20162017学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷
江苏省徐州市高一数学上学期期末考试试题(扫描版)
2016—2017学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题 1．{}0,1 2．π23．(2,1) 4．12 5．12- 6．[e,)+∞ 7．108．12 9．6 10．35- 11．1 12．0 13．[1,2)[4,)+∞ 14．{}4,24-二、解答题15．（1）当1a =-时，[)1,1B =-，由于[)0,3A =， 所以[)1,3A B =-．…………6分 （2）由A B B =，得B A ⊆，………………………………………………………9分于是0,23,a a ⎧⎨⎩+≥≤即01a ≤≤，所以，a 的取值范围是[]0,1．…………………………………………………14分16．（1）因为145⋅=-a b ，所以142cos 2sin 5αα-+=， 即7sin cos 5αα-=，……………………………………………………………2分于是22749(sin cos )12sin cos ()525αααα-=-==，从而242sin cos 25αα=-．………………………………………………………4分因此，2241(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=-=．……………………6分 （2）因为//a b ，所以2cos (2)sin 0αα--⋅=，即cos sin 0αα+=，……………8分于是tan 1α=-，………………………………………………………………10分 因此，πsin(π)sin()sin cos 2αααα-⋅+=⋅ …………………………………12分222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα⋅===-++．………14分 17.（1）根据表中已知数据可得：3A =，ππ62ωϕ+=，2π3π32ωϕ+=，解得2ω=，π6ϕ=. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π 3π22π xπ12- π6 5π12 2π3 11π12sin()A x ωϕ+ 0 3 0 3-0 …………………………………………………………………………………………3分函数表达式为π()3sin(2)6f x x =+.……………………………………………5分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以π()3sin()6g x x =+．………………………………………7分当ππ[,]33x ∈-时，πππ[,]662x +∈-，所以π1sin()[,1]62x +∈-．于是函数)(x g 的值域为3[,3]2-．………………………………………………9分（3）由（1）可得，π()3sin(22)6h x x q =++， 由()h x 图象的一个对称中心为π(,0)12可得，π()012h =， 所以ππ3sin(22)0126q ?+=，即πsin(2)03q +=，………………………12分从而π2π,3k k Z q +=?，解得ππ,26k k Z q =-?，由0q >可得，当1k =时，q 取得最小值π3.…………………………………14分18．（1）3m =-时，()3,1=--a ，于是3⋅=-a b ，……………………………3分又2=a ，1=b ， 所以3cos 2θ⋅==-a b a b ，因为[]0,θ∈π，所以6θ5π=．…………………6分 （2）①因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即()131022m -⨯=+，得3m =．………8分②3m =时，2=a ，1=b ，由()()23t k t ⎡⎤-⊥-⎣⎦++a b a b ，得()()230t k t ⎡⎤-⋅-=⎣⎦++a b a b ， 因为0⋅=a b ，所以()22230k t t --=+a b，于是()234t t k -=，…………12分故()()23222341174324444k t t t t t t t t t -==-=+-+++，当2t =-时，2k t t +取最小值74-．…………………………………………16分19．（1）当甲的用水量不超过5吨时，即55x ≤，1x ≤时，乙的用水量也不超过5吨，()2.65320.8y x x x ==+；…………………………………………………2分 当甲的用水量超过5吨，乙的用水量不超过5吨，即55,35,x x >⎧⎨⎩≤513x <≤时，()5 2.64553 2.627.87y x x x =⨯⨯-⨯=-++；……………………………4分当乙的用水量超过5吨，即35x >，53x >时， ()()25 2.6435553214y x x x =⨯⨯⨯⎡--⎤=-⎣⎦++.…………………………6分所以20.8,01,527.87,1,353214,.3x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤≤ …………………………………………………7分（2）由于()y f x =在各段区间上均单调增，当[]0,1x ∈时，()134.7y f <≤；……………………………………………9分 当5(,)3x ∈∞+时，5()34.73y f >>；…………………………………………11分 当5(1,]3x ∈时，令27.8734.7x -=，解得 1.5x =.…………………………13分 所以甲户用水量为57.5x =（吨）， 付费15 2.6 2.5423y =⨯⨯=+(元)； 乙户用水量为3 4.5x =（吨），付费2 4.5 2.611.7y =⨯=(元)．………………………………………………15分 答：甲户该月的用水量为7.5吨、水费为23元，乙户该月的用水量为4.5吨、水费为11.7元．………………………………16分 20．（1）由函数2()45f x x x a =++-的对称轴是2x =-，知()f x 在区间[]1,1-上是增函数， …………………………………2分 因为函数在区间[]1,1-上存在零点，则必有： ()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥即800a a -⎧⎨⎩≤≥，解得08a ≤≤， 故所求实数a 的取值范围为[]0,8． ………………………………4分 （2）若对任意的[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域是函数()y g x =的值域的子集． …………………6分 当0a =时，2()45f x x x =+-，[]1,2x ∈的值域为[]0,7， ………………… 7分 下面求1()427x g x m m -=⋅-+，[]1,2x ∈的值域． 令14x t -= ，则[1,4]t ∈，27y mt m =-+①当0m =时，()7g x =为常数，不符合题意，舍去；②当0m >时，()g x 的值域为[]7,27m m -+，要使[][]0,77,27m m ⊆-+， 需70277m m -⎧⎨+⎩≤≥，解得7m ≥；③当0m <时，()g x 的值域为[]27,7m m +-，要使[][]0,727,7m m ⊆+-， 需2707m m +⎧⎨-⎩≤≥7，解得72m -≤；综上，m 的取值范围为[)7,7,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． ……………………………10分（3）由题意知2640t t <⎧⎨->⎩，可得32t <． ………………………………… 12分①当6t -≤时，在区间[],2t 上，()f t 最大，(2)f -最小， 所以2()(2)4464f t f t t t --=++=-，即2820t t +-=，解得432t =--或432t =-+（舍去）； ②当26t -<-≤时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，(2)f -最小，所以(2)(2)1664f f t --==-，解得52t =-；③当322t -<<时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，()f t 最小， 所以2(2)()41264f f t t t t -=--+=-，即26t =，解得6t =或6t =-，所以此时不存在常数t 满足题意；综上所述，存在常数t 满足题意，432t =--或52t =-．……………………16分。
(2021年整理)江苏省徐州市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
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2015—2016学年江苏省徐州市高一（上)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,将答案填在答题纸上）A=｛2｝,则m= ．1．已知全集U=｛1,2,3}，A={1，m｝，∁U（x﹣1）的定义域是．2．函数y=log23．幂函数f(x）=xα的图象经过点（2，），则α=．4．sin240°=．5．已知向量，，且，则x的值为．6．若sinα=，,则tanα的值为．7．已知，，且，则向量与的夹角为．∈(k,k+1），其中k∈Z，则k= ．8．若方程lnx+x=3的根x9．若角α的终边经过点 P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．10．已知向量=（2，1）,=（1,﹣2），若m=（9,﹣8)（m，n∈R），则m+n的值为．11．已知函数g（x)=x3+x，若g（3a﹣2）+g(a+4）＞0，则实数a的取值范围是．12．若函数f(x）=log（2x2+x）(a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0,则f（x）的a单调递增区间是．13．已知函数f（x）=,若关于x的方程f2（x)+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0,2π)上有且只有两解，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合 A=｛x｜0≤x≤5，x∈Z｝,B={x｜≤2x≤4,x∈Z}．(1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素,求实数a的取值范围．16．