士兵军考试题：军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题
军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(M N =)A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(-∞，1]2．函数221(2x y -=的单调递减区间为()A ．(-∞，0]B．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)+∞3．设02x π<<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()A ．235x y z<<B ．523z x y<<C ．352y z x <<D ．325y x z<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()A ．[4-，3]-B ．{3}-C ．{3}D ．[3，4]6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)A ．33B ．28C ．4D ．4或287．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()A ．14B ．12C ．18D ．138．2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A ．15-B ．52-C ．15D ．529．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题（共8小题）10．49log 43log 2547lg lg ++=．11．已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2πβ∈，则sin β=．12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为．13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是．15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =．16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当1122x-时，()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为．参考答案与解析一．选择题（共9小题）1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，得{0MN =，1}(0⋃，1][0=，1]．故选：A ．2.【解答】解：令22t x =-，则1()2t y =，即有y 在t R ∈上递减，由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，AB x x <，∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选：A ．4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505lgtz lg =>，∴5321225z lg x lg =>，可得52z x >．29138x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11()022f -=>，排除A ．取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1()102f =>，排除CD ．故选：B ．6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2216a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．综上可得104a =或28．故选：D ．7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩．其面积为12，能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，其面积为18，则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==．故选：A．8.【解答】解：222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22149x y +=上的点，∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，21088189y ∴+，即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71243115310072244log log lg -=++=-++=．故答案为：154．11.【解答】解：22sin 3α=，(0,2πα∈，1cos 3α∴==，α∴，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，又1cos()3αβ+=-，sin()3αβ∴+=．则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：429．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，①当0a 时，2()30f x x a '=->，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33x >（舍)．()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，3(()()20333f a ∴-=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．故答案为：4-．13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：1637(1)17C -=；同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以11(1)1nn n S =+-=，1n S n =，1111(1)n a n n n n -=-=--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故答案为：1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩．16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，又因为11()()22f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．故答案为：4．17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=，2sin a A ''=，2sin b B ''=，3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=，由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==，当且仅当3A B C π'''===时，取得等号，可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=．即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=，故答案为：332。
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合题专项测试卷
（Ⅱ）由
2n﹣1 可得 n＝1 时， 2﹣＝1，
即 b1＝a1＝1；
n≥2 时，
2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，即 bn＝2n﹣1an＝（2n﹣1）•2n﹣1，
对 n＝1 也成立， 则前 n 项和 Tn＝1•1+3•2+5•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n﹣1， 2Tn＝1•2+3•22+5•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n， 两式相减可得﹣Tn＝1+2（2+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n
