201x春九年级数学下册第三章《圆》章末考点复习与小结习题北师大版

(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

北师大版九年级数学下册课件：第三章《圆》单元小结与复习(共33张PPT)

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 10:38:30 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
• You have to believe in yourself. That's the sec

201x春九年级数学下册第三章圆章末小结与提升(新版)北师大版

在 Rt△OCE 中,EC= 2 - 2 = 62 -32 =3 3,
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.
.
∴∠OBE=∠P.
∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,

1
∴ = ,∴ = = 3.
1
∵BO=1,∴OE=3.
∵OE⊥BC,∴BE=EC.
2
∵AO=OC,∴AB=2OE=3.
.
【针对训练】
1.如图,已知△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC 的角平分线交 AC
∴∠DBE+∠BDE=90°,
∴∠PBD=∠EBD,∴BD 平分∠PBC.
( 2
)作 DK⊥PB 于点 K.

∵△
△
=
1
·
2
1
·
2
=

,

又∵BD 平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,

1
∴DK=DE,∴ = = 3.
∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,
( )
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
.
【解析】连接 OB,∵四边形 ABCO 是平行四边形,∴OCAB,又
OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB 为等边三角形.∵OF⊥OC,OC
1
2
∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=
∠BOF=15°.
3
BE= 2 BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3.
【答案】 2 3

北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

；《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒d < r ⇒ 点 C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d = r ⇒ 点 B 在圆上；3、点在圆外 ⇒d > r ⇒ 点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d > r ⇒ 无交点；2、直线与圆相切⇒d=r⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d<r⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d>R+r；外切（图2）⇒有一个交点⇒d=R+r；相交（图3）⇒有两个交点⇒R-r<d<R+r；内切（图4）⇒有一个交点⇒d=R-r；内含（图5）⇒无交点⇒d<R-r；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

北师大版九年级数学下册第三章《圆》小结与复习课件

半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_2__5___2_．
考点五切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所对的圆心角
正多边形的中心正多边形的半径正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边形的有关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.

北师大版数学九年级下册第三章小结与复习课件

A O
C
1
∠BAC = ∠BOC
2
B
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
D
E
C
O A
B
∵∠ADB 与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
C
A
O
B
六、直线和圆的位置关系
A
30°
B
C
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
北
60°BLeabharlann A30°C
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于 D，
根据题意，得 BC=8.设 AD 为 x.北
A
∵∠ABC=30°，∴AB = 2x. BD= 3x. ∵∠ACD=90°-30°=60°，
点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系
d＞r d=r d＜r
三、圆的对称性 1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即圆具有旋转不变性.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为4 5.
∴正方形 ABCD 的边长为 AB= AC 4 10 .
2
S阴影=π（ 4 5）2 （4 10）2 =80π 160
考点五圆内接正多边形的有关计算
例10 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为_2_4__3__.

北师大版数学九年级下册：第三章圆的知识点归纳

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

北师版九年级下册第三章圆知识点及习题

九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1。

圆的定义:描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；以点O为圆心的圆,记作⊙O，．．；线段OA叫做半径读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合.其中定点叫做圆心．．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置,半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。

对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点）,二是半径(即定长）.2、与圆相关的概念①弦和直径:弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。

直径：经过圆心的弦叫做直径．．。

②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD".半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆．．。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。

（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。

④同心圆:圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．。

3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上〈===〉 d=r; ②点在圆内〈===〉 d<r ； ③点在圆外 <===> d 〉r 。

其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二。

圆的对称性：1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴.2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线）;3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内;1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+;外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3)⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

201x春九年级数学下册 第三章《圆》章末考点复习与小结习题北师大版

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北师大版九年级数学下册课件：第三章《圆》单元小结与复习(共33张PPT)

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北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

北师大版九年级数学下册第三章《圆》小结与复习课件

北师大版数学九年级下册 第三章小结与复习 课件

北师大版数学九年级下册：第三章 圆 的知识点归纳

北师版九年级下册第三章圆知识点及习题

北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

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北师大版数学九年级下册：第三章圆的知识点归纳