2.3.2离散型随机变量的方差(教学设计)
2.3.2 离散型随机变量的方差
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
离散型随机变量的方差教案
教案：离散型随机变量的方差教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和计算方法；3. 能够运用方差分析数据的不均匀程度。
教学内容：一、离散型随机变量的概念1. 引入随机变量的概念，引导学生理解随机变量是随机现象的结果；2. 讲解离散型随机变量的定义，强调其取值有限且可数的特点；3. 通过实例让学生了解离散型随机变量的具体应用。
二、方差的定义1. 引入方差的概念，引导学生理解方差是衡量数据分散程度的指标；2. 讲解方差的计算公式，强调方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数；3. 通过实例让学生了解方差的计算过程。
三、方差的计算方法1. 讲解如何计算离散型随机变量的方差，强调先求平均数，再求各个数据与平均数差的平方的平均数；2. 通过实例让学生掌握方差的计算步骤；3. 引导学生运用数学软件或工具进行方差的计算。
四、方差的应用1. 讲解方差在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、自然科学等领域；2. 通过实例让学生了解如何运用方差分析数据的不均匀程度，如判断数据的分布情况、比较不同数据的离散程度等；3. 引导学生运用方差进行数据分析，培养学生的实际应用能力。
五、总结与练习1. 总结本节课的主要内容，让学生掌握离散型随机变量的概念、方差的定义和计算方法及其应用；2. 布置练习题，让学生巩固所学内容，提高解题能力。
教学资源：1. 离散型随机变量的定义和方差的计算方法的相关教材或教辅；2. 数学软件或工具，如Excel、MATLAB等；3. 实例数据，如统计数据、经济数据等。
教学评价：1. 学生能正确理解离散型随机变量的概念；2. 学生能熟练运用方差的计算方法计算离散型随机变量的方差；3. 学生能运用方差分析数据的不均匀程度，解决问题。
教案：离散型随机变量的方差（续）教学内容：六、方差的性质1. 讲解方差的性质，包括对称性、非负性、不变性和可加性等；2. 通过实例让学生了解方差的性质在实际应用中的作用；3. 引导学生运用方差的性质进行数据分析。
尹2.3.2离散型随机变量的方差
卫辉一中校本教材高二年级数学（理科）内部讲义§2.3.2 离散型随机变量的方差高二数学备课组 编写：尹永力 审核：郭世忠一、学习目标：1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；2、了解方差公式“2()()D aX b a D X +=”，以及“若~(,)X B n p ，则()(1)D X n p p =-”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.二、重点、难点：学习重点：离散型随机变量的方差、标准差的含义与计算；学习难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.三、教学过程：（一）复习回顾 1、分布列： 2、均值或数学期望： 3、均值或数学期望的性质： 3、两点分布、二项分布的均值：（二）新知探究思考：要从甲、乙两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲同学击中目标靶的环数1X 的分布列为乙同学击中目标靶的环数2X 的分布列为问题（1）：如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两名同学的射击水平？问题（2）：考察12,X X 各自的分布列图（见教材65页图2.3-1），甲、乙两人的射击水平有何差异？问题（3）：从分布列图观察随机变量相对于均值的偏离程度，只是一种直观的定性分析，有时难以区分，理论上需要有一个定量指标来反映，类似样本方差，能否用211(())ni i x E X n =-∑来刻画随机变量的稳定性？概念归纳：1、方差与标准差：X则称()D X = 为随机变量X 的方差， 为随机变量X 的标准差.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离与均值的平均程度 . 思考：随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？ 答：（1）联系：二者都是反映离散程度和稳定性的定量指标；（2）区别：随机变量的方差是常数，样本的方差是随机变量；随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.规律归纳：1、若X 服从两点分布（即~(1,)X B p ），则()(1)D X p p =-.2、若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =-.3、2()()D aX b a D X +=. （三）典型例题例1：随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.（四）随堂练习1、教材68页练习1，2，3.2、设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当=p 时，成功次数的标准差最大，且最大值是 ．3、运动员投篮时命中率6.0=P（1）求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差．（五）课时小结1、离散型随机变量的方差、标准差；2、求随机变量的方差，首先要求随机变量的分布列；再求出均值；最后计算方差（能利用公式的直接用公式，不必列分布列）．四、学习反思：五、作业布置：习题2.3A 组1、5题。
高中数学《离散型随机变量的方差》导学案
§2．3．2离散型随机变量的方差（导学案）一、学习目标：1：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 二、学习过程： 复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξB （n,p ），则E ξ=np导入新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：例4．47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .三、总结反思 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、随堂检测： 一、选择题1.已知随机变量X 的分布列是则E(X)和D(X)分别等于( ) A.1和0 B.1和1.8 C.2和2D.2和0.82.(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为( ) A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.3.(2015·菏泽高二检测)已知随机变量X+η=8，若X ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.64.已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )ξ0 1 2P y 0.4 xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1，写出y与x之间的关系，写出变量的期望和变量平方的期望，写出方差的表示式，表示式是一个关于x的二次函数，根据二次函数求最值可得答案.【解析】5.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为( )A.E(X)=0，D(X)=1B.E(X)=，D(X)=C.E(X)=0，D(X)=D.E(X)=，D(X)=1【解题指南】要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，得X的分布列，再求均值和方差.