递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由 f（1）＝0，可得存在 x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意． 综上所述，a≤2． 另解：若当 x∈（1，+∞）时，f（x）＞0， 可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，
即为 a＜
，
由y
的导数为 y′
，
由 y＝x 2lnx 的导数为 y′＝1
＞0，
函数 y 在 x＞1 递增，可得
设 DE＝a，则 D（1，a，0），E（1，0，0），F（0，0， ）， （﹣1，﹣
a， ），
∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ， Ṹ
∴直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 ， 平面 BCDE 的法向量 （0，0，1），
∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ，
∴|cos＜ ， ＞|
∴
， 当且仅当 2a＝3b 时取等号，
故
的最小值为 ．
2．【详解】（1）因为 bsinB＝asinC，根据正弦定理可得 b2＝ac，
部队士兵考军校数学综合练习测试卷及答案
每题仅 1 人作答，则不同的题目分配方案种数为（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
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8．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，已知 a2 0 ， a6 8 ，则 S10 (
)
A．66
B．68
C．70
D．80
9．设奇函数
f
(x) 对任意的 x1 ，x2
( ，0)(x1
第 3页（共 5页）
所以 a2 b2 的最小值为 5． 故选： C ． 7．【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：
①将 4 道题分为 3 组，有 C42＝6 种分组方法，
②将三组题目安排给 3 人作答，有 A33＝6 种情况，
则有 6×6＝36 种分配方案， 故选：C．
8．【解答】解：等差数列{an} 中， a2 0 ， a6 8 ，
)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知 a＝20.3，b＝0.60.3，c＝log0.60.3，则（ ）
A．a＞b函数 y x2 x 6 1 的定义域为 (
)
x 1
A．[2 ， 3]
B．[2 ，1) (1 ， 3]
f (x) f (x) 0 2 f (x) 0 x f (x) 0 ，
x
x
则有 x (2021 ， 0) (0 ， 2021) ，
故选： D ． 10．【解答】解：将函数 f (x) cos x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 1 ，可
2
得 y cos 2x 的图象，
再向左平移
x2 ) ，有
f (x2 ) f (x1) x2 x1
军考真题数学【完整版】
2017年军考真题士兵高中数学试题关键词：军考真题，德方军考，大学生士兵考军校，军考数学，军考资料 一、单项选择（每小题4分，共36分）．1. 设集合A={y|y=2x ，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（0，+∞）2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log a 2）+6，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．43. 设a b 、是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知421353=2,4,25a b c ==，则（ ）A ．b<a<cB ．a<b<cC ．b<c<aD ． c<a<b 5. 设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．36πD ．20π9. 已知2017ln f x x x =+（）（），0'2018f x =（），则0x =（ ） A. 2e B.1 C. ln 2 D. e二、填空题（每小题4分，共32分）10. 设向量，，且，则m=．12. 已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为．13. 已知函数f（x）=，则f（f（））= ．14. 在的展开式中x7的项的系数是．15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。
军队院校招生文化科目统考数学复习题、模拟题、全真试题详细
军队院校招生文化科目统考数学复习题、模拟题、全真试题详细解析第三章 数列一 数列的概念 复习题 1．选择题（1）数列11,13,15,,21n +…的项数是（ ）．A ．nB ．3n -C ．4n -D ．5n -（1）C 设该数列一共有m 项，则2111(1)2n m +-=-⨯，得15,4m n m n -=-=-． （2）若2n na n =+，则n a 与1n a +的大小关系是（ ）． A ．1n n a a +> B ．1n n a a +< C ．1n n a a += D ．不能确定（2）B 1221n n a n n==++，则n a 是n 的增函数，即1n n a a +<． （3）在数列21121,0,,,...,,...98n n --中，0.08是它的（ ）．A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项 （3）C 令220.08n n -=，得10n =． （4）以下公式中：①(1)]n n a =--；②n a =③0,n n a n =⎪⎩为奇数为偶数，可以作为，的通项公式的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③（4）D 经检验①②③都可以作为，的通项公式． 2．写出下面各数列的一个通项公式：（1）13579,,,,, (48163264)；（2）3,8,15,24,35,...；（3）246810,,,,, (315356399)---2．解：（1）观察分子是奇数列，分母是成等比数列， 即1212n n n a +-=； （2）观察发现该数列的每一项加上1，就变成完全平方数， 即2(1)1n a n =+-；（3）观察分子是偶数列，分母是连续奇数的积， 2(1)(21)(21)nn na n n =--+．3．已知*1121,()2nn n a a a n N a +==∈+，写出它的前5项并归纳出通项公式． 3．解：11a =， 2212123a ⨯==+， 322132223a ⨯==+， 412221522a ⨯==+， 522152325a ⨯==+， 观察1212a ==，223a =，31224a ==，425a =，51236a ==，归纳得通项公式21n a n =+．二 等差数列与等比数列 复习题1．选择题（1）已知等差数列}{n a 的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为（ ）．A ．5-B ．4-C ．3-D ．2- （1）B 617150,60a a d a a d =+>=+<，即232356d -<<-，得 4.6 3.83d -<<-， 而公差是整数，则4d =-．（2）在等差数列{}n a 中，11003,36a a ==，则3656a a +等于（ ）．A ．36B ．38C ．39D ．42（2）A 由11003,36a a ==，得公差13d =，3656129036a a a d +=+=．（3）数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其中1110010025,75,100a b a b ==+=，那么数列{}n n a b +的前100项的和是（ ）．A ．0B ．100C ．10000D ．