2014届高考数学一轮必备考情分析学案：5.1《平面向量的概念及线性运算》
答案：D 1 解析：∵a＝e1＋λe2 与 b＝－3e2－e1 共线，∴存在实数 t，使得 b＝ta，即－ 1 1 1 1 3e2－e1＝t(e1＋λe2)，－3e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－3，即 λ＝3，故选
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D. 2. 给出下列命题： → 的长度与向量BA → 的长度相等； ①向量AB ②两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点 必相同； ④两个有公共终点的向量一定是共线向量． 其中不正确命题的个数为( A. 1 C. 3 答案：A → 与CA → 有公共终点 A，但不 是共线向量，故 解析：对于④，在△ABC 中，BA ④错．①②③正确，故选 A. → ＋CD → ＝0，(AB → －AD → )· → ＝0，则该四边形一定是 3.若四边形 ABCD 满足AB AC ( ) A. 直角梯形 C. 矩形 答案：B → ＋CD → ＝0 知，AB → ＝DC →， 解析：由AB 即 AB＝CD，AB∥CD.∴四边形 ABCD 是平行四边形． → －AD → )· → ＝0，∴DB →· → ＝0，即 AC⊥BD， 又(AB AC AC 因此四边形 ABCD 是菱形，故选 B. → ＋BA → ＝2BM → ，则( 4.设 M 是△ABC 所在平面内的一点，BC → ＋MB → ＝0 A. MA → ＋MC → ＝0 C. MB → ＋MA → ＝0 B. MC → ＋MB → ＋MC → ＝0 D. MA ) B. 菱形 D. 正方形 ) B. 2 D. 4
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→ ＝λa＋b，AC → ＝a＋μb(λ，μ∈R)及 A， B，C 三点共线得：AB → ＝t AC →， 解析 由AB λ＝t， 所以 λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得 所以 λμ＝1.故选 D. 1＝tμ， 答案 D
巩固提高
一、选择题 1 1. 设 e1，e2 是两个不共线的向量，且 a＝e1＋λe2 与 b＝－3e2－e1 共线，则实 数 λ＝( A. －1 C. － 1 3 ) B. 3 D. 1 3
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答案 A 题型三 共线向量定理及其应用 【例 3】设向量 e1，e2 不共线， AB ＝3(e1＋e2)， CB ＝e2－e1， CD ＝2e1＋e2， 给出下列结论：①A、B、C 共线；②A、B、D 共线；③B、C、D 共线；④A、 C、D 共线，其中所有正确结论的序号为________． 解析： AC ＝ AB － CB ＝4e1＋2e2， BD ＝ CD － CB ＝3e1，由向量共线的 充要条件 b＝λa(a≠0)可得 A、C、D 共线，而其他 λ 无解． 答案：④ → ＝λa＋b，AC → ＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么 【变式 3】已知 a，b 是不共线的向量，AB A，B，C 三点共线的充要条件是( A．λ＋μ＝2 C．λμ＝－1 B．λ－μ＝1 D．λμ＝1→ ＝2BM →， 解析：∵BC → －MB → ＋MA → －MB → ＝2BM →， ∴MC → ＋MC → ＝2BM → ＋2MB → ＝0. 即MA
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→ ，OB → ，且 2OP → ＝xOA → ＋yOB → ，若PA → ＝λAB → (λ∈R)，则点 5.非零不共线向量OA Q(x，y)的轨迹方程是( A. x＋y－2＝0 C. x＋2y－2＝0 答案：A → ＝λAB → 得OA → －OP → ＝λ(OB → －OA →) 解析：PA → ＝(1＋λ)OA → －λOB → 即OP → ＝xOA → ＋yOB → 又 2OP x＝2＋2λ ∴ y＝－2λ 消去 λ，得 x＋y＝2，故选 A. → → ＋2OC → ＝3OB → ，则|BC|的值为 6.已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若OA →| |AB ( ) 1 A. 2 1 C. 4 答案：A → ＋2OC → ＝3OB →， 解析：∵OA 1 B. 3 1 D. 6 ) B. 2x＋y－1＝0 D. 2x＋y－2＝0
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＝|λ||a|， (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反； 当λ＝0 时，λa＝0，注意：λa≠ 0 . 运算律： ＝ a ＋
b
(μ a )＝（ μ） a ．
( ＋μ)
a ＝ a ＋μ a
)
【例 2】2．设 P 是△ABC 所在平面内的一点， BC ＋ BA ＝2 BP ，则(
A． PA ＋ PB ＝0 C． PB ＋ PC ＝0 B． PC ＋ PA ＝0 D． PA ＋ PB ＋ PC ＝0
解析：如图，根据向量加法的几何意义 BC ＋ BA ＝2 BP ⇔P 是 AC 的中点，故 PA ＋ PC ＝0. 答案：B
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5.1 平面向量的概念及其线性运算
考情分析
平面向量的线性运算，共线问题独立命题较少，多与平面向量基本定理、坐标运 算及数量积应用相结合，属中低档题，题型多为选择题、填空题。
基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量．注意向量和数量的区别，向 量常用有向线段来表示． (2)零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，零向量的方向是任意的. (3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB 共线的单位向量 是±
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量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与 b 不共 线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C. 答案 C 【变式 1】 给出下列命题： → ＝DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的 ①若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB 充要条件； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ④若 a 与 b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析 ①②正确，③④错误． 答案 ①② 题型二 平面向量的线性运算
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A．a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量 是自由向量， 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边 形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关， 所以 D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆 否命题来入手 考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向