二、填空题6.已知随机变量X的分布列为：X 1 2 3P 0.4 0.5 x则X的方差为________.7.某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________.【解析】8.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________.【补偿训练】从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸取的白球数为X，已知E(X)=3，则D(X)=________.【解析】三、解答题(每小题10分，共20分)9.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X).(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X).10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值.(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解题指南】利用概率和是1求得a，b；再利用公式求得均值和方差，并做出分析.。
数学：2.3离散型随机变量的均值与方差 教案一(新人教A版选修2-3)
2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 教学过程： 一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:ξx 1 x 2 … x i …P P 1P 2 … P i …6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．ξ 0 1 … k … nPn n q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - 0q p C n n n8.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．ξ123…k … Pp pq2q p … 1k q p -…9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξB （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为ξ 1 2 3 4 5 6P16 16 16 16 16 16从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X DX σ=≈.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X 1/元1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 1 0.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X 2/元1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P 20.40.3 0.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 … nPn 1 n 1 …n1 求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2n -1D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为1ξ1 2 3 4 5 6 7P71 71 71 71 71 71 71 离散型随机变量2ξ的概率分布为2ξ3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3P71 71 71 71 71 71 71 求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有8.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床 次品数ξ1 0123次品数ξ1123概率P0.7 0.2 0.06 0.04概率P0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P0.10.20.40.10.2P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题 意，可得ξ的分布列为ξ 0 5 25 100P400391 501 5001200012.02000110050012550154003910E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要ξ1 2 3 pA0.10.6η1 2 3 p0.3b0.3。
教学设计5：2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差三维目标1．知识与技能(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．(3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差．2．过程与方法通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．3．情感、态度与价值观体会数学的应用价值，提高理论联系实际问题的能力．重点、难点重点：离散型随机变量方差的公式及根据分布列求方差．难点：方差的实际应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点．教学建议本节内容安排在均值之后，是刻画随机变量稳定性的工具，也是对学习过的样本方差的直接延伸，教学时引导学生类比样本方差的定义给出随机变量方差的定义，让学生探究它们的联系与区别，要注意对随机变量的方差和标准差概念、含义的解释，让学生在探究中加深对概念的理解．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量方差的概念、性质及公式．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的方差、标准差的求法．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握离散型随机变量的方差的性质．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值、方差的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.知识1离散型随机变量的方差【问题导思】A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数X 10 1 2 3 P0.70.20.060.04B 机床次品数X 20 1 2 3 P0.80.060.040.10(1)试求E (X 1)，E (X 2)；(2)由E (X 1)和E (X 2)的值能比较两台机床的产品质量吗？ (3)试想利用什么指标可以比较加工质量？【提示】 (1)E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. (2)不能．(3)样本方差．1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．(3)离散型随机变量方差的性质： 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).