102400（3）C 10011100100100()100002S a b a b =+++=． （4）已知{}n a 是等比数列，且2435460,225n a a a a a a a >++=，那么35a a +等于（ ）．A ．5B ．10C ．15D ．20（4）A 2223355352()25a a a a a a ++=+=，而0n a >，则355a a +=．（5）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9102a a -的值（ ）．A ．20B ．22C ．24D ．28 （5）C 4681012885120,24a a a a a a a ++++===，9109910982a a a a a a d a -=+-=-=．（6）若,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．3D ．不能确定（6）A 因为,,a b c 成等比数列，则2b ac =，得22430b ac b ∆=-=-<． （7）在等差数列{}n a 中，若14812152a a a a a ---+=，则15S =（ ）．A ．15-B ．15C ．20D ．30- （7）D 由11541282a a a a a +=+=，得82a -=，即82a =-，而151********()2153022S a a a a =+=⨯==-，得1530S =-． （8）已知等比数列{}n a 公比12q =，且13599...60a a a a ++++=，则100S =（ ）．A ．120B ．100C ．90D ．30 （8）C 24610013599...(...)30a a a a q a a a a ++++=++++=， 10013599246100(...)(...)90S a a a a a a a a =+++++++++=． （9）已知121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -=（ ）． A ．12 B ．12- C ．14 D ．12或12-（9）A 由121,,,4a a --成等差数列，得214(1)3,1,1d d a a d ---==--==-， 1231,,,,4b b b --成等比数列，得224b =，而22210b q q =-⨯=-<，即22b =-． （10）若某等比数列中前7项的和为48，前14项的和为60，则前21项的和为（ ）．A ．180B ．108C ．75D ．63 （10）D 记71448,60S S ==，则71472114,,S S S S S --成等比数列，即2148,12,60S -成等比数列，得22148(60)12S ⨯-=，得2163S =． 2．填空题（1）设等差数列{}n a 公差为2-，如果14797...50a a a a ++++=， 那么36999...a a a a ++++=___________________．（1）82- 3699914797...(...)33282a a a a a a a a d ++++=+++++⨯=-． （2）在等差数列{}n a 中，若124223,143,263n a a a ===，则n =________________． （2）72 421244212a a d -==-，12(12)263n a a n d =+-=，234(12)263n +-=，得72n =．（3）在等比数列{}n a 中，若485,6a a ==，则210a a ⋅=_______，6a =_______．（3）221048210630,30a a a a a a a ⋅=⋅=⋅==，而226450a a q q ==>，得6a =（4）12121,(...)n n n a n b a a a n=+=+++，则{}n b 的前n 项的和为________________． （4）2522n n + 212...(321)22n n a a a n n n +++=++=+，得21(2)2n b n n n n =+=+，{}n b 的前n 项的和25(32)222n n n n ++=+．（5）已知,,a b c 成等差数列，,,x y z 成等比数列，且均为正数， 则()lg ()lg ()lg b c x c a y a b z -+-+-=________________． （5）0 记公差为d ，则2lg 2lg lg (lg lg 2lg )lglg10xzd x d y d z d x z y d d y -+-=-+-=-=-=．3．在等比数列{}n a 中，已知前10项的和为5，前20项的和为15，求前30项的和． 3．解：记前10项的和为10S ，前20项的和为20S ，前30项的和为30S ， 则1020103020,,S S S S S --成等比数列，即305,10,15S -成等比数列， 得2305(15)10S -=，即3035S =．4．（1）设数列{}n a 的前n 项的和为2n S an bn c =++（,,a b c 为常数且0a ≠），试判断 数列{}n a 是不是等差数列．（2）在数列{}n a 中，其前n 项的和为n S ，且12,,...,,...n S S S 是等比数列，其公比1q ≠， 求证：数列{}(2)n a n ≥也是等比数列．4．（1）解：由1(2)n n n a S S n -=-≥，得22(1)(1)n a an bn c a n b n c =++-----， 即2(2)n a an a b n =-+≥，而11a S a b c ==++， 当0c =时，1a a b =+，满足2(1)n a an a b n =-+=， 即数列{}n a 是等差数列；当0c ≠时，1a a b c =++，不满足2(1)n a an a b n =-+=， 即数列{}n a 不是等差数列．（2）证明：因为12,,...,,...n S S S 是等比数列，其公比1q ≠，所以11(1)(1)11n n n S q a q S q q --==--，111(1)1n n a q S q---=-，而1(2)n n n a S S n -=-≥，得11111(1)(1)()(2)111n n n n n a q a q aa q q n q q q----=-=-≥---， 而111()1n n n a a q q q ++=--，则11111()(2)n n n n n n n n n n a q q q q q q n a q q q q+-+----===≥--， 得数列{}(2)n a n ≥也是等比数列．5．设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项的和10110S =，且124,,a a a 成等比数列．（1）证明：1a d =；（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．5．（1）证明：因为124,,a a a 成等比数列，得2142a a a =，即2111(3)()a a d a d +=+，得21132a d a d d =+，即21a d d =， 而0d ≠，得1a d =；（2）101109101102dS a ⨯=+=，由（1）得1a d =， 即109101102dd ⨯+=，得2d =，数列{}n a 的通项公式1(1)2n a a n d n =+-=，即2n a n =． 6．已知数列log log log log 2,4,8,...,(2),...a a a a b b b b n ，其中0,0a b >>，且1a ≠． （1）求证：该数列是等比数列； （2）若它是等差数列，求b ．6．（1）证明：log log 11(2),(2)a a b b n n n n a a ++==，则log 1log 1log (2)2(2)a a a b n b n b n n a a ++==为常数，所以该数列是等比数列； （2）解：log log 11(2),(2)a a b b n n n n a a ++==，log log log log log 11(2)(2)2(2)(2)a a a a a b b b b b n n n n n n a a ++-=-=- log log (21)(2)a a b b n =-，因为该数列是等差数列，则log log (21)(2)a a b b n -为常数， 即log 210a b -=，得log 0a b =，即1b =．7．已知一个数列的首项是1，从第二项起，依次后项减去前项，所得的差组成首项与 公差均为3的等差数列，求n a ．7．