人教版九年级数学上册配方法直接开平方法
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
人教版九年级数学上册解一元二次方程——配方法(教师版)
四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．配方法解一元二次方程【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法解这个方程.练1用配方法解方程：（1）x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.2．用配方法求多项式的最值【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程正确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．8．（2014秋•安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a=﹣1．①当x=时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？典例探究答案：【例1】【解析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．故选：B．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1．【解析】（1）移项，得x2﹣2x=24，配方，得：x2﹣2x+1=24+1，即：（x﹣1）2=25，开方，得：x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．（2）两边除以3，得：2810 3x x+-=,移项，得：2813x x+=，配方，得：222844()1()333x x++=+，即：2245 (x)()33+=，开方，得：4533x +=± ∴121,33x x ==- （3）整理，得：22120x x +=，配方，得：2211201x x ++=+， 即：2(1)121x +=， 开方，得：111x +=±∴1210,12x x ==-点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0，∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y ，4x 把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．练2．【解析】将﹣8x 2+12x ﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a 2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）∵a、b、c为△ABC三边的长，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．课后小测答案：一、选择题1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．故选：B．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．2．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解：移项，得x2﹣8x=1，配方，得x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．二、填空题3．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；故答案为：9．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，开方得：x﹣1=±，解得：x=1±．故答案为：1±．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题5．【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，配方得（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1﹣，x2=1+．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．6．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．解：（1）正确（2）能．过程如下：x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+∵（x﹣）2≥0，所以x2﹣3x+4的最小值是．点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．8．【解析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．【解析】先将原式变形为x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23解得m=﹣2或m=点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．10．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．解：①∵（x﹣1）2≥0，∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：①1；大；3；②2；大；7点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．。
人教版九年级上册数学用直接开平方法解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
一、教学目标
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
二、教学重难点
重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次 方程．
在解方程（1）时，由方程x2＝25得x=±5.由此想到：
由方程
(x+3)²=5
②
得
x+3 =± 5 ，
即
x+3= 5 ，或x+3= - 5 . ③
于是，方程(x+3)²=5 的两个根为x1=-3+ 5 , x2=-3- 5 .
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一
元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这
(2) y1＝5 2，y2＝－5 2；
(3)
p1＝
45，p2＝－
5 4.
例2 解方程： (1) 2(2x－1)2－10＝0； (2) y2－4y＋4＝8； (3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
解：(1)由 2(2x－1)2－10＝0 得(2x－1)2＝5，
直接开平方得 2x－1＝± 5，
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是 如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为_两__个__一__元_ _一__次_方程．
活动4 例题与练习
例1 解方程： (1) x2－36＝0； (2) 2y2＝100； (3) 16p2－5＝0. 解：(1) x1＝6，x2＝－6；
数学人教版九年级上册解一元二次方程----配方法
配方法解一 元二次方程 配方法 (x+m)2=n (n≥0)
ax2+bx+c=0 (a≠0）
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
x n p , x n p 1 2
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
随堂演练
基础巩固 1. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( B )
A. (x+3)2=16
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号. 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
(3) 3x2-6x+4=0 (3) 解：移项，得：3x2-6x=-4
4 二次项系数化为1： x 2 x 3 配方，得： x 2 2 x 1 2 4 1 2 , 3 1 ( x 1) 2 3
2
因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时， (x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
（2）x2+4x－9=2x-11; 解：移项, x2+2x=-2
配方, x2+2x+1=-1
(x+1)2=-1
方程没有实数根.
人教版九年级数学上用直接开平方法解一元二次方程
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
2.2第1课时直接开平方法与配方法(教案)
-难点解析：配方法的关键是先将一元二次方程的一次项系数的一半平方，然后加减到方程两边，构造出完全平方公式。学生需要理解这一步骤的意义和操作方法。
（3）在实际问题中，如何将问题转化为适合用直接开平方法或配方法求解的一元二次方程。
-难点解析：学生在面对实际问题时，需要具备抽象和建模的能力，将问题中的关键信息提炼出来，形成适合用本节课所学方法解决的一元二次方程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直接开平方法和配方法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两种方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.培养学生的数学建模能力：让学生在实际问题中运用直接开平方法和配方法建立数学模型，增强其数学建模能力。
5.培养学生的团队合作意识：设置小组讨论和合作完成习题，培养学生与人沟通、协作解决问题的能力。
6.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决问题时，探索新的解题思路和方法，激发其创新意识。
三、教学难点与重点
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对直接开平方法和配方法的理解程度有所不同。有些学生能够迅速掌握这两种方法的步骤和要点，但也有一些学生在具体的操作过程中感到困惑。这让我意识到，在教授这些概念时，需要更加细致和耐心。
首先，我注意到在导入新课阶段，通过日常生活中的例子来引起学生兴趣的做法是有效的。学生们能够更直观地感受到数学知识在现实中的应用，这有助于提高他们的学习积极性。在今后的教学中，我会继续寻找更多贴近生活的例子，让数学变得更加有趣和实用。
21.2.1配方法(第一课时)直接开平方法(人教版初中数学)
21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。
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探 上面所解的方程都可以变换成x2=p或(x+n)2=p或 究
(mx±n)2=p的形式,对该式的求解分三种情况：
归 纳
当p＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当p＝0时，方程有两个相等的实数根；
精 讲
当p＜0时，方程无实数根.
