含参数导数问题的巧妙解法
参数范围统一解，函切两等显神通
何凌州
一．前言
在高考中，有许多涉及到参数的导数问题，许多学生害怕求导后根据参数的分类讨论，于是常常白白放弃得分的机会。
事实上，有一种方法可以很好地解决此类问题，笔者在市面上的教辅练习中暂未找到系统介绍此方法的章节，故想把该方法分享给大家。
暂将该方法定名为“参数范围统一解，函切两等显神通”。
二．标题解释
“参数范围统一解”说明了该方法运用的广泛性，凡是函数中有一个参数的，均可以用此方法，例：f(x)=e x−1−a(1+ln x)。
若没有参数，例：f(x)=e x−1−1−ln x就无法使用该方法。
“函切两等显神通”说明了完成一道题需要两个等式，即函数值相等，切线值相等，这两个等式是该类题目能够完成的关键。
三．例题
已知函数 f(x)=e x−1−a(1+ln x)有两个零点，求a的取值范围。
此题分析：若此题为一道大题，解题步骤会稍微有些麻烦，需要用到隐形零点的方法。
若此题为一道小题，可以直接运用笔者介绍的下述方法。
第一步：f(x)=0可推出：e x−1=a(1+ln x)①
②第二步：对等式左右两边同时求导得：e x−1=a
x
第三步：①÷②可得： 1=(1+ln x)x
第四步：解出(或观察出)x的解：x=1
第五步：将x的解代入①式或②式，解到a的值: a=1
第六步：大致绘制当a=1时a(1+ln x)和e x−1的图像(两图像相切)，此时有一个交点
后续：通过对图像的认知，判断a与0和1的关系进而得到答案
即：分类讨论要按照a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1标准分类，原因是a的正负性会影响a(1+ln x)的正负性，如果a取负数(如−1)会造成图像中g(x)上下翻转
a<0的情况
0<a<1的情况a=1的情况a>1的情况
上述4幅图都是以a=1为出发点，事实上，当a=1时两图像相切，图中有且只有一个交点。
对于g(x)=a(1+ln x)而言，a=1在代入时可视为直接忽略掉。
a>1时，可视为横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，即上下拉伸，此时有两个零点。
同理，0<a<1时，可视为横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，即上下压缩，此时没有零点。
对于a<0的情况，g(x)= a(1+ln x)不必再对a的范围细分，原因是通过图像会发现永远都是一个交点。
综上，此题a的范围为(1,+∞)。
四．通用方法
通过上述例子，我们可以归纳出解决含参数的问题的通用方法，分为以下几步。
①令原函数f(x)=0后进行移项，让含有参数(a)的放在一边，没有a的放
在一边，使得等式两边生成两个函数ℎ(x),g(x)(一个不含a，一个含a)
得到一个等式(①)。
②对等式两边同时进行求导，得到另一个等式(②)。
③用①式÷②式，此时得到的等式③只含有x。
④解出(观察出)③式x的解。
⑤将x的解代入①式或②式，得到a的值。
⑥将a的取值范围按照0和得到的a的值进行讨论，如例题中的a<0,a=
0,0<a<1,a=1,a>1几个区间。
⑦先画出⑤中解出的a对应的g(x)和固定的ℎ(x)（注意两者在④中解到的x
点相切），在依次根据数学关系画出a取其他范围时对应的图像。
⑧下结论。
五．理论依据
本方法核心在于①和②中的两个等式联立解出的参数a和x，这两个方程分别对应着两个函数ℎ(x),g(x)在某点的函数值相等，在某点的切线值也相等。
这样两个函数，在该点必相切，那么分类讨论的依据也就有了。
通过两个方程解到的a是刚好满足相切条件的参数和x是恰好相切的点的横坐标。
六．适用范围
