茂名市五校联盟2021届高三第一次联考数学试题(含答案)
2021届广东省茂名市高三五大联盟学校9月份联考试卷(文数)(版)
2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月份联考试卷（文数）（版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{(,)|31}M x y y x ==+，{(,)|5}N x y y x ==，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知,a b ∈R ，i 为虚数单位，()()2137a i i bi +++=-+，则a b -=( ) A ．8-B ．0C ．7-D ．13．已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．1-B ．0C ．2-D ．324．已知0.34a =，138b =，2log 0.3c =，这三个数的大小关系为( ) A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，已知b =c 4=，3cosB 4=，则a 等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．56．设,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =-的最大值为( )A ．3B ．5-C ．1D ．1-7．已知函数()cos()1f x A x ωϕ=++（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的最大值为3，()y f x =的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与y 轴的交点的纵坐标为1，则1()3f =（ ） A ．1B ．-1CD ．08．执行如右图所示的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为( )A ．80B ．84C ．88D ．929．在正三棱锥S −ABC 中，SA =2√7，AB =6，则该三棱锥外接球的直径为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 10．函数()2ln xf x x=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴上、下端点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，若AF BC ⊥，则该双曲线的离心率为( )A ．12B C D12．已知函数()1ln sin 2f x x x a x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数()32log ,04,0a x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，若()()12f f -=，则a =__________． 14．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．15．若函数()()()xf x x m em R =+∈的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为2e ，则函数()f x 的极小值是__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，它的图象关于点()1,0对称，当1x ≤时，()2x f x xe -=(e 为自然对数的底数)，则()23ln 2f +的值为__________．三、解答题17．已知集合{}2331A x a x a =-<<+，集合{}54B x x =-<<. (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A B =？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数()cos 4f x ax x b π=-+的图象在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为324y x π=+. (1)求,a b 的值； (2)求函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 19．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ADFE 是正方形，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ，1AB CD AD ===，2BC =，G 为BC 中点，平面ADFE ⊥平面ADCB .(1)证明：AC BE ⊥； (2)求三棱锥A GFC -的体积. 20．已知函数()32264a a f x x x ax =---的图象过点104,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()23g x f x m =-+有3个零点，求m 的取值范围. 21．已知函数()()21xf x x ax a e-=-+⋅.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若函数()f x 在2x =处取得极小值，设此时函数()f x 的极大值为()g a ，证明：()2eg a <.22．已知直线l的参数方程为3x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ+--=.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程(化为标准方程)； (2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求OA OB -. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数1()1f x x a x a =-+++（1a >-）. （1）证明：()1f x ≥；（2）若(1)2f <，求a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】联立方程组315y x y x =+⎧⎨=⎩，解得1252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15(,)22M N ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，故选B.2．A 【解析】由,a b R ∈，i 为虚数单位，()()2137a i i bi +++=-+，得：2a 14i 7bi ++=-+∴2174a b +=-⎧⎨=⎩即44a b =-⎧⎨=⎩，∴8a b -=-故选：A点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈ 3．B 【解析】 由题设1313aa =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值12202g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，应选答案B ． 点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性.研究函数单调性的一般方法： （1）直接利用基本初等函数的单调性； （2）利用定义判断函数单调性； （3）求导得函数单调性. 4．C【解析】因为10.30.63200.31l 0.30,? 1?422?8c og a b <<⇒=<<==<==，所以c a b <<，应选答案C ． 5．B 【解析】 【分析】利用余弦定理列方程求出a 的值． 【详解】由余弦定理得27a 166a =+-，即()22a 6a 90a 30-+=⇒-=，所以a 3=， 故选：B. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，属于基础题． 6．A 【详解】画出不等式组01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域如图，则问题转化为求动直线1133y x z =-在y 上的截距13z -的最小值的问题，结合图形可知：当动直线1133y x z =-经过点(3,0)A 时，max 3303z =-⨯=，应选答案A ．7．D 【解析】1f x Acos x ωϕ=++（）（） 000A ωϕπ（＞，＞，＜＜），()f x 的最大值为3,13A ∴+=， ，2A ∴=；根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即242ππωω=∴=，，再根据f x （） 的图象与y 轴的交点纵坐标为1，可得211,cos ϕ+=0cos ϕ∴=， 2πϕ∴=，故函数的解析式为 212sin 1222f x cos x x πππ=++=-+（）（） ，1112sin()10332f π⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故选D.8．A【解析】由题设可知当32n =时， 32,24,322456S n S ===+=，程序运算继续执行16561672n S =⇒=+=，程序运算继续执行872880n S =⇒=+=，程序运算继续执行080080n S =⇒=+=，故此时运算程序结束，输出80S =，应选答案A 。
2021届广东省茂名市高三第一次综合测试数学(理)试题(原卷版)参照模板
2020年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(理科)2020.1一、选择题：1.已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}2|230B x x x =--<，则AB =( )A. ()2,1-B. ()1,3-C. {}1,0-D. {}0,1,22.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知5316S a =+，11a =，则26a a +=( ) A. 10B. 11C. 12D. 134.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.( )A. B. C. D.5.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，37S =，则35a a ⋅=( ) A. 64B. 729C. 64或729D. 64或2436.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )(精确到0.01).(参考数据sin150.2588︒≈) A. 3.14B. 3.11C. 3.10D. 3.057.已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.3C.5D. 28.前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法. A. 120B. 96C. 48D. 609.设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++(0>ω，||2πϕ≤)的最小正周期为π，且过点()0,2，则下列正确的为( ) ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ②()f x 的一条对称轴为2x π=.③()fx 的周期为2π. ④把函数()f x 的图像向左平移6π个长度单位得到函数()g x 的解析式为()2cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④10.下列函数图象中，函数()()||x f x x e Z αα=∈的图象不可能的是( )A. B.百度文库精品文档C .D.11.已知()2,0A -，()2,0B及抛物线方程为()281x y =-，点P 在抛物线上，则使得ABP ∆为直角三角形的点P 个数为( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.