精 练
可转化为直接开平方法(4分钟)
探 【例2】解下列方程：
究
⑴(x+1)2=2；
人教版九年级数学上册配方法直接开 平方法
九年级数学(上)教学课件
梦 境
第二十一章 一元二次方程
§21.2 解一元二次方程
§21.2.1(1) 直接开平方法
出示目标
人教版九年级数学上册配方法直接开 平方法
自学指导
自学检测
弋阳县育才学校：周乐辉
当堂训练
温故知新(2分钟)
平方根：一个数x的_平__方__等于a,那么x叫做a的平方根,
精
∴x1=x2=0
练
直接开平方法(2分钟)
探 上面的方程都是形如x2=p的形式,对该式的求解分 究
三种情况：
归 纳
当p＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当p＝0时，方程有两个相等的实数根；
精 讲
当p＜0时，方程无实数根.
精 练
直接开平方法(4分钟)
探 【例1】用直接开平方解下列方程：
究
(1)x2=6；
(2)x2-900=0.
归 纳
精 讲
精 练
直接开平方法(4分钟)
探 利用直接开平方法解下列方程:
究 (1)9x2-81=0
(2)196x2-49=0
归 纳
精 讲
精 练
可转化为直接开平方法(4分钟)
探 【问题】你能用平方根的定义解方程12(3-2x)2-3=0吗？ 究
归 纳
精 讲
精 练
可转化为直接开平方法(2分钟)
利用完全平方公式开平方(4分钟)
探 【例3】下列方程能用直接开平方法来解吗?
究
(1)x2-4x+4=3 (2)x2+6x+9=2
归
纳
精 讲
完全平方公式(因式分解)
提示：把两个方程 化成(x+b)2=a(a≥0) 的形式,再开平方
精
练 1.a2+_2_a_b_+b2=(_a_+_b_)2 2.a2-_2_a_b_+b2=(_a_-_b_)2
记作____a___
1.如果x2=a,则x叫做a的 平方根 .
2.如果x2=a(a≥0),则x=__ a .
3.如果x2=64,则x= ±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方的作 用是？
降 次
直接开平方法(4分钟)
探 【问题1】下列各式是一元二次方程吗？
究 (1)x2=144
(3)x2=0
(4)x2=-4
归 【问题2】你能用平方根的定义解上面的方程吗？
纳 (1)∵（±12）2=144
(3)∵负数没有平方根，
精
∴x1=12，x2=-12
讲 (2)∵0的平方根是0，
∴原方程无实数根。
方 法 基本思路
一 元 降次
两个一
二 方
次 程
直接开平方法
元一次 方程
(2)2(x-3)2-50=0；
归 纳
精 讲
精 练
可转化为直接开平方法(4分钟)
探 解下列方程：
究
(1)(x-1)2-4Leabharlann 0；(2)(2x-1)2=9
归 纳
精 讲
精 练
用配方法解一元二次方程的步骤
1、 常数项 移到方程右边. 2、二次项系数化为１； 3、将方程左边配成一个 完全平方 式。 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 4、用 平方根的意义 写出原方程的解。
利用完全平方公式开平方(4分钟)
探 1.用直接开平方法解下列方程:
究 (1)x2-4x+4=5；
(2)9x2+6x+1=4。
归
纳
(1)x1 5 2, x2 5 2
1 (2)x1 3 , x2 1.
精
讲
精 练
课堂小结(1分钟)
概 直念 接 开步 平骤
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0) 或(x+n)2=p (p ≥0).