已知函数f(x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，），若函数y=f(x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时,函数y=f(x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；(2）求函数f（x）的单调减区间；(3）若，求函数f（x）的值域．17．设向量，,且．求：（1)tanα；（2）；(3）sin2α+sinαcosα．18．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．（1）求•；（2）若=2，求•；（3）连结BE并延长,交CD于点F，连结AF，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小,并求出的最小值．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x)与投资额x成正比，其关系如图1;乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．(1）试写出利润 P(x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20．已知函数f（x）=a x+a﹣x(a＞0且a≠1）．(1)判断函数f（x）的奇偶性；（2)设g（x）=，当x∈（0，1）时,求函数g(x）的值域；（3)若f（1)=，设h（x)=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．2015—2016学年江苏省徐州市高一(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上)1．已知全集U=｛1，2，3｝，A=｛1，m}，∁A={2}，则m= 3 ．U【考点】补集及其运算．【专题】计算题;集合思想；定义法;集合．【分析】由全集U及A的补集,确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m．A=｛2}，【解答】解：∵全集U=｛1,2，3｝,且∁U∴A={1，3}∵A=｛1，m}，∴m=3．故答案为：3．【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键．（x﹣1）的定义域是（1,+∞）．2．函数y=log2【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．【解答】解:∵y=log（x﹣1）,∴x﹣1＞0，x＞12（x﹣1)的定义域是（1，+∞）函数y=log2故答案为（1，+∞）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2 ．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；方程思想．【分析】幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式,建立方程求α【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2,),∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数．4．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】由诱导公式sin（180°+α)=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°)=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．5．已知向量，，且，则x的值为．【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】转化思想;构造法；平面向量及应用．【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可．【解答】解:∵向量，,且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1)=0,解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．6．若sinα=,，则tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法;三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cosα，从而可求tanα的值．【解答】解:∵sinα=,,∴cosα==﹣=﹣,∴tan==﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．7．已知,,且，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的数量积运算即可得到cosθ=，问题得以解决．【解答】解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•(）=|3｜•｜|cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为:．【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式,和三角函数值,属于基础题．8．若方程lnx+x=3的根x∈(k，k+1），其中k∈Z，则k= 2 ．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题;函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得x0是函数f(x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）f（3)＜0,可得x∈（2，3),从而求得 k的值．【解答】解：令函数f(x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根,可得x是函数f（x)=lnx+x﹣3 的零点．再由f(2)=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f(3）=ln3＞0，可得f(2）f（3）＜0，故x∈(2，3），∴k=2，故答案为 2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系,体现了转化的数学思想，属于中档题．9．若角α的终边经过点 P(1，2)，则sin2α﹣cos2α=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；定义法;三角函数的求值．【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sinα，cosα,由此能求出结果．【解答】解:∵角α的终边经过点 P(1，2），∴,∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2)，若m=(9,﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7 ．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】方程思想;转化法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的加法运算,利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可．【解答】解：∵向量=（2，1),=(1，﹣2），∴m=（2m+n,m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g(a+4）＞0,则实数a的取值范围是a＞﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g(x)为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a ﹣2）+g（a+4）＞0变形为g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），由函数的单调性可将其转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数g(x）=x3+x，有g(﹣x)=﹣x3﹣x=﹣g(x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1,则g′(x)≥0恒成立，即函数g（x）为增函数;若g（3a﹣2）+g（a+4)＞0,即g（3a﹣2)＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4）,又由函数g（x）为增函数,则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4,解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．12．若函数f(x）=log（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f(x)＞0,则f(x)的单调a递增区间是．【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x)的底数a的值,由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f(x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．（2x2+x）（a＞0，a≠1)在区间恒有f（x)＞0，【解答】解：函数f（x）=loga由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0,1)对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围,解决本题的关键．13．已知函数f（x）=,若关于x的方程f2（x）+bf(x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是(﹣，6﹣2）∪［﹣2，﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题;作图题；数形结合;分类讨论；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象,从而可得x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，,∵关于x的方程f2(x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在［﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在［﹣2，2），（3，+∞）上,令g(x）=x2+bx+3b﹣2，则,解得,﹣2≤b＜﹣;故答案为：（﹣，6﹣2)∪［﹣2，﹣）．