已知函数()21,1ln ,1ax ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a的取值范围是( )A. (),0-∞B. (),e +∞C. ()4,+∞D. ()24,e二、填空题：13.已知实数x ，y 满足5210220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最小值为______.14.在ABC ∆中，60B C ==∠∠，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则AM BC =______. 15.点P 为曲线()22ln 41y x x =++14x ⎛⎫>-⎪⎝⎭图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为______.16.如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于______.三、解答题：17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin b B a A B c C +-=. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求sin sin A B +的取值范围.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，222AB DC ==，14AA =.(Ⅰ)求证：1//BC 平面1A CD ；(Ⅱ)求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳 绳个数 [)165,175[)175,185[)185,195[)195,205[)205,215得分 1617181920(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布()2,N μσ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差277.8S ≈(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.(结果四舍五入到整数) (ⅱ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，9σ=≈，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=20.设函数()xf x e mx n =-+，曲线()y f x =在点()()ln 2,ln 2f 处的切线方程为2ln 20x y --=.(Ⅰ)求m ，n 的值；(Ⅱ)当0x >时，若k 为整数，且()()11x k x f x x +>-++⎡⎤⎣⎦，求k 的最大值.21.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且12DM DP =，点M 的轨迹为曲线1C . (1)求曲线1C 的方程； (2)过抛物线2C ：28y x=焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交曲线1C 于另一点C ，求ABC ∆面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程.22.设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点. (Ⅰ)写出1C 参数方程和2C 普通方程； (Ⅱ)求AB 最大值和最小值.23.已知函数()()22f x x a a R =-∈，对R x ∀∈，()f x 满足()()2f x f x =-. (Ⅰ)求a 的值；百度文库精品文档(Ⅱ)若R x ∃∈，使不等式()()2122f x f x m m -+≥+，求实数m 的取值范围.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2021年广东省茂名市高考数学一模试卷理科及答案
2021年广东省茂名市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．〔5分〕复数z满足〔z﹣i〕i=2+i，i是虚数单位，那么|z|=〔〕A．B．C．D．33．〔5分〕变量x，y满足约束条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．﹣14．〔5分〕设X～N〔1，1〕，其正态分布密度曲线如下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是〔〕〔注：假设X～N〔μ，σ2〕，那么P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，P〔μ﹣2σ＜X＜μ+2σ〕=95.44%〕A．.7539B．6038C．7028D．65875．〔5分〕数学文化?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一〞，其意大致为：有一栋七层浮屠，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，那么该塔中间一层有〔〕盏灯．A．24B．48C．12D．606．〔5分〕甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，获得面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．假设这三人中仅有一人说法错误，那么以下结论正确的选项是〔〕A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．〔5分〕函数的局部图象大致为〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕执行如下图的轨范框图，那么输出的S值是〔〕A．B．﹣1C．2021D．29．〔5分〕设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，假设△PF1F2的面积是1，且a+b=3，那么双曲线的离心率为〔〕A．.2B．C．D．10．〔5分〕△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，假设2sin〔﹣〕=1，且a=2，那么△ABC的面积的最大值为〔〕A．B．C．D．211．〔5分〕三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕定义在R上的奇函数f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，假设函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔e，e3〕C．〔e，e2〕D．〔1，e3〕二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，13．〔5分〕，假设，那么λ=．14．〔5分〕在〔1﹣x〕2〔1﹣〕4的展开式中，x2的系数是．15．〔5分〕函数f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx〔ω＞0〕在区间上是增函数，且在区间[0，x]上刚好取得一次最大值，那么ω的取值范围是_．16．〔5分〕从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，假设直线AB的倾斜角为，那么P点的横坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔12分〕设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，假设T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．〔I〕求证：平面EAC⊥平面PCD；〔II〕求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．〔12分〕交强险是车主必需为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为a元，鄙人一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通变乱的情况相联系，发生交通变乱的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔I〕按照我国?机动车交通变乱责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，a=950〔元〕，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；〔II〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为变乱车，假设购进一辆变乱车亏损5000元，一辆非变乱车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆变乱车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．20．〔12分〕椭圆C1：〔〔a＞b＞0〕〕的一个焦点为F1，且经过点P．〔I〕求椭圆C1的标准方程；〔II〕椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍〔λ＞1〕，过点C〔﹣1，0〕的直线l与椭圆C2交于A，B两个分歧的点，假设，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．21．〔12分〕函数〔a∈R〕．〔I〕讨论g〔x〕的单调性；〔II〕当时，函数在其定义域内有两个分歧的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，假设m≥1，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选标题问题对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为〔t为参数〕，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．〔I〕假设直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；〔II〕设M〔x，y〕为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅰ〕设函数f〔x〕的最大值为M，假设不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2021年广东省茂名市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B={0，1，2}．应选：C．2．〔5分〕复数z满足〔z﹣i〕i=2+i，i是虚数单位，那么|z|=〔〕A．B．C．D．3【解答】解：由〔z﹣i〕i=2+i，得z﹣i=，∴z=1﹣i，那么|z|=．应选：A．3．〔5分〕变量x，y满足约束条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A〔1，2〕，此时z max=3×3+2=11，应选：B．4．〔5分〕设X～N〔1，1〕，其正态分布密度曲线如下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是〔〕〔注：假设X～N〔μ，σ2〕，那么P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，P〔μ﹣2σ＜X＜μ+2σ〕=95.44%〕A．.7539B．6038C．7028D．6587【解答】解：∵X～N〔1，1〕，∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，∴那么P〔0＜X＜2〕=68.26%，那么P〔1＜X＜2〕=34.13%，∴暗影局部的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是6587．