵∠AOB =120°，∴∠O 3OB =60°，∴△OO 3B 是等边三角形，∴∠AO 3B =120°，∵∠AO 3B 3=120°，∴∠B 3O 3B =120°，∴∠O 3B 3B =∠O 3BB 3=30°，z ∴图中阴影部分的面积=S △%"1"%−（S 扇形1"1%−S △11"%）=12×1×2√3−（60⋅π×2!360−12×2×√3） =2√3−!*(，故答案为：2√3−!*(．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．如图，AC ⊥BC ，AC =BC =8，以BC 为直径作半圆，圆心为O ．以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积是 ．【答案】!)*(−8√3【分析】如图，连接CE ，BE ．图中S 阴影=S 扇形%$:−S 扇形%1&−S ;1$:．根据已知条件易求得OB =OC =OD =4，BC =CE =8．∠ECB =60°，OE =4√3所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：如图，连接CE ，BE ．∵AC ⊥BC ，AC =BC =8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ， ∴∠ACB =90°，OB =OC =OD =4，BC =CE =8，CE =BE ，∴CE =BE =BC ，∴△BCE 是等边三角形，z ∠BCE =60°．又∵OE∥AC ，∴∠ACB =∠COE =90°．∴在Rt △OEC 中，OC =4，CE =8，∴OE =√CE !−OE !=4√3，∴S 阴影=S 扇形%$:−S 扇形%1&−S ;1$:=0)*×<!(0)−'-π×4!−'!×4×4√3=!)*(−8√3， 故答案为：!)*(−8√3．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．22．如图，AB 为半圆O 的直径，AB =4，将半圆O 沿直线AO 向右平移使圆心O 与点B 重合得到半圆B ，AB⌢与OB3⌢相交于点C ，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】-(π−√3 【分析】连接OC,BC ，作CD ⊥AB 于点D ，先证明△OBC 是等边三角形，根据勾股定理求出CD 的长，然后根据S 阴影=2CS 扇形1%$−S △1$&D 求解即可． 【详解】连接OC,BC ，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可知，OB =OC =BC =2，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°，OD =BD =1，∴CD =√2!−1!=√3，∴S 阴影=2CS 扇形1%$−S △1$&D=2V 60π×2!360−12×1×√3W =-(π−√3．故答案为：-(π−√3．z【点睛】本题考查了不规则图形的面积计算，勾股定理，等边三角形的判定与性质，证明△OBC 是等边三角形是解答本题的关键．23．矩形ABCD 中,AB =2,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧交于AD 点M ,且M 为边AD 的中点,以AD 为直径的圆交弧BM 于点E ,则阴影部分面积 ．【答案】!(π+√3【分析】连接AE 、ME 根据S 阴=S 半圆−S 扇形#:D −S 弓形#:即可求值．【详解】解：如图，连接AE 、ME ，由题意可得：AE =AB =2，AM =ME =2，∴△AEM 是等边三角形， ∵S 阴=S 半圆−S 扇形#:D −S 弓形#:，其中，S 半圆='!π×2!=2π， ∵∠MAE =60°，∠BAE =30°,∴S 扇形#:D =60360×π×2!=23π ∴S 弓形#:=S 扇形D#:−S △#D:=23π−12×2×√3 =23π−√3 ∴S 阴=2π−!(π−C !(π−√3D =!(π+√3， 故答案为：!(π+√3．z【点睛】本题主要考查扇形面积的计算方法，把求不规则图形的面积通常转化为求规则图形的面积是解题的关键． 24．如图，曲线AMNB 和MON 是两个半圆，MN∥AB ，大半圆半径为4，则阴影部分的面积是 ．【答案】8π−8【分析】连接OM 、ON ，则OM ⊥ON ，阴影部分面积为扇形MON 的面积+半圆MON 的面积−三角形MON 的面积．【详解】解：如图，连接OM 、ON ，∵ MN 是半圆MON 的直径，∴OM ⊥ON ，且OM =ON =4，∴S △D1E ='!OM ×ON ='!×4×4=8，MN =√4!+4!=4√2，∴S 半圆D1E ='!π×Y4√2÷2[!=4π，S 扇形D1E =2)(0)×π×4!=4π，∴S 阴影=S 扇形D1E +S 半圆D1E −S △D1E =4π+4π−8=8π−8，故答案为：8π−8．【点睛】本题考查了组合图形的面积计算，涉及到扇形面积、三角形面积、半圆的面积的计算，解题的关键是把不规则图形面积计算通过割补的方法转化为规则的已学过的图形面积的计算．zx x k co m25．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S '−S !为 ．【答案】48-13π【分析】根据图形可以求出BF 的长，然后根据图形即可求出S '−S !.【详解】∵在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，F 是AB 中点，∴BF=BG=4，∴S '=S 矩形#%$&−S 扇形#&:−S 扇形%?C +S !，∴S '-S !=6×8-2)*×0!(0)-2)*×-!(0)=48-13π，故答案为：48-13π.【点睛】此题考查扇形的面积公式，矩形的性质.26．如图，在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，AC ＝a ，BC ＝b ．分别以直角边AC 和BC 为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．（用含有a 、b 的代数式表示且结果保留π）【答案】*>!<+*F !<−'!ab . 【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积－三角形的面积，然后列式计算即可．【详解】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示：z∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC 的面积是：S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，即阴影部分的面积= 12π×C >!D !+12π×C F !D !−'!ab =*>!<+*F !<−'!ab . 【点睛】本题考查扇形面积的计算，正确分析出图形的计算方法是解题关键.27．如图，在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，分别以AB 、AC 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】!5<π－6 【分析】观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积，根据半圆面积公式和直角三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：S 阴影=S 大半圆+ S 小半圆-S △ ='!·（(!）!π+'!·（-!）!π-(×-! =2<π+2π−6=!5<π−6．故图中阴影部分的面积是!5<π−6．故答案为!5<π−6． 【点睛】此题考查了圆面积和直角三角形面积，关键是由图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积．.c o m28．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】13π−24【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，∠A =∠C =90°，∴CD =AB =6，AD =BC =4，∴图中阴影部分的面积=S 扇形?$&−CS 矩形#%$&−S 扇形&#:D=90π×6!360−V6×4−90π×4!360W =13π−24，故答案为：13π−24．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．E ，以CB 长为半径画弧，交CD 于点H ，两弧交于点B ，则图中形成的阴影部分的面积是 ．【答案】34π−60【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【详解】∵在矩形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=∠C=90°，∴CD=AB=10，AD=BC=6，z ∴图中阴影部分的面积= S 扇形#%:−(S 矩形#%$&−S 扇形$%G )=90×π×10!360−(10×6−90×π×6!360) =25π−(60−9π)=34π−60，故答案为：34π−60．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．30．如图，扇形AOB 中，半径OA =2，圆心角∠AOB =60°，以OA 为直径的半圆交OB 于点C ，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值是 ．【答案】*0 【分析】先计算出半圆面积，再计算出扇形OAB 的面积，通过观察，图中两个阴影部分面积的差的绝对值为半圆面积减去扇形AOB 的面积的差的绝对值，即可得答案． 【详解】解：由OA =2可得半圆的半径为1，则半圆面积为'!×π×1!=*!，扇形AOB 面积为0)×*×!!(0)=!*(，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值为|*!−!*(|=*0， 故答案为：*0． 【点睛】本题考查了圆面积及扇形面积的求法，解题的关键是熟练掌握这两种图形的计算方法．31．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．