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在［0，2π）上有且只有两解,则实数m的取值范围是（﹣1，1)∪｛﹣｝．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1,1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．【解答】解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在［0，2π）上有且只有两解,故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在［0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在(﹣1，1）上任意取一个值，在[0,2π)上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈［﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1,1）上有且只有一个交点，如图所示:∵当t=﹣时，y=﹣，故 1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1)∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，满分90分。
2016-2017学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f （﹣1）的值为．5．（5分）cos240°的值等于．6．（5分）函数f（x）=的定义域是．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．【解答】解：由正切函数的周期公式得T=，故答案为：3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为（2，1）．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为．【解答】解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），∴8=a3，解得a=2，∴f（x）=2x，∴f（﹣1）=2﹣1=，5．（5分）cos240°的值等于﹣．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．6．（5分）函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则﹣1+lnx≥0，即lnx≥1，解得x≥e．∴函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．故答案为：[e，+∞）．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．【解答】解：由题意可得||====，故答案为：．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．【解答】解：由题意，f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f（）=f（）∵f（﹣）=，f（x）是偶函数．∴f（）=即f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为6．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=6，故答案为：6．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．【解答】解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．故答案为：．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为1．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinω（x﹣）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，f（x）=sin2x，则f（）=sin=1，故答案为：1．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=9．【解答】解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．【解答】解：∵y=2x，x＜2，0＜2x＜4，∴0＜a＜4时，2x﹣a=0，有一个解，a≤0或a≥4，2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[1，2）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[2，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4故答案为：1≤a＜2，或a≥414．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{﹣4，24} ．【解答】解：当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则m不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x2﹣n，那么由题意可知：，再由m，n是整数得到或，因此m+n=24或﹣4．故答案为：{﹣4，24}．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∴，解得：0≤a≤1．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin（π﹣α）•s in（）=sinα•cosα=﹣．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：﹣（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，数据补全如下表：函数表达式为f（x）=3sin（2x+）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+）．由x∈[﹣，]，可得：x+∈[﹣，]，可得：sin（x+）∈[﹣，1]，可得：函数g（x）=3sin（x+）∈[﹣，3]．（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（），由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+），得g（x）=3sin（2x+2θ+）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，解得θ=﹣，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．【解答】解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，则有cosθ===﹣，∴θ=．（2）①设，则=﹣=0，∴m=．②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+[﹣k（t2﹣3）+t]+t（t2﹣3）=﹣k•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，故的最小值为﹣．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．【解答】解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
江苏省徐州市2015-2016学年高一上学期期末抽测数学试卷
2015-2016学年度第一学期期末抽测高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.已知全集{}U 1,2,3=，{}1,m A =，{}U 2A =ð，则m = ．2.函数()2log 1y x =-的定义域为 ．3.若幂函数()f x x α=的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则实数α= ． 4.sin 240=．5.已知向量()1,3a =-，(),1b x =-，且//a b，则x 的值为 ． 6.若4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为 ． 7.已知10a =，12b =，且()13365a b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则向量a与b的夹角为 ． 8.若方程ln 3x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k ∈Z ，则k = ． 9.若角α的终边经过点()1,2P ，则22sin cos αα-= ．10.已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-（m ，R n ∈），则m n +的值为 ．11.已知函数()3g x x x =+，若()()3240g a g a -++>，则实数a 的取值范围是 ．12.已知函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠），当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x >，则函数()f x 的单调增区间为 ．13.已知函数()()2ln 13,121,1x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()2320f x bf x b ++-=恰有4个不同的实数根，则实数b 的取值范围是 ．14.