本方法适用于绝大多数含参数的导数问题，通过等价转换即可变为例题中的零点的模型。
若函数在f(x)=x−1
sin2x+asinx在(−∞,+∞)单调
3
cos2x+acosx≥0恒递增，求a的取值范围，这道题可转换为f′(x)=1−2
3
成立，可等价为acosx≥2
cos2x−1，此时将不等号换为等号，即可求变
3
为步骤①中的式子，开始适用通用方法求到最特殊的a和x，再进行讨论
cos2x−1上方）。
（无零点的情况且acosx在2
3
在做题的时候，我们有时候会发现定义域不一定是R，但是这不妨碍我们做题，我们在按步骤操作后求到的x一般都会落在定义域内，要知道，全集的问题会比部分区间更全面，命题者采用部分区间恰是为了简化此
题，避免了比较复杂的讨论。
七．方法优化
在熟悉这种方法后，我们会发现，其实有些步骤不一定要按部就班，比如可以利用自己的观察能力解出①式和②式的a 和x ，可视为解方程组，两条方程两个未知数一定能解出解来(理论上可能不止一组，但一般的命题设计中往往只有一组解。
若无解则代表不存在恰好相切的情况，只用根据0来讨论)。
如果按照正常步骤解只有x 的方程时，可以通过观察，含有lnx
的解往往是1,e,1
e ，含有e x 的解往往是0，含有sinx 或cosx 的解往往是0,π
2，在解x 的方程时，如果适当使用猜的技巧，往往会事半功倍。
八．注意事项
这样的方法适用于解选择填空题，以及无从下手的大题(特别注意：不是大题的满分解法)，我们可以通过这样的方法快速找到临界条件，此方法还需要一个比较重要的能力--画图能力，以及各类函数增长速度的比较。
画图能力，要注意正负以及与x 轴的交点，渐近线，下附几幅常见的
图，
lnx x
,xlnx,xe x ,x
e x
九．一点补充
上述方法在做绝大多数题目时都适用，但对下面这道题来说还要讲求一点变通。
（10年理科全国1卷）设函数f (x )=e x −1−x −ax 2，当x ≥0时f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围。
这是一道端点效应的题目，即f (0)=0，可以从边界入手，但如果采用刚
刚介绍的方法，应该如何做呢，做的时候会遇到什么问题呢？
①e x−1−x=ax2
②e x−1=2ax
③可以解到x=0，但会发现a可以取任意值，这个时候怎么办呢？
④通过作图我们可以意识到，x=0时两函数的函数值和切线斜率值均为
0，是恒等的，也就是说f(0)=0,f′(0)=0恒成立，这个时候，在正常
的做法中我们会考虑到进行再次的求导，必要条件是f′′(0)≥0。
即通
过对等式两边同时再次求导，得到第三个等式e x=2a
⑤联立三个等式(其实联立最后两个就可以了)，可以解到临界条件对应的
a和x。
具体原因读者可以自行思考
十．拓展运用
对于隐形零点问题，我们也可以通过这种方法辅助解决问题。
(2012课标全国Ⅰ，文21)
(Ⅱ)若k为整数，当x>0时，(x－k)(e x−1)+x+1>0，求k的最大值
为什么求最大整数k？是因为k可以是一个无理数，但是我们无法表示出来，这就用到了隐形零点的知识(这里不展开讨论)。
若还是运用这里介绍的方法
①先分开：xe x+1>k(e x−1)，把不等式先写成等式xe x+1=
k(e x−1)
②同时求导
③(x+1)e x=ke x
④两等式作商化简可得e x−x−2=0
⑤这个时候，我们会发现x无法解出，但是可以确定一个具体的范围，
满足一个条件e x−x−2=0，可由零点存在性定理得知x∈(1,2)，
这时由③中的式子k=x+1可得k∈(2,3)，也就是说，实际刚好取
等号时k=2.……，再看回原来的不等式xe x+1>k(e x−1)可知k
应该越小越好，因此k的最大值为2.