解：21321,,...,n n a a a a a a +---组成首项与公差均为3的等差数列， 即121()(1)33(1)3n n a a a a n d n n +-=-+-=+-=， 得2131a a -=⨯， 3232a a -=⨯， 4333a a -=⨯，． ． ．13(1)n n a a n --=⨯-累加得133(123...1)(1)2n a a n n n -=++++-=-， 得3(1)12n a n n =-+．8．求2312341...22222n n n n n S -+=+++++．8．解：2312341...22222n n n n n S -+=+++++，234112341 (222222)n n n n n S ++=+++++，相减得：23411111111 (222222)n n n n S ++=+++++-，即111111[1()]111114211[1()]12222212n n n n n n n S --++-++=-+=-+--，得1111111221()33222222n n n n n n n n n n S --+++=-+-=--=--，即332n n n S +=-．9．求数列1,35,7911,13151719,...++++++的前n 项和． 9．解：前1n -项一共连续出现了(1)123 (12)n n n -++++-=个奇数， n a 是由第(1)12n n -+个奇数开始，一直连续的n 个奇数相加， 得[(1)1][(1)3][(1)21]n a n n n n n n n =-++-++-+-而12n n S a a a =+++1(35)([(1)1][(1)3][(1)21])n n n n n n n =++++-++-++-+-[]135(1)21n n n =++++-+-这是一个总共有1(1)2n n +项的等差数列，即2(1)(1)[1(1)21][]42n n n n n S n n n ++=+-+-=．。
2022年军考高中学历层次士兵考学数学专项练习测试卷及答案
(1,
1)
，
又由点 (1, 1) 在圆 x2 y2 4 的内部，
故对于任意的实数 a ，直线与圆相交， 即当 a 0 时，直线 (a 1)x (a 1) y 2a 0(a R) 与圆 x2 y2 4 相交，反之不一定成立，
故“ a 0 ”是直线 (a 1)x (a 1) y 2a 0(a R) 与圆 x2 y2 4 相交的充分而不必要条件， 故选： A ． 3．【解答】解：圆心 (0, 0) 到直线的距离为 d | k | ，
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
11．以 M (4,3) 为圆心 r 为半径的圆与直线 2x y 5 0 相离的充要条件是 ( )
A． 0 r 2
B． 0 r 5
C． 0 r 2 5
D． 0 r 10
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参考答案与详解
1．【解答】解：根据题意，圆 C : x2 y2 5 的圆心为 (0, 0) ，半径 r 5 ，
3(x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 0 ，
直线 AB 的斜率为 k y1 y2 3 ，
x1 x2
2
直线 AB 的方程为 y 1 3 (x 1) ， 22
即 3x 2y 4 0 ．
由于 P 在椭圆内，故成立． 故选： B ．
9．【解答】解： F1(c, 0) ， F2 (c, 0) ，直线 l : y x c ，
2 故a 1 ．
4 故选： B ．
7．【解答】解：设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2 ) ， M (x, y) ，
M 是线段 AB 的中点， x1 x2 2x ， y1 y2 2 y ，
把
军队院校招生文化科目统考士官高中《数学》模拟试题及详解【圣才出品】
图1
9．一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号
后再放回盒子中，共取 3 次，则取到小球标号最大值为 3 的取法共有（ ）种．
A．19
B．16
C．13
D．11
【答案】A
【解析】第一种情况：三次都取到 3 号球，共有 1 种取法；第二种情况：有两次取到 3
号球，共有 C32 ? 2 6 种取法；第三种情况：有一次取到 3 号球，共有 C31创2 2 = 12 种取
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军队院校招生文化科目统考士官高中《数学》模拟试题及详解
一、（36 分）选择题，本题共有 9 个小题，每个小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个
结论，其中只有一个结论是正确的，将正确的结论代号写在答题纸指定位置上，选对得 4
法；因此，取到小球标号最大值为 3 的取法种数＝12＋6＋1＝19．
二、（32 分）填空题，本题共有 8 个小题，每个小题 4 分，只要求给出结果，并将结果 写在答题纸指定位置上．
1．函数 f (x) = ln 1 的定义域为______． 4 - x2
{ 【答案】 x - 2 < x < 2}
【解析】观察函数知，函数 f (x) 的定义域需满足： 1 > 0 ，得 4 - x2 > 0 ，解得 4 - x2
又因为 a5＝9，所以
，即
，
7．直线 A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C
被圆
截得的弦长为（ ）．
【解析】圆心（1，2），圆心到直线的距离
，半径
，所以
最后弦长为
．
8．已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝ ， 则球 O 表面积等于（ ）．
部队高中士兵军考数学模拟试题(二)
高中学历士兵考军校数学科目测试题关键词：士兵考军校试题军考数学试卷军考教材士兵考军校教材军考复习资料解答题（18、19题，每题11分；20-24题，每题12分；共82分）18.已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|，求f(x)的最小值m.19.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x).（1）求f5π4⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).21.某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望.22.已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.71828…是自然对数的底数).（1）求实数b 的值；（2）求函数f (x )的单调区间.23.如下图所示，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC =，AC =1AA =2.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B-CD -C 1的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交.24.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.。