若方程22sin sin 20x x m +--=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）已知集合{}05,x x x A =≤≤∈Z ，124,2x x x ⎧⎫B =≤≤∈Z ⎨⎬⎩⎭． （1）用列举法表示集合A 和B ； （2）求A B 和A B ；（3）若集合()C ,a =-∞，C B 中仅有3个元素，求实数a 的取值范围． 16.（本题满分14分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<），若函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调减区间； （3）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 17.（本题满分14分）设向量()2,sin a α=，()cos ,1b α=- ，且a b ⊥ ．求： （1）tan α；（2）sin cos sin cos αααα+-；（3）2sin sin cos ααα+．18.（本小题满分16分）如图，在菱形CD AB 中，1AB =，D 60∠BA =，且E 为对角线C A 上一点．（1）求D AB⋅A；（2）若2C AE =E ，求AE⋅AB；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结F A ，设C λE =EA（01λ≤≤）．当λ为何值时，可使F F A ⋅B 最小，并求出F F A ⋅B的最小值．19.（本小题满分16分）某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润()x P 与投资额x 成正比，其关系如图1；乙产品的利润()Q x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润()x P 和()Q x 的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20.（本小题满分16分）已知函数()x xf x a a -=+（0a >且1a ≠）．（1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）设()()1g x f x =，当()0,1x ∈时，求函数()g x 的值域； （3）若()512f =，设()()222x xh x a a mf x -=+-的最小值为7-，求实数m 的值．2015—2016学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．3 2．(1,)+∞ 3．2- 4． 5．136．43- 7．3π8．2 9．35 10．7 11．12a >- 12．1(,)2-∞-13．72[2,)(,665----U 14．178m =-或11m -<<二、解答题15．（1）{}0,1,2,3,4,5A =，……………………………………………………………2分{}{}12,1,0,1,2B x x x =-∈=-Z ≤≤． ……………………………………4分（2）{}0,1,2A B =I ， ……………………………………………………………7分 {}1,0,1,2,3,4,5A B =-U ． …………………………………………………10分 （3）如图所示：实数a 的取值范围为12a <≤． …………………………………………14分16．（1）因为当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3，所以3A =，……………1分因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以22T π=⨯=π，即2ωπ=π，所以2ω=， ……………………………3分 将点(,3)6π代入()3sin(2)f x x ϕ=+，得sin(2)16ϕπ⨯+=，因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，…………………………………………………5分所以()3sin(2)6f x x π=+．…………………………………………………6分（2）令3222262k x k ππππ++π+≤≤，k ∈Z ， ……………………………8分解得263k x k πππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调减区间是2,(63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z)． ………………10分 （结果未写出区间形式或缺少k ∈Z 的，此处两分不得）（3）当[,]63x ππ∈-，2[,]666x ππ5π+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-， …………12分所以函数()f x 的值域是3[,3]2-． ………………………………………14分17．解法一：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ………………………………2分 解得tan 2α=． ………………………………………………4分（2）sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=-- ………………………………………7分21321+==-． ……………………………………9分 （3）2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+ ……………………12分22tan tan tan 1ααα+=+426415+==+． …………14分解法二：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ……………………………2分 解得tan 2α=． …………………………………………4分（2）由22tan 2,sin cos 1,ααα=⎧⎨+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…8分 将数值代入得sin cos sin cos αααα+-3=． ……………………………11分（3）由（2），代入数值得26sin sin cos 5ααα+=． …………………14分18．（1）1cos 11cos602AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ． …………………2分（2）因为AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r，所以AC AB AD =+=u u u r u u u r u u u r ……4分…………………………………………5分又2AE EC =，所以23AE AC == …………………………6分故cos 11AE AB AE AB BAC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r ． …………………8分 （3）因为CE EA λ=uu u r uu r ，ABE △∽CFE △，1AB =uu u r，故CF λ= ，1FD λ=-， ……………………………………………10分所以()()AF BF AD DF BC CF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAD BC AD CF DF BC DF CF =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11cos120(1)1cos60(1)cos180λλλλ=+⨯+-⨯⨯+-⨯⨯o o o22312(1)22λλλ=-+=-+， ……………………14分故当1=λ时，AF BF ⋅uu u r uu u r 的值最小，最小值为12． ……………………16分19．（1）设1()P x k x =，代入(1,0.2)，解得115k =，所以1()5P x x =，…………………3分设()Q x k =(4,1.2)，解得235k =，所以()Q x ．……………6分（2）设投入乙产品x 万元，则甲产品投入3x -万元，利润总和为1()(3)5f x x =-03x ≤≤， …………………………9分（少定义域扣1分）t，则0t ≤ ………………………………………………11分此时22131321()(3)()555220g t t t t =-+=--+， …………………………………13分当32t =，即9 2.254x ==时，()g t 取得最大值2120． …………………………15分答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元． …………………………………………………………16分20．（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，都有()()()x x x x f x a a a a f x -----=+=+=，所以()f x 为偶函数． ………………………………………………………2分（2）因为()xxf x a a -=+，所以2()1xx a g x a =+(0a >且1a ≠)，………………4分①当1a >时，因为(0,1)x ∈，所以(1,)x a a ∈，设x t a =，1y t t=+，(1,)t a ∈， 在区间(1,)a 内任取两个数1t ，2t ，12t t <，则121212121212()(1)11()()t t t t y y t t t t t t ---=+-+=，因为120t t -<，121t t <，所以120y y -<，即12y y <，所以1y t t=+在(1,)a 上是单调增函数， ………………………………6分故2111(,)xx a y t a a t a a+=+=+∈， 所以2211()(,)1112x x x x a a g x a a a a==∈+++． ……………………………8分②当01a <<时，(0,1)x ∈，(,1)xa a ∈，同理可得21()(,)12a g x a ∈+．综上所述，()g x 的值域为21(,)12a a +． …………………………………10分（3）若5(1)2f =，则2a =或12a =，所以()22x x f x -=+， …………………11分222()222(22)(22)2(22)2x x x xx x x x h x m m ----=+-+=+-+-，令()22x x t f x -==+，因为x ∈R，故22222x x -++≥，即2t ≥， …………12分 令222()22()2F t t mt t m m =--=---，①若2m ≥，则2min [()]()27F t F m m ==--=-，解得m = 又因为2m ≥，所以m =②若2m <，则min [()](2)247F t F m ==-=-，解得94m =（舍）． 综上所述，实数m…………………………………………16分。