z【答案】3π-6【分析】连接BE ，可得△ABE 是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=π−2，再根据阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-△BCE 的面积，即可求解．【详解】连接BE ，∵在正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，∴∠AEB=90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，即：AE=BE ，∴弓形BE 的面积='-π×2!−'!×2×2=π−2，∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-△BCE 的面积=π−2+-5×*×-!(0)-'!×'!×4×4=3π-6． 故答案是：3π-6．【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键．32．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，以点A 为圆心，1为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点D ，E ，以点C 为圆心，4为半径作弧，分别交AC ，BC 于点A ，F ．若图中阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2的值为 ．【答案】4√3−5π(【分析】过点C 作CM ⊥BA 交的延长线于点M ，则可得∠MAC=60°，再进一步利用“30°锐角所对直角边等于斜边的一半及勾股定理”求出CM 的长，然后分别求出S △#%$，S 扇形#&:，S 扇形#$?，据此可求出S '−S !的值．【详解】如图所示，过点C 作CM ⊥BA 交BA 的延长线于点M ，∵ ∠BAC=120°，∴∠MAC=60°，∴∠ACM=30°，∴ AM ='!AC ='!×4=2，在Rt △CAM 中，AM=2，AC=4， ∴ CM =√AC !−AM !=√4!−2!=2√3，∴S △#%$='!×AB ×CM ='!×4×2√3=4√3，∵∠BAC=120°，AD=1，∴ S 扇形#&:='!)(0)×π×1!='(π， ∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴S 扇形#$?=()(0)×π×4!=-(π， ∴S '−S !=S △#%$−S 扇形#$?−S 扇形#&:=4√3−-(π−'(π=4√3−5(π． 故答案为：4√3−5π(．【点睛】本题考查了三角形及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式，理解S '−S !=S △#%$−S扇形#&:−S 扇形#$?是解题的关键．。
2024学年初中名校数学好题(通用版)专项(阴影部分的面积)练习(附答案)
2024学年初中名校数学好题（通用版）专项(阴影部分的面积)练习1．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为 ．2．如图，矩形ABCD中．DB＝4．以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）3．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，E为线段AB上一点，以点B为圆心，BE 为半径画圆与OA相切于OA的中点G，交OB于点F，若AD＝2，则图中阴影部分面积为 ．4．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，以AB的中点为圆心，以长为半径画圆弧，交矩形的DC边于点E、F，若EF＝4，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．5．如图，长方形ABCD中，AB＝m，BC＝n，E、F分别是线段BC、AD上的点，且四边形ABEF是正方形．以线段AE为直径的半圆交长方形于点A、F、E，则图中阴影部分的面积为 ．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为 ．7．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）9．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为 ．10．如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD＝2，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）11．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为 ．12．如图，矩形ABCD中，对角线相交于O，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AD于F，点O在圆弧上，若AB＝4，则阴影部分的面积为 ．13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E，F分别是BC，AD的中点，以点E 为圆心线段EF为半径画弧分别交AB，CD于G，H点，则阴影部分的面积为 ．14．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以A为圆心，AB为半径的圆交对角线AC于E，交AD于F，以C为圆心，CB为半径的圆分别交AC、AD于G、H．则图中阴影部分面积之和为 ．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留x）16．如图、在等边△ABC中，BC＝4，以BC为直径画半圆，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．17．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，点F为BC边上一点，若CF＝2BF，连接EF，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．18．如图，长方形ABCD中，AB＝2，AD＝6，以点B为圆心，AB长为半径画圆交BC于点F，以点D为圆心，AD长为半径画圆交DC的延长线于点E，则图中阴影部分面积为 ．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．20．如图，在半径为，圆心角等于60°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，且CD：DE＝：1，则阴影部分的面积为．参考答案1．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为 +π．【过程解答】解：如图，连接AG、EG．由题意易知△AEG是等边三角形，S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG＝π﹣﹣（﹣），＝+π．故答案为：+π．2．如图，矩形ABCD中．DB＝4．以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 4π．（结果保留π）【过程解答】解：连接OE，如图，设DC＝2x，∵以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，∴OD＝x，OE⊥BC，∵∠EBC＝∠OCB＝90°，OE＝OC，∴四边形OEAD为正方形，∴BC＝x，∵DC2+BC2＝BD2，∴，解得x＝4．∴由弧DE、线段AE、AD所围成的面积S＝S正方形OEAD﹣S扇形ODE＝16﹣＝16﹣4π，∴阴影部分的面积：S△ABD﹣S＝×4×8﹣（16﹣4π）＝4π，故答案为：4π．3．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，E为线段AB上一点，以点B为圆心，BE 为半径画圆与OA相切于OA的中点G，交OB于点F，若AD＝2，则图中阴影部分面积为 ﹣．【过程解答】解：连接BG，∵BE为半径画圆与OA相切于OA的中点G，∴BG⊥AO，AG＝OG，∴AB＝BO，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∴AO＝BO，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝60°，∴∠ACB＝30°，∵∠BGC＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝2，∴BG＝BC＝，AB＝AO＝BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S△AOB﹣S扇形EBF＝2×﹣＝﹣， 故答案为：．4．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，以AB的中点为圆心，以长为半径画圆弧，交矩形的DC边于点E、F，若EF＝4，则图中阴影部分的面积为 12﹣π（结果保留π）．【过程解答】解：∵OA＝OE＝OB＝OF＝4，EF＝4，∴△EOF是等边三角形，∴AD＝OM＝OE＝2，∴∠EOF＝∠OEF＝∠EFO＝60°，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠AOE＝∠OEF＝60°，∠BOF＝∠EFO＝60°，∴S阴影＝S矩形ABCD﹣2S扇形OAE﹣S△EOF＝8×﹣2×﹣＝12﹣π．故答案为12﹣π．5．如图，长方形ABCD中，AB＝m，BC＝n，E、F分别是线段BC、AD上的点，且四边形ABEF是正方形．以线段AE为直径的半圆交长方形于点A、F、E，则图中阴影部分的面积为 mn﹣m2．【过程解答】解：∵四边形ABEF是正方形．∴EF＝AF，∵以线段AE为直径的半圆交长方形于点A、F、E，∴S阴影＝mn﹣m2，故答案为mn﹣m2．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为 3﹣2．【过程解答】解：连接AF，作FM⊥AB于M，∵F为的中点，∴∠DAF＝∠EAF＝45°，∴∠AFM＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AM＝∠AFM，∴AM＝FM，∵AF＝AD＝2，∴FM＝AM＝×2＝，∴BM＝3﹣，∴S阴影＝BM•FM＝（3﹣）•＝3﹣2，故答案为3﹣2．