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阶段性检测试题一、选择题（共9小题，每题4分）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( D )A ．∅B ．(0，13]C ．[13，1] D ．(－∞，1](1)由题意知，A ＝(0，1]，B ＝(－∞，13]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a 3a 9＝2a 52，a 2＝2，则a 1＝( C )D ．2解析：选C.由等比数列的性质得 ， ∵q>0，∴a6＝2a5，q ＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2，故选C.3．已知f(x)＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)<0，则( D )A ．p 是假命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x)≥0B ．p 是假命题，⌝p ：∃x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x0)≥0C ．p 是真命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)>0D ．p 是真命题，⌝p ：∃x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x0)≥0解析：选D.因为f′(x)＝3cos x －π，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)<f(0)＝0，所以p 是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.4．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a 与b 的夹角为(D )解析：选⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，故cos 〈a ，b 〉＝－32，故所求夹角为5π6.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A ) A ．f(x)＝21xB ．f(x)＝x 2＋1 C ．f(x)＝x 3 D ．f(x)＝2－x解析：选中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f(x)＝x3是奇函数．D 中f(x)＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．6．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( B)解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a ＞1，则0＜b ＜1， 此时f(x)＝ax 是增函数， g(x)＝－logbx 是增函数， 结合图象知选B.7、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1 n －1n －1[解析] (1)由已知Sn ＝2an ＋1，得Sn ＝2(Sn ＋1－Sn)，即2Sn ＋1＝3Sn ，Sn ＋1Sn ＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.[答案] B8.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( B )A ．0B ．1 D ．3 解析：选＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)，∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z 的最大值为1.9.已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( C )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选－2S10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d . 又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.二、填空题（共8小题，每题4分）1、函数f (x )＝10＋9x －x 2lg （x －1）的定义域为( )解析：要使函数有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，解①得－1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]． 2、函数y ＝)24cos(x -π的单调减区间为________．(3)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k∈Z)，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．3、函数f(x)＝43323--+x x x 在[0，2]上的最小值是( ) A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选′(x)＝x2＋2x －3，令f′(x)＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－173.4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA2＋AC2＝2 2. 答案：225、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．解析：由3a n ＋1＝3a n －4，得a n ＋1－a n ＝－43，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－43，所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n3.答案：49－4n36、若命题“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．因为“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.7、若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． ∵f (x )是以4为周期的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝sin 7π6＝－12.又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝－316，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝12－316＝516.8．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a 的值为________．解析：(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x)≥0显然成立； 当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3（1－2x ）x4，所以g(x)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a≥4.当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1，0)上单调递增， ∴g(x)min ＝g(－1)＝4， 从而a≤4，综上可知a ＝4. 答案：4三．计算下列各题：（18分）(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； 解：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.求角A 的大小； [解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ， 故cos A ＝－12，A ＝120°.四、（12分）已知2311:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
五、证明：(1)连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD . 又AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1.而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1. 因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点， 所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .（12分）六、已知函数)0(cos cos )sin()(2>+-=ωωωωπx x x x f 的最小正周期为π，将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡16,0π上的最小值。