2016-2017学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷
2016-2017学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）不等式x（x﹣1）≤0的解集为．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则边a的长为．3．（5分）过点（1，2）且与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为．4．（5分）如图为60辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，则时速在[60，70）的汽车大约有辆．5．（5分）已知一组数据：10.1，9.8，10，x，10.2的平均数为10，则该组数据的方差为．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．7．（5分）在△ABC中，若sin2B+C，则A的值为．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．9．（5分）已知sin，则cos2θ=．10．（5分）某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，若从中任选两人去参加学校的数学竞赛，则至少选中一名女生的概率为．11．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1，a2，a4成等比数列，则的值为．12．（5分）已知a＞1，b＞0，且a+2b=2，则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）=ax2+8x+b（a，b为互不相等的正整数），方程f（x）=0的两个实根为x1，x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，若f（1）+f（﹣1）的最大值与最小值分别为M，m，则M+m的值为．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知直线l1：x﹣2y+3=0和l2：x+2y﹣9=0的交点为A．（1）求过点A，且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过点A，且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程．16．（14分）已知．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，求sinα的值．17．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积为，a+c=8，求边b．18．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2﹣2S n，数列{b n}为等差数列，且b5=14，b7=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和T n．19．（16分）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出y的最大值．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}分别满足a1=1，|a n+1﹣a n|=2，且|=2，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（1）若数列{a n}，{b n}都是递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；，则称数列{c n}（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n；②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m使=T m？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．得S m+12016-2017学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）不等式x（x﹣1）≤0的解集为{x|0≤x≤1}．．【解答】解：解方程x（x﹣1）=0，得x1=0，x2=1，∴不等式x（x﹣1）≤0的解集是{x|0≤x≤1}．故答案为：{x|0≤x≤1}．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则边a的长为2．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：a===2．故答案为：2．3．（5分）过点（1，2）且与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为x+2y﹣5=0．【解答】解：设与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入可得：1+4+m=0，解得m=﹣5．可得要求的直线方程为：x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．4．（5分）如图为60辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，则时速在[60，70）的汽车大约有24辆．【解答】解：由频率分布直方图得：60辆汽车通过某一段公路时的时速在[60，70）的汽车所占频率为：0.04×10=0.4，∴60辆汽车通过某一段公路时的时速在[60，70）的汽车大约有：60×0.4=24辆．故答案为：24．5．（5分）已知一组数据：10.1，9.8，10，x，10.2的平均数为10，则该组数据的方差为0.02．【解答】解：∵数据10.1，9.8，10，x，10.2的平均数为10，∴（10.1+9.8+10+x+10.2）=10，解得：a=9.8，故这组数据的方差是（0.04+0.01+0+0.01+0.04）=0.02，故答案为：0.02．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=21，满足条件n为奇数，n=10，k=2，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，k=4，不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n为奇数，n=2，k=6，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，k=8，满足条件n=1，退出循环，输出k的值为8．故答案为：8．7．（5分）在△ABC中，若sin2B+C，则A的值为．【解答】解：根据正弦定理=2R，化简已知的等式得：b2+bc=a2﹣c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴根据余弦定理得：cosA==﹣，又∵A∈（0，π），∴A=．故答案为：．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为3．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=2×1+1=3．故答案为：3．9．（5分）已知sin，则cos2θ=．【解答】解：∵sin，∴1+sinθ=，∴sinθ=﹣，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为．10．（5分）某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，若从中任选两人去参加学校的数学竞赛，则至少选中一名女生的概率为．【解答】解：某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，从中任选两人去参加学校的数学竞赛，基本事件总数n=，至少选中一名女生的对立事件是选中两名男生，∴至少选中一名女生的概率为：p=1﹣=．故答案为：．11．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1，a2，a4成等比数列，则的值为．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1，a2，a4成等比数列，∴，可得=a1（a1+3d），d≠0．化为：d=a1≠0，∴==．故答案为：．12．（5分）已知a＞1，b＞0，且a+2b=2，则的最小值为4（+1）．【解答】解：∵a+2b=2，∴a﹣1=1﹣2b，∴+=+，设+=t，则2b+（2﹣2b）（1﹣2b）=tb（1﹣2b），故（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，①4+2t=0时，t=﹣2，故（4﹣2）b+2=0，解得：b=1，a+2b=2，得a+2=2，故a=0，与a=1不符，故4+2t≠0；②4+2t≠0时，得t≠﹣2，由（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，由△≥0，得（4+t）2﹣4（4+2t）﹣2≥0，故t2﹣8t﹣16≥0，解得：t≤4﹣4（舍）或t≥4+4，故的最小值为4（1+），故答案为：4（1+）．13．（5分）已知函数f（x）=ax2+8x+b（a，b为互不相等的正整数），方程f（x）=0的两个实根为x1，x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，若f（1）+f（﹣1）的最大值与最小值分别为M，m，则M+m的值为50．【解答】解：f（x）=ax2+8x+b，此函数的图象与x轴的两个交点在区间（﹣1，1），∴∴即有，∵a，b为互不相等的正整数，∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1），（11，1），（12，1），（13，1），（14，1）（15，1）共9个．∴a+b的最小值是9，最大值为16．则f（1）+f（﹣1）=2（a+b）的最大值与最小值分别为M=32，m=18，可得M+m=50．故答案为：50．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．﹣a n）=a n+1，【解答】解：∵n（a n+1∴﹣==．∴=++…++a1=++…++3=1﹣+3（n=1时也成立）．