复习专题三 函数的单调性
超实用高考数学专题复习：第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的单调性与最值
对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”
，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好 再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天 冲刺复习方法。
知识梳理
答案 D
4.(2016·北京卷)函数 f(x)＝x－x 1(x≥2)的最大值为________.
解析 易得 f(x)＝x－x 1＝1＋x－1 1，当 x≥2 时，x－1>0，易知 f(x)在[2，＋∞)
上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝1＋2－1 1＝2. 答案 2
5.(2020·宁波模拟)已知 log23＝a，则22aa＋ －11＝________，函数 f(x)＝a2x－2ax 的单调递 增区间为________. 解析 由 log23＝a 得 2a＝3，故22aa＋－11＝2；又函数 f(x)由 u＝ax 与 y＝u2－2u 复合，且 a＝log23＞1，即 u＝ax 单调递增，而 y＝u2－2u 在[1，＋∞)上单调 递增，则由复合函数的单调性性质知若 f(x)单调递增，必须有 ax≥1，故 x≥0， 即单调递增区间为[0，＋∞).
则 f(f(3))＝________，函数 f(x)的最
－x2＋2x，x≤1，
大值是________.
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，x∈[1，＋∞)且 a≤1.
①当 a＝12时，求函数 f(x)的最小值；
②若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.
log1x，x>1， (1)解析 ①由于 f(x)＝ 3
当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数.
专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(解析版)
专题03 函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一 定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
高考数学解题方法专题讲解(3)抽象函数单调性的判断方法
高考数学解题方法专题讲解专题(三) 抽象函数单调性的判断方法[例] [2021·西安模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解题视点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．解析：(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.证明如下：在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解之，得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．答题模板：解函数不等式问题的一般步骤第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．答题启示：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或f(x1)，f(x2)同号时比较f(x1)f(x2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等．。
高考数学专题讲解：三角函数的单调性
8
8
计算三角函数单调性
例题：求函数f (x) 3tan( 1 x ) 1的单调性。
26
解法设计：A 3 0 1 0 三角函数单调性发生改变
2
k 1 x k
2
2 62
原始单调递增，单调性改变，现在单调递减
k 1 x k
6
6
x [ 7 2k, 2k] f (x)单调递增
6
6
计算三角函数单调性
例题：求函数 f (x) cos(2x )的单调性。
4
解法设计：A 1 0 2 0 三角函数单调性不发生改变
2k 2x 2 2k
4
3
原创解法设计中心
2
3
训练三：求函数 f (x) 3tan( x ) 2 的单调性。
4
训练四：求函数 f (x) 2sin( 3x )的单调性。
4
训练五：求函数 f (x) 4cos(x ) 3 的单调性。
6
训练六：求函数 f (x) 2tan(x ) 的单调性。
5
2
2
当x [ 2k,2 2k]时：
函数 f (x) cos x单调递增
知识点储备
y
0
2
2
f (x) tan x的单调性
3
x
当x
(
2
k,
2
k )
时：
2
函数 f (x) tan x单调递增
计算三角函数单调性
A 振幅A 0 三角函数的单调性不发生改变 振幅A 0 三角函数的单调性发生改变 A0
高三数学 函数的单调性专题复习 教案
芯衣州星海市涌泉学校三仓中学2021届高三数学函数的单调性专题复习教案导学目的：①理解函数的单调性、最大〔小〕值及其几何意义；②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的断定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题．自主梳理1.增函数和减函数一般地，设函数()f x的定义域为I：假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x x<，那么就说函数()f x在区间D上是___________.假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x x>，那么就说函数()f x在区间D上是___________.2.单调性与单调区间假设一个函数在某个区间M上是_____________或者者是____________，就说这个函数在这个区间M上具有_____________〔区间M称为____________〕。
3.最大〔小〕值〔前面已复习过〕4.判断函数单调性的方法〔1〕定义法：利用定义严格判断。
〔2〕导数法①假设()f x在某个区间内可导，当'()0f x>时，()f x为______函数；当'()0f x<时，()f x为______函数。
②假设()f x在某个区间内可导，当()f x在该区间上递增时，那么'()f x______0，当()f x在该区间上递减时，那么'()f x______0。
〔3〕利用函数的运算性质：如假设(),()f xg x为增函数，那么①()()f xg x+为增函数；②1()f x为减函数〔()0f x>〕；③()f x为增函数〔()0f x≥〕；④()()f xg x为增函数〔()0,()0f xg x>>〕；⑤()f x-为减函数。