对于没有参数的零点问题，事实上也可以通过该方法的深层逻辑解
决，不过可能会有点大材小用了。
求函数f(x)=xlnx−2x+1在(1,+∞)的零点个数_____．
读者可自行领会下述操作
①令f(x)=0可化为xlnx=2x−1
②等式两边同时求导lnx+1=2解得x=e
③作出xlnx和2x−1的图像，注意，两图像的斜率在x=e出相等
④x=e时，xlnx=e和2x−1=2e−1>e，2x−1在xlnx上方，但
依照图形的增长趋势，我们可以知道xlnx早晚会超过2x−1，有一
个交点，在左边界x=1，2x−1=1>1∗ln1=0，没有零点
⑤综上只有一个零点
十一. 补充练习
收集了一些题目，可供此练习熟悉此方法
1.已知函数f(x)=axlnx−e x存在唯一极值点，则实数a的取值范围是
_________
2.函数f(x)=ae x−x2与g(x)=x2−x−1的图像上存在关于x轴的对
称点，则实数a的取值范围为___________
3.函数f(x)=e x−e−x−asinx(x∈R,a>0)存在唯一的零点，则a的
取值范围为（）
A.(0,2)
B.(0,1)
C.(0,e)
D.(0,π)
4. 讨论f(x)=e x−mx2的零点个数
5. 函数f(x)=(x−2)e x−a(x−1)2有两个零点，求a的取值范围
答案：1.(−∞,0) 2. (−∞,1] 3.A 4.略 5. (0,+∞)。
巧解含参数的函数的导数问题
巧解含参数的函数的导数问题巧解含参数的函数的导数问题山东利津县第一中学(257400)胡彬近年总有含参数的函数(或数列)的高考题,一般都可用常规方法求解.首先概念要清楚,含参数的函数不是一个函数,参数的值不同,就是不同的函数.其次,应该对参数分类,即按照参数的不同变化范围分成若干情形,再分别讨论.下面我们以一道2006年的含参数的函数讨论导数问题的高考题为例加以说明.【例】已知函数,()一.(工)设a>O,讨论—f()的单调性;(II)若对任意∈(0,1)恒有f()>1,求n的取值范围.分析:本题主要考查分类讨论的数学思想和导数的计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,并考查逻辑推理能力.虽是常规方法,但需要清楚函数概念,逻辑推理能力强.解答时需要注意三点,(1)本类题目应该对参数n进行分类讨论,而不是对函数的定义域分类讨论,具体到本题,应该分0<n<2,n一2,n>2三种情况讨论.(2)在函数单调性判定定理"在一个区间上导数恒正(负),则函数在这个区间上单增(减)"中,"区间"这个条件也是不能少的,本小题函数的定义域不是区间,需要把定义域分成区间,再判定函数在每一区间的单调性.(3)注意细节,如数学N-号书写应该正确, 以及本小题两问中参数n的变化范围不同. 解析:(工)函数,()的定义域为(一一,1)U(1,+一),导数为()一e.(i)当O<n<2时,导数恒正,故厂()在区间(一一,1),(1,+一)内为增函数. (_.)当n一2时,()>O,(≠o,≠1),故厂()在区间(一一,1),(1,+一)内仍为增函数.(iii)当n>2时,解()一0得一±√,t—o.,(一√,c√,(1,+..)一^/)V口√1)/()+++f(x)≯≯≯f(x)~EIKIN(一一,一√),(√,1),(1,+一)内为增函数,,()在区间(一√,√)内为减函数.(Ⅱ)参数n的变化范围和(工)不同,但由(工)知仍分三种情形讨论.(i)当O<n≤2时,由(工)知,()在区间(一一,1)内为增函数,故对于任意∈(0,1)恒有f()>,(O)一1,因而这时n满足要求. (ii)当n>2时,由(工)知f()在区间(一√,√)内为减函数,故在区间(o,√)内任取一点,比如取Xo一吉√,就有.∈(0,1)且f(.)<,(0)一1,因而这时n不满足要求.(iii)当n≤0时,对于任意∈(O,1)恒有,()一1-~-xe一≥>1,这时n满足要求.综上可知,所求n的取值范围为n≤2.错源分析:解答不够严谨会导致许多同学出现错误,例如计算出"当O<n<2时,导数恒正"后,就说"f()在R上为增函数"或"f()在定义域为增函数",前者错在没有考虑定义域,后者错在没有掌握好单调性判定定理,忽视了本题里函数的定义域不是区间.