∴不等式﹣2at+1化为：4﹣＜t2﹣2at+1，∵对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式﹣2at+1恒成立，∴t2﹣2at+1≥4，化为：t2﹣2at﹣3≥0，t≠0，t＞0时，a≤，可得1≤，化为t2﹣2t﹣3≥0，t＞0，解得t≥3．t＜0时，a≥，可得﹣1≥，化为t2+2t﹣3≥0，t＜0，解得t≤﹣3．则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知直线l1：x﹣2y+3=0和l2：x+2y﹣9=0的交点为A．（1）求过点A，且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过点A，且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程．【解答】解：（1）由，解得：A（3，3）；设所求直线的方程是：2x+3y+c=0，将（3，3）代入，解得：c=﹣15，故所求直线方程是：2x+3y﹣15=0；（2）设直线的倾斜角是α，则tanα=，于是所求直线的斜率是tan2α==，故所求直线的方程为：y﹣3=（x﹣3），整理得：4x﹣3y﹣3=0．16．（14分）已知．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，求sinα的值．【解答】解：（1）由，又sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，解得或．∴cos（α﹣β）=；（2）∵0＜α＜，＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π．又tan（α﹣β）=＞0，∴cos（α﹣β）=．∴sin（α﹣β）=．又sinβ=，∴cosβ=．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=．17．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积为，a+c=8，求边b．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=，∴由正弦定理得：sinBtanB=（sinAcosC+sinCcosA）=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵△ABC的面积为，∴=，∴，∵a+c=8，∴在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=36，∴b=6．18．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2﹣2S n，数列{b n}为等差数列，且b5=14，b7=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n=2﹣2S n，当n=1时，a1=2﹣2a1，解得a1=；当n≥2时，a n=2﹣2S n﹣1，﹣1=2﹣2S n﹣（2﹣2S n﹣1）=﹣2a n，∴a n﹣a n﹣1化为3a n=a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为，可得：a n=•（）n﹣1=2•（）n，n∈N*；（2）数列{b n}为等差数列，公差为d且b5=14，b7=20．可得b1+4d=14，b1+6d=20，解得b1=2，d=3，可得b n=b1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；c n=a n•b n=2（3n﹣1）•（）n．前n项和T n=2[2•（）+5•（）2+7•（）3+…+（3n﹣1）•（）n]，T n=2[2•（）2+5•（）3+7•（）4+…+（3n﹣1）•（）n+1]，相减可得T n=2[+2•（）2+2•（）3+…+2•（）n﹣（3n﹣1）•（）n+1]=2[+2•﹣（3n﹣1）•（）n+1]，化简可得T n=﹣．19．（16分）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【解答】解：（1）由题可知30=θ（10+x）+2（10﹣x），所以θ=，x∈（0，10） (5)（2）花坛的面积为θ（102﹣x2）=（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50（0＜x＜10），装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，所以花坛的面积与装饰总费用之比为y==﹣． (7)令t=17+x，t∈（17，27）则y=﹣（t+）≤﹣=，…（10分）当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=．（若利用双勾函数单调性求最值的，则同等标准给分，但须说明单调性．）故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大． (12)20．（16分）已知数列{a n}，{b n}分别满足a1=1，|a n+1﹣a n|=2，且|=2，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（1）若数列{a n}，{b n}都是递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，则称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n；②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m使得S m+1=T m？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}，{b n}都为递增数列，∴由递推式可得a n+1﹣a n=2，b2=﹣2b1=2，b n+2=2b n+1，n∈N*，则数列{a n}为等差数列，数列{b n}从第二项起构成等比数列．∴a n=2n﹣1，b n=；（2）①∵数列{a n}满足：存在唯一的正整数k=5，使得a k＜a k﹣1，且|a n+1﹣a n|=2，∴数列{a n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故S n=；②∵||=2，即b n+1=±2b n，∴|b n|=2n﹣1，而数列{b n}为“q坠点数列”且b1=﹣1，∴数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1=T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，∴m必为偶数．≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，由S m+1当q＞m时，T m=﹣1+2+4+…+2m﹣2+2m﹣1=2m﹣3，当m≥6时，2m﹣3＞（m+1）2，故不存在正整数m使得S m=T m；+1当q=m时，T m=﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，=T m；显然不存在正整数m使得S m+1当q＜m时，∴（T m）min=﹣1+21+…+2m﹣3+（﹣2m﹣2）+2m﹣1=2m﹣1﹣3．=T m；当2m﹣1﹣3＜（m+1）2，才存在正整数m使得S m+1即m≤6．当m=6时，q＜6，构造：{a n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b n}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此时p=3，q=5．∴m max=6，对应的p=3，q=5．。
江苏省徐州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
高一年级数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}101A =-，，，{}012B =，，，则A B = ．2.函数53tan 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ． 3.已知点()12A -，，()13B ，，则向量AB的坐标为 ．4.若指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图象经过点()38，，则()1f -的值为 ．5.cos 240︒的值等于 ．6.函数()f x =的定义域是 ．7.已知向量a b ，满足2a =，b = a 与b 的夹角为4π，则a +8.若偶函数()f x 满足()()f x f x π+=，且132f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则20173f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．9.设函数()()212log 4020x x x f x x -⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩，，，则()()2log 144f f +-的值为 ．10.已知0a >且1a ≠，函数()()4log 4a f x x =++的图象恒过定点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α的值为 ．11.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()122f x g x -=的12x x ，，有12min4x x π-=，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ． 12.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =，若点E ，F 满足BE EC = ，2DF FC =，则AF EF ⋅ 的值为 ．13．设函数()2222322x a x f x x ax a x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若函数()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．14．已知不等式()()250mx x n +-≤对任意()0x ∈+∞，恒成立，其中m n ，是整数，则m n+的取值的集合为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）已知集合[)03A =，，[)2B a a =+，． （1）若1a =-，求A B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围． 