高中数列知识点、解题方法和题型大全

一 高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()

1112

2

n n a a n n n S na

d +-=

=+

性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --=

（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负

分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由1

0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S

nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

1

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠）

，11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ?=

，或G =

前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =??

=-?≠?

-?（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··

（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =；

2n ≥时，1n n n a S S -=-.

二 解题方法

1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a

解 1n =时，11

2152a =?+，∴114a = ①

2n ≥时，12121111

215222

n n a a a n --+++=-+…… ②

①—②得：122n n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)

n n n a n +=?=?≥?

［练习］数列{}n a 满足1115

43

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

1

4n n

S S +=；

又14S =，

∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……·

（2）叠乘法

如：数列{}n a 中，1131n n a n

a a n +==+，，求n a

解

3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=?

?-=?

???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……

（4）等比型递推公式

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ?

?+??-?

?是首项为1

1d a c c +-，为公比的等比数列

∴1111n n d d a a c c c -??+

=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -??=+- ?--??

（5）倒数法

如：11212

n

n n a a a a +==

+，，求n a 由已知得：

1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112

n n a a +-= ∴1n a ??????

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()

()11111122n n n a =+-=+·， ∴2

1n a n =

+

(附：公式法、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

、累加法、累乘法.构造等差或等比

1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归

纳法、换元法)

2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求11

1

n

k k k a a =+∑

解：由

()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??

==-≠ ?+??

·

∴11111223111111111111n

n

k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??

????????=-=-+-++-?? ?

? ? ???????????

∑∑…… 11111n d a a +??

=

- ???

［练习］求和：111

112123123n

+

+++

+++++++ (121)

n n a S n ===-

+…………， （2）错位相减法

若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.

如：2311234n n S x x x nx -=+++++……

①

()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……

②

①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……

1x ≠时，()()

2

111n

n

n

x nx S x

x -=-

--，1x =时，()

11232

n n n S n +=++++=

……

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?

?=++++?

…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……

［练习］已知2

2

()1x f x x =+，则

111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??

??

??

++++

++= ? ? ?????

??

由2

2

22222

111()111111x x x f x f x x x x

x ?? ?????+=+=+= ?+++????+ ???

∴原式1111

1(1)(2)(3)(4)11132342

2f f f f f f f ?

??

??

???????=++

++++=+++= ? ? ???????????????????

(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和

如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n 项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。 d.用错位相减法求数列的前n 项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a n ·b n }中，{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。 e.用迭加法求数列的前n 项和

迭加法主要应用于数列{a n }满足a n+1=a n +f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n =f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n ，从而求出S n 。

f.用分组求和法求数列的前n 项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n 项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n 项和。 )

三 方法总结及题型大全

方法技巧

数列求和的常用方法

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1.等差数列求和公式：

d n n na a a n S n n 2)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：???

??≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q

a a q q a q na S n n n

)1(211+==∑=n n k S n

k n )

12)(1(61

12++==∑=n n n k S n

k n

2

13)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

例1设

{}

n a 是公比大于1的等比数列，

n

S 为数列

{}

n a 的前n 项和．已知

37

S =，且

123334

a a a ++，，构成等差数列．

（1）求数列{}

n a 的等差数列．

（2）令

31ln 12n n b a n +==，，，，求数列

{}

n b 的前n 项和T ．

解：（1）由已知得1231327:(3)(4)

3.2a a a a a a ++=??

?+++=??，

解得22a =．

设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132

2a a q

q ==，．

又37S =，可知2

227q q ++=，即2

2520q q -+=，

解得

121

22q q ==

，．由题意得12q q >∴=，． 11

a ∴=．故数列

{}

n a 的通项为

1

2n n a -=．

（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，

由（1）得

3312n

n a +=

3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又

13ln 2n n n

b b +-=

{}

n b ∴是等差数列．

12n n

T b b b ∴=+++

1()

2

(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.

2n n b b n n n +=

+=

+= 故

3(1)ln 22n n n T +=

．

练习：设Sn ＝1+2+3+…+n ，n ∈N*,求

1)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常

用公式）

∴

1)32()(++=

n n S n S n f ＝64342++n n n

＝

n n 64341+

+＝50)8

(12+-n n 501

≤