这些是实质性的错误.还有类似的错误,如写"f()在(一一,1)U(1,+一)内为增函数",这也可能仅仅是数学式写错了,不该用"U".另一类容易出现的错误是第(工)问中不讨论参数的值,第(Ⅱ)问中只讨论a>O情形. 第(II)问中还有容易导致逻辑错误.例如"因为,(O)一1,故只要f()在区间(0,1)为增函数",这样也能得出正确结果,但是推理过程是有错的,错误原因在于",(O)一1,且f()在区间(0,1)内为增函数"这个命题是"对任意∈(0,1)难以证明。
导数含参的解题步骤
导数含参的解题步骤一、题目1。
1. 题目。
设函数f(x) = x^3+ax^2+bx + c，已知x = - 1时，f(x)取得极值5，且f(1)= - 1，求a，b，c的值。
2. 解析。
- 首先对f(x)=x^3+ax^2+bx + c求导，f^′(x)=3x^2+2ax + b。
- 因为x = - 1时，f(x)取得极值5，所以f^′(-1)=0且f(-1)=5。
- 由f^′(-1)=0可得3 - 2a + b = 0。
- 由f(-1)=5可得-1 + a - b + c = 5。
- 又因为f(1)=-1，即1 + a + b + c=-1。
- 联立方程组3 - 2a + b = 0 -1 + a - b + c = 5 1 + a + b + c=-1- 由3 - 2a + b = 0得b = 2a - 3。
- 将b = 2a - 3代入-1 + a - b + c = 5和1 + a + b + c=-1中。
- -1+a-(2a - 3)+c = 5，化简得-a + c+2 = 5，即c=a + 3。
- 1 + a+(2a - 3)+c=-1，将c=a + 3代入得1 + a+2a-3+a + 3=-1，4a + 1=-1，解得a=- (1/2)。
- 把a =-(1/2)代入b = 2a - 3，得b=-4。
- 把a =-(1/2)代入c=a + 3，得c=(5/2)。
二、题目2。
1. 题目。
已知函数f(x)=(1)/(3)x^3-(1)/(2)(a + 1)x^2+ax，a∈ R，讨论f(x)的单调性。
2. 解析。
- 对f(x)=(1)/(3)x^3-(1)/(2)(a + 1)x^2+ax求导得f^′(x)=x^2-(a + 1)x+a=(x - 1)(x - a)。
- 令f^′(x)=0，则x = 1或x = a。
- 当a=1时，f^′(x)=(x - 1)^2≥slant0，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增。
含参数导数问题点
含参数导数问题点一、求导后，考虑导函数为零是否有实根，从而引起讨论。
?1,x?1?,F(x)?f(x)?kx,x?R，试讨论函数F(x)的单调性。
例1 设k?R，函数f(x)??1?x??x?1,x?1?二、求导后，导函数为零有实根，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。
例2 已知a是实数，函数求函数设gf?x??x?x?a? f?x?的单调区间；?a?为f?x?在区间?0,2?上的最小值。
求a的取值范围，使得?6?g?a???2。
?a?的表达式；写出g三、求导后，导函数为零有实根, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
2ax?a2?1例3已知函数f?x???x?R?，其中a?R。
2x?1当a?1时，求曲线y?当a?0时，求函数例4设函数例5已知函数f?x?在点?2,f?2??处的切线方程；f?x?的单调区间与极值。
f?x??x2?bln?x?1?，其中b?0，求函数f?x?的极值点。
f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 f(x)的单调性；f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。