应选：D5．〔5分〕数学文化?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一〞，其意大致为：有一栋七层浮屠，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，那么该塔中间一层有〔〕盏灯．A．24B．48C．12D．60【解答】解：按照题意，设最底一层有a盏灯，那么由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7==381，解可得a=192，那么a4=a×〔〕3=24，即该塔中间一层有24盏灯；应选：A．6．〔5分〕甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，获得面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．假设这三人中仅有一人说法错误，那么以下结论正确的选项是〔〕A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，那么乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，那么丙说的是真话，假设乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；假设乙被录用，那么甲和乙的说法都错误，不成立．应选：C．7．〔5分〕函数的局部图象大致为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，可得f〔x〕为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间〔1，+∞〕上f〔x〕单调递增，排除D，应选C．8．〔5分〕执行如下图的轨范框图，那么输出的S值是〔〕A．B．﹣1C．2021D．2【解答】解：依题意，执行如下图的轨范框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2021时，S2021=S1=，k=2021，退出循环．输出S=．应选：A．9．〔5分〕设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，假设△PF1F2的面积是1，且a+b=3，那么双曲线的离心率为〔〕A．.2B．C．D．【解答】解：方式一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，那么mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，按照勾股定理得m2+n2=4c2∴〔m﹣n〕2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得〔m﹣n〕2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，那么b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，应选C．方式二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，那么∠F1PF2=90°，那么△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，应选C．10．〔5分〕△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，假设2sin〔﹣〕=1，且a=2，那么△ABC的面积的最大值为〔〕A．B．C．D．2【解答】解：∵2sin〔﹣〕=1，A∈〔0，π〕，∴∈，∴=，∴．又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．按照根本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．当且仅当b=c时，等号成立．△ABC面积S=bcsinA≤=〔当且仅当b=c时，等号成立〕∴△ABC的面积的最大值．应选：B．11．〔5分〕三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B．C．D．【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，那么截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，那么截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，那么球的半径R为，所以球的体积为=4．应选：A．12．〔5分〕定义在R上的奇函数f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，假设函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔e，e3〕C．〔e，e2〕D．〔1，e3〕【解答】解：∵f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕且为奇函数，函数f〔x〕=f 〔2﹣x〕=﹣f〔﹣x〕∵f〔﹣x〕=f〔2+x〕⇒f〔x+4〕=f〔x〕∴f〔x〕周期为4，∵当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，按照m〔x〕=|f〔x〕|与n〔x〕=ae﹣|x|图象，函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，即m〔x〕=|f〔x〕|与n〔x〕=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，∴即e＜a＜e3．应选：B二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，13．〔5分〕，假设，那么λ=．【解答】解：∵，，∴=﹣1+2λ=0，解得λ=．故答案为：．14．〔5分〕在〔1﹣x〕2〔1﹣〕4的展开式中，x2的系数是﹣10．【解答】解：〔1﹣x〕2〔1﹣〕4=〔1﹣2x+x2〕〔1﹣4+﹣+x2〕∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．故答案为：﹣10．15．〔5分〕函数f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx〔ω＞0〕在区间上是增函数，且在区间[0，x]上刚好取得一次最大值，那么ω的取值范围是_．【解答】解：f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx=4sinωx﹣﹣2sin2ωx=2sinωx〔1+sinωx〕﹣2sin2ωx=2sinωx，即：f〔x〕=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵ω＞0，∴，又函数在区间[0，π]上刚好取得一次最大值，按照正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得．故答案是：．16．〔5分〕从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，假设直线AB的倾斜角为，那么P点的横坐标为．【解答】解：如图，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，P〔x0，﹣1〕，那么，又∵，，∴，那么．由x2=4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1=〔x﹣x1〕，切线PB的方程为y﹣y2=〔x﹣x2〕，即切线PA的方程为y﹣=〔x﹣x1〕，即；切线PB的方程为y﹣=〔x﹣x2〕，即．∵点P〔x0，﹣1〕在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=2x0，得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔12分〕设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，假设T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：〔I〕设等比数列{a n}的公比为q〔q＞0〕，由题意，得…〔2分〕解得…〔3分〕所以…〔4分〕〔II〕由〔I〕得，…〔5分〕．…〔6分〕∴，…〔8分〕∴，…〔10分〕假设恒成立，那么恒成立，那么，所以…〔12分〕18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．〔I〕求证：平面EAC⊥平面PCD；〔II〕求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】证明：〔I〕∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2△ABC是等腰直角三角形，∴AC=，CD=，…〔2分〕∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…〔3分〕又∵PC∩CD=C，…〔4分〕∴AC⊥平面PCD，…〔5分〕∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．…〔6分〕解：〔II〕解法1：由〔1〕得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，作PH⊥EC，那么PH⊥平面EAC，…〔8分〕∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…〔9分〕在Rt△PAC中，PA=，在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…〔10分〕sin=，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…〔12分〕解法2：∵PC⊥底面ABCD，那么建立如下图的直角坐标系，…〔7分〕那么P〔0，0，2〕，，，，．…〔8分〕设平面EAC的法向量为=〔x，y，z〕，那么，即，…〔9分〕令z=1，解得…〔10分〕记直线PA与平面EAC所成角为θ，那么sinθ==，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…〔12分〕19．〔12分〕交强险是车主必需为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为a元，鄙人一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通变乱的情况相联系，发生交通变乱的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔I〕按照我国?机动车交通变乱责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，a=950〔元〕，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；〔II〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为变乱车，假设购进一辆变乱车亏损5000元，一辆非变乱车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆变乱车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．【解答】解：〔I〕由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…〔1分〕由统计数据可知：，，，，，．…〔4分〕∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a 1.3aP…〔5分〕∴…〔6分〕〔II〕①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为变乱车的概率为，…〔7分〕三辆车中至多有一辆变乱车的概率为…〔9分〕②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，P〔Y=﹣500〕=，P〔Y=10000〕=，∴Y的分布列为：Y﹣500010000P…〔10分〕…〔11分〕所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…〔12分〕20．