7．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 4﹣﹣．【过程解答】解：如图，连接AE，则AD＝AE＝2，∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，∴∠A＝∠C＝∠B＝90°，AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴阴影部分的面积S＝（S矩形ABCD﹣S扇形DAE﹣S△ABE）+（S矩形ABCD﹣S扇形DCF）＝（1×2﹣﹣×1×）+（1×2﹣）＝4﹣﹣，故答案为：4﹣﹣．8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为π．（结果保留π）【过程解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD,∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，∴图中阴影部分的面积为：2×＝π，故答案为：π．9．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为 ﹣．【过程解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝60°，∵∠B＝90°，AE＝AD＝1，∴AB＝AE•sin60°＝，∴S阴＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝﹣＝﹣，故答案为﹣．10．如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD＝2，则图中阴影部分的面积为 ﹣．（结果保留π）【过程解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AB＝BO，∴△ABO和△CDO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∠COD＝60°∵BD＝2，∴OB＝OD＝1，∴图中阴影部分的面积为：2S扇形ABO﹣S△COD＝2×﹣＝﹣，故答案为：﹣．11．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为 2π﹣4．【过程解答】解：矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，∴AB＝AE＝2，AD∥BC，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠GBE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝2，BE＝2，∴图中阴影部分的面积＝2S扇形EBF﹣S△BEC＝2×﹣×4×2＝2π﹣4， 故答案为2π﹣4．12．如图，矩形ABCD中，对角线相交于O，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AD于F，点O在圆弧上，若AB＝4，则阴影部分的面积为 12﹣4π．【过程解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∵CD＝OC，∴CD＝OD＝OC，∴△CDO是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∵∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，∴AD＝CD＝4，∴S阴＝S矩形﹣S△AOB﹣S扇形DFC＝AD•CD﹣AB•﹣＝4×﹣﹣4π＝12﹣4π，故答案为12﹣4π．13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E，F分别是BC，AD的中点，以点E 为圆心线段EF为半径画弧分别交AB，CD于G，H点，则阴影部分的面积为 12﹣π．【过程解答】解：如图，连接GE，EF，则EF＝EG＝AB＝4，∵BC＝4，∴BE＝2，∴cos∠BEG＝＝＝，∴∠BEG＝30°，∴∠GEF＝60°，GB＝EG＝2，∵S阴影＝2（S四边形ABEF﹣S△BEG﹣S扇形GEF）＝2（2×4﹣×2×2﹣）＝2（6﹣π）＝12﹣π，故答案为12﹣π，14．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以A为圆心，AB为半径的圆交对角线AC于E，交AD于F，以C为圆心，CB为半径的圆分别交AC、AD于G、H．则图中阴影部分面积之和为 4﹣．【过程解答】解：连接AE，∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，∴∠B＝90°，∴tan∠ACB＝＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∴图中阴影部分的面积＝2×2﹣﹣＝4﹣， 故答案为：4﹣．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，如图所示，则图中阴影部分的面积是 π﹣2+2．（结果保留x）【过程解答】解：在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝2，∴∠ADC＝90°，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABD＝∠CDB，∵AF＝AB＝2，AF2＝AD2+DF2，∴（2）2＝22+DF2，∴DF＝2，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DF A＝45°，∴∠BAF＝45°，在△BOM和△DOF中，，∴△BOM≌△DOF（ASA），∴BM＝DF＝2，∴AM＝2﹣2，∴图中阴影部分的面积为：﹣＝π﹣2+2，故答案为：π﹣2+2．16．如图、在等边△ABC中，BC＝4，以BC为直径画半圆，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ﹣2（结果保留π）．【过程解答】解：如图，设BC的中点为O，连接OD、OE，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BOD＝60°，∠COE＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOB和△EOC为等边三角形，∵BC＝4，∴OB＝OC＝OD＝OE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S扇形ODE﹣2S△ODB＝﹣﹣2××2×2×＝﹣2．故答案为﹣2．17．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，点F为BC边上一点，若CF＝2BF，连接EF，则图中阴影部分的面积为7+（结果保留π）．【过程解答】解：如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∴S四边形ABCD＝5×3＝15，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∴S扇形ADE＝＝，∵ED＝AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，∴S△ECF＝×（3+5）×2＝8，∴S阴影＝S四边形ABCD+S扇形ADE﹣S△ECF＝15+﹣8＝7+，故答案为：7+，18．如图，长方形ABCD中，AB＝2，AD＝6，以点B为圆心，AB长为半径画圆交BC于点F，以点D为圆心，AD长为半径画圆交DC的延长线于点E，则图中阴影部分面积为 10π﹣12．【过程解答】解：在长方形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝6，阴影部分的面积＝S扇形AED+S扇形AFB﹣S长方形ABCD＝+﹣2×6＝10π﹣12．故答案为：10π﹣12．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 24﹣4π（结果保留π）．【过程解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∴S阴影＝S矩形﹣S四分之一圆＝6×4﹣π×42＝24﹣4π，故答案为：24﹣4π．20．如图，在半径为，圆心角等于60°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，且CD：DE＝：1，则阴影部分的面积为﹣．【过程解答】解：连接OF，设DE＝x，则CD＝x∵∠O＝60°，∴tan60°＝，即＝，∴OD＝x，在直角三角形OEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2，即（2x）2+（x）2＝（）2，解得x＝±1（舍去负数），∴OD＝1，CD＝，S阴影＝S扇形AOB﹣S△OCD﹣S矩形CDFE＝﹣﹣1×，＝﹣，故答案为：﹣．。