类型1 求离散型随机变量的方差、标准差例1 已知离散型随机变量X 1的概率分布为X 1 1 2 3 4 5 6 7 P17171717171717离散型随机变量X 2的概率分布为X 2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 P17171717171717求这两个随机变量的均值、方差与标准差．【思路探究】 直接利用离散型随机变量的均值和方差公式求解． 解 E (X 1)＝1×17＋2×17＋…＋7×17＝4；D (X 1)＝(1－4)2×17＋(2－4)2×17＋…＋(7－4)2×17＝4；D (X 1)＝2.E (X 2)＝3.7×17＋3.8×17＋…＋4.3×17＝4；D (X 2)＝(3.7－4)2×17＋(3.8－4)2×17＋(3.9－4)2×17＋(4－4)2×17＋(4.1－4)2×17＋(4.2－4)2×17＋(4.3－4)2×17＝0.04；D (X 2)＝0.2.规律方法1．本题已知分布列求均值、方差和标准差，属较容易题，套用公式即可完成．2．给出分布列求方差时，首先要求均值，然后再求方差和标准差，要注意公式应用要准确． 变式训练已知Y 的分布列为Y 0 10 20 50 60 P1325115215115求D (Y )，D (Y ).解 ∵E (Y )＝Y 1P 1＋Y 2P 2＋Y 3P 3＋Y 4P 4＋Y 5P 5 ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.∴D (Y )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.∴D (Y )＝8 6.类型2离散型随机变量的方差的性质及应用例2 已知η的分布列为：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【思路探究】 (1)利用方差公式求解，首先求出均值E (η)，然后利用D (η)定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)．解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)， ∴D (Y )＝D (2η－E (η)) ＝22D (η)＝4×384＝1 536. 规律方法1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 2．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )，若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程． 互动探究将本例的分布列改为η 1 2 3 4 5 P0.10.20.40.20.1其他不变，如何求解？解 (1)∵E (η)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，∴D (η)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2， ∴D (η)＝ 1.2. (2)∵Y ＝2η－E (η)∴D (Y )＝D (2η－Eη)＝22D (η)＝4×1.2＝4.8.类型3方差的实际应用例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：ξA 110 120 125 130 135 P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．【思路探究】要比较两种材料的质量，需先比较其抗拉强度的期望，然后再看其方差值．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)＜D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．规律方法1．本题采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．2．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．变式训练甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.X012P 610110310Y012P 510310210解工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )＞D (Y )，可见乙的技术比较稳定．易错易误辨析 错用方差公式致误典例 已知η＝3ξ＋18，且D (ξ)＝13，D (η)＝________.【错解】 ∵D (ξ)＝13，η＝3ξ＋18.∴D (η)＝D (3ξ＋18)＝9D (ξ)＋18＝9×13＋18＝11718【答案】 11718【错因分析】 解答过程中，记错了方差的性质公式D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)直接导致解答出错．【防范措施】 熟练掌握方差的性质是解答此类问题的关键． 【正解】 D (η)＝D (3ξ＋18)＝9D (ξ)＝9×13＝117.【答案】 117课堂小结1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值和方差，可直接用均值、方差的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．3．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．当堂检测1．下面说法中正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值 【解析】 根据期望与方差的概念知选项C 正确． 【答案】 C2．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )和E (X )分别为( )A ．0.25和0.5B ．0.75和0.5C ．0.25和1D ．0.75和1【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】 A3．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则n ＝________，p ＝________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6np (1－p )＝3解得n ＝12，p ＝12.【答案】 12 124．已知随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 P121316求X 的均值、方差和标准差．解 均值E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋(x 3－E (X ))2·p 3＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59；标准差D (X )＝53.。