16. （本小题满分14分）已知向量()cos sin a αα= ，，()22b =-，．（1）若145a b ⋅= ，求()2sin cos αα+的值；（2）若a b ∥，求()sin sin 2ππαα⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的值．17. （本小题满分14分）某同学用“五点法”画函数()()sin 02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域；（3）若将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y h x =的图象，若()y h x =图象的一个对称中心为012π⎛⎫⎪⎝⎭，，求θ的最小值．18. （本小题满分16分）已知向量()1a m =- ，，12b ⎛= ⎝ ．（1）若m =，求a 与b的夹角θ； （2）设a b ⊥．①求实数m 的值；②若存在非零实数k ，t ，使得()()23a t b ka tb ⎡⎤+-⊥-+⎣⎦ ，求2k t t+的最小值．19. （本小题满分16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x ，3x 吨．（1）求y 关于x 的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费． 20. （本小题满分16分）已知函数()245f x x x a =++-，()1427x g x m m -=⋅-+．（1）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数a 的取值范围； （2）当0a =时，若对任意的[]112x ∈，，总存在[]212x ∈，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围；（3）若()[]()2y f x x t =∈，的值域为区间D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为64t -？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． （注：区间[]p q ，的长度为q p -）．2016-2017学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．{}0,1 2．π2 3．(2,1) 4．12 5．12- 6．[e,)+∞ 7． 8．12 9．6 10．35- 11．1 12．0 13．[1,2)[4,)+∞ 14．{}4,24- 二、解答题15．（1）当1a =-时，[)1,1B =-，由于[)0,3A =， 所以[)1,3A B =- ．…………6分（2）由A B B = ，得B A ⊆，………………………………………………………9分于是0,23,a a ⎧⎨⎩+≥≤即01a ≤≤，所以，a 的取值范围是[]0,1．…………………………………………………14分 16．（1）因为145⋅=-a b ，所以142cos 2sin 5αα-+=， 即7sin cos 5αα-=，……………………………………………………………2分 于是22749(sin cos )12sin cos ()525αααα-=-==， 从而242sin cos 25αα=-．………………………………………………………4分 因此，2241(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=-=．……………………6分 （2）因为//a b ，所以2cos (2)sin 0αα--⋅=，即cos sin 0αα+=，……………8分 于是tan 1α=-，………………………………………………………………10分 因此，πsin(π)sin()sin cos 2αααα-⋅+=⋅ …………………………………12分222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα⋅===-++．………14分17.（1）根据表中已知数据可得：3A =，ππ62ωϕ+=，2π3π32ωϕ+=，解得2ω=，π6ϕ=.数据补全如下表：3分函数表达式为π()3sin(2)6f x x =+.……………………………………………5分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以π()3sin()6g x x =+．………………………………………7分当ππ[,]33x ∈-时，πππ[,]662x +∈-，所以π1sin()[,1]62x +∈-．于是函数)(x g 的值域为3[,3]2-．………………………………………………9分 （3）由（1）可得，π()3sin(22)6h x x q =++， 由()h x 图象的一个对称中心为π(,0)12可得，π()012h =， 所以ππ3sin(22)0126q ?+=，即πsin(2)03q +=，………………………12分 从而π2π,3k k Z q +=?，解得ππ,26k k Z q =-?， 由0q >可得，当1k =时，q 取得最小值π3.…………………………………14分18．（1）m =()1=-a ，于是⋅=a b ，……………………………3分 又2=a ，1=b ，所以cos θ⋅==a b a b []0,θ∈π，所以6θ5π=．…………………6分（2）①因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即()1102m -=+，得m =．………8分②m =时，2=a ，1=b ，由()()23t k t ⎡⎤-⊥-⎣⎦++a b a b ，得()()230t k t ⎡⎤-⋅-=⎣⎦++a b a b ，因为0⋅=a b ，所以()22230k t t --=+a b，于是()234t t k -=，…………12分故()()23222341174324444k t t t t t t t t t -==-=+-+++，当2t =-时，2k t t+取最小值74-．…………………………………………16分19．（1）当甲的用水量不超过5吨时，即55x ≤，1x ≤时，乙的用水量也不超过5吨，()2.65320.8y x x x ==+；…………………………………………………2分当甲的用水量超过5吨，乙的用水量不超过5吨，即55,35,x x >⎧⎨⎩≤513x <≤时， ()5 2.64553 2.627.87y x x x =⨯⨯-⨯=-++；……………………………4分当乙的用水量超过5吨，即35x >，53x >时，()()25 2.6435553214y x x x =⨯⨯⨯⎡--⎤=-⎣⎦++.…………………………6分 所以20.8,01,527.87,1,353214,.3x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤≤ …………………………………………………7分（2）由于()y f x =在各段区间上均单调增，当[]0,1x ∈时，()134.7y f <≤；……………………………………………9分 当5(,)3x ∈∞+时，5()34.73y f >>；…………………………………………11分 当5(1,]3x ∈时，令27.8734.7x -=，解得 1.5x =.…………………………13分 所以甲户用水量为57.5x =（吨）， 付费15 2.6 2.5423y =⨯⨯=+(元)； 乙户用水量为3 4.5x =（吨），付费2 4.5 2.611.7y =⨯=(元)．………………………………………………15分 答：甲户该月的用水量为7.5吨、水费为23元，乙户该月的用水量为4.5吨、水费为11.7元．………………………………16分 20．（1）由函数2()45f x x x a =++-的对称轴是2x =-，知()f x 在区间[]1,1-上是增函数， …………………………………2分 因为函数在区间[]1,1-上存在零点，则必有： ()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥即800a a -⎧⎨⎩≤≥，解得08a ≤≤， 故所求实数a 的取值范围为[]0,8． ………………………………4分 （2）若对任意的[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域是函数()y g x =的值域的子集． …………………6分 当0a =时，2()45f x x x =+-，[]1,2x ∈的值域为[]0,7， ………………… 7分 下面求1()427x g x m m -=⋅-+，[]1,2x ∈的值域． 令14x t -= ，则[1,4]t ∈，27y mt m =-+①当0m =时，()7g x =为常数，不符合题意，舍去；②当0m >时，()g x 的值域为[]7,27m m -+，要使[][]0,77,27m m ⊆-+， 需70277m m -⎧⎨+⎩≤≥，解得7m ≥；③当0m <时，()g x 的值域为[]27,7m m +-，要使[][]0,727,7m m ⊆+-， 需2707m m +⎧⎨-⎩≤≥7，解得72m -≤；所以2()(2)4464f t f t t t --=++=-，即2820t t +-=，解得4t =--4t =-+（舍去）； ②当26t -<-≤时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，(2)f -最小， 所以(2)(2)1664f f t --==-，解得52t =-； ③当322t -<<时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，()f t 最小， 所以2(2)()41264f f t t t t -=--+=-，即26t =，解得t =或t =，所以此时不存在常数t 满足题意；综上所述，存在常数t 满足题意，4t =--52t =-．……………………16分。
江苏省徐州市2015-2016学年度高一第一学期期末抽测数学试题带答案