〔12分〕椭圆C1：〔〔a＞b＞0〕〕的一个焦点为F1，且经过点P．〔I〕求椭圆C1的标准方程；〔II〕椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍〔λ＞1〕，过点C〔﹣1，0〕的直线l与椭圆C2交于A，B两个分歧的点，假设，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：〔1〕设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2为直角三角形，那么，∴，由椭圆的定义得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，∴椭圆C1的标准方程；〔2〕设椭圆C2的方程为，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．∵λ＞1，∴点C〔﹣1，0〕在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个分歧的交点．当直线l 垂直于x 轴时，〔不是零向量〕，不合条件；故设直线 l 方程为y=k 〔x +1〕〔A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0〕，由，得．∴，∵，而点C 〔﹣1，0〕，∴〔﹣1﹣x 1，﹣y 1〕=2〔x 2+1，y 2〕，即y 1=﹣2y 2，那么y 1+y 2=﹣y 2， ∴．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ===═×==．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值． ∴直线l 的方程为或．21．〔12分〕函数〔a ∈R 〕．〔I 〕讨论g 〔x 〕的单调性； 〔II 〕当时，函数在其定义域内有两个分歧的极值点，记作x 1，x 2，且x 1＜x 2，假设m ≥1，证明：．【解答】解：〔I〕〔a∈R〕，方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a，①当时，△≤0，g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕为增函数，②当时，△＞0，方程2x2+x﹣a=0的两根为，当时，x1＜x2≤0，g〔x〕在〔0，+∞〕为增函数，当a＞0时，x1＜0＜x2，g〔x〕在〔x2，+∞〕为增函数，在〔0，x2]为减函数，综上所述：当a≤0时，g〔x〕的增区间为〔0，+∞〕，无减区间，当a＞0时，g〔x〕的增区间为〔x2，+∞〕，减区间〔0，x2]，〔II〕证明：f〔x〕=xlnx﹣x2﹣x+a，所以f'〔x〕=lnx﹣ax因为f〔x〕有两极值点x1，x2，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲证等价于要证：，即1+m＜lnx1+mlnx2，所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a〔x1+mx2〕，因为m≥1，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明：．又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得ln=a〔x1﹣x2〕，所以a=所以原式等价于要证明：，令t=，t∈〔0，1〕，上式等价于要证：，t∈〔0，1〕，令，所以，当m≥1时，h′〔t〕＞0，所以h〔t〕在〔0，1〕上单调递增，因此h〔t〕＜h〔1〕=0，所以在t∈〔0，1〕上恒成立，所以原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选标题问题对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为〔t为参数〕，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．〔I〕假设直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；〔II〕设M〔x，y〕为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，整理得：〔x﹣2〕2+y2=4∴曲线C是圆心为C〔2，0〕，半径为2的圆．∵直线l过点P〔﹣2，0〕，当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k〔x+2〕，即kx﹣y+2k=0直线l与圆有公共点，那么，解得：∵α∈[0，π]，∴α的取值范围是：[0，]．〔II〕曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，可化为：〔x﹣2〕2+y2=4．其参数方程为：〔θ为参数〕∵M〔x，y〕为曲线C上任意一点，∴=2+，由于：那么：所以：∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅰ〕设函数f〔x〕的最大值为M，假设不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕当x≥3时，f〔x〕=﹣8，此时f〔x〕≥2无解；…〔1分〕当﹣5＜x＜3时，f〔x〕=﹣2x﹣2，由f〔x〕≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…〔3分〕当x≤﹣5时，f〔x〕=8，此时f〔x〕≥2恒成立．…〔4分〕综上，不等式f〔x〕≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…〔5分〕〔Ⅰ〕由〔Ⅰ〕可知…〔6分〕易知函数f〔x〕的最大值M=8，…〔7分〕假设x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…〔8分〕即m≤[﹣〔x+1〕2+9]max=9．…〔9分〕因此，m的取值范围是m≤9．…〔10分〕。
导数中的参数问题(解析版)
【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
广东省茂名市2021届新高考一诊数学试题含解析
广东省茂名市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B【解析】【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断.【详解】 由于0.20110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<= 故b a c >>.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.2．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】 由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种. 如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B【点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.4．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ）A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =- 【答案】C【解析】【分析】由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =， 则()112AA AB AD +-+1122a b c =-++ 即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.6．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >， 则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++，当且仅当n m m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．7．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<< 【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.8．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A ．49B ．49-C ．43D ．43- 【答案】B【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+ 2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA = ∴()49PA PB PC ⋅+=-故选B ．【点睛】 判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．9．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】 设抛物线的解析式22(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-， ∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点，又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22y px =，解得2p =， 又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p p DP p =+-==， ∴11||||24422ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C.【点睛】 本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．10．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 【答案】C【解析】【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】 由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为2852c e a +===，故选C ． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．12．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省茂名市五校联盟高三级第一次联考数学参考答案
因为， AC PO O 且 AC 、 PO 平面 PAC ，
所以， BD 平面 PAC ， ……………………………3 分
因为， AH 平面 PAC ，所以， BD AH ，…………4 分
因为， BD / / 平面 AMHN ，
且平面 AMHN 平面 PBD MN ，
所以，BD / /MN ，
又 q 0 ，解得 q 2 ，………………………………………………………………………………3 分
所以 an 2n . …………………………………………………………………………………………4 分
选③：因为 an1 Sn 2 ，所以 a2 S1 2 4 ， ……………………………………………………1 分
6
62
6
11.ACD【解析】如图：双曲线 C 的焦距 2c= 2 13 ，|OM|=c= 13 ，则 P（0，b）， 由 EO EM EN 0 得点 E 是 OMN 的重心，可得| OE | 2 | OP | ， 3
即 a 2 b ，解得 a 2，b 3, e 13
3
2
从而得到 ACD 正确.
