弦振动研究

弦振动研究

【实验目的】

1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。 2．测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率。 3．测量弦线的先行密度。

4．测量弦振动时波的传播速度。 【实验仪器】

弦振动研究实验仪及弦振动实验信号源各一台、双踪示波器一台。 实验仪器结构描述见图3-23-1

【实验原理】

驻波是有振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。

当入射波沿着拉紧的弦传播时，波动方程为

)(2cos λ

πx

ft A y -=

当波到达端点时会反射回来，波动方程为

)(2cos λ

πx

ft A y +=

式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两波叠加后的波方程为

ft x

A y y y πλ

π2cos 2cos

221=+=

这就是驻波的波函数，称之为驻波方程。式中，λ

πx

A 2cos

2是各点的振幅，它只与x

有关，即各点的振幅随着其与远点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ

πx

A 2cos

2、频率皆为f 的简谐振动。

由式（3-23-3）可知，另02cos

2=λ

πx

A ，可得波节的位置坐标为

4

)12(λ

+±=k x ⋅⋅⋅=，，，210k

另12cos

2=λ

πx

A ，可得波腹的位置坐标为

2

λ

k

x ±= ⋅⋅⋅=，，，210k

由式（3-23-4）、式（3-23-5）可得相邻两波腹（波节）的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中的测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。

在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的连个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。

即有 2

λ=L 或 n L

2=λ ⋅⋅⋅=，，，210n

式中，L 为弦长；λ为驻波波长；n 为半波数（波腹数）。

另外，根据波动理论，假设弦柔韧性很好，波在弦上的传播速度v 取决于线密度μ和弦的张力T ，其关系为

μ

T

v =

又根据波速、频率与波长的普遍关系式λf v =，可得

μ

λT

f v =

=

由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得横波传播速度 n

L f v 2= 如果已知张力和频率，由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得线密度

2

)2(

Lf

n T =μ 如果已知线密度和频率，则由式（3-23-10）可得张力

2

)2(n

Lf T μ=

如果已知线密度和张力，则由式（3-23-11）可得张力

μ

T

L n f 2=

【实验内容】

一、实验前准备

1．选择一条弦，将弦的带有铜圆柱额一端固定在张力杆U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

2．把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外；放置好驱动线圈和接收线圈，接好导线。

3．在张力杆上挂上砝码（质量可选），然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的为物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3-23-2所示。

二、实验内容

1．张力、线密度一定时，测不同弦长时的共振频率，并观察驻波现象和驻波波形。

（1）放置两个劈尖至合适的间距并记录距离，在张力杠杆上挂上一定质量的砝码记录质量及放置位置（注意，总质量还应加上挂钩的质量）。旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5～10cm处，把线圈放在弦的中心位置。

（2）将驱动信号的频率调至最小，以便于调节信号幅度。

（3）慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小为准。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V（峰－峰值），即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率，记录这一频率。

（4）再增加输出频率，可以连续找出几个共振频率。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找到并记下波腹和波节的个数。

（5）改变弦长重复步骤3、4；记录相关数据于表3－23－1.

2.在弦长和线密度一定时，测量不同张力的共振频率。

（1）选择一根弦线和合适的砝码质量，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的数据于表3－23－2.

3.张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的密度。

（1）放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的弦长和张力等参数。

（3）换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的数据于表3－23－3。

【数据与结果】

表3－23－1 张力一定时不同弦长的共振频率