学案12：2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法例1 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX .温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX =（-1）×21+0×(1-2q )+1×q 2=q 2-21； DX =［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q )+［1-(q 2-21)］2×q 2.这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差例2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1.三、方差的应用例3 海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2（单位：s），其分布列如下：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.温馨提示随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X与其均值的偏差较大，反之，则表明X与其均值的偏差较小.各个击破类题演练1 若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.变式提升1 某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.类题演练2 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值.变式提升2 证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.类题演练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为：计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.变式提升3 现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：甲乙根据以上条件，选派谁去合适？参考答案课堂导学例1 解：由于离散型随机变量的分布列满足(1)p i ≥0，i =1，2，3，...； (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故221(12)1,20121,1.q q q q ⎧+-+=⎪⎪≤-≤⎨⎪≤⎪⎩解得q =1-22. 故X 的分布列为∴EX =(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-) =-2321++（-2）=1-2； DX =［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1.例2 解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ）， 那么σX =)1(100p p DX -=，因为DX =100p (1-p )=100p -100p 2（0≤p ≤1）. 把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p =21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p =21时，成功次数的标准差的最大值为5. 例3 解：∵EX 1=0，EX 2=0， ∴EX 1=EX 2，∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5， DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2， ∴DX 1＜DX 2，由上可知，A 面大钟的质量较好. 各个击破类题演练1 解：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a )+1×2a =2a ∴Dξ=(0-2a )2(1-2a )+(1-2a )22a =(1-2a )2a (2a +1-2a ) =2a (1-2a )=-4［a -41］2+41， 由分布列的性质得0≤1-2a ≤1， 且0≤2a ≤1，∴0≤a ≤21， ∴当a =41时，Dξ最大值为41； 当a =0或21时Dξ的最小值为0.变式提升1 解：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为P （ξ=1）=0.8， ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16； ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中， 故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中， 故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中， 故P （ξ=5）=（1-0.8）4=0.001 6，因此，它的分布列为Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.006 4+5×0.001 6=1.25.Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.006 4+(5-1.25)2×0.001 6=0.31. 类题演练2 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p )+1×p =p ，Dξ=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p -21)2+41， ∵0＜p ＜1，∴当p =21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--， ∵0＜p ＜1，∴2p +p1≥22. 当且仅当2p =p 1，即p =22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.变式提升2 证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p ，P (ξ=1)=p ，Eξ=0×(1-p )+1×p =p ，Dξ=(1-p )·(0-p )2+p (1-p )2= p (1-p )≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41.类题演练3 解：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.Dξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5. Dη=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24. 所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 变式提升3 解：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41；Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。
离散型随机变量的方差教案
教案：离散型随机变量的方差第一章：离散型随机变量的方差概念引入1.1 教学目标1. 了解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和性质；3. 理解方差在实际问题中的应用。
1.2 教学内容1. 离散型随机变量的定义；2. 方差的定义和计算公式；3. 方差的性质和意义；4. 方差在实际问题中的应用案例。
1.3 教学过程1. 引入离散型随机变量的概念，通过实例让学生感受离散型随机变量的特点；2. 讲解方差的定义，通过具体例子让学生理解方差的含义；3. 引导学生掌握方差的计算公式，并进行计算练习；4. 讲解方差的性质，如非负性、齐次性等；5. 结合实际案例，让学生了解方差在数据分析中的应用。
第二章：离散型随机变量的方差计算方法2.1 教学目标1. 掌握离散型随机变量的期望值计算方法；2. 掌握离散型随机变量的方差计算方法；3. 了解离散型随机变量的协方差计算方法。
2.2 教学内容1. 离散型随机变量的期望值计算公式；2. 离散型随机变量的方差计算公式；3. 离散型随机变量的协方差计算公式；4. 期望值、方差、协方差之间的关系。