→ ＝c，AC → ＝b，若点 D 满足BD → ＝2DC → ，则AD →＝ 【变式 2】 在△ABC 中，AB ( 2 1 A.3b＋3c 2 1 C.3b－3c 5 2 B.3c－3b 1 2 D.3b＋3c )．
→ ＝2DC → ，∴AD → －AB → ＝2(AC → －AD → )， 解析 ∵BD → ＝2AC → ＋AB → ∴3AD → ＝2AC → ＋1AB → ＝2b＋1c. ∴AD 3 3 3 3
(a ＋b)
5．向量平行(共线)的充要条件： a∥b⇔a＝λb(b≠0). 6．向量垂直的充要条件： a⊥b⇔ |a＋b|＝|a－b|。 7．向量中的一些常用的结论 (1)一个封闭图形 首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用． (2)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别地，当 a、b 同向时|a＋b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝ |a－b|；当 a、b 反向时|a－b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a＋b| ；当 a、b 不共线⇔||a|－ |b||<|a±b|<|a|＋|b|(这些和实数比较 类似)．
AB )． | AB |
(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． (5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零的向量，向量 a, b 叫做平行 向量，记作： a // b ，规定零向量和任何向量平行． 注意：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量 平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两 条 直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性；④三点 A、B、C 共线 ⇔ AB, AC 共线． (6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量．a 的相反向量是－a. 2．向量的表示方法 (1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后． (2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c 等． 3．向量的线性运算 （1）向量的加法：求两个向量的和的运算，叫向量的加法． 向量加法满足交换律 a＋b＝b＋a、结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则(即首尾相接，连首尾)． (2)向量的减法：与向量 a 方向相反且等长的向量，叫做 a 的相反向量，记为－a， a＋(－a)＝0；向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做向量的减法，即向量 a 减去 向量 b.向量减法可以使用三角形法则， 即“共起点， 连终点 ， 方向指向被减向量”． 4．实数与向量的积 实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|
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注意事项
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向 量终点的向量． 2.(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则 λ 可能不存在，也可能有无数 个． ( 2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量 平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 题型一 平面向量的概念 【例 1】下列命题中正确的是( )．
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
高三数学一轮复习精品学案5：§5.1平面向量的概念及线性运算
§5.1平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．(2)零向量：的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向的非零向量．平行向量又叫．规定：0与任一向量．(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：长度且方向的向量．2．向量的线性运算3．共线向量定理向量ɑ(ɑ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 学情自测1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若ɑ∥b ，b ∥c ，则ɑ∥c .( )(3)ɑ∥b 是ɑ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )2．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A.－BC →＋12BA → B.－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →4．如下图，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，AB ，AC 的中点，则下列说法正确的是( )A.AE →＝AF →B.EF →＝CD →C.EF →＝BD →D.DB →＝DC →5．设向量ɑ，b 不平行，向量λɑ＋b 与ɑ＋2b 平行，则实数λ＝________． 方法总结一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．三个结论1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心．三个防范1．向量共线的充要条件中要注意“ɑ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点．3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 课堂训练一、选择题1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．两个孤立点D ．一个圆2．设ɑ、b 都是非零向量，下列四个条件中，使ɑ|ɑ|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．ɑ＝－bB ．ɑ∥bC ．ɑ＝2bD ．ɑ∥b 且|ɑ|＝|b |3．如下图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27 C.25 D.234．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.P A →＋PB →＝0B.PB →＋PC →＝0C.PC →＋P A →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝05．设ɑ是已知的平面向量且ɑ≠0.关于向量ɑ的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使ɑ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使ɑ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使ɑ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使ɑ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) 二、填空题6．