轴对称全章复习
人教版八年级数学上册第十三章轴对称全章复习(第二课时)教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示一组生活中的轴对称图形，如剪纸、建筑、图案等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在现实生活中有哪些应用？
2.学生观察、讨论，教师适时引导学生发现：这些图形都是轴对称的，它们具有美观、平衡的特点，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
5.拓展作业：
-鼓励学生阅读与轴对称相关的书籍、文章，了解轴对称在历史、文化、艺术等方面的应用。
-组织学生参加学校或社区举求：
1.学生需独立完成作业，遇到问题可向同学和老师请教，培养自主解决问题的能力。
2.提交作业时，要求书写工整、条理清晰，解题过程和答案正确。
4.掌握轴对称图形的折叠与展开，培养空间想象能力和动手操作能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、探索等活动，让学生在自主探究和合作交流中体验轴对称的性质和运用，提高解决问题的能力。
2.利用实际问题情境，引导学生运用轴对称的性质进行分析和解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.设计具有挑战性的问题和任务，激发学生的思维，培养他们勇于挑战、善于思考的品质。
3.教师总结：轴对称不仅是几何图形的一种特性，还广泛应用于现实生活中的各个方面。今天我们将进一步学习轴对称的相关知识。
（二）讲授新知
1.教师引导学生复习轴对称的定义，强调对称轴的概念，让学生理解轴对称图形的对称性质。
2.讲解轴对称的性质和定理，如对称轴上的点、线段、角的轴对称映像等，结合实例进行解释，让学生直观地理解轴对称的性质。
3.应用作业：
-利用轴对称性质，解决一道实际问题，如最短路线问题、图形面积计算等。
轴对称章全章复习 优秀教案.doc
轴对称全章复习（2）【教学目标】：1.通过复习使学生进一步理解等腰三角形、等边三角形的概念和了解轴对称及轴对称图形的概念与相关性质。
2.进一步运用等腰三角形和等边三角形的特征和识别进行简单的证明和计算；3.进一步提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力，使学生掌握几何证明中的分析、综合、转化、分类等数学思想；进一步渗透数学的形式美和内涵美、抽象美和逻辑美，提高学生数学美的鉴赏能力。
【教学重点】：等腰三角形和等边三角形的特征和识别的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数。
【教学难点】：提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力，使学生棠握几何证明中的分析、综合、转化、分类等数学思想。
【教学突破点】：通过讨论提高了思维能力【教法、学法设计】：1.教法：引导复习法，指导归纳总结法，综合练习法。
2.学法：主动归纳总结复习法，反思学习法，主动练习法。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：二、一起来讨论例1集中复习了等腰三角形的性质、判定，平行线性质，等量代换等知识例2、3通过设计似是而非、易混淆的题型，不仅使学生在体验发现的过程中，发现了自己的错误，也捉高了思维能力，更进一步体现了思维的深刻性和批判性ZB=ZC=~ (180° -40° ) =70°。
2如图2,当交点在腰CA的延长线上时, 此时可求得ZBAC=140°,所以Z13二ZC二丄(180° -140° )2=20°故这个等腰三角形的底角为70°或20°o反思：等腰三角形是一种特殊而乂十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。
问题1:如图：在△ABC中，AB二AC,在AB上任取一点E,过点E 作EF〃BC,交AC于F,根据目前所学的知识,你能得到哪些相等的角？ZB=ZC=ZAEF=ZAFE,两两组合有六种情况问题2：如图:在AABC中,AB=AC,在AB ±任取一点E,过点E作EF〃BC,交AC于F,过点B作ZABC的平分线，交直线 E —K EF于K,交AC于II,图中除了已得到的等腰三角形，还有其它/等腰三角形吗？\学生凭直观思维都有错误的结论:"ABEK.AHBC.AFHK. B C AABH都是等腰三角形”选1UABEK,请学生说明ABEK是等腰三角形的理由。
轴对称全章复习(三)八年级数学上(人教版)学习教案
练习 如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，连接
AE与BD.
求证:（2）AE与BD之间的夹角为60°.
A
分析：求两条线段的夹角，实际上
E
是求两条线段所在直线的夹角，因
此需要将BD延长与AE相交.
D
B
C
类型一 共顶点的等边三角形
练习 如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，连接
AE与BD.
求证:（2）AE与BD之间的夹角为60°.
6M E
4 D
∴∠AMB=∠ACB=60°.
5
B
C
类型一 共顶点的等边三角形
A
A
E D
O
D
B
C
E
B
C
图形特征总结：这两个图形是由两个共顶点的等边
三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对 全等三角形.
知识回顾
等腰直角三角形有哪些性质？ ①两直角边相等； ②顶角等于90°，底角等于45°； ③“三线合一”； ④轴对称图形，有1条对称轴.
B、C、E在一条直线上，连接AE、BD交于点O.
求证：（2）AE与BD 之间的夹角为60° .
A
证明: ∵△BCD≌△ACE (SAS)， ∴ ∠ =∠ . ∵∠ =∠ +∠AOB=∠ +∠ACB， ∴∠AOB=∠ACB=60°.
B
D
O
12
C
E
类型一 共顶点的等边三角形
练习 如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，连接
例 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，并且点
B、C、E在一条直线上，连接AE、BD交于点O.
