空间向量基本定理《知识讲解与解题策略》

2．证明线面平行，据题设选择平面内两个不共线向量(一 组基底)，该线所对应向量用平面内不共线向量(基向量)表示 成 a＝xb＋yc 形式，又线不在平面内，即证线面平行．
已知 a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，证明 这三个向量共面．
【解】 ∵a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j， 设 c＝ma＋nb，
－3＝m－n， ∴0＝m＋2n，
7＝－2m＋3n，
解得mn＝＝1－2 .
∴c＝－2a＋b，
即这三个向量共面．
空间向量分解定理的应用
如图 3－1－12 所示，空间四边形 OABC 中，G、 H 分别是△ABC、△OBC 的重心，设 OA＝a，O→B＝b，O→C＝ c，试用向量 a、b、c 表示向量G→H.
【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点，∴A→E＝12A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D＝12(C→D－C→B) ＝12(32C→G－32C→F)＝34(C→G－C→F)＝34F→G，
∴E→H∴∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|. 又 F 不在直线 EH 上，∴四边形 EFGH 是梯形．
这类问题的一般解决方法是： (1)选择几个空间封闭多边形． (2)空间封闭多边形选择原则． ①尽量含有多个基向量； ②这些多边形要有公共有向线段． (3)由多边形建立相应的向量等式． (4)解向量方程组化简即可．
已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，
M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 M 分P→C成定比 2，N 分P→D成 定比 1，求满足M→N＝xA→B＋yA→D＋zA→P的实数 x，y，z 的值．
【思路探究】 本题已知基底{a，b，c}，只要充分利用 重心的性质将G→H与基向量联系起来，重心的性质是将中线分 成 2∶1 两段，故A→G＝2G→D，O→H＝2H→D.
如图 3－1－12 所示，空间四边形 OABC 中，G、 H 分别是△ABC、△OBC 的重心，设 OA＝a，O→B＝b，O→C＝ c，试用向量 a、b、c 表示向量G→H.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性 表达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
共线向量的判定 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间 四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB， CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是 梯形．
空间向量分解定理 【问题导思】 1．如图 3－1－10 所示平行六面体中，若A→B＝a，A→D＝b， A→A1＝c，能否用 a，b，c 表示向量A→C1？
【提示】 A→C1＝a＋b＋c.
2．在图中任找一向量 p，是否都能用 a，b，图c 来【3－表提1示示－？】10 是． 存在有 如序 果实 三数 个组 向量 {x，a，y，b，z}，c 不使共得面p，＝那么x对a＋空y间b＋任zc一向量. p，
共线向量定理 【问题导思】 在共线向量定理中，为何要求 b≠0? 【提示】 当 b＝0 时，若 a≠0，仍有 a∥b，但此时不 存在实数 x 使 a＝xb.
对于空间两个向量 a、b(b≠0)，则 a∥b 的充要条件是存
在唯一的实数 x 使 a＝xb .
共面向量定理
如果两个向量 a、b 不共线，则向量 c 与 a、b 共面的充 要条件是存在唯一的一对实数 x、y 使 c＝xa＋yb .
【思路探究】 证明向量共面只需证明M→A，M→B，M→C之
中的一个能用其它两个向量表示即可．
【自主解答】 (1)∵O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C，∴O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，
→→ →→ →→ →→→ →→ ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，
→→→
∴向量MA， MB， MC共ห้องสมุดไป่ตู้．
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，∴M、A、B、C 四点共面，∴M 在面 ABC 内．
1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在 有序实数对(x，y)，使M→P＝xM→A＋yM→B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足 这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明图？3－1－11 (2)|E→H|与|F→G|相等吗？
如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间 四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB， CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是 梯形．
【自主解答】 由题意知G→H＝O→H－O→G.
∵O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)．
O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→D ＝O→A＋23(O→D－O→A)＝13O→A＋23×12(O→B＋O→C) ＝13a＋13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13a－13(b＋c)＝－13a， 即G→H＝－13a.
设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝ e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若 A、B、D 三点共线，求 k 的值．
【解】 A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝2e1＋ke2－e1－3e2＋2e1－e2＝3e1＋(k－4)e2， 又∵A、B、D 三点共线，∴A→D＝λA→B＝λ(2e1＋ke2)
3＝2λ
∵e1、e2
不共线，∴ k－4＝λk
，∴λ＝32 k＝－8
，∴k＝－8.
共面向量的判定
已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任
一点 O，若点 M 满足O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C，判断(1)M→A，M→B， M→C三个向量是否共面；(2)点 M 是否在平面 ABC 内．