在▱ABCD 中，AB →＝ɑ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用ɑ，b 表示)．7．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．8．设ɑ，b 是两个不共线向量，AB →＝2ɑ＋pb ，BC →＝ɑ＋b ，CD →＝ɑ－2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．三、解答题9．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－ke 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．10．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝ɑ，AC →＝b .(1)用ɑ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →；(2)求证：B，E，F三点共线．——★参考答案★——基础梳理1．向量的有关概念(1)大小方向长度(或模)(2)长度为0(3)1个单位(4)相同或相反 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 3． b ＝λɑ 学情自测1． (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．A『解析』∵D 是△ABC 的边AB 上的中点， ∴CD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3．A『解析』由于D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CA →＋CB →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝12×2AD →＝AD →.4．C『解析』∵向量EF →与向量BD →方向相同，且模相等， ∴EF →＝BD →. 5．12『解析』∵λɑ＋b 与ɑ＋2b 平行，∴λɑ＋b ＝t (ɑ＋2b )，则λɑ＋b ＝tɑ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t.解得λ＝t ＝12.课堂训练一、选择题 1．D『解析』由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．2．C『解析』ɑ|ɑ|表示与ɑ同向的单位向量，b|b|表示与b 同向的单位向量，只要ɑ与b 同向，就有ɑ|ɑ|＝b|b|，观察选项易知C 满足题意．3．A『解析』∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，则AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，∵AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线可得，52λ＋2λ＝1，解得λ＝29.4．C『解析』由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边中点， 长度是AC 边中线长的2倍．结合已知条件可知P 为AC 边中点，做P A →＋PC →＝0. 5．B『解析』显然命题①，②正确．对于③，给定向量b ，则λb 可以确定方向， 不妨设如图所示，作AB →⊥λb ，B 为垂足．当正数μ＜|AB |＝|ɑ|sin 〈ɑ，b 〉时， 不存在单位向量c ，使ɑ＝λb ＋μc ，因此③错．对于④，根据向量的三角形法则， 必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|ɑ|.若λ＝μ＝1，|ɑ|＞2时，与|ɑ|＝|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2矛盾， 则④不正确．二、填空题 6．－14ɑ＋14b『解析』由AN →＝3NC →，得4AN →＝3AC →＝3(ɑ＋b )，AM →＝ɑ＋12b ，所以MN →＝34(ɑ＋b )－⎝⎛⎭⎫ɑ＋12b ＝－14ɑ＋14b .7．12，－16『解析』∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.8．－1『解析』∵BD →＝BC →＋CD →＝2ɑ－b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.三、解答题9． (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． 解：(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 则3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)＝2λe 1－λke 2，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.10．(1)解：延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝ɑ＋b ，AD →＝12AG →＝12(ɑ＋b )，AE →＝23AD →＝13(ɑ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ， BE →＝AE →－AB →＝13(ɑ＋b )－ɑ＝13(b －2ɑ)，BF →＝AF →－AB →＝12b －ɑ＝12(b －2ɑ)．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。
高考数学一轮复习 5.1 平面向量的概念及线性运算课件 文
加法
求两个向量 和的运算
(1)交换律:
a+b= b+a (2)结合律: (a+b)+c=
a+(b+c)
减法
求a与b的 相反向量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差
a-b=a+(-b)
-6-
知识梳理 考点自测
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运 算 律
(1)|λa|= |λ||a| ;
数乘
求实数 λ 与 向量 a 的积 的运算
考点一
考点二
考点三
-21-
对点训练 2(1)在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且
考点一
考点二
考点三
-16-
对点训练1(1)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③若λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a 与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假
考点一
考点二
考点三
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思考学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识? 解题心得对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母 表示,也可以用坐标表示. (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是 平行向量,而平行向量未必是相等向量. (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只 有相等与不相等,不可以比较大小.