求证：（1） AE=BD；
在△ BCD 和△ACE 中，
人教版八年数学上 第13章_轴对称单元复习课件(共27张PPT)
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理 三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1
轴对称【章节复习】题集【B】(教师版)-初中数学四维三难讲义
轴对称【章节复习】题集【B】一、选择题A. B. C. D.1.【解析】【标注】如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则（ ）．【答案】C 过作，交于点，在中，，，∴，∵，，，∴，∴．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角2.如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，，，则的长为（ ）．A. B. C. D.【解析】【标注】【答案】A ∵平分，，∴．又∵，∴．∴．∵，，∴．故选：．【知识点】等腰三角形的性质-三线合一A.B.C.D.3.【解析】如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（）．ONM【答案】C ∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，A 1123456789101114【标注】又∵，∴，∵，∴，∴，、是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，，，以此类推：．【能力】推理论证能力【知识点】等边三角形的性质A.个B.个C.个D.个4.【解析】【标注】在平面直角坐标系中，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）．【答案】D分二种情况进行讨论：当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．∴符合条件的点一共个．【知识点】等腰三角形的判定-两边相等5.已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ）．A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】【标注】【答案】D ∵是等边三角形，∴，，在和中，，∴≌，∴，∴在与中，，故①正确．∵，∴，∴，故②正确， ，，∴，∴，故④正确，无法判断，故②错误．故选．【知识点】等边三角形与全等二、填空题1.如图，，，的垂直平分线交于点，则．【解析】【标注】【答案】∵，，∴，∵的垂直平分线交于点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【能力】推理论证能力【知识点】作线段的垂直平分线【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角【知识点】三角形内角和的应用【知识点】线段的垂直平分线的性质定理2.【解析】如图，，点为内一点，．点、分别在、上，则周长的最小值为 ．AOBMNP【答案】过作关于直线、的对称点、，连、交于点，交于点，【标注】A OBMN PP 1P 2∴，∵，∴，∴．【知识点】轴对称的定义3.【解析】如图，中，，，于，是的平分线，且交于点．如果，则的长为 ．【答案】∵中，，，∴又∵是的平分线，∴，∴，，∴，，又∵，∴，∴的等边三角形，则，在直角中，，则，∴，∴．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】等边三角形的性质4.【解析】【标注】为等边三角形，，，分别在边，，上，且，则为 三角形．【答案】等边 或 正∵为等边三角形，∴，又，∴，∴≌≌，∴，即为等边三角形．故填等边．【知识点】等边三角形的判定三、解答题1.如图，在所给网络图（每小格均为边长是的正方形）中完成下列各题：（1）（2）（3）（1）（2）【解析】画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的．在上画出点，使最小．求的面积．【答案】（1）（2）（3）画图见解析．画图见解析．．考查将军饮马最值问题，过点做的对称点，连接，交于点．（3）【标注】对称后面积不变，所以的面积等于的面积，．【知识点】轴对称的性质【知识点】坐标系中的对称-图形的对称【能力】推理论证能力（1）（2）（3）2.（1）（2）【解析】如图，是等边内的一点，已知，，，≌．求证：是等边三角形．若，试判定的形状，并说明理由．当是等腰三角形时，试求出的度数．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．直角三角形，理由见解析．或或∵≌，∴，，∴是等边三角形．∵∴（3）【标注】∴∴是直角三角形．∵，，．①；②，；③，．【知识点】全等三角形的对应边与角（1）（2）（3）3.（1）（2）【解析】已知在中，于点，，点为左侧一动点，如图所示，点在的延长线上，交于，且．BCAE D OF求证：．求证平分．若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．的度数不变化．∵，，又∵，∴．（3）【标注】过点作于点，作于点，BCAEDOMN F 则．∵，，∴，∵，∴≌，∴，∴平分．在上截取，连接．BCAE D OPF∵，∴．∵，，，∴≌，∴，，∴，即是等边三角形，∴，∴．【知识点】全等三角形的对应边与角（1）4.解答下列问题：问题发现：如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．12（2）1（1）【解析】填空：的度数为 ．判断线段、之间的数量关系，并说明理由．拓展探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．求的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】12（1）（2）．．∵和均为等边三角形，∴，，．∴．在和中，，∴≌．∴．∵为等边三角形，∴．∵点、、在同一直线上，∴．2（2）【标注】∴．∴．∵≌，∴．∵和均为等腰直角三角形，∴，，，∴．在和中，，∴≌．∴，．∵为等腰直角三角形，∴．∵点、、在同一直线上，∴．∴．∴．∵，，∴．∵，∴．∴．【能力】推理论证能力【知识点】等腰直角三角形的性质【知识点】等边三角形的性质【知识点】对应边【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角（1）5.已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作等边（顶点、、按逆时针方向排列），连接．如图，当点在边上时，求证：①；②．（2）（3）（1）【解析】 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由．如图，当点在边的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、、之间存在的数量关系．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．画图见解析．∵和都是等边三角形，∴，，．∴，即．在和中，∴≌，∴．∵，，（2）（3）∴．不成立，、、之间存在的数量关系是：．理由：∵和都是等边三角形，∴，，．∴，∴在和中，∴≌∴∴，∴．补全图形（如图）、、之间存在数量关系是：．理由：∵和都是等边三角形，∴，，．∴，∴在和中∴≌∴．∵，∴，∴．【标注】【知识点】动点与线段-无数轴。
轴对称图形(章复习)
∵MN垂直平分AB，且点C在MN上
∴AC=BC (2)到线段两端距离相等的点在 线段的垂直平分线上 ∵ AC=BC
C A D B
∴点C在AB的垂直平分线上
∵ AC=BC，AD=BD ∴点C、D在AB的垂直平分线上 ∴CD是AB的垂直平分线
（1）角平分线上的点到角 的两边的距离相等.
∵OC平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE （2）角的内部到角两边距离相 等的点在角的平分线上. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD=PE ∴OC平分∠AOB
C
∴ AB=AC
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 等边三角形的各角都等于60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
A
D
B
C
直角三角形斜边ห้องสมุดไป่ตู้的中线等于斜边的一半
在Rt△ABC中，∠ACB=90° ∵点D是AB的中点 ∴
1 CD AB 2
A
等腰三角形两底角相等 （简称“等边对等角”） ∵AB=AC
B A
C
∴∠B=∠C
等腰三角形底边上的高线、中线及 顶角平分线重合 （“等腰三角形的三线合一”） ∵AB=AC,AD⊥BC
B
D
C
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD 等
A
有两个角相等的三角形是等腰 三角形（简称“等角对等边”）
∵∠B=∠C
B A
轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折， 如果它能够与另一个图形重合， 那么称这个两个图形关于这条直 线对称，也称这两个图形成轴对 称，这条直线叫做对称轴 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线 折叠，如果直线两旁的部分能 够互相重合，那么称这个图形 是轴对称图形，这条直线叫做 对称轴
章复习 第12章 轴对称
章复习第12章轴对称一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的__________．这时，我们也说这个图形关于这条直线____或____________．2、线段的垂直平分线⑴垂直平分线的定义．经过____________并且____________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，垂直平分线也称__________．⑵垂直平分线的性质．①线段垂直平分线上的点②与一条线段两个端点距离相等的点，注：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且交点____________3、轴对称⑴定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够________________，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形____________，这条直线叫做________，折叠后重合的对应点，叫做________．⑵轴对称的性质：①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是____________②轴对称图形的对称轴是____________成轴对称的两个图形是____形；成轴对称的两个图形，它们的对应线段或延长线如果相交，则交点在______上．注：轴对称与轴对称固形的区别与联系：区别：轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形．联系：①它们的定义中都是沿某直线____，图形____．②如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个____________；反过来，把轴对称图形的对称的两部分当作两个图形，那么这两个图形____________．4、轴对称变换⑴定义：由一个平面图形得到它的____________的图形变换叫做轴对称变换．⑵利用坐标表示轴对称．利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y，轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为________ ；关于y轴对称的点的坐标为________．二、等腰三角形1、等腰三角形⑴定义：____________的三角形，叫做等腰三角形．相等的两条边叫做____，另一条边叫做____，两腰所夹的角叫做____，底边和腰的夹角叫做____．⑵性质：①等腰三角形的两腰____；②等腰三角形的两个底角____（即____________）；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高相互重合，简称为____________．⑶等腰三角形的判定（等角对等边）：如果一个三角形____________，那么____________________，（简称为____________）即____________2、等边三角形⑴定义：注：等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
八年级数学上第13章《轴对称》期末复习课件
折叠（对折）
这条直线就是
对称轴
1.轴对称图形的定义： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的
图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做__对__称__轴。
图(1)能与图(2)重合吗？
这条直线也是
___对_称__轴___
2.两个图形 关于某直线对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形 重合，那么我们就说这两个图_____关__于__这__条__直__线__对_。称
A
图中有哪些等腰三角形？
解：∠1=720 ∠2=360
2
等腰三角形有：
B
⊿ABC 、⊿ABD 和 ⊿BCD
D 1
C
等边三角形的定义：三条边都相等 的三角形叫做等边三角形。
A
B
C
11.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个内角都等于60 °
12.等边三角形的判定：
判定1：
三个角都相等的三角形是 等边三角形。
判定2：
有一个角是 60°的等腰三角形是 等边三角形。
13.用法归纳
1、等腰三角形的判定方法有下列几 种：1定义 2判定定理 。
2、等边三角形的判定方法有以下几
种：1定义 2判定1 3判定2
。
3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反 。
4、运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中。
(D)
特殊的轴对称图形:
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯 形和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不 止一条
1.找到一组对应点， 2.画出以这两点为顶点的线段的垂直 平分线。
练习４：如图，已知△ABC和直线 ，作出与△ABC 关于直线 对称的图形。
轴对称(精选精练)(全章常考知识点分类专题)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破
专题13.13轴对称（精选精练）（全章常考知识点分类专题）【考点目录】【考点1】识别轴对称图形；【考点2】利用轴对称图形性质求解；【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；【考点5】利用轴对称性质求最值；【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；【考点7】等腰三角形（三线合一）；【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；【考点9】等腰三角形性质与判定求值证明；【考点10】等边三角形的性质与判定求；【考点11】含30度的直角三角形；【考点12】课题学习（最短路径问题）.一、单选题【考点1】识别轴对称图形；1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（）A ．圆B ．正方形C ．梯形D ．等边三角形【考点2】利用轴对称图形性质求解；3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC V 和AB C ''△关于直线l 对称，l 交CC '于点D ，若4,2,1AB B C CD ''===，则五边形ABCC B ''的周长为（）A ．14B ．13C ．12D ．114．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点()5,6A -关于点()0,P m 对称的点A '在x 轴上，则m 的值为（）A ．3-B ．52-C ．52D ．3【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；5．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果2∠比1∠大90︒，则2∠的度数为（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒6．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把ABC V 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外面时，此时测得1112∠=︒，40A ∠=︒，则2∠的度数为（）A ．32︒B ．33︒C ．34︒D ．36︒【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）．A ．MAF NAF ∠=∠B ．EF DF =C ．DAF DFA ∠=∠D ．AF D E⊥8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在ABC V 中，AB 的垂直平分线DM 交BC 于点D ，边AC 的垂直平分线EN 交BC 于点E ．已知ADE V 的周长为8cm ，则BC 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；9．（15-16八年级上·重庆荣昌·期末）如图，四边形ABCD 中，130BAD ∠︒＝，90B D ∠∠︒＝＝，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使AMN 的周长最小时，则ANM AMN ∠+∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．130︒10．（19-20九年级·安徽·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，10,AB AD =是BAC ∠的平分线．若,P Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是（）A ．2.4B ．4.8C ．4D ．5【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在PAB 中，,,,PA PB M N K =分别是,,PA PB AB 上的点，且,AM AK BN BK ==，若44MKN ∠=︒，则P ∠=（）°A ．66B ．92C ．96D ．9812．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC V 中，BE ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，ED AC ∥，交BC 于点D ，EF AB ⊥于点F ．若35BC =，5EF =，13DE =，则EBD △的面积为（）A ．50B ．55C ．60D ．65【考点7】等腰三角形（三线合一）；13．（2024·广西·模拟预测）如图，在ABC V 中，AB AC =，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若ABC V 面积为40，且BM MD +长度的最小值为10，则BC 长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1014．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，ABC V 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．下列结论：①AEF AFE ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AG EF ⊥；④FG AC ．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；15．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知a ，b 是等腰三角形的两腰，c 为底边，若22m a ac bc b =-+-，则下列说法正确的是（）A ． 0m >B ．0m =C ．0m <D ． 0m >或0m <16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在直线的夹角为50︒，则这个等腰三角形的顶角为（）A ．40︒B ．50︒C ．40︒或140︒D ．50︒或130︒【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；17．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，B C ∠∠、的平分线相交于F ，过点F 作DE BC ∥，交AB于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的是①BDF CEF 、都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE V 的周长为+AB AC ；④BD CE =．（）A ．③④B ．①②C ．①②③D ．②③④18．（2024·四川泸州·二模）如图，在ABC V 中，AB AC =，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB AC ，于点D 和点E ；②以点B 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点F ；③以F 为圆心，DE 长为半径作弧，在ABC ∠内部交前面的弧于点G ；④过点G 作射线BG 交AC 于点H ．若62BC C A =∠=∠，，则AH 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明;19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，若5AB =，3CE =，则BC 的长为（）A ．4B ．92C ．5D ．20．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在ABC V 中，30A ACB ∠=∠=︒，分别以点B ，A 为圆心，BC ，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ，连接CD ，交AB 的延长线于点E ．有下列结论：①60CBE ∠=︒；②ABC S BE CE =⋅△；③AC CD =；④AE 垂直平分线段CD ．其中，正确结论是（）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【考点11】含30度的直角三角形；21．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:322．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC V 中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和点N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．若ACD 的面积为8，则ABD △的面积是（）A ．8B ．16C ．12D ．24【考点12】课题学习（最短路径问题）.23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，Rt ABC △中，90,345C AC BC AB D E F ∠︒===＝，，，、、分别是AB BC AC 、、边上的动点，则DEF 的周长的最小值是（）A ．2.5B ．3.5C ．4.8D ．624．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形ABCDE 中，230AB BC AE DE AB BC AE DE BCD CDE ⊥⊥==∠+∠=︒，，，，，点P ，Q 分别在边BC ，D 上，连接AP ，AQ ，PQ ，当APQ △的周长最小时，PAQ ∠的度数为（）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．130︒二、填空题【考点1】识别轴对称图形；25．（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是．26．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用()11-，表示，两人都将第4枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第4枚方形棋子的位置可能是．【考点2】利用轴对称图形性质求解；27．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．28．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角ABC V 中，点O 为CAB ∠和ABC ∠的角平分线交点，过点O 作一条直线l ，交线段AB ，BC 分别于点N ，点M ．点B 关于直线l 的对称点为B '，连接B M '，B N '，分别交线段AC 于点E ，点F ．连接EO ，FO ．若ABC m ∠=︒，那么EOF ∠的度数为（用含有m 的代数式表示）．【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；29．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC ()2565A B ∠=︒∠=︒，沿DE 向下折叠，点A 落在点A '处，当EA BC '∥时，1∠=度．30．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，AE 、AF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B '、D ¢，若8B AD ''∠=︒，则EAF ∠的度数为．【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；31．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在ABC V 中，35A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 和N ，直线MN 刚好经过点D ，则C ∠的度数是．32．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线m n ∥，点A 是直线m 上一点，点B 是直线n 上一点，AB 与直线m ，n 均不垂直，点P 为线段AB 的中点，直线l 分别与m ，n 相交于点C ，D ，若90,CPD CD ∠=︒=，m ，n 之间的距离为2，则PC PD ⋅的值为．【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；33．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在ABC V 中，AC 的垂直平分线FE 分别交AC ，AB 于点E ，F ，若点G 是直线EF 上一动点，H 是直线BC 上的一动点，7AB =，3CD =，5BC =，CD AB ⊥，则HG CG +的最小值为．34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是边OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为.【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；35．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，以BC 为边向外作等腰直角三角形BCD △，连接AD ，若4AC =，则ACD S = ．36．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，A EGF ∠=∠，F 为BE ，CG 的中点，4DB =，8DE =，则AD 的长为．【考点7】等腰三角形（三线合一）；37．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 与点E ，A ABE ∠=∠．若7AC =，4BC =，则BD 的长为．38．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰ABC V 中，点D 是底边BC 的中点，过点D 分别作,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别为点,E F ，若93,,22DF BE AF ===，则ABD △的面积为．【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；39．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是150︒，则该等腰三角形的顶角度数是．40．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，120,AOC C ∠=︒是BO 延长线上的一点，10cm OC =，动点P 从点C 出发，沿CB 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点O 出发，沿OA 以1cm /s 的速度移动．如果点,P Q 同时出发，用s t 表示移动的时间，那么当t =时，POQ △是等腰三角形．【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；41．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，AB AC =，D 为AC 的垂直平分线上一点，且CD BC =，BD AB =，则A ∠=．42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P 的运动时间为t ．过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为时，能使DE CD =？【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明.43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，ABC V 中，30,5A BC ∠=︒=，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，若CE CB =，则BCE 的周长为．44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为G ，H ，展平纸片，连结BG ，BH ，则ABH ∠与GAM ∠的关系是．【考点11】含30度的直角三角形；45．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OA ，PD OA ⊥于点D ，4PC =，则PD =．46．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，ABC V 是等边三角形，4AB =．过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【考点12】课题学习（最短路径问题）.47．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,30AB DBC =∠=︒，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且EF BD ⊥，当BE DF +取得最小值时，AE 的长为．参考答案：题号12345678910答案D D A A D A C D C B 题号11121314151617181920答案C B C C BCCDAD题号21222324答案DBCB1．D【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．2．D【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【详解】解：A ．圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；B ．正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意；C ．梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意；D ．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意．故选：D ．3．A【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长．【详解】解：∵ABC V 和AB C ''△关于直线l 对称，l 交CC '于点D ，∴,,AB AB BC B C DC DC ''''===，∵4,2,1AB B C CD ''===，∴4,2,1AB BC DC ''===，∴五边形ABCC B ''的周长为：42112414+++++=．故选：A ．4．A【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A 作AH y ⊥轴于H ，则5AH =，6OH =，由轴对称的性质得到AP A P '=，证明()AAS APH A OP ' ≌，得到132OP PH OH ===，据此可得答案．【详解】解：过A 作AH y ⊥轴于H ，∵点()5,6A -，∴5AH =，6OH =，∵点A 与点A '关于点()0,P m 对称，∴AP A P '=，在APH V 与A PO '△中，90AHP A OP APH A POAP A P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AAS APH A OP ' ≌，∴132OP PH OH ===，∴3m =-，故选：A．5．D【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质．根据平行线的性质、折叠的性质得到122BAD ADC ∠=∠=∠，进而求出1218012∠=︒-，结合“2∠比1∠大90︒”求解即可．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，∴1,BAM BAD ADC ∠=∠∠=∠，∵长方形纸条折叠，∴BAD MAD ADC ∠=∠=∠，∴122BAD ADC ∠=∠=∠，∴112ADC ∠=∠，∴1218018012ADC ∠=︒-∠=︒-∠，∵2∠比1∠大90︒，∴2190∠=∠+︒，∴119018012∠+︒=︒-∠，∴160∠=︒，∴2150∠=︒，故选：D ．6．A【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据折叠的性质得出40A A '∠=∠=︒，根据三角形外角的性质得出172DOA A ∠=∠-∠=︒，再次利用三角形外角的性质即可求出2∠的度数．【详解】解：如图，设A D '与AC 交于点O ，40A ∠=︒ ，∴根据折叠的性质，40A A '∠=∠=︒，1DOA A ∠=∠+∠ ，1112∠=︒，11124072DOA A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，2DOA A '∠=∠+∠ ，2724032DOA A '∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．7．C【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知AD AE DF EF ==，，则可证明DAF EAF △≌△得到DAF EAF DF EF ==∠∠，，进一步可证明AF 垂直平分DE ，据此可得答案．【详解】解：由作图方法可知AD AE DF EF ==，，又∵AF AF =，∴DAF EAF △≌△，∴DAF EAF DF EF ==∠∠，，∴AF 垂直平分DE ，∴MAF NAF ∠=∠，AF D E ⊥，根据现有条件无法得到DAF DFA ∠=∠，故选：C ．8．D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得DA DB =，EA EC =，结合ADE V 的周长8cm ，得出8cm BD DE EC ++=，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．【详解】解：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，∵EN 是AC 的垂直平分线，∴EA EC =，∵ADE V 的周长8cm ，∴8cm AD DE AE ++=，∴8cm BD DE EC ++=，∴8cm BC =，∴BC 的长为8cm ；故选：D ．9．C【分析】作A 点关于CD 的对称点F ，作A 点关于BC 的对称点E ，连接EF 交CD 于N ，交BC 于M ，连接AM 、AN 、此时AMN 的周长有最小值，由对称性求出50BAM DAN ∠+∠=︒，则有80MAN ∠=︒，即可求180100ANM AMN MAN ∠+∠=︒-∠=︒．【详解】解：如图，作A 点关于CD 的对称点F ，作A 点关于BC 的对称点E ，连接EF 交CD 于N ，交BC 于M ，连接AM 、AN ，∵==90B D ∠∠︒，∴=AN NF ，=AM EM ，∴AM N ∆的周长===AM AN MN NF MN EM EF ++++，此时AMN 的周长有最小值，∵=FAN F ∠∠，=E EAM ∠∠，∴=180E F BAD ∠+∠︒-∠，∵130BAD ∠=︒，∴=50E F ∠+∠︒，∴=50BAM FAN ∠+∠︒，∴()=13050=80MAN BAD BAM FAN ∠∠-∠+∠=︒-︒︒，∴=180=100ANM AMN MAN ∠+∠︒-∠︒，故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．10．B【分析】由题意可以把Q 关于B 对称到AB 的O 点，如此PC PQ +的最小值问题即变为C 与线段AB 上某一点O 的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【详解】解：如图，作Q 关于B 的对称点O ，则PQ PO =，连接PO ，过点C 作CM AB ⊥于点M ，所以O 、P 、C 三点共线时，CO PC PO PC PQ =+=+，此时PC PQ +有可能取得最小值，当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO 的长度最小，∴PC PQ +的最小值即为CM 的长度， 1122ABC S AB CM AC CB =⨯=⨯V ，∴684.810CM ⨯==，即PC PQ +的最小值为4.8．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．11．C【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即A B ∠=∠，同理得出12∠=∠，因为44MKN ∠=︒，运用平角性质算出()11218044682∠=∠=⨯︒-︒=︒，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．【详解】解：PA PB = ，A B ∴∠=∠，如图：∵,AM AK BN BK ==∴()()111180218022A B ∠=︒-∠∠=︒-∠，，∵A B ∠=∠∴12∠=∠∵44MKN ∠=︒∴()11218044682∠=∠=⨯︒-︒=︒∴44B A ∠=∠=︒在PAB 中，18092P A B ∠=︒-∠-∠=︒故选：B ．12．B【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E 作EM BC ⊥于M ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM ，根据平行线和角平分线的性质易证DCE DEC ∠=∠，根据等角对等边求得CD ，从而求得BD ，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E 作EM BC ⊥于M ，BE 平分ABC ∠，EM BC ⊥，EF AB ⊥，5EF =，5EM EF ∴==，CE 平分ACB ∠，ACE DCE ∴∠=∠，ED AC ∥，ACE DEC ∴∠=∠，DCE DEC ∴∠=∠，13CD DE ∴==，35BC =Q ，351322BD BC CD ∴=-=-=，11·2255522EBD S BD EM ∴==⨯⨯=V ，故选：B ．13．C【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接AM ，过点A 作AH BC ⊥于点H ．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点H 与点D 重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出10BM MD AM MD AH ∴+=+≥=最后利用三角形的面积公式求出BC 即可．【详解】解：如图，连接AM ，过点A 作AH BC ⊥于点H ．∵D 为BC 中点，AB AC =，∴点H 与点D 重合，EF 垂直平分线段AB ，MA MB =∴，10BM MD AM MD AH ∴+=+≥=，12ABC S BC AH ∆=⋅⋅ ，402810BC ⨯∴==，故选：C ．14．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得90ABE AEF ∠+∠=︒，90CBE BFD ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由此即可判断①正确；假设EBC C ∠=∠成立，可求出30C ∠=︒，根据已知条件即可判断②错误；先证出AB GB =，ABG 是等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得DAG AGF ∠=∠，从而可得CAG AGF ∠=∠，再根据平行线的判定即可判断④正确．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90ABE AEF ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90CBE BFD ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，∴AEF BFD ∠=∠，又∵AFE BFD ∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，结论①正确；假设EBC C ∠=∠成立，∵90ABE CBE C ∠+∠+∠=︒，ABE CBE ∠=∠，∴30C ∠=︒，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误；∵90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴90BAD ABC C ABC ∠+∠=︒=∠+∠，∴BAD C ∠=∠，∵AG 平分DAC ∠，∴DAG CAG ∠=∠，∴BAG BAD DAG C CAG BGA ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴AB GB =，ABG 是等腰三角形，∴AG EF ⊥，BE 垂直平分AG （等腰三角形的三线合一），结论③正确；∴AF FG =，∴DAG AGF ∠=∠，∴CAG AGF ∠=∠，∴FG AC ，结论④正确；综上，正确的结论是①③④，故选：C ．15．B【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义以及整式加减运算，解题的关键是得出a b =．根据题意得出a b =，代入即可求解；【详解】解：∵a ，b 是等腰三角形的两腰，∴a b =，∴22220m a ac bc b a ac ac a ==-+-+-=-，故选：B ．16．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．根据题意分两种情况，当ABC V 是锐角三角形时，当ABC V 是钝角三角形时，讨论求解即可；【详解】解：分两种情况：当ABC V 是锐角三角形时，如图：DE 是AB 的垂直平分线，90ADE ∴∠=︒，50AED ∠=︒ ，9040A AED ∴∠=︒-∠=︒；当ABC V 是钝角三角形时，如图：DE 是AB 的垂直平分线，90ADE ∴∠=︒，50AED ∠=︒ ，9040DAE AED ∴∠=︒-∠=︒，180140DAC DAE ∴∠=︒-∠=︒；综上所述：这个等腰三角形的顶角为40︒或140︒，故选：C ．17．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵DE BC ∥，DFB FBC ∴∠=∠，EFC FCB ∠=∠，BF 是ABC ∠的平分线，CF 是ACB ∠的平分线，FBC DFB ∴∠=∠，FCE FCB ∠=∠，DBF DFB ∠=∠ ，EFC ECF ∠=∠，DFB ∴ ，FEC 都是等腰三角形．故①正确，DF DB ∴=，FE EC =，即有DE DF FE BD CE =+=+，故②正确，ADE ∴V 的周长AD AE DE AD AE DB EC AB AC ++=+++=+．故③正确，BD CE ，不一定相等，故④错误，故选：C ．18．D【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明36A ABH ∠=∠=︒，72C BHC ∠=∠=︒，推出BC BH AH ==即可．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，∵2C A ∠=∠，∴2ABC C A ∠=∠=∠，∵180A ABC C ∠+∠+∠=︒，∴22180A A A ∠+∠+∠=︒，∴36A ∠=︒，由作图可知，36ABH A ∠=∠=︒∴,AH BH =72ABC C ∠=∠=︒∴723636CBH ∠=︒-︒=︒，∴180367272CHB ∠=︒-︒-︒=︒∴C CHB ∠=∠，∴6BC BH AH ===．故选：D ．19．A【分析】根据等边ACD 可得AC CD =，再根据60ABC ∠=︒可以得出CAB DCE ∠=∠，过点C 作CP AB ⊥于点P ，进而证明全等三角形，将线段AB 一分为二，分别求出两段的长度，进而求出BC 的长度．【详解】解： 等边ACD ，AC CD ∴=，60ACD ∠=︒．120ACB DCE ∴∠+∠=︒．60ABC ∠=︒ ，120CAB ACB ∴∠+∠=︒．CAB DCE ∴∠=∠．过点C 作CP AB ⊥于点P，90APC ∴∠=︒．DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒．在DCE △和CAP 中，DEC CPA CAP DCE DC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)DCE CAP ∴△≌△．3CE AP ∴==．5AB = ，2BP ∴=．在Rt BPC △中，=60B ∠︒，∴9030BCP B ∠=︒-∠=︒，24BC BP ∴==．故选：A ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．20．D【分析】连接AD ，BD ，根据等角对等边可得BA BC =，再利用三角形的外角性质可得60CBE ∠=︒，然后根据题意可得：BC BD =，AD AC =，从而可得AE 是CD 的垂直平分线，进而可得90AEC ∠=︒，再利用直角三角形的两个锐角互余可得60ACE ∠=︒，30BCE ∠=︒，从而在Rt BCE 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得2BC BE =，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得ABC S BE CE =⋅△，最后再根据等边三角形的判定可得ACD 是等边三角形，从而可得AC CD =，即可解答．【详解】解：连接AD ，BD ，30CAB ACB ∠=∠=︒ ，BA BC ∴=，CBE ∠ 是ABC V 的一个外角，60CBE CAB ACB ∴∠=∠+∠=︒，由题意得：BC BD =，AD AC =，AE ∴是CD 的垂直平分线，90AEC ∴∠=︒，9060ACE CAB ∴∠=︒-∠=︒，9030BCE CBE ∠=︒-∠=︒，2BC BE ∴=，12ABC S AB CE ∴=⋅ 12BC CE =⋅122BE CE =⨯⋅BE CE =⋅，AC AD = ，60ACE ∠=︒，ACD ∴是等边三角形，AC CD ∴=，所以，上列结论，其中正确的是①②③④，故选：D ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．D【分析】先根据30︒角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，在ABE 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S = ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30︒角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．B【分析】本题考查了尺规作图，含30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD 平分BAD ∠，则可求30CAD DAB ∠=∠=︒，利用含30︒的直角三角形的性质得出12CD AD =，利用等角对等边得出AD BD =，进而得出12CD BD =，然后利用面积公式即可求解．【详解】解：∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒，由作图知：AD 平分BAD ∠，∴30CAD DAB ∠=∠=︒，∴12CD AD =，B BAD ∠=∠，∴AD BD =，∴12CD BD =，∴112122ACD ABD CD AC S CD S BD BD AC ⋅===⋅ ，又ACD 的面积为8，∴ABD △的面积是2816⨯=，故选B ．23．C【分析】如图作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，B ，EN ，FM ，DN ，DM ．由MCA DCA ∠∠=，BCN BCD ∠∠=，90ACD BCD ∠∠+=︒，推出180MCD NCD ∠∠+=︒，可得M 、B 、N 共线，由DF DE EF FM EN EF ++=++，FM EN EF MN ++≥，可知当M 、F 、E 、N 共线时，且CD AB ⊥时，DE EF FD ++的值最小，最小值2CD =，求出B 的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，B ，EN ，FM ，DN ，DM．∴DF FM =，DE EN =，CD CM =，CD CN =，∴CD CM CN ==，∵MCA DCA ∠∠=，BCN BCD ∠∠=，90ACD BCD ∠∠+=︒，∴180MCD NCD ∠∠+=︒，∴M 、C 、N 共线，∵DF DE EF FM EN EF ++=++，∵FM EN EF MN ++≥，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD AB ⊥时，DE EF FD ++的值最小，最小值为2MN CD =，∵CD AB ⊥，∴1··2AB CD =1··2BC AC ，∴CD =·BC AC AB =1252.4=，∴DE EF FD ++的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．24．B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长A 到点G 使得BG AB =，延长AE 到点F 使得EF AE =，连接GF 交BC 、D 于点1P 、1Q ，则这时APQ △的周长最小，根据无变形的内角和求出BAE ∠的度数，根据轴对称的性质得到1P AG G ∠=∠，1Q AF F ∠=∠，然后计算解题即可．【详解】解：延长A 到点G 使得BG AB =，延长AE 到点F 使得EF AE =，∵AB BC AE DE ⊥⊥，，∴BC 、D 垂直平分AG 、AF ，连接GF 交BC 、D 于点1P 、1Q ，则11PG P A =，11Q F Q A =，∴11111111FG PG PQ Q F P A PQ Q A=++=++，这时APQ △的周长最小，∵AB BC AE DE ⊥⊥，，∴90ABC AED ∠=∠=︒，又∵230BCD CDE ∠+∠=︒，∴()5405409090230130BAE ABC AED BCD CDE ∠=︒-∠-∠-∠+∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴180********G F BAE ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵11PG P A =，11Q F Q A =，∴1P AG G ∠=∠，1Q AF F ∠=∠，∴11111305080P AQ BAE P AG Q AF BAE G F ∠∠∠=∠--=∠-∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．25．直角梯形【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；【详解】解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；所以不是轴对称图形的是直角梯形，故答案为：直角梯形．26．(1,2)-【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答．此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．【详解】解：如图：符合题意的点为(1,2)-．故答案为：(1,2)-．27．36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．【详解】解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．28．1902m ︒-︒【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，过点O 作OH BC ⊥，OI AB ⊥，OJ B N '⊥，OK AC ⊥，OG B M '⊥，根据角平分线的性质定理得到OG OK =，然后证明出()Rt Rt HL GOF KOF ≌，得到GOF KOF ∠=∠，KOE JOE ∠=∠，然后求出12EOF GOJ ∠=∠，然后根据对称的性质得到A m B BC ∠=︒'∠=，进而求解即可．【详解】如图所示，过点O 作OH BC ⊥，OI AB ⊥，OJ B N '⊥，OK AC ⊥，OG B M '⊥∵点O 为CAB ∠和ABC ∠的角平分线交点，∴OH OI OK==∵点B 关于直线l 的对称点为B '，∴OM 平分B MB '∠，ON 平分B NB'∠∴OH OG =，OI OJ=∴OG OK=∵90OGF OKF ∠=∠=︒，OF OF=∴()Rt Rt HL GOF KOF ≌∴GOF KOF∠=∠同理可得，KOE JOE∠=∠∴111222EOF KOF KOE GOK JOK GOJ ∠=∠+∠=∠+∠=∠∵点B 关于直线l 的对称点为B '，∴A m B BC ∠=︒'∠=∵9090180B GO B JO ''∠+∠=︒+︒=︒∴180180GOJ B m '∠=︒-∠=︒-︒∴()11118090222EOF GOJ m m ∠=∠=︒-︒=︒-︒．故答案为：1902m ︒-︒．29．70【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出ACB ∠的度数，然后根据折叠可知：∠AED ＝∠A ′ED ＝45°，再利用平行线的性质求出EFD ∠，最后利用三角形内角和求出1∠即可．【详解】解：由折叠可知：AED A ED ∠=∠'，∵2565A B ∠=︒∠=︒，，∴A B ∠∠=︒+90，∴90ACB ∠=︒，∵EA BC '∥，∴90AEA ACB ∠'=∠=︒，∴45AED A ED ∠=∠'=︒，∵'EA BC ∥，65B ∠=︒，∴65EFD B ∠=∠=︒，∵1180EFD A ED ∠+∠+∠'=︒，∴1180654570∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：70．30．41︒/41度【分析】本题考查了折叠的性质，由长方形和折叠的性质结合题意可求出49EAB FAD ''∠+∠=︒．再根据EAF EAB FAD B AD ''''∠=∠+∠-∠，即可求出答案．掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：由长方形的性质可知：90BAE EAD B AD B AF DAF ''''∠+∠+∠+∠+∠=︒，。
(完整)初二数学八上第十三章轴对称知识点总结复习和常考题型练习,推荐文档
第十三章轴对称、知识框架:二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形•⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称 •铀对称图形AA\L区別只对f —冲-)ft-fKmr150对裤轴CF 一佥只冇一舉>(“轴对称旳睛(WK 予秤瓚的俭M 工菲.矗麹»JSt :t 鹽个、曲擢： 心)只有1一頭〉对務柄联系却晁把射对材囲宼泊对禅轴 曲卿撷甘"么卿牛曲癣 轶夭于迭条 W 鑽處抽对耕-如杲把.阿十庇抽对秤的国招 拼& — 妊呑虑一* 益林.外 也亡赣足一亍轴对STSJ 搭-(4) 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直 平分线• (5) 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 •相等的两条边叫做腰， 另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角(6) 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2.基本性质：⑴对称的性质：① 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称， 对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.② 对称的图形都全等•③ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