讨论函数设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|例6已知函数xf(x)=In(1+x)-x+x2(k≥0)。
2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=例7设f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f’(x)。
如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得(1)设函数f’(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。
f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b 为实数。
x?1(i)求证：函数(2)已知函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。
g(x)具有性质P(2)。
给定x1,x2?(1,??),x1?x2设,m为实数，??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?m x2，且??1,??1，若|g(?)?g(?)|?1?k?1?x?2,x?1??12? kx,x?1,???1?x?例1解：F(x)?f(x)?kx??1?x。
导数中的参数问题(解析版)
导数中的参数问题(解析版)导数中的参数问题（解析版）在微积分学中，导数是一个重要的概念，常被用来研究函数的变化率和极值等性质。
然而，在实际应用中，函数中常常含有参数，这就引发了导数中的参数问题。
本文将从多个角度解析导数中的参数问题，并探讨其在实际情境中的应用。
一、导数定义与基本性质（无参数）首先，我们需要回顾导数的定义。
对于函数f(x)，其在点x处的导数定义为导函数f'(x)。
导数衡量了函数在某点的切线斜率，反映了函数在该点的变化趋势。
在一般情况下，函数的表达式中并不含有参数。
此时，我们可直接按照传统的导数定义来求导，例如对于函数f(x) = x^2，我们可以通过求导来得到f'(x) = 2x。
导数有一些基本性质，如可加性、常数因子、幂次法则等。
这些性质在求解无参数的导数问题时非常有用，能够帮助我们简化计算与分析过程。
二、含参数的函数的导数求解当函数中含有参数时，求解导数问题就不再像无参数的情况那样简单。
此时，我们需要对参数进行求导，其中常用的方法有隐函数求导法和代数方法。
1. 隐函数求导法当函数表达式中存在隐含的关系式时，我们可以使用隐函数求导法来求解参数相关的导数问题。
例如，考虑函数f(x, y) = x^2 + y^2 = 1，其中y是参数。
我们可以通过对该函数进行求导来得到df/dx的表达式，即导数关于自变量x的函数。
2. 代数方法对于一些特定的参数问题，我们可以通过代数方法巧妙地求解导数。
例如，对于函数f(x, a) = x^a，其中a是参数，我们可以利用对数函数的性质来求导，即将f(x, a)转化为ln(f(x, a))，然后利用导数的链式法则和幂次法则得到df/dx的表达式。
三、参数问题的实际应用导数中的参数问题在实际应用中扮演着重要的角色，能够帮助我们解决各种实际问题。
以下是几个典型的应用场景：1. 物理学中的参数问题在物理学中，很多函数表达式含有参数，例如自由落体运动的位移函数，电路中的电流与电压关系等。
解决含参导数问题的几种特殊策略
［ １，＋∞）递增，因为／（ ）在［。，６］上的值
域是 ［ （ｎ ＋２）， （ｂ＋ ２）］，所 以 （ｏ）＝
（。＋２）， （６）＝
．ｉ｝（６＋２）， １≤
。＜
６
，
则
择上 ”． １ 策 略之 二次 求导 数
通 常 在 一 阶导 函 数 符 号 不 能 确 定 情 况 下 ，进 行 二 次求 导 数 ，用 二 阶 导数 的符 号 ，来 决定 一 阶导 函数 的单调性 、极 值最 值 ，进 而判 断一 阶导 函数 符号来 解决 问题 ．
题 目 ｌ：（２０１２浙江省 杭 州第 二 中学 仿 真