2.3 教学过程1. 讲解离散型随机变量的期望值计算方法，并通过实例进行计算练习；2. 讲解离散型随机变量的方差计算方法，并通过实例进行计算练习；3. 讲解离散型随机变量的协方差计算方法，并通过实例进行计算练习；4. 引导学生理解期望值、方差、协方差之间的关系。
第三章：离散型随机变量的方差性质3.1 教学目标1. 掌握离散型随机变量的方差性质；2. 了解方差在概率论中的应用；3. 学会运用方差分析实际问题。
3.2 教学内容1. 离散型随机变量的方差性质；2. 方差与其他数学量之间的关系；3. 方差的应用案例。
3.3 教学过程1. 讲解离散型随机变量的方差性质，如非负性、齐次性等；2. 引导学生了解方差与其他数学量之间的关系，如期望值、标准差等；3. 结合实际案例，让学生了解方差在数据分析中的应用；4. 进行方差计算和性质分析的练习。
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2．3．2离散型随机变量的方差（教学设计）教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题. 教学过程： 一、复习回顾：1、.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2、 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3、平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 4、期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、若ξ B （n,p ）（二项分布），则E ξ=np 。
6、若X 服从两点分布，则E(X) =p 二、师生互动，新课讲解：问题：要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X 1的分布列为第二名同学击中目标靶的环数X 2的分布列为应派哪位同学参赛？画出分布列，求出它们的期望值相等。
1、方差：设离散型随机变量X 的概率分布为则：2(())i x E X -描述职x i ( i=1,2,3，……)相对于均值E(X)的偏离程度，而：为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E （X ）的平均偏离程度，我们称D （X ）为随机变量X ()X σ）为随机变量X 的标准差。
2、方差的性质：（1）若X 服从两点分布，则D （X ）=p(1-p)（2）若ξ～B (n ，p )（二项分布），则=ξD np (1-p )（3）ξξD a b a D 2)(=+； 3、其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛例题选讲：例1（课本P66例4）．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;21()(())ni ii D X x E X p ==-∑2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.变式训练1：甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2; 射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，1D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些． 点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例2（课本P67例5）．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： /根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．变式训练2（1）：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ B （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ B （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.98变式训练2（2）：设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n课堂练习（课本P68练习NO ：1；2） 三、课堂小结，巩固反思：（1）求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可． （2）对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、课时必记：1、离散型随机变量X 的方差：X 的标准差。
2、方差的性质：（1）若X 服从两点分布，则D （X ）=p(1-p) （2）若ξ～B (n ，p )（二项分布），则=ξD np (1-p )（3）ξξD a b a D 2)(=+； 五、分层作业： A 组：1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ D ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和2、（课本P68习题2.3 A 组 NO ：1）3、（课本P68习题2.3 A 组 NO ：5） B 组：1.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响. (1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率.(2)任选3名同学,记ξ为3人中选报过第二外语的人数,求ξ的分布列、期望和方差.【解析】设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.由题设知,事件A 与B 相互独立,且P(A)=0.75,P(B)=0.6. (1)方法一:任选1名同学,该同学一门课程都没选报的概率是P 1=P(·)=P()·P()=0.25×0.4=0.1. 所以该人选报过第二外语的概率是 P 2=1-P 1=1-0.1=0.9.方法二:任选1名同学,该同学只选报一门课程的概率是P 3=P(A·)+P(·B)=0.75×0.4+0.25×21()(())ni ii D X x E X p ==-∑0.6=0.45,该人选报两门课程的概率是P4=P(A·B)=0.75×0.6=0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的,所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B(3,0.9), P(ξ=k)=×0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,即ξ的分布列是ξ的期望是E(ξ)=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7(或ξ的期望是E(ξ)=3×0.9=2.7),ξ的方差是D(ξ)=3×0.9×(1-0.9)=0.27.2、把4个球随机地投入4个盒子中去,设ξ表示空盒子的个数,求E(ξ),D(ξ).【解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒子的个数可能为0个,此时投球方法数为=4!,所以P(ξ=0)==;空盒子的个数为1时,此时投球方法数为,所以P(ξ=1)=.同样可分析P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.所以ξ的分布列为所以E(ξ)=,D(ξ)=.C组：1. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤。