第届IMO中国国家队选拔考试试题及部分试题答案

历届IMO试题（1-44届）

历届IMO试题（1-44届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tanα=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA''B''C''D''（上底面ABCD，下底面A''B''C''D''）。

IMO中国国家集训队选拔考试试题与解答(1995-2010)

© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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C2x1 + C2x2 + …+ C2x16 ≤C211 = 55.
①
容易看出 , 当 x1 , x2 , …, x16尽量平均 (至多相差
1) 时 , 上式左端和数最小 , 从而 , x1 + x2 + …+ x16 最
大. 因此 , 当 x1 , x2 , …, x16 中有两个 4 和 14 个 3 时 ,
=
1.
②
比较 ①、②两式可得
AP AQ
=
PC QC
.
③
过 P 作 EF 的平行线分别交 OA 、OC 于 I 、J ,则有
PI QO
=
AP AQ
,
JP QO
=
PC QC
.
④
由 ③、④可得
PI QO
=
JP QO
]
PI = PJ .
又 OP ⊥IJ ,则 OP 平分 ∠IOJ ,
即 OP 平分 ∠AOC.
去掉前 2 行与前 10 列 , 至多去掉 22 + 16 = 38 个红点 ,余下的 15 ×7 的方格表中至少还有 34 个红点 , 34 = 3 ×4 + 2 ×11. 这些红点至少构成
3 ×4 + 11 = 23 个不同的“红点对”, 23 > 21 = C27 , 必导致边平行于网格线的红顶点矩形 ,矛盾.

1988年IMO中国国家队选拔考试试题

1988Day 11Suppose real numbers A,B,C such that for all real numbers x,y,z the following inequality holds:A (x −y )(x −z )+B (y −z )(y −x )+C (z −x )(z −y )≥0.Find the necessary and suﬃcient condition A,B,C must satisfy (expressed by means of an equality or an inequality).2Find all functions f :Q →C satisfying(i)For any x 1,x 2,...,x 1988∈Q ,f (x 1+x 2+...+x 1988)=f (x 1)f (x 2)...f (x 1988).(ii)f (1988)f (x )=f (1988)f (x )for all x ∈Q .3In triangle ABC ,∠C =30◦,O and I are the circumcenter and incenter respectively,Points D ∈AC and E ∈BC ,such that AD =BE =AB .Prove that OI =DE and OI ⊥DE .4Let k ∈N ,S k ={(a,b )|a,b =1,2,...,k }.Any two elements (a,b ),(c,d )∈S k are called ”undistinguishing”in S k if a −c ≡0or ±1(mod k )and b −d ≡0or ±1(mod k );otherwise,we call them ”distinguishing”.For example,(1,1)and (2,5)are undistinguishing in S 5.Considering the subset A of S k such that the elements of A are pairwise distinguishing.Let r k be the maximum possible number of elements of A .(i)Find r 5.(ii)Find r 7.(iii)Find r k for k ∈N ./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1988Day 21Let f (x )=3x +2.Prove that there exists m ∈N such that f 100(m )is divisible by 1988.2Let ABCD be a trapezium AB//CD,M and N are ﬁxed points on AB,P is a variable point on CD .E =DN ∩AP ,F =DN ∩MC ,G =MC ∩P B ,DP =λ·CD .Find the value of λfor which the area of quadrilateral P EF G is maximum.3A polygon is given in the OXY plane and its area exceeds n.Prove that there exist n +1points P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),...,P n +1(x n +1,y n +1)in such that ∀i,j ∈{1,2,...,n +1},x j −x i and y j −y i are all integers.4There is a broken computer such that only three primitive data c ,1and −1are reserved.Only allowed operation may take u and v and output u ·v +v.At the beginning,u,v ∈{c,1,−1}.After then,it can also take the value of the previous step (only one step back)besides {c,1,−1}.Prove that for any polynomial P n (x )=a 0·x n +a 1·x n −1+...+a n with integer coeﬃcients,the value of P n (c )can be computed using this computer after only ﬁnite operation./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

2005年IMO中国国家集训队测验题1

b + c ≥ 211, a + b + c ≥ 2004 + 211 = 2215;
当 a1 = 2 时，则 a = 2003, (b + c)(b − c) = 24 × 3×167, 而 b＋c 与 b－c 同奇偶，所以
b + c ≥ 2×167, a + b + c > 2215;
当 a1 = 3时，则 a = 2002, (b + c)(b − c) = 3× 4007 ，所以 b + c ≥ 4007, a + b + c > 2215;
CD =1 时等号成立．所以，四边形 ABCD 的周长的最小值为 4160.
下面求四边形 ABCD 的周长的最大值.
因为 a ≥ b, c < 2005 ，所以 b + c < a + 2005 = 4010 − a1, 所以由①式知
a1 < b − c < b + c < 4010 − a1.
由于 a1 与 b − c 同奇偶，所以 b − c ≥ a1 + 2 ，于是
2005 国家集训队选拔考试（一）解答
第一天 3 月 16 日上午 8：20—12：20 辽宁，沈阳
每题 7 分
一、如图所示，点 P 在△ABC 内部，点 P 在边
A
BC，CA，AB 上的射影分别为 D，E，F，过点 A 分别作直线 BP，CP 的垂线，垂足分别为 M，N. 求
N
M F
PE
证：ME，NF，BC 三线共点.
+
1
+
b2
−
1 ca

2006年IMO中国国家集训队选拔考试

f ( x + 2) - f ( x) = 2 k Fk - 1 ( x) . 由此得 ,对所有整数 x 有
f ( x + 2) - f ( x) ≡0 (mod 2 k ) .
③
由于 f (0) = 0 ,f (1) = 1 ,故由式 ③推出多项式
引理得证. 下面证明原题.
(1) 576 是最大的好数.
由 576 = 24 ×24 < 24 ×25 = 25 ×24 < 25 ×25 = 625 ,知 576 为好数.
设 M ≥577. 若 M 为好数 ,则由引理知存在正整
数 u 、v ( u ≤v) ,使得
M ≤( u - 1) ( v - 1) < uv ≤M + 49.
M ≤( u1 - 1) ( v1 - 1) < u1 v1 ≤M + 49. 当 ( ui - 1 - 1) ( vi - 1 - 1) < M ≤( ui - 1) ( vi - 1)
34
时 ,有
M ≤( ui - 1) ( vi - 1) < ui vi
≤( ui - 1 - 1) ( vi - 1 - 1) + 50 ≤M + 49 ,
2007 年第 4 期
A P 关于点 M 的对称直线是 HS 的垂直平分线. 同理 ,直线 B P、CP 关于点 M 的对称直线分别
是 HT 的垂直平分线和 HU 的垂直平分线. 而 A P、B P、CP 有公共点 P ,因此 , HS 、HT、HU
这三条线段的三条垂直平分线交于一点. 故 S 、T 、U 、H 四点共圆.
于 1 ,故 a1 , a2 , …, as 可分成 n 组 ,每一组的倒数之

1987年IMO中国国家队选拔考试试题

1987Day 111a.)For all positive integer k ﬁnd the smallest positive integer f (k )such that 5sets s 1,s 2,...,s 5exist satisfying:I.each has k elements;II.s i and s i +1are disjoint for i =1,2,...,5(s 6=s 1)III.the union of the 5sets has exactly f (k )elements.b.)Generalisation:Consider n ≥3sets instead of 5.Corrected due to the courtesy of[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/proﬁle.php?mode=viewproﬁleu=2616]zhaoli.[/url]2A closed recticular polygon with 100sides (may be concave)is given such that it’s vertices have integer coordinates,it’s sides are parallel to the axis and all it’s sides have odd length.Prove that it’s area is odd.Corrected due to the courtesy of[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/proﬁle.php?mode=viewproﬁleu=2616]zhaoli.[/url]3Let r 1=2and r n =n −1 k =1r i +1,n ≥2.Prove that among all sets of positive integers such that nk =11a i<1,the partial sequences r 1,r 2,...,r n are the one that gets nearer to 1./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1987Day 21Given a convex ﬁgure in the Cartesian plane that is symmetric with respect of both axis,we construct a rectangle A inside it with maximum area (over all posible rectangles).Then we enlarge it with center in the center of the rectangle and ratio lamda such that is covers the convex ﬁgure.Find the smallest lamda such that it works for all convex ﬁgures.2Find all positive integer n such that the equation x 3+y 3+z 3=n ·x 2·y 2·z 2has positive integer solutions.3Let G be a simple graph with 2·n vertices and n 2+1edges,then there is a K 4-one edge,that is two triangles with a common edge./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

IMO中国国家队训练题

2008IMO 中国国家队训练题及解答2008年IMO 中国队培训的主要阶段于6月15日至7月5日在上海中学进行,后期在清华附中调整.在培训期间,单墫、陈永高、冷岗松、余红兵、李伟固、熊斌等教授以及叶中豪、冯志刚先生为国家队队员作了讲座.我们从培训题中精选了一部分,配以个别队员们的解答,推荐给各位读者.1. 设G 为△ABC 内的一点,AG 、BG 、CG 分别交对边于点D 、E 、F.设△AEB和△AFC 的外接圆的公共弦所在的直线为l a ,类似定义l b ,l c .证明:直线l a ,l b ,l c 三线共点.证明:设∆AEB 的外接圆和∆AFC 的外接圆交于1,A A ,则a l 即1AA ,易知1A 在角BAC ∠内,1BAEA 共圆,1CAFA 共圆,类似地定义11,B C . 因为BAEA 1共圆,111FBA ABA A EC ∠=∠=∠故(1.1), 111A A C A A E A B E ∠=∠=∠(1.2), 11A AB A EB ∠=∠(1.3)因为CAFA 1共圆,故∠BFA 1=∠ACA 1=∠ECA 1 (1.4) 由(1.1)、(1.4)得:∆BFA 1~∆ECA 1,1BA BFA E CE=1故(1.5) 对∆BA 1E 用正弦定理并结合(1.2)、(1.3)得111111sin sin sin sin BA A EB A ABA E A BE A AC∠∠==∠∠(1.6) 1111,,b c B ABC C ACB l BB l CC ∠∠同理，在内，在内，即即11sin ,sin C CA AE C CB BD ∠=∠且有11sin sin B BC CDB BA AF∠=∠.故BDCDCE AE AF BF AF CD BD AE CE BF BA BC B CB CA C AC AB A ⋅⋅=⋅⋅=∠∠⋅∠∠⋅∠∠111111B sin sin C sin sin A sin sin 111AC BC CC BC CA AB D E F 而由、、分别交对边、、于、、及塞瓦定理得BD CDCE AE AF BF ⋅⋅=1. BA BC B CB CA C AC AB A 111111B sin sin C sin sin A sin sin ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=1,这样利用角元形式的塞瓦定理可知直线AA 1,BB 1,CC 1三线共点.,,a b c l l l 即共点，命题得证。

2009年IMO中国国家队选拔考试(有答案)

i 2 j 2 aj + ai . i+j i+j
n
⑧
这样有
(
i=1 n
iai )
2 2
2
=
i =1
i ai + 2 i j
2
2
2
最后 , 在 △AGL 中 , 由 M 、 C 分别是 AG、 AL 的中点 , 知 M C 是其中位线 , 得 M C ∥GL.
≥
i=1 n
i ai + 2
n
1 ≤ i < j≤n
2
i+j
1,
2 , …,
都是 1 到 l中的正整数 . l( l + 1 ) +1
2
而由式 ②知 , 在
, ai .
2 2
1
,
2
, …,
l( l + 1 )
2
+1
中,
1 ≤ i < j≤n 2
=(
n
=
n ( n + 1)
4
2 n
i=1
于是 , (
i =1
iai ) ≥
2
n ( n + 1)
4
故式 ① 得证 . 综上可知 , ( n ) =
ai i
≥ ,即
j
aj
jai - iaj ≥0.
⑦
因为 ai - aj ≤0, 所以 , ( jai - iaj ) ( aj - ai ) ≥0, 即 ai aj ≥
n
在 △ACD 中 , 对于截线 L PK 应用梅涅劳斯定理得
AL CP D K ・・ = 1. LC PD KA AL 将式 ⑥、 ⑦ 代入上式即得 = 2. LC