高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计
5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算
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第1讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD→＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
高三数学一轮复习 5.1 平面向量的概念及线性运算
上. ( × ) (5)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( ×)
-11-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
2.如图,在△ABC 中,BE 是边 AC 的中线,O 是 BE 边的中点.若
������������=a,������������=b,则������������=( )
(4)(������������ + ������������)·������������=(������������ + ������������)·������������=(������������ + ������������)·������������=0⇔|������������|
=|������������|=|������������|⇔������������2 = ������������2 = ������������2⇔O 为△ABC 的外心.
名称 相等 向量 相反 向量
定义
备注
同向且等长
的有向线段表示同一向
量,或相等的向量
如������������ =a
与向量 a 反向 反向量
且等长的向量,叫做 a 的相 记作-a
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
2.向量的线性运算 向量运算 定 义
法则(或几何意义) 运 算 律
(1)交换律:a+b
A.12a+12b C.14a+12b
B.12a+14b D.14a+14b
在△ABC
中,BE
是边
AC
2014高考数学(理)一轮复习配套学案课件 第4编 学案1 平面向量的基本概念及线性运算
考点突破
考纲解读
真题再现
考向预测
误区警示
考点 一
考点 二
考点 三
课前热身
规律探究
即时巩固
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2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义5.1平面向量的概念及其线性运算
第1讲平面向量的概念及其线性运算【2014年高考会这样考】1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．对应学生70考点梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法与减法平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【助学·微博】 一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 一个结论在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD→＝12(AB →＋AC →)． 一个区别向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．考点自测1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )． A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析 因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C 正确． 答案 C2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )． A ．共线 B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线解析 当n ＝0时，k 与m 不共线，故选D. 答案 D3．(2012·全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )． A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b解析 由题可知|AB |2＝22＋12＝5，因为AC 2＝AD ·AB ，所以AD ＝AC 2AB ＝455，∴AD→＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b . 答案 D4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC→＋12BA → B ．－BC →－12BA → C.BC→－12BA → D.BC →＋12BA →解析 如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12. 答案 －12对应学生71考向一 平面向量的有关概念【例1】►给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ] ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案 ②③准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．【训练1】 给出下列四个命题：①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中所有正确命题的序号是________．解析 由于零向量与任一向量都共线，命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确．综上所述，正确命题的序号是③.答案 ③ 考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，在梯形ABCD 中，|AB→|＝2|DC →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．若AB →＝e 1，AD →＝e 2，用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →. [审题视点] 结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算． 解 DC→＝12AB →＝e 12； BC→＝BA →＋AC →＝－AB →＋AC →＝AD →＋DC →－AB →＝AD →－12AB →＝e 2－12e 1；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14AB →－AD →＋12AB → ＝14AB →－AD →＝14e 1－e 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或平行四边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【训练2】在△ABC 中，AD→＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解⎩⎨⎧DE→∥BC →，AD →＝23AB→⇒AE→＝23AC →＝23b ， BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE→＝23BC →＝23(b －a )．又AM 是△ABC 的边BC 上的中线，DE ∥BC ， ∴DN→＝12DE →＝13(b －a )．AM→＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．由⎩⎪⎨⎪⎧△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →⇒AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．考向三 共线向量定理的应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC→＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC→＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .又a 与b 为不共线的非零向量 ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．对应学生72方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．【真题探究】►(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[教你审题] 思路1 根据选项逐个进行排除．思路2 将模的运算转化为数量积的形式进行分析．[一般解法] (排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a ⊥b不成立；选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．综上，A，B，D都不正确，故选C.[优美解法] (数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．[答案] C[反思] 在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论．【试一试】 在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝( )． A.a ·(a －b )|a －b | B.a ·(b －a )|a －b |C.a ·(a －b )|a －b |2D.a ·(b －a )|a －b |2解析 由AD→＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|. 又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||b －a |＝a ·(a －b )|b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·(a －b )|b －a |2＝a ·(a －b )|a －b |2.故选C. 答案 C对应学生265A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD→.答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A. 答案 A4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD →|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4. 答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a－b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2.又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →，又因为AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC→＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM→＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量， 所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平 行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首 尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一 平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.