，（ ）＝Ｊｉ｝（ ２）在区 ［ １，＋∞）至少有
两 个 不 同 的 正 根 ，｜ｌｃ＝
，令 Ｆ（ ） ＝
＋ ２ ： 一
＋ ２ （＼ ≥ 一２１ ） ／，’ Ｆ‰ ） ／： 一
戈 ＋ ３（ 一＋２２ｌ）ｎ 一 ４ ，令 Ｇ（ ）： ＋３
对任意 ∈ ［一２，一１］恒成 立 ，求 立 ．（２）试讨论 关于
的方程ｍ 一詈一ｇ（ ）＝ ３—２ｅ ＋￡ 的
根 的个 数 ．
分析：（２）ｍ＝ｎ＝１，ｍ 一詈一ｇ（ ）
：
一 ２ｅｘ。＋ ， 化简 得 ２１ｎｘ： 一２ｅｘ
＋ ，转 化为 ： ２—２ｅ ＋ｆ，令 （ ）
２ｅｘ ＋ ｔｘ，Ｈ （ ）＝ ３ 一４ｅｘ ＋ ｔ， １．２＝
２ｅ ￣
／ ４ ｅ
￣
－
—
—
—
一
３ｔ 值 点 和极 值 表 示 比较 复杂 ，
，
Ｊ
明又一 村 ．
变形 、讨论 比较难 ．
题 目 ３：已知函数 厂（ ）： ｎ＋Ｉｎｘ的图 象 在点 Ｐ（ｍ，厂（ｍ））处 的切 线 方 程 为 Ｙ ＝
导数中的参数问题(解析版)
【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
导数中含参数问题与恒成立问题解题技巧
函数、导数中含参数问题与恒建立问题的解题技巧与方法含参数问题及恒建立问题方法小结：1、分类议论思想 2 、鉴别法 3 、分离参数法 4 、结构新函数法一、分离议论思想：例题 1： 议论以下函数单一性：1、 f x = a xa, a0, a 1 ; 2、 f x = bx ( 1 x 1, b 0)x 21二、鉴别法例 2：不等式 (a2) x 2 2( a 2) x 4 0 关于 xＲ恒建立，求参数a 的取值范围．解：要使 (a2) x 2 2(a2) x 4 0 关于 xＲ恒建立，那么只须知足：a 2 0a 2 0〔 2〕 2(a 2) 0〔 1〕2) 2 16(a 2) 0或4(a4 0解〔 1〕得a 2，解〔 2〕 a ＝２∴参数 a 的取值范围是－２＜ a２．2 a2练习 1. 函数ylg[ x 2(a 1) xa 2] 的定义域为 ，务实数 a 的取值范围。
R三、分离法参数：分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，经过分离参数，用函数看法议论主变量的变化状况，由此我们能够确立参数的变化范围 . 这类方法能够防备分类议论的麻烦，从而使问题得以顺利解决 . 分离参数法在解决相关不等式恒建立、不等式有解、函数有零点、函数单一性中参数的取值范围问题时常常用到 . 解题的重点是分离出参数以后将原问题转变为求函数的最值或值域问题 . 即：〔 1〕对随意 x 都建立 m fxmin〔 2〕对随意 x 都建立。
例 3．函数( )4 2 ,(0,4] 时恒建立，务实数 a 的取值范围。
f x axxx xf ( x) 0解： 将问题转变为 4xx 2对 x4x x 2a(0,4] 恒建立，令 g( x)，那么xxa g( x) min由g (x)4x x 24x 1 可知g( x)在(0,4]上为减函数，故xg( x) min g(4) 0 ∴a 0即 a 的取值范围为 ( ,0) 。
注：分离参数后，方向明确，思路清楚能使问题顺利获得解决。
一类含参导数问题的五种求解策略
一类含参导数问题的五种求解策略
在微积分方面，不论是学习还是研究，导数都是一个重要的概念。
许多问题可以通过求导的方式得到解答。
下面介绍含参导数问题的五种求解策略。
第一种求解策略是利用算术规律来解决含参数导数问题。
这种策略能够有效求解简单的函数性质，并且可以帮助求解一些复杂的函数。
其次解决这一类问题时也可以采用函数替换的方法，在计算前将参数进行替换，使其函数表达式变得更简单，从而方便求导。
第三种求解策略是采用贝叶斯演算来求解含参数的导数问题。
这种计算方法的优点在于对导数函数的表达式进行了极大的简化，从而有效减少了求导所需要耗费的时间。
另一种常用求解策略是采用逐步变形法求解含参数导数问题。
这种策略通过将函数表达式变形为更简单的函数，从而方便求导。
最后，也可以利用数值求解法和常系数求解法来求解含参导数问题。
数值求解法对于一些复杂的函数结构是有效的，而