专题 求阴影部分的面积---四种方法(五大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题求阴影部分的面积---四种方法【典例一】（2023•锦州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝40°，连接OA ，OC ．若⊙O 的半径为3，则扇形AOC （阴影部分）的面积为（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【分析】先由圆周角定理可得∠AOC 的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC ＝40°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝80°，∴扇形AOC 的面积为80×π×32360=2π，故选：D ．【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC 的度数是解答此题的关键．【变式1-1】（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE 边长为6，以A 为圆心，AB 为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）A ．185πB ．4πC ．545πD ．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，解题技巧提炼所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，∵正五边形的边长为6，∴S阴影=108⋅π×62360=545π，故选：C．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【变式1-2】（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 ．【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB∴∠D＝∠DAB＝90°，∵AE＝AB，∴DE1，∴AD＝DE，∴∠DAE＝45°，∴∠BAE＝45°，∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE=π4．故答案为：π4．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB 的度数是解此题的关键．【变式1-3】如图，有公共顶点O 的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）A ．4πB ．185πC ．3πD ．52π【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：S 阴=(360108×2)⋅π⋅32360=18π5，故选：B ．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-4】（2022•二道区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径画圆弧，交边BC 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD ．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，∴∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝4，∴BC =∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD =30π×22360+60π×22360=π，故答案为：π．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-5】（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB．3πC D【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC ＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=AC＝可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF=(62)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH=12AB=12×2＝1，在Rt△ABH中，AH=∴AC＝同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE=2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A ．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例二】（2022秋•恩施市期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径画弧，与AC 边交于点E ；以点B 为圆心，线段BD 的长为半径画弧，与BC 边交于点F ．若BC ＝6，AC ＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．48―25π2B ．48―25π4C ．24―25π2D ．24―25π4【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据线段中点的定义得到AD ＝BD ＝5，根据扇形和解题技巧提炼将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB==10，∠A+∠B＝90°，∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD＝5，∴图中阴影部分的面积=12×6×8―90⋅π×52360=24―25π4，故选：D．【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式2-1】（2023•北京模拟）如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（ ）A．πB．2+2πC．2πD．2+π【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OC＝OB＝2，求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AB＝4，∴OA＝OC＝OB＝2，∴S△AOC ＝S△BOC=12×2×2=2，∴阴影部分的面积S＝S△COB +S扇形AOC﹣S△AOC＝S扇形AOC =90π×22360=π，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n °，半径是r ，那么这个扇形的面积=nπr 2360．【变式2-2】（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O ＝120°形成的扇面，若OA ＝4m ，OB ＝2m ，则阴影部分的面积是（ ）A ．43πB ．83πC ．4πD ．163π【分析】利用扇形面积公式，根据S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC 即可求解．【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC=120π⋅OA 2360―120π⋅OB 2360=120π(OA 2OB 2)360=π(4222)3＝4π（m 2），故选：C ．【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•松滋市期末）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC ＝30°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3―B ．2π3―C ．2π3―D ．π3―【分析】根据S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC ，计算即可．【解答】解：∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC =60⋅π×22360―12×2×=23π―故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2-4】（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB 圆心角为直角，OA ＝10，点C 在AB 上，以OA ，CA 为邻边构造▱ACDO ，边CD 交OB 于点E ，若OE ＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）A ．10π﹣8B ．5π﹣8C ．25π﹣64D ．50π﹣64【分析】连接OC ．利用勾股定理求出EC ，根据S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形AOEC ，计算即可．【解答】解：连接OC ．∵四边形OACD 是平行四边形，∴OA ∥CD ，∴∠OEC +∠EOA ＝180°，∵∠AOB ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴EC =6，∴S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形OECA =90π×102360―12×（6+10）×8＝25π﹣64．故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．【变式2-5】（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，交BC 于点F ，连接DE 、DF ，若AB ＝2，∠A ＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3B π3C π3D ―2π3【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出∠BCD 和BC ＝AB ＝2，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠A ＝60°，点E 是AB 的中点，∴△ABD 是等边三角形，DE ⊥AB ，∠ABC ＝120°，BE ＝1，∴DE BF ＝1，DF =DF ⊥BC ，∴阴影部分的面积S ＝S △BDE +S △BDF ﹣S 扇形BEF ＝2―120π×12360=π3，故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC 、△AFC 和扇形ECF 的面积是解此题的关键．【变式2-6】（2022秋•余杭区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，BC ．（1）求证：∠ACO ＝∠BCD ；（2）若CD ＝6，∠A ＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，在Rt△COE中，OC=CEsin60°=∴扇形OAC（阴影部分）的面积=4π，答：阴影部分的面积为4π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例三】（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝3，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕为BC ，则阴影部分的面积为（ ）AB ．