………………5 分
所以， MN AH ．
………………………………6 分
（2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，
因为 PA PC ，且 O 为 AC 的中点，
所以， PO AC ，所以， PO 平面 ABCD ,
所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为 PAO ，
所以 PAO 60 ， ………………………………7 分
所以 an 2n .
…………………………………………………………………………4 分
选②：因为 S1 ， S2 2 ， S3 成等差数列，
2021-2022学年广东省茂名市分界第一中学高三数学文联考试卷含解析
A. B. C. D.
参考答案：
C
由题知线段 是椭圆的通径，线段 与 轴的交点是椭圆的下焦点 ，且椭圆的 ，又 ， ，由椭圆定义知 ，故选C.
3.已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣ ），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（ ）
（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（I）直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程．由曲线C： + =1，利用平方关系可得可得C的参数方程．
（II）设点P ，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d= = ，利用余弦函数的单调性即可得出．
参考答案：
C
【知识点】函数与方程B9
由 ，设f(A)=2,则f(x)=A,则 ，则A=4或A= ，作出f(x)的图像，由数型结合，当A= 时3个根，A=4时有两个交点，所以 的根的个数是5个。
【思路点拨】根据函数的取值范围和数型结合求出图像交点个数即根的个数。
5.已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（ ）
∵△ABC的面积S=24，b=10，
∴24= bcsinA= ，
∴c=6，
∴a= =8．
故选：D．
7.设不等式组 表示的平面区域为D．若圆C： 不经过区域D上的点，则r的取值范围是
A． B．
C． D．
参考答案：
2021年广东省茂名市第一高级中学高三数学理联考试题含解析
2021年广东省茂名市第一高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3}B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}参考答案：D【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为?U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为?U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则?U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．2. 已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P =120°，则C的离心率为A.B．C．D．参考答案：D因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.3. 一组观察值为4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为（）Ａ．4.56 Ｂ．4.5 Ｃ．12.5 Ｄ．1.64参考答案：A4. 设，其中，则函数是偶函数的充分必要条件是（）A．B．C．D．参考答案：解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数是偶函数，则，，故排除A，B．又，，．选D．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取，验证．5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．B． C. D．D6. 若变量x，y满足条件，则的最大值为（）A． B．0 C．3 D．4参考答案：C7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移B. 向右平移C. 向左平移D.向左平移参考答案：D8. 已知向量=（1，﹣2），=（﹣3，5），若（2+）⊥，则的坐标可以是（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（4，﹣4）D．（4，4）参考答案：D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（2+）⊥，可得（2+）?=0，即x=y．即可得出．【解答】解：2+=（﹣1，1），设=（x，y），∵（2+）⊥，∴（2+）?=﹣x+y=0，即x=y．只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 当时，则下列大小关系正确的是A．B．C．D．10. 设集合A={}，集合B为函数的定义域，则A B=（）A．（1，2） B.[1，2] C. [ 1，2） D.（1，2 ]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为．参考答案：【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】先求函数f（x）=e x cosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为tanθ=1∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角θ为．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题．12. 已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.1013. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_________.参考答案：214. 已知，，，则a，b，c 的大小关系为▲．（用“<”连接）参考答案：c＜b ＜a∵a=21.2＞20=1，=20.8，由指数函数y=2x 是增函数，∴21.2＞20.8＞20=1，∴a＞b＞1．又＜=1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．15. 命题“，使得”的否定是▲．参考答案：，使得考点：命题否定16. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为▲.17. 在三角形ABC中，若tan A tan B=tan A+tan B+1，则cos C的值是___________;参考答案：在三角形ABC中，由题设得：，即所以，,而，所以,所以，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省茂名市2021届新高考数学一模考试卷含解析
广东省茂名市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13 B ．4C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒.又2245BF AF =，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．2．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【解析】【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．3．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．15B．13C．35D．23【答案】A【解析】【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C 【解析】 【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.【详解】在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.5．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种【答案】B 【解析】 【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 此时椭圆长轴长为2212665+=，短轴长为6，所以椭圆离心率26251565e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以250,e ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.7．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ） A ．2-或2 B ．-1或1 C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，()()2111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可【详解】∵1z ai =+，∴()()2111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题 8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．5B ．3C ．2D ．72【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出7c e a ==，故选D ． 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 10．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.11．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 12．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省茂名市“五校联盟”2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题及答案