常系数求解法则适合求解一些简单的函数的导数问题。
以上就是含参导数问题求解的五种策略，采取正确的求解策略，可以有效地获得导数解答。
同时，要想解决一个问题，还要善用灵活的思维，不断地进行计算和比较，以寻求最佳解决方案。
＂三招齐下＂破解含参数函数的导数应用的题
复习参考 ・
中’歆・ （１＃ 期・ 中 ） ７ ７ ２１ ｇ０ 高 版 ０ －１
５ １
“ 招 弃 下” 解 含 参数 函 数 的 导数 应 用 的题 三 破
３ ５ ３ 浙江 省象 山县 第二 中学 吕增锋 １７ １
导数在高中数学 中可 以说是 “ 叱咤风云” 具有深刻 ，
的内涵与丰富的外延 ， 在应用 中显示 出独特 的魅力和 势
综 上所
述， 的取值范围是［ ， ］ ａ ０÷ ．
以上是本题标准答案 的解法 ， 中第 （ 小题的解 其 Ⅱ） 法似乎有点 让人 匪夷所 思． 笔者 粗 略 看 了一 下 也 没看
懂 ， 复看 了几 遍后终 于 明白了其 中的奥 妙． 反 它是 利用
了第（Ｉ 小题 提供 的不 等式关 系对 ｈ （ 进 行放 缩找 ） ）
） ） 则 ） ａ３ Ｉ ， 一， ≤—－Ｉ 当且仅 当 ｈ ） （ ≤０时 ｇ － （ 一 ＝ａ（ 一 ） １ ｆ ） 众” 一点的解 法 ； 到类似 的题 目， 遇 学生该何去何从．
１ 连 续 求导 破 解 极 值 存 在 性 问题
＝
因此 ， 我们不 禁要 问 ， 这道题除 了上 述解法外 有没有 “ 大
一
解题 中 ， 我们提倡采用“ 通性通法 ” 主张解法 自然 ， ， 淡化
特殊 技巧． 因为 只有 通性通法 、 常规 解法 才是 属于大众
÷则 ＜ ） 不 立当≥时令（ 思维 的范畴 ， ， ０ ≤ 成 ；ｎ０ ，＾） 只有属 于大众 的才 能容 易被 学生 掌握 的．
（ ） 明当 ＞ｌ ， ）者 ； Ｉ证 ： 一ａ （ ≥ ｆ ｔ
（ 设 当 ≥０时 Ⅱ）
参考答案
） ＿ ， 口的取值范 围． ≤－ 兰 求
导数中的含参问题总结
导数中的含参问题总结什么是导数在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
它是一个数值，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导数可以帮助我们研究函数的性质和行为。
导数的含参问题当函数中出现参数（常量）时，我们称之为含参问题。
在导数中，含参问题是经常遇到的，因为函数往往不仅仅是与自变量有关，还可能与其他参数相关。
下面总结了导数中的常见含参问题及其解决方法。
1. 含参函数的导数问题描述对于含参函数f(x;a)，求其对自变量x的导数。
解决方法对于含参函数f(x;a)，我们可以通过求偏导数的方式来求其对自变量x的导数。
偏导数是将函数中除了自变量x之外的参数视为常量，对x求导。
例如，对于函数f(x;a)=x2+ax，我们可以求出其对x的导数为f′(x;a)=2x+a。
2. 含参数的求导法则问题描述如何处理含有参数的复合函数、乘积函数和商函数的求导问题？解决方法对于含参数的复合函数，我们可以使用链式法则进行求导。
链式法则告诉我们，对于复合函数y=f(g(x))，其导数可以通过将外函数对内函数求导，并乘以内函数对自变量求导的结果。
对于含有参数的乘积函数，我们可以使用乘积法则进行求导。
乘积法则告诉我们，对于函数y=u(x)v(x)，其导数可以通过将u(x)对x求导后与v(x)进行乘法，再加上将v(x)对x求导后与u(x)进行乘法。
对于含有参数的商函数，我们可以使用商法则进行求导。
商法则告诉我们，对于函数 $y = \\frac{u(x)}{v(x)}$，其导数可以通过将u(x)对x求导后与v(x)进行乘法，再减去将v(x)对x求导后与u(x)进行乘法，然后除以v(x)的平方。
3. 含参数的隐函数求导问题描述对于含有参数的隐函数，如何求其导数？解决方法对于含有参数的隐函数，我们可以使用隐函数求导法进行求导。
隐函数求导法告诉我们，对于方程F(x,y;a)=0所定义的隐函数y=f(x;a)，其导数可以通过将y对x求导，并将x和y的导数代入方程F(x,y;a)=0中，解得。