9π4―C ．π34D ．3π34【分析】连接OD ，可得△OBD 为等边三角形，再求出∠COD 以及OC ，得到三角形BOC 的面积，又因为△BOC 与△BDC 面积相等，最后利用S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC 求解即可．【解答】解：如图，连接OD ，根据折叠的性质，CD ＝CO ，BD ＝BO ，∠DBC＝∠OBC ，∴OB ＝BD ＝OD，解题技巧提炼先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO ＝60°．∵∠CBO =12∠DBO ＝30°，∵∠AOB ＝90°，∴OC ＝OB •tan ∠CBO ＝3=∴S △BOC =12OB •OC =∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC=14π×32=9π4―故选：B ．【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．【变式3-1】（2023•乡宁县二模）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC ＝30°，在直径AB 上截取AD ＝AC ，延长CD 交⊙O 于点E ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B ．π2―1C ．π﹣2D ．π2【分析】连接OE ，OC ，BC ，推出△EOC 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．【解答】解：连接OE ，OC ，BC ，由旋转知AC ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠ACE ＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE ＝90°﹣∠ACE ＝15°，∴∠BOE ＝2∠BCE ＝30°，∴∠EOC ＝90°，即△EOC 为等腰直角三角形，∵CE ＝2，∴OE ＝OC =∴S 阴影＝S 扇形OEC ﹣S △OEC ―12×=π2―1，故选：B ．【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•合川区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接BC ．若BO =BC =2 ．【分析】证明△OBD 是等边三角形，根据S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）求解即可．【解答】解：连接BD ．∵OC ＝OB ＝BC ＝∴△OBC 是等边三角形，∵CD ⊥AB ，AB 是直径，∴BC =BD ，∴BC ＝BD ＝OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵DE ⊥OB ，∴OE ＝EB∴DE ＝∴S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）=12×（2＝4π﹣故答案为：4π﹣【点评】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．【变式3-4】（2023•如皋市一模）如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点P ，连接PC 交⊙O 于点D ，PO ＝OPC ＝30°．（1）求CD 的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，根据垂径定理得CE ＝DE ，再根据PO ＝OPC＝30°，得OE ＝（2）根据阴影部分的面积为扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可．【解答】解：（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，∴CE ＝DE ，∵PO ＝OPC ＝30°，∴OE =12PO ＝∵直径AB ＝8，∴OD ＝4，∴DE ==2，∴CD ＝2DE ＝4；（2）∵OD ＝2DE ，∴∠DOE ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积为60π×42360―12×4×=8π3―【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．【变式3-5】（2023•蒙阴县一模）已知AB 是圆O 的直径，半径OD ⊥BC 于点E ，BD 的度数为60°．（1）求证：OE ＝DE ；（2）若OE ＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD ，证明△OBD 是等边三角形，可得结论；（2）根据S 阴＝S 扇形AOC +S △COE ，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD ，∵BD 的度数是60°，∴∠BOD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵OD ⊥BC ，∴OE ＝DE ；（2）解：连接OC ．∵OD ⊥BC ，OC ＝OB ，∴∠COE ＝∠BOE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，∴OC ＝2OE ＝2，∴CE =∴S 阴＝S 扇形AOC +S △COE =60π⋅22360+12×1=2π3【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD 是等边三角形是关键．【变式3-6】（2023•长沙模拟）如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，OF ⊥AC ，垂足为点F ，BE ＝OF ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）若BE ＝4，CD ＝【分析】（1）根据AAS 证明△AFO ≌△CEB 即可判断；（2）根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，CE =12CD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，AF =12AC ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ），∴AF ＝CE ，∴AC ＝CD ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设OC ＝r ，则OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8，连接OD ，如图，在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120π×82360―12×4=643π﹣【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE 的度数是解决本题的关键．【典例四】（2023•凤台县校级三模）如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝10，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5πB ．52πC ．10πD ．54π【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB 的面积与△COB的面积相解题技巧提炼通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.有两种方法：（1）直接等面积转化法（2）平移转化法（3）对称转化法（4）旋转转化法等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．【解答】解：∵点O 是AC 的中点，∴线段BO 是△ABC 的中线，∴S △AOB ＝S △COB ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ，∵∠BAC ＝36°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝72°，∵直径AC ＝10，∴OC ＝5，∴S 扇形OBC =72π×52360=5π，∴S 阴影＝5π，故选：A ．【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-1】（2023•孝义市三模）如图，AB 为半圆O 的直径，CD 垂直平分半径OA ，EF 垂直平分半径OB ，若AB ＝4，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．4π3B ．2π3C ．16π3D ．8π3【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S 半圆﹣2S 扇形 ACO ，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：连接OC ，∵CD 垂直平分半径OA ，∴AC ＝OC ，∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴S 阴影=12S ⊙O ﹣2S 扇形ACO =12×(AB 2)2π―2×60×(AB 2)2π360 =12×4π﹣2×16×4π＝2π―43π=23π．故选：B ．【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-2】（2023•锦州二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，若∠BED ＝45°，AB ＝2，则阴影部分的面积为（ ）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．