广东省茂名市“五校联盟” 2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R2．命题“1x =且2y =”是命题“22245x y x y +=+-”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要 3．不等式2111x x +≥+的解集是（ ） A ．{|10}x x -≤≤B ．{|10}x x -≤<C ．{|1x x ≤-或0}x ≥D ．{|1x x <-或0}x ≥4．若sin cos 2αβ+=，则2cos sin αβ=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．2-5．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调递增函数的是（ ） A ．1y x=-B ．31y x =+C ．sin y x=D ．)lny x =6．某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宜传资金投入.若该政府2020年全年投人资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2020年的两倍）的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（ ） A ．2027年B ．2026年C ．2025年D ．2024年7．已知函数()e e x x f x -=-，记(sin 2)a f =，2(log 3)b f =，3(log 4)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．已知函数2,02()34,23x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，若存在实数1x ，2x （12x x <）满足12()()f x f x =，则21x x -的最小值为（ ）A ．712B ．2C ．23D ．1二、多选题9．甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A ．甲、乙都亏损 B ．甲盈利，乙亏损 C ．甲亏损，乙盈利 D ．甲、乙亏损的一样多10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．20a b +=B ．420a b c ++<C ．930a b c ++<D ．0abc <11．已知函数sin cos ()22x x f x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 不是周期函数B ．()f x 在(0，2π)上是单调递增函数 C ．()f x 在(0，π)内有且只有一个零点D ．()f x 关于点(4π，0)对称12．关于x 的函数,0()(1)6,0k x k x f x x f x k x ⎧+->⎪=⎨⎪-+-≤⎩有4个零点，则整数k 的可能取值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．9三、填空题13．已知lgsin lgcos lg 2x x -=，则lgsin lg cos x x +=____________.（可用对数符号作答）14．已知0a >，0b >，且142a b +=，则a b +的最小值为___________.15．已知()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()()()1232022f f f f ++++=____________.16．对于定义在I 上的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n I ⊆，同时满足下列两个条件：①()f x 在区间[,]m n 上是单调递增的；①当[,]x m n ∈时，函数的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是函数()y f x =的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）①1y x =+；①222y x x -=+；①22x y =-；①lg y x =. 四、解答题17．计算下列各式的值： (1)()2213540.0625sin 325π⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭；(2)2log 31)1log 1)4lg 0.01ln e +++. 18．已知角α的终边经过点432cos 34P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，试求： (1)tan α的值；(2)222sin 3sin cos cos αααα+-的值.19．已知函数()sin 23x f x m n π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0m >，n R ∈），若函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的最大值为3，最小值为2. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在[]0,2π上的单调递增区间；(3)是否存在正整数a ，b 满足不等式(0)103af bf π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，若存在，找出所有这样的a ，b 的值，若不存在，说明理由.20．某手机生产商计划在2022年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x （千部）手机，需另投人成本()R x 万元，且210100,025()90005104250,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.5万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本）(2)2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少? 21．已知函数()lg(2)lg(22)x x f x a -=-+-为偶函数. (1)求a 的值；(2)若2()23f x m m ≤--恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()245f x ax x =-+，()2log g x x =.(1)若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，则a 的取值范围；(2)在（1）的条件下，是否存在实数a ，使得函数()f x 与函数()g x 的图象在区间[]1,2上有唯一的交点，若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由.参考答案：1．B 【解析】 【分析】由集合的表示方法以及交集的概念求解. 【详解】由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，①{}|1x x A B =≥. 故选：B. 2．A 【解析】 【分析】将22245x y x y +=+-化为22(1)(2)0x y -+-=，求出x 、y 值，根据充要条件的定义即可得出结果. 【详解】由22245x y x y +=+-， 可得22(1)(2)0x y -+-=， 解得x =1且y =2，所以“x =1且y =2”是“22245x y x y +=+-”的充要条件. 故选：A. 3．D 【解析】 【分析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可； 【详解】 解：①2111x x +≥+，21101x x +-≥+，即01x x ≥+，等价于(1)0x x +≥且10x +≠，解得0x ≥或1x <-，①所求不等式的解集为{|1x x <-或0}x ≥，故选：D. 4．