④ 两个图形关于某条直线成轴对称， 如果它们的对应线段或延长线相交， 那么交点在对称轴上。
⑵线段垂直平分线的性质：① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ② 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点(x, y )关于x 轴对称的点的坐标为(x, -y ).②点（x, y ）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y ）.③点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y ）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等•②等腰三角形两底角相等（等边对等角）③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合•④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等•②等边三角形三个内角都相等，都等于60 °③等边三角形每条边上都存在三线合一④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.（6）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形•②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）•⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形•②三个角都相等的三角形是等边三角形•③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短•常考例题精选1. （2015 •三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是（）2. （2015 •日照中考）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）ABC3. （2015 •杭州中考）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）4. （2015 •凉山州中考）如图，/ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/ 1的度数为（）A.30 °B.45 °C.60 °D.755. （2015 •德州中考）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）771 ~1 ~2 ~~ ~~6 ~7 d F A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4）D.（8，3）6. （2015 •南充中考）如图，△ ABC中, AB=AC Z B=70，则/A的度数是（）A.70 ° B.55C.50 °D.407. （2015 •玉溪中考）若等腰三角形的两边长分别为4和8,贝尼的周长为（）A.12B.16C.20D.16 或208. （2014 •海门模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ ABC向右平移两个单位长度得到△ A B' C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是（）A.（0，-1） B.（1，1） C.（2，-1）D.（1，-1）9. （2015 •绵阳中考）如图，AC BD相交于O, AB// DC AB=BC / D=40，/ ACB= 35°，则/ AOD= ______ .10. （2015 •丽水中考）如图，在等腰厶ABC中，AB=AC Z BAC=50，/ BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则/ CEF的度数1. （2015遵义）观察下列图形，是轴对称图形的是（）2. 点P（5，—4）关于y轴的对称点是（）A. （5，4）B. （5，—4）C. （4，—5）D. （—5，—4）3. 如图，△ ABC与厶ADC关于AC所在的直线对称，/ BCD= 70° ，/ BA B C D=80°，则/ DAC的度数为（）D. 854. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° ，/ B = 15° ，DE 垂直平分AB 交BC于点E，BE = 4，则AC长为（），第4题图）A. 2B. 3C. 4 D .以上都不对6. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图 所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是8. 如图，D ABC 内一点，CD 平分Z ACB ，BE 丄CD ，垂足为D ，交AC 于点 E ，Z A ABE ，AC = 5，BC = 3，贝U BD 的长为（）9.如图，已知S A ABC = 12, AD 平分Z BAC ，且AD 丄BD 于点D ，则S ^ADC的值是（ ）5. 如图，AB = AC = AD ,若/ BAD = 80则/ BCD =(C. 140 D . 1607. （2015玉林）如图，在厶ABC正确的是（ ）EC C . 中，AB = AC ，DE // BC ，则下列结论中不 Z ADE = Z C D . DE = *BC，第5题图）(A . 10 B. 8 C . 610. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A , E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE, AD 与BE交于点O, AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论：①AD = BE;②PQ// AE ;③AP= BQ; ④DE= DP;⑤/ AOB = 60° .其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，D, E ABC两边AB , AC的中点,将厶ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若/ B = 55° ,则/BDF等于____________ .A「，第12题图）13. ____________________________________________________________ 如图，在3X 3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________________________ 种.14. 如图，在厶ABC中，AB = AC , AB的垂直平分线交BC于点D ,垂足15. _______ 在厶ABC中，AC = BC,过点A作厶ABC的高AD ,若/ ACD = 30 贝B = __________ .16. ____ 如图，△ ABC中，D, E分别是AC , AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①/ EBO = /DCO;②/ BEO = /CDO:③BE = CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：.，第16题图）17. _________________________ 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2,则六边形的周长是 .' ，第17题图）18. __ 如图，已知/AOB = 30° ，OC平分/ AOB，在OA上有一点M，OM =10 cm,现要在OC, OA上分别找点Q，N，使QM + QN最小，则其最小值为.，第18题图）19. 如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P.不写作法，保留作图痕迹）23.如图，△ ABC，△ ADE是等边三角形，B，求证：(1)CE=AC + DC; (2)Z ECD = 60° . C，D在同一直线上.20. 如图，在平面直角坐标系中，A( —2, 2), B( —3, —2).(1) 若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为__________ ;(2) 将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为________ ;(3) 求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积.■I r厂m ! I I_ ■i == = Ji1 l:-一十一4二* t： 1 ER I r21. 如图，在厶ABC 中，AB = AC, D 为BC 为上一点，/ B = 30° ，/ DAB45(1) 求/ DAC的度数；(2)求证：DC = AB.22. (2015潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB = CB，AD = CD，角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.请你写出与筝形ABCD的24. 如图,在等腰Rt A ABC中,/ ACB = 90° , D为BC的中点,DE丄AB , 垂足为E,过点B作BF // AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1) 求证：AD丄CF;(2) 连接AF ,试判断△ ACF的形状，并说明理由.25. 如图，已知AE丄FE,垂足为E,且E是DC的中点.(1) 如图①，如果FC丄DC, AD丄DC,垂足分别为C, D,且AD = DC,判断AE是/ FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2) 如图②，如果(1)中的条件“ AD = DC”去掉，其余条件不变，⑴中的结论仍成立吗？请说明理由；(3) 如图③，如果⑴的条件改为“ AD // FC” , (1)中的结论仍成立吗？请说明理由.。