〔4〕利用复合函数关系判断单调性法那么是“___________〞即两个简单函数的单调性一样，那么这两个函数的复合函数为_______，假设两个简单函数的单调性相反，那么这两个函数的复合函数为_______，〔5〕图像法〔6〕奇函数在两个对称区间上具有____的单调性；偶函数在两个对称区间上具___的单调性；自我检测1.设函数()(21)f x a x b=-+是R上的减函数，那么a的取值范围为.2．函数)(xfy=在定义域R上是单调减函数，且)1(|)1(|fxf>，那么实数x的取值范围是.3．函数2()45f x x mx=-+在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，那么)1(f=．4．：函数()()2411f x x a x=+-+在[)1,+∞上是增函数，那么a的取值范围是_____5．函数132+-=xxy在区间)1,(--∞上是单调________函数.〔填“增〞或者者“减〞〕探究点一函数单调性的判断及应用：【例1】函数,1)(2axxxf-+=其中.0>a假设),1()1(2-=ff求a的值；证明：当1≥a时，函数)(xf在区间),0[+∞上为单调减函数；假设函数)(xf在区间),1[+∞是增函数，求a的取值范围探究点二求函数的单调区间：【例2】求函数)23(log221+-=xxy的单调区间.变式训练：(1)求函数62-+=xxy的单调区间.(2)求函数)352(log)(2+-=xxxfa的单调区间.探究点三函数单调性的应用：【例3】〔1〕假设)(xf是R上的增函数，那么满足)()2(2mfmf<-的实数m的取值范围是.(2)函数)(xfy=是偶函数，)2(-=xfy在[0,2]上是单调减函数，那么)2(),0(),1(fff-的大小顺序是.(3)函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,2,0,2)(22xxxxxxxf假设)()2(2afaf>-，那么实数a的取值范围是.探究点四抽象函数的单调性：﹡【例4】函数)(xf对任意的a,b∈R，都有1)()()(-+=+bfafbaf，并且当x>0时，)(xf>1.(1).求证：)(xf是R上的增函数；〔2〕.假设5)4(=f，解不等式3)23(2<--mmf.1．给出如下三个函数：①)2ln(+=xy；②1+-=xy；③xxy1+=.其中在区间),0(+∞内为增函数的是(写出所有增函数的序号)2．函数)(xf是定义在),0[+∞上的函数，且在该区间上单调递增，那么满足不等式)31()12(fxf<-的x的取值范围是.3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,)1(,2,)21()(xkxkxkxfx对于任意的21xx≠，都有)()(2121<--xxxfxf，那么k的最大值为.4.设函数)(xf定义在实数集上，它的图象关于直线1=x对称，且当1≥x时，,13)(-=xxf那么)23(),32(),31(f f f 从小到大的顺序为.。
复习专题三 函数的单调性
达 标训 练
1.(2010·山东烟台质检)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是 单调递增的,则实数a的取值范围是 ( )
A.a 1 4
C. 1 a 0 4
B.a 1 4
D. 1 a 0 4
(2) f (x 1) f (x) a 2x 2b 3x 0 2b ( 3)x a 2
当（1）a
0, b
0时，( 3)x 2
a 2b
x
log 3
2
(
a ); 2b
（2）a
0, b
0时，( 3)x 2
a 2b
x
log 3
2
(
a ). 2b
另外,在函数的单调性定义中的x1,x2满足:一是属于一个单 调区间;二是任意性;三是有大小,即x1<x2(或x1>x2).由于 区间端点不具有单调性,因此写单调区间时,可以写成包含
端点的闭区间,也可以写成不包含端点的开区间.
2.函数单调性定义的等价形式
(1)对于任意x1,x2∈[a,b], 在[a,b]是增(减)函数.
变式训练：讨论函数f
(x)
ax
x2
(a 1
0)
在x (1,1)上的单调性。
解:设-1<x1<x2 1
则f(x1)-f(x2 )=
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x1x2 1)(x2 (x12 1)(x22
x1) 1)
考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一 不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二 含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三 函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1 比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（ ）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2 根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（ ）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（ ）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c ><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（ ）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（ ）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（ ）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为 ．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（ ）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为 ．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。
3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的 取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3
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f x1 f x2(<00)⇔f(x)
x1 x2
(2)对于任意x1,x2∈[a,b],[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0 (<0)⇔f(x)在[a,b]是增(减)函数.
3.复合函数的单调性 对于f[g(x)]的单调性的判断,应先判断f(u),u=g(x)
的单调性,若y=f(u)与u=g(x)的单调性一致,则f[g(x)]的 单调递增,否则,单调性递减,简称“同增异减”.讨论复合 函数的单调性的解题步骤:①求出复合函数的定义域;②把 复合函数分解成若干个常见的基本函数,并判断其单调性; ③把中间变量的范围转化为自变量的变化范围;根据复合 函数的单调性判定其单调性.