π【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC ＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E 是BC 的中点，从而得出OE 是△ABC 的中位线，于是OE ∥AB ，根据同底等高得到△AOD 和△AED 的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD 的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD 的面积即可得出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD ＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形OAD=90π×12360=π4，∴S阴影=π4，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．【变式4-3】（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．512πB ．43πC ．34πD ．2512π【分析】根据AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积＝△ABC 的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积=30π×52360=2512π，故选：D ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积是解题的关键．【变式4-4】（2023•郸城县模拟）如图，扇形ABC 圆心角为90°，将扇形ABC 沿着射线BC 方向平移，当点B 落到线段BC 中点E 时平移停止，若AC 的长为2π，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据S 阴影＝S 扇形DEF +S 矩形ABED ﹣S 扇形BAC ＝S 矩形ABED 求解即可．【解答】解：∵扇形ABC 圆心角为90°，AC 的长为2π，∴2π=90π⋅r 180，∴r ＝4，∴AB ＝BC ＝4，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝2，∴S阴影＝S扇形DEF+S矩形ABED﹣S扇形BAC＝S矩形ABED＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平移性质，扇形面积，熟练掌握求不规则图形面积，通过转化成规则图形面积的和差求解是解题的关键．【变式4-5】如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．求：（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）阴影部分的周长是：2×12×2π×6+60π×12180＝12π+4π＝16π（厘米），答：阴影部分的周长为16π厘米；（2）∵阴影部分的面积是：S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，∴阴影部分的面积=60×π×144360=24π（平方厘米）．答：阴影部分的面积为24π平方厘米．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长公式，扇形面积公式，掌握计算公式是解题的关键．【变式4-6】如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE ＝OF ．（1）求证：△AFO ≌△CEB ；（2）若BE ＝4，CD ＝①⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS 即可判断；（2）①设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，在Rt △OCE 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；②根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可；【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ）．（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8．②连接 OD ．∵在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120⋅π⋅82360―12××4=643π﹣【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【典例五】（2022秋•潼南区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧分别交AB 于点D 、F ，则图中阴影部分的面积是 ．解题技巧提炼有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积.【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴∠A ＝60°，AC =12AB ＝1，BC∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB 60π×12360―12×1×=5π12―故答案为：5π12【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AB 为半径画弧，连接AC ，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AD 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∠DAC ＝45°，∴AC =∴图中阴影部分的面积＝12×1×1]+（1×1―90π×12360）=12，故答案为12．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-2】（2023•平遥县二模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，∠A ＝60°，将Rt △ACB 绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt △DCE ，点B 经过的路径为BE ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为BF ，则图中阴影部分的面积是（ ）A π12B π12C +π12D ―π12【分析】根据S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF 计算即可．【解答】解：S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF=12×1×60⋅π⋅22360+π12，故选：A ．【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．【变式5-3】如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE ，∵AB 为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE ＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆―12（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）=12π×22―12（12π×22―12×12×4×4）﹣（12×4×4―45π×42360）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-4】（2022•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD ﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）=90π×62360―（6×4―90π×42360）＝13π﹣24，故答案为：13π﹣24．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
中考复习专题---阴影部分面积计算
中考复习专题---阴影部分面积计算(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除专题二 阴影部分面积计算例 如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与 AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作 CE 交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)。