C【解析】 【分析】根据正弦、余弦函数的有界性及sin cos 2αβ+=，可得sin 1α=，cos 1β=，再根据同角三角函数的基本关系求出cos α，即可得解； 【详解】解：①sin 1α≤，cos 1β≤，又①sin cos 2αβ+=，①sin 1α=，cos 1β=，又①22sin cos 1αα+=，①cos 0α=，①2cos sin 0αβ=，故选：C 5．D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除A,B,C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确. 【详解】对A ，①1y x=-是奇函数，在(一∞，0)和(0，+∞)上是单调递增函数，在定义域上不是递增函数，可知A 错误；对B ，3+1y x =不是奇函数，可知B 错误； 对C ，sin y x =不是单调递增函数，可知C 错误；对D ，)ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0x ≥x 单调递增，由复合函数单调性可知)ln y x =在[)0,∞+上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 故选：D 6．B 【解析】 【分析】根据题意列出指数方程，取对数，根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行求解即可. 【详解】设第n (n ①N *)年该政府全年投入的资金翻一番，依题意得：120(1+12%)n －1=240，则 lg[120(1+12%)n -1]=lg240，①lg120+(n -1)lg1.12=lg240，①(n －1)lg1.12=lg2，①0.30170.05n =+=，即该政府全年投入的资金翻一番的年份是2026年， 故选：B. 7．C 【解析】 【分析】根据题意得()e e x x f x -=-在()-∞+∞，上单调递增，323sin 21log 4log 32<<<<，进而根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为函数定义域为()-∞+∞，， ()e e ()x x f x f x --=-=-，故函数()f x 为奇函数， 因为e x y =在()-∞+∞，上单调递增，e x y -=在()-∞+∞，上单调递减， 所以()e e x x f x -=-在()-∞+∞，上单调递增， 因为2233sin 21,2log 3log 93,22log 4log 163<=><=<， 所以323sin 21log 4log 32<<<<，所以a c b <<， 故选：C. 8．A 【解析】 【分析】令12()()f x f x ==t ，分别解得1x 243t x +=，得到21433t x x -=，根据参数t 的范围求得最小值. 【详解】当0≤x ≤2时，0≤x 2≤4，当2<x ≤3时，2<3x －4≤5， 则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令12()()f x f x ==t ①(2，4]，则1x 243t x +=，①2214143333t x x -==，32，即94t=时，21x x-有最小值712，故选：A.9．AD【解析】【分析】设投资总额为a元，分别求出甲、乙经历一次涨停与一次跌停后的资金数，即可判断；【详解】解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：()110%110%0(99).a a+-=元，乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：()110%110%0.()99a a-+=元，故选：AD.10．ACD【解析】【分析】由题知0a<，12bxa=-=，进而根据对称性得()()()()00200,310()f f f f f>=>=-<，判断即可得答案.【详解】解：由二次函数图象开口向下知：0a<，对称轴为12bxa=-=，即20a b+=，故0b>.又因为()()()()0020420,31(9)30f c f f a b c f f a b c=>==++>=+-=+<，，所以0abc<.故选：ACD.11．BCD【解析】【分析】根据周期函数的定义、指数函数、正弦函数、余弦函数的单调性，结合零点定义和点对称的性质逐一判断即可.【详解】①sin(2)cos(2)sin cos (2)2222()x x x x f x f x πππ+++=-=-=，①()f x 是周期函数，A 错误； 当x ①(0，2π)时，sin x 是增函数，cos x 是减函数，①sin 2x 是增函数，cos 2x 是减函数，cos 2x -是增函数，①sin cos ()22x x f x =-是增函数，B 对；由sin cos 22x x =得sin x =cos x ，因为(0,)x π∈ ，所以有tan 14x x π=⇒=，C 对；①sin cos cos sin 222222()2x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭， ①()f x 关于点(4π，0)对称，D 对， 故选：BCD. 12．ABC 【解析】 【分析】利用对勾函数得性质画出函数图象，结合最值列出不等关系，求出实数k 的取值范围，进而得到答案. 【详解】由对勾函数得单调性可知，()(),0,016,016,01k k x k x x k x xf x x k f x k x x x x ⎧⎧+->⎪+->⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-+-≤-+-≤⎩⎪-⎩的图象大致如下：x >0时，有两个零点，须满足：k >0，且04k k <⇒>；x <0时，有两个零点，须满足：k >0，且()6059050k f k ⎧<⎪⇒≤<⎨=-≥⎪⎩， 当0k =时，当0x >时，()f x x =单调递增，无零点，当0x ≤时，()5f x x =--单调递减，有一个零点，故不合题意； 当0k <时，当0x >时，()k f x x k x =+-单调递增，当0x ≤时，()161k f x x x=-+--单调递减，故不可能有4个零点， 综上：实数k 的取值范围为[5，9)， 故选：ABC.13．2lg 5【解析】 【分析】根据对数运算法则得到tan 2x =，再根据对数运算法则及三角函数弦化切进行计算. 【详解】①sin lgsin lg cos lg lg tan lg 2cos xx x x x-===，①tan 2x =， 又222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x ===++，2lgsin lg cos lg(sin cos )lg 5x x x x +==. 故答案为：2lg 514．92【解析】 【分析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】因为0a >，0b >，且142a b+=，所以1141419()()(5)52222a b a b a b a b b a ⎛+=++=++≥+= ⎝，当且仅当4a b b a =，即3,32a b ==时等号成立．故答案为：92．15．0 【解析】 【分析】求得函数()f x 的最小正周期为6T =，进而计算出()()()()()()66162636465f k f k f k f k f k f k ++++++++++的值（其中Z k ∈），再利用周期性求解即可.【详解】 函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为263T ππ==， 当Z k ∈时，()16sin 62f k π==，()61sin 136f k ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ()2162sin 362f k ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，()163sin 62f k ππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭， ()464sin 136f k ππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，()5165sin 362f k ππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭， 所以，()()()()()()661626364650f k f k f k f k f k f k ++++++++++=，20223376=⨯，因此，()()()()123202203370f f f f ++++=⨯=.故答案为：0.16．①①【解析】【分析】 由条件可得方程()f x x =有两个实数解，然后逐一判断即可.【详解】①()f x 在[,]m n 上单调递增，由条件①可知()()f m m f n n=⎧⎨=⎩，即方程()f x x =有两个实数解,m n ； ①x +1=x 无实数解，①①不存在“递增黄金区间”；①222x x x -+=的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数222y x x -=+的一个“递增黄金区间”；在同一坐标系中画出2x y =与2y x =+的图象如下：由图可得方程22x x =+有两个根，①①也存在“递增黄金区间”；在同一坐标系中画出lg y x =与y x =的图象如下：所以lg x x =没有实根，①①不存在.故答案为：①①.17．(1)5.5(2)5【解析】【分析】（1）根据指数运算法则化简求值；（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.