函数的单调性
知识梳理 1.函数的单调性的定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间D上为减函数,若f(x1)>f(x2)则 称f(x)在区间D上为减函数,若f(x1)>f(x2)则称f(x)在区间D 上为减函数,区间D叫做y=f(x)的单调区间,函数的单调性是 函数在某个区间上的整体性质,所以讨论函数的单调性及单 调区间都必须考虑函数的定义域;
例1.讨论函数x a (a 0)的单调性 x
解：函数的定义域为(-,0)(0,+)
且f(-x)=-f(x),所以f(x)是一个奇函数
（1）当x>0时，设0<x1<x2
则f(x1)-f(x2 )=x1+
a x1
x2
a x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2
a)
于是当0<x1<x2 a时，x1x2 a, f(x1)>f(x2 )
所以f(x)在（0, a ]上是减函数；
当 a<x1<x2时，x1x2 a, f(x1)<f(x2 ) 所以f(x)在( a,+)上是增函数。
因为f(x)是一个奇函数，函数f(x)在 对称区间上具有相同的单调性 所以有 (2)当x<0时f(x)在[- a,0)上是减函数；
在(-,- a )上是增函数。 综上知:函数f(x)的单调递增区间为： (-,- a )，（ a , ) 单调递减区间为：[- a,0)，（0，a ]
变式训练：讨论函数f
(x)
ax
x2
(a 1
0)
在x (1,1)上的单调性。
解:设-1<x1<x2 1
则f(x1)-f(x2 )=
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x1x2 1)(x2 (x12 1)(x22
x1) 1)
x12 1 0, x22 1 0, x2 x1 0, a 0, x1x2 1 0
f(x1)-f(x2 )>0
所以f(x)在( 1,1)上是减函数。
例2：（1）函数y=-(x-3)|x|的单调递减区间 是___________________
（2）求函数 y log2 (4 3x x2 )
的单调区间
解：（1）图象法。答案：
（ ， 0],[ 3 , ) 2
（2）函数的定义域为：（ -∞,-1) ∪(4,+ ∞)
f
( x2 x1
•
x1)
f
(x1)
f
( x2 x1
)
f
(x1)
f
( x1 )
f
( x2 ) x1
因为
x2 x1
1,所以f
( x2 x1
)
0, 所以f
( x2 )
f
( x1 )
0.
故f (x)在定义域上是增函数。
(2)因为f (x) f (8x 4) f (8x2 4x)
2 f (2) f (2) f (4)
8x2 4x 4
所以x满足
x
0
, 解得x 1
8x 4 0
故实数x的取值范围是[1, )
例5.已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在[0,2]上 是单调减函数，试比较f(-1),f(0),f(2)的大小
解：令t=x-2,当x∈[0,2]时，t∈[-2,0] t=x-2在[0,2]上是增函数，f(x-2)在[0,2]上是 减函数，说明t∈[-2,0]时，f(t)单调递减 又因为y=f(x)是偶函数所以y=f(x)在[-2,0]上 是减函数，在[0,2]上是增函。 所以有：f(0)<f(1)<f(2),而f(1)=f(-1) 故：f(0)<f(-1)<f(2)
变式训练：若函数y=log2(x2-ax+3a)在 [2，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围。
解：由题意知函数u= x2-ax+3a在[2，+∞)上 是增函数，且u(2)>0
a 2
2
4 2a 3a 0
解得：a∈(-4,4]
例3：已知函数 f (x) | x 1| (x 3)
（1）求的f(x)的单调区间，并针对减区间给予证 明;
令u=4+3x-x2,y=log2u,
x对
3 2
u=4+3x-x2在（ -∞,-1)上单调递增，在 (4,+
∞)上单调递减，y=log2u在（0， ,+ ∞)上是 增函数.由复合函数的单调性知： 函数 y log2(4 3x x2) 的单调递增区间为： （ -∞,-1) ，单调递减区间为： (4,+ ∞)
另外,在函数的单调性定义中的x1,x2满足:一是属于一个单 调区间;二是任意性;三是有大小,即x1<x2(或x1>x2).由于 区间端点不具有单调性,因此写单调区间时,可以写成包含
端点的闭区间,也可以写成不包含端点的开区间.
2.函数单调性定义的等价形式
(1)对于任意x1,x2∈[a,b], 在[a,b]是增(减)函数.
（2）求f(x)在[-3,0]上的最值
解：(1)由图象知（图略）： f(x)的单调递增区间为：(-∞,-1],[1,+∞) 单调递减区间为(-1,1) x∈ (-1,1)时，f(x)=-x2-2x+3,(单调性证明略) (2)由(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增，在(-1,0]上 单调递减。f(-3)=0,f(-1)=4,f(0)=3 所以，f(x)在[-3,0]上的最大值为4，最小值为0.
例4.已知函数f(x)的定义域为（0，+∞），当x>1时， f(x)>0,且对于任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)
(1)证明：函数f(x)在定义域上是增函数
（2）如果f(2)=1且f(x)+f(8x-4) ≥2,求x的取值范围
（1）证明：设0 x1 x2