1. 如图，把八个等圆按相邻的两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S 2，则S 1S 2＝( ) A. 34 B. 35 C. 23D. 1 第1题图2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，直径MN ∥AD ，则阴影部分的面积占圆面积的( )A. 12B. 14C. 16D. 18第2题图3.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为( )A. 10B. 12C. 14D. 16第3题图4. 如图，四个半径为1的小圆都过大圆圆心且与大圆相内切，阴影部分的面积为( )A. πB. 2π－4C. π2D. π2＋1第4题图答案1. B 【解析】设每个等圆的半径为r .∵正八边形的内角度数是（8－2）×180°8＝135°，∴正八边形外侧每一个小扇形的圆心角度数都是360°－135°＝225°，∴正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和S 1＝8×135π×r 2360，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和S 2＝8×225π×r 2360，∴S 1S 2＝8×135π×r 23608×225π×r 2360＝35. 2. B 【解析】如解图，连接OD ，∵MN ∥AD ，∴S △ODN ＝S △AON ，∴S 阴影＝2S 扇形ODN ＝14S ⊙O ，则阴影部分的面积占圆面积的14.第2题解图3. D 【解析】如解图，连接DB ，GE ，FK ，则DB ∥GE ∥FK ，∴S △DGB ＝S △DBE ，∴S △DGE ＝S △GBE ，同理，S △GKE ＝S △GFE ，∴S △DEK ＝S △DGE ＋S △GKE ＝S △GBE ＋S △GFE ＝S 正方形BEFG ＝42＝16.第3题解图4. B 【解析】如解图，设两小圆交点为A 、C ，其中一小圆圆心为B ，连接AB ，AC ，BC ，∵四个小圆面积和为4π，大圆的面积也是4π，∴S 阴影＝S 小圆重合部分，∴S 阴影＝8S 弓形AC ＝8(S 扇形ABC －S △ABC )＝8×(90×π×12360－12×1×1)＝ 2π－4.第4题解图针对演练◆直接和差法1. 如图，正方形AEFG 的一边AE 放置在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )A. －4－4 2B. 42－4C. 8－4 2D. 42＋4第1题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )A. π6B. π3C. π2－12D. 12第2题图3. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上．当正方形CDEF 的边长为2时，阴影部分的面积为( )A. 3π2＋2B. 2π－2C. π2＋2D. π－2第3题图 第4题图4. 如图，在圆心角为135°的扇形OAB 中，半径OA ＝2，点C ，D 为AB ︵的三等分点，连接OC ，OD ，AC ，CD ，BD ，则图中阴影部分的面积为( )A. 3π2B. π＋ 2C. 3π2－3 2D. 3π2－ 25. 如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF ，点A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，F 1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是( ) A. 334 B. 234 C. 34 D. 38第5题图 第6题图6. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2，C 为AB ︵的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为________．7. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为________．第7题图◆割补法8. 如图，△ABC 的面积为16，点D 是BC 边上一点，且BD ＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形．则图中阴影部分的面积是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点O 是边BC 的中点，半圆O 与△ABC 的边AB ，AC 分别相切于点D ，E ，则阴影部分的面积为( )A. 1－π4B. π4C. 1－π8D. π810. 如图是某商品的标志图案．AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD .若AC ＝10 cm ，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为( )A. 5π cm 2B. 10π cm 2C. 15π cm 2D. 20π cm 2第10题图11. 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A. 23a 2B. 14 a 2C. 59 a 2D. 49 a 2第11题图12. 如图，正方形的边长为3 cm ，点E ，F 为对角线AC 的三等分点，则图中阴影部分的面积为________cm 2.第12题图 第13题图13. 如图，菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝60°，BD ︵是以点A 为圆心、AB 长为半径的弧，CD ︵是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为________ cm 2.14. 将边长分别为2、4、6的三个正三角形按如图方式排列，A 、B 、C 、D 在同一直线上，则图中阴影部分的面积的和为________．第14题图参考答案1. B 【解析】由题意知△ADC 是等腰直角三角形，AD ＝CD ＝2，则S △ACD ＝12AD·CD ＝12×2×2＝2，AC ＝2AD ＝22，则EC ＝AC －AE ＝22－2，∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC ＝12ME·EC ＝12(22－2)2＝6－42，∴S阴影＝S △ACD －S △MEC ＝2－(6－42)＝42－4.2. A 【解析】由题意可知，△ABC ≌△ADE ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，由勾股定理得AB ＝2，∴S阴影＝S △ADE ＋S 扇形BAD －S △ABC ＝S 扇形BAD ＝30·π·（2）2360＝π6，故选A. 3. D 【解析】如解图，连接OC ，∵在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，∴∠COD ＝45°，OD ＝CD ＝2，∴在Rt △COD 中，OC ＝2CD ＝22，∴S阴影＝S 扇形BOC －S △ODC ＝45×π×（22）2360－12×22＝π－2. 第3题解图4. C 【解析】∵C ，D 是AB ︵的三等分点，∠AOB ＝135°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝45°，∵AO ＝CO ＝DO ＝BO ，∴△AOC ≌△COD ≌△BOD ，如解图，过点A 作AE ⊥OC 于E ，∴在Rt △AOE 中，AE ＝AO ·sin45°＝2×22＝2，∴S △AOC ＝12OC·AE＝12×2×2＝2，∴S阴影＝S 扇形AOB －3S △AOC ＝135π·22360－32＝3π2－3 2. 第4题解图5. A 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥A 1B 1于M ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠B 1AA 1＝120°，又∵点A 1，B1分别为AF ，AB 的中点，∴AA 1＝AB 1＝12×2＝1，∠AA 1B 1＝180°－120°2＝30°，∴AM ＝12AA 1＝12，A 1M ＝AA 1·cos30°＝1×32＝32，∴A 1B 1＝2A 1M ＝3，则S △AA1B1＝12×3×12＝34，同理，S △EE 1F 1＝S △CC 1D 1＝34，∴阴影部分的总面积为34×3＝334. 第5题解图 6. π＋2－12【解析】如解图，连接OC 、CE ，∵C 为AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠DOC ＝∠EOC ＝12∠AOB ＝45°，又∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点，∴OD ＝12OA ＝1，OE ＝12OB ＝1，∴OD ＝OE ，DE ＝2，∴∠ODE ＝45°，∴OC ⊥DE ，∵OC ＝OC ，∴△OCD ≌△OCE (SAS)，∴S △ODE ＝12×1×1＝12，S 扇形OBC ＝45π×22360＝π2，∴S △OCD ＝12OC ·12DE ＝22，∴S 阴影＝S 扇形OBC ＋S △OCD －S △ODE ＝π2＋22－12＝π＋2－12. 第6题解图7. π－332 【解析】如解图，设AB ︵的中点为P ，连接OA 、OP 、AP ，则∠AOP ＝60°，∴△AOP 为等边三角形，S △AOP ＝12×32×1＝34，S 扇形OAP ＝60π×12360＝π6，S 弓形AP ＝S 扇形OAP －S △AOP ＝π6－34，∴S 阴影＝6×S 弓形＝6×(π6－34)＝π－332.第7题解图8. B 【解析】∵四边形BDHG 是平行四边形，∴GH ＝BD ＝14BC ，GH ∥BC ，设△AGH 边GH 上的高是a ，△CGH 边GH 上的高是b ，△ABC 边BC 上的高是h ，则a ＋b ＝h ，∴S 阴影＝S △AGH ＋S △CGH ＝12GH (a ＋b )＝12BD ·h ＝12×14BC ·h ＝14S △ABC ＝14×16＝4. 9. B 【解析】如解图，连接OD 交BE 于点F ，连接OE ，∵半圆O 与△ABC 的边AB 、AC 分别相切于点D 、E ，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，又∵在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点O 是BC的中点，∴四边形ADOE 是正方形，△OBD 和△OCE 是等腰直角三角形，∴OD ＝OE ＝AD ＝BD ＝AE ＝EC ＝1，∠ABC ＝∠EOC ＝45°，∴AB ∥OE ，∴∠DBF ＝∠OEF ，∠DOE ＝90°，在△BDF 和△EOF 中，∴△BDF ≌△EOF (AAS)，∴S △BDF ＝S △EOF ，∴S 阴影＝S 扇形DOE ＝90×π×12360＝π4.第9题解图10. B 【解析】∵AC 与BD 是⊙O 的两条直径，∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴∠DBA ＝∠BAC ＝36°，根据三角形的外角和定理得∠AOD ＝∠BOC ＝72°，∵矩形ABCD 对角线相等且互相平分，∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ＝5 cm ，∴S △AOB ＝S △BOC ＝S △COD ＝S △AOD ，∴S阴影＝S 扇形AOD ＋S 扇形BOC ＝2S 扇形AOD ＝2×72π×52360＝10π cm 2. 