(1)02213540.06252)sin 325π⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ ()()23124532450.5(2)12=+-+0.5214 5.5=+-+=(2)2log 31)1log 1)4lg 0.01ln e+++ ()2log 32211)log 2lg10ln e --=++ 22log 31221495=-+--=-+=18．(1)3； (2)135. 【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可；（2）利用同角的三角函数关系式进行求解即可.(1) ①412cos2132π⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，334π==， ①点P 的坐标为(1，3)，由三角函数的定义可得：3tan 31y x α===； (2) 2222222sin 3sin cos cos 2sin 3sin cos cos sin cos αααααααααα+-+-=+ 222tan 3tan 1tan 1ααα+-=+ 222333113315⨯+⨯-==+. 19．(1)()2sin 123x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)存在，1a =，1b =或1a =，2b =或2a =，1b =【解析】【分析】（1）根据函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的最大值为3，最小值为2，利用正弦函数的最值求解；（2）利用正弦函数的单调性求解；（3）先化简不等式(0)103af bf π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，再根据a ，b 为正整数求解. (1)解：①2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ①26233x πππ≤+≤， ①1sin 1223x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 又①m >0，最大值为3，最小值为2， ①3122m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得m =2，n =1. ①()2sin 123x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (2) 令222232x k k πππππ-≤+≤+，k①Z ， 得到54433k x k ππππ-≤≤+，k①Z ， 当k =0时，533x ππ-≤≤， ①()f x 在[0，2π]上的单调递增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (3) 由(0)103af bf π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，得)3110a b +≤， ①a ①N *，b ①N *，①a =1时，b =1或2；a =2时，b =1；a >2时，b 不存在，①所有满足题意的a ，b 的值为：a =1，b =1或a =1，b =2或a =2，b =1.20．(1)()210400200,0259000104050,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)2022年产量为20千部时，该生产商所获利润最大，最大利润是3800万元【解析】【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型得()210400200,0259000104050,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩； （2）结合（1）的函数模型，分类讨论求解最值即可得答案.(1)解：销售x 千部手机获得的销售额为：0.51000500.x x ⨯=当025x <<时，()225001010020010400200W x x x x x x =--=--+-；当25x ≥时， ()900090005005104250200104050W x x x x x x=--+-=--+ 故()210400200,0259000104050,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， (2)解：当025x <<时，()210400200W x x x =-+-，当20x 时，()400080002003800max W x =-+-=，当25x ≥时，()900010405040503450W x x x =--+≤-=， 当且仅当900010x x-=-，即30x =时，等号成立， 因为38003450>，所以当20x (千部)时，所获利润最大，最大利润为：3800万元.21．(1)2a =(2)1m ≤-或3m ≥【解析】【分析】(1)根据奇偶函数的定义可得()()f x f x -=，列出方程，结合对数运算公式解方程即可；(2)根据指数、对数函数的性质求出函数()0f x ≤，进而得到2023m m ≤--，解不等式即可.(1)①()f x 是偶函数，①()lg(2)lg(22)()lg(2)lg(22)x x x x f x a f x a ---=-+-==-+-，即(2)(22)(2)(22)x x x x a a ----=--，①2a =(2)由(1)知()lg(22)lg(22)x x f x -=-+-， ①1()lg(22)(22)lg 5222x x x x f x -⎡⎤⎛⎫=--=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又由220220x x -⎧->⎨->⎩解得11x -<<，1222x << ①152222x x <+<当且仅当x =0时等号成立， ①1052212x x ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭ ①()0f x ≤又①2()23f x m m ≤--恒成立，①2023m m ≤--①m ≤－1或m ≥322．(1)1a ≤或2a ≥；(2)存在，且a 的取值范围是[]1,1-.【解析】【分析】（1）分0a =、0a ≠两种情况讨论，根据函数()f x 在区间[]1,2上单调可出关于a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围；（2）分0a =、0a <、01a <≤、2a ≥四种情况讨论，分析两个函数在区间[]1,2上的单调性，根据已知条件可得出关于实数a 的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围.(1)解：当0a =时()45f x x =-+在[]1,2上单调递减.当0a ≠时，()f x 是二次函数，其对称轴为直线2x a=， ()f x 在区间[]1,2上是单调函数，21a ∴≤或22a ≥，即20a a-≥或220a a -≤， 解得：0a <或01a <≤或2a ≥.综上：1a ≤或2a ≥.(2)解：①当0a =时，()45f x x =-+单调递减，()2log g x x =单调递增，则函数()()()2log 45h x g x f x x x =-=+-单调递增，因为()110h =-<，()218540h =+-=>，由零点存在定理可知，存在唯一的()01,2x ∈使得()00h x =，此时，函数()f x 与函数()g x 在区间[]1,2上的图象有唯一的交点，合乎题意；①当0a <时，二次函数()f x 的图象开口向下，对称轴为直线21x a=<， 所以，()245f x ax x =-+在[]1,2上单调递减，()g x 单调递增， 则函数()()()22log 45h x g x f x x ax x =-=-+-在[]1,2上单调递增，要使得函数()f x 与函数()g x 的图象在区间[]1,2上有唯一的交点，则()()1102440h a h a ⎧=--≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得11a -≤≤，此时10a -≤<； ①当01a <≤时，二次函数()f x 的图象开口向上，对称轴22x a=≥， 则()245f x ax x =-+在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上单调递增，则函数()()()22log 45h x g x f x x ax x =-=-+-在[]1,2上单调递增，要使得函数()f x 与函数()g x 的图象在区间[]1,2上有唯一的交点，则()()1102440h a h a ⎧=--≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得11a -≤≤，此时01a <≤； ①当2a ≥时，二次函数()f x 的图象开口向上，对称轴21x a=≤， 所以，()245f x ax x =-+在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上单调递增，则()()113f x f a ≥=+≥，()()21g x g ≤=，所以，()()f x g x >在[]1,2上恒成立， 此时，函数()f x 与函数()g x 的图象在区间[]1,2上没有交点.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。