11. D 【解析】如解图，过点E 分别作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，则∠EPM ＝∠EQN ＝90°，由于E 点在正方形的对角线上，则EP ＝EQ ，则四边形EPCQ 为正方形，从而可得∠PEM ＋∠MEQ ＝∠QEN ＋∠QEM ＝90°，∴∠PEM ＝∠QEN ，∴△EPM ≌△EQN (ASA)，∴S 四边形EMCN ＝S 四边形EMCQ ＋S △EQN ＝S 四边形EMCQ ＋S △EPM ＝S 正方形EPCQ .∵EQ ∥AD ，∴EQ AD ＝CE CA ＝23，∴EQ ＝23a ，∴四边形EMCN 的面积为49a 2.第11题解图12. 4 【解析】如解图，设过点E 的垂线交BC 于点H ，交CD 于点G，过点F的垂线交BC于点I，∵E、F是对角线AC的三等分点，BC＝3 cm，∴IC＝1 cm，由正方形性质可得S四边形ABHE＝S四边形AEGD ，S△FIC＝12FI·IC＝12 cm2，∴S阴影＝S△ABC－S△FIC＝12×3×3－12＝4cm2.第12题解图13. 3【解析】如解图，连接BD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD和△BCD是等边三角形，∴S阴影＝S△BCD＝12BC·DE＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3 cm2. 第13题解图14. 3【解析】如解图，AG分别交BE、CF、BH于点E、F、H.在三个正三角形中，∠ABE＝∠BCF＝∠CDG＝60°，∴BE∥CF∥DG，∴CFDG＝ACAD，即CF6＝2＋42＋4＋6，解得CF＝3，∴第二个三角形中的阴影部分三角形的底边长为4－3＝1，同理BE CF＝AB AC，即BE3＝22＋4，解得BE＝1，边长为4的等边三角形的高为4×32＝23，∵阴影部分的面积的和＝△BEH的面积＋第二个等边三角形中阴影部分的面积，∴阴影部分的面积的和为12×1×23＝ 3. 第14题解图9。
(完整版)初一阴影面积题
阴影面积类型题一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如右图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：44221=⨯⨯。
四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求图中阴影部分面积可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如图，求两个正方形中阴影部分的面积.虽然可以用相减法解决，但不如添一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，组合成一个新的基本规则的图形.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出对称图形，得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求图中阴影部分的面积，沿AB 在原图下方作关于AB 为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
求几何图形的阴影部分的面积及答案
求几何图形的阴影部分的面积1.如图，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米,求阴影部分的面积,2.如图，已知两同心圆（圆心相同，半径不相等的两个圆），大圆半径为3厘米，小圆半径为1厘米，求阴影部分的面积3.如图，大圆半径为6cm，小圆半径为4cm，求阴影部分的面积4.已知如图大圆的半径为4cm，小圆的半径为3cm，求两个圆阴影部分的面积的差5.求阴影部分的面积(单位:厘米)6.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积(单位:厘米)7.求图中阴影部分的面积(单位:厘米)8.求阴影部分的面积(单位:厘米)9.求阴影部分的面积(单位:厘米)10.如图,已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问空白部分甲比乙的面积多多少厘米？11.求阴影部分的面积(单位:厘米)12.求阴影部分的面积(单位:厘米)13.求阴影部分的面积(单位:厘米)14.求阴影部分的面积(单位:厘米)15.求阴影部分的面积(单位:厘米)16.求阴影部分的面积(单位:厘米)17.求阴影部分的面积(单位:厘米)18.求阴影部分的面积(单位:厘米)19.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积20.求阴影部分的面积(单位:厘米)21.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积(单位:厘米)22.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长23.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积24.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积25.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积26.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积27.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？28.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。
如果圆周π率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？29.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积(单位:厘米)30.如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积31.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积32.求阴影部分的面积(单位:厘米)33.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，∠CBD=500,问阴影部分甲比乙面积小多少？34.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米,求BC的长度35.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积36.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。
初中数学之阴影部分面积
则余下草坪的面积可表示为
m2;
现为了增加美感,把这条小路改为宽恒为 1 m 的弯曲小路（如图 8）
则余下草坪的面积为
m2
四、对称法
图8
y
C1
1
9、如图 9,⊙O 的半径为 2,C1 是函数 y=
x2 的图象,C2 是函数 y=
1
-
x2 的图象,
2
2
则阴影部分的面积是
y
10、如图 10,⊙A 和⊙B 都与 x 轴和 y 轴相切,
六、等积法
12、如图 12,是重叠的两个直角三角形,将其中一个直角三角形沿 BC 方向平移
得到△DEF,如果 AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为
cm2
13、如图 13,四边形 ABCD、CEFG 是正方形,B、C、E 在同一直线上,
正方形 ABCD 的边长是 4,则△BDF 的面积是
三、平移法
7、如图 7,平行于 y 轴的直线 l 被
抛物线 y= 1 x2+1,y= 1 x2-1 所截,
2
2
当直线 l 向右平移 3 个单位时,
直线 l 被两条抛物线所截得的
y D
C
B
0
x
A
l 图7
第1个
第2个 图6
第3个
线段扫过的图形面积为
8、在长为 a m,宽为 b m 的一块草坪上修一条宽 1 m 的笔直小路,
设分点分别为 P1，P2，…，Pn-1,过每个分点作 x 轴的垂线，
y 1
Q1Q2
Q3
Qn-1 A
O P1P2P3 … Pn1-1 图 20
分别与抛物线交于点 Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形 OP1Q1，P1P2Q2，…
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初中阴影面积题大全
初中阴影面积题大全
在初中阶段，阴影面积是一个重要的概念，常常出现在几何题目中。
以下是一些常见的初中阴影面积题目和解答:
1. 一个正方形的面积是 8 平方分米，求阴影部分的面积。
解答：设正方形的边长为 x，则阴影部分的面积为 x^2-8。
根据勾股定理，可得 x^2=8+x^2，解得 x=4。
因此，阴影部分的面积为 4 平方分米。
2. 一个长方形的长是 8 分米，宽是 4 分米，求阴影部分的面积。
解答：设长方形的面积为 y，则阴影部分的面积为 y-8-4。
根据题意，可得 y=32，则阴影部分的面积为 32-8-4=10 平方分米。
3. 一个直角三角形的斜边长是 4 厘米，求阴影部分的面积。
解答：设直角三角形的直角边长为 x，则阴影部分的面积为
x^2-4。
根据勾股定理，可得 x^2=4+x^2，解得 x=2。
因此，阴影部分的面积为 2^2-4=2 平方厘米。
4. 一个圆的半径是 3 厘米，求阴影部分的面积。
解答：设圆的面积为 y，则阴影部分的面积为 y-3^2。
根据题意，可得 y=18，则阴影部分的面积为 18-3^2=9 平方厘米。
5. 一个正方形的边长是 3 厘米，求阴影部分的面积。
解答：设正方形的面积为 y，则阴影部分的面积为 y-3^2。
根据题意，可得 y=6.3，则阴影部分的面积为 6.3-3^2=6.1 平方厘米。
6. 一个平行四边形的面积是 6.3 平方厘米，求阴影部分的面积。
解答：设平行四边形的底边长为 x，则阴影部分的面积为
x^2-6.3。
根据勾股定理，可得 x^2=6.3+x^2，解得 x=3。
因此，阴
影部分的面积为 3^2-6.3=0.4 平方厘米。
以上是一些常见的初中阴影面积题目和解答。
在解题时，需要理解阴影部分的面积计算方法，通常采用相似三角形、勾股定理、面积公式等方法求解。
同时，需要注意解题步骤和细节，确保计算正确。