江苏省徐州市2015-2016学年度高一第一学期期末抽测试题高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.已知全集{}U 1,2,3=，{}1,m A =，{}U 2A =ð，则m = ．2.函数()2log 1y x =-的定义域为 ．3.若幂函数()f x x α=的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数α= ． 4.sin 240= ． 5.已知向量()1,3a =- ，(),1b x =- ，且//a b ，则x 的值为 ．6.若4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为 ． 7.已知10a = ，12b = ，且()13365a b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则向量a 与b 的夹角为 ． 8.若方程ln 3x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k ∈Z ，则k = ．9.若角α的终边经过点()1,2P ，则22sin cos αα-= ． 10.已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=- （m ，R n ∈），则m n +的值为 ．11.已知函数()3g x x x =+，若()()3240g a g a -++>，则实数a 的取值范围是 ． 12.已知函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠），当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x >，则函数()f x 的单调增区间为 ．13.已知函数()()2ln 13,121,1x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()2320f x bf x b ++-=恰有4个不同的实数根，则实数b 的取值范围是 ．14.若方程22sin sin 20x x m +--=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）已知集合{}05,x x x A =≤≤∈Z ，124,2x xx ⎧⎫B =≤≤∈Z ⎨⎬⎩⎭． （1）用列举法表示集合A 和B ；（2）求A B 和A B ； （3）若集合()C ,a =-∞，C B 中仅有3个元素，求实数a 的取值范围．16.（本题满分14分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<），若函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 17.（本题满分14分） 设向量()2,sin a α= ，()cos ,1b α=- ，且a b ⊥ ．求：（1）tan α；（2）sin cos sin cos αααα+-； （3）2sin sin cos ααα+．18.（本小题满分16分）如图，在菱形CD AB 中，1AB =，D 60∠BA =，且E 为对角线C A 上一点． （1）求D AB⋅A ；（2）若2C AE =E ，求AE⋅AB ；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结F A ，设C λE=E A （01λ≤≤）．当λ为何值时，可使F F A ⋅B 最小，并求出F F A ⋅B 的最小值．19.（本小题满分16分）某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润()x P 与投资额x 成正比，其关系如图1；乙产品的利润()Q x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润()x P 和()Q x 的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20.（本小题满分16分）已知函数()x x f x a a -=+（0a >且1a ≠）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）设()()1g x f x =，当()0,1x ∈时，求函数()g x 的值域； （3）若()512f =，设()()222x x h x a a mf x -=+-的最小值为7-，求实数m 的值．2015—2016学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．3 2．(1,)+∞ 3．2- 4． 5．13 6．43- 7．3π 8．2 9．35 10．7 11．12a >- 12．1(,)2-∞-13．72[2,)(,665----U 14．178m =-或11m -<< 二、解答题15．（1）{}0,1,2,3,4,5A =，……………………………………………………………2分{}{}12,1,0,1,2B x x x =-∈=-Z ≤≤． ……………………………………4分（2）{}0,1,2A B =I ， ……………………………………………………………7分{}1,0,1,2,3,4,5A B =-U ． …………………………………………………10分（3）如图所示：实数a 的取值范围为12a <≤． …………………………………………14分16．（1）因为当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3，所以3A =，……………1分 因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π， 所以22T π=⨯=π，即2ωπ=π，所以2ω=， ……………………………3分 将点(,3)6π代入()3sin(2)f x x ϕ=+，得sin(2)16ϕπ⨯+=， 因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，…………………………………………………5分 所以()3sin(2)6f x x π=+．…………………………………………………6分 （2）令3222262k x k ππππ++π+≤≤，k ∈Z ， ……………………………8分 解得263k x k πππ+π+≤≤，k ∈Z ， 所以()f x 的单调减区间是2,(63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z)． ………………10分 （结果未写出区间形式或缺少k ∈Z 的，此处两分不得）（3）当[,]63x ππ∈-，2[,]666x ππ5π+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-， …………12分 所以函数()f x 的值域是3[,3]2-． ………………………………………14分 17．解法一：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ………………………………2分 解得tan 2α=． ………………………………………………4分（2）sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=-- ………………………………………7分 21321+==-． ……………………………………9分 （3）2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+ ……………………12分 22tan tan tan 1ααα+=+426415+==+． …………14分 解法二：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ……………………………2分 解得tan 2α=． …………………………………………4分（2）由22tan 2,sin cos 1,ααα=⎧⎨+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …8分将数值代入得sin cos sin cos αααα+-3=． ……………………………11分 （3）由（2），代入数值得26sin sin cos 5ααα+=． …………………14分 18．（1）1cos 11cos602AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ． …………………2分 （2）因为AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ，所以AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ……4分…………………………………………5分又2AE EC = ，所以23AE AC == …………………………6分故cos 11AE AB AE AB BAC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r ． …………………8分 （3）因为CE EA λ=uu u r uu r ，ABE △∽CFE △，1AB =uu u r ， 故CF λ= ，1FD λ=- ， ……………………………………………10分所以()()AF BF AD DF BC CF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AD BC AD CF DF BC DF CF =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11cos120(1)1cos60(1)cos180λλλλ=+⨯+-⨯⨯+-⨯⨯o o o22312(1)22λλλ=-+=-+， ……………………14分 故当1=λ时，AF BF ⋅uu u r uu u r 的值最小，最小值为12． ……………………16分 19．（1）设1()P x k x =，代入(1,0.2)，解得115k =，所以1()5P x x =，…………………3分设()Q x k =(4,1.2)，解得235k =，所以()Q x ．……………6分 （2）设投入乙产品x 万元，则甲产品投入3x -万元，利润总和为1()(3)5f x x =-03x ≤≤， …………………………9分 （少定义域扣1分）t ，则0t ≤ ………………………………………………11分 此时22131321()(3)()555220g t t t t =-+=--+， …………………………………13分 当32t =，即9 2.254x ==时，()g t 取得最大值2120． …………………………15分 答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元． …………………………………………………………16分20．（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，都有()()()x x x x f x a a a a f x -----=+=+=，所以()f x 为偶函数． ………………………………………………………2分（2）因为()x xf x a a -=+，所以2()1xx a g x a =+(0a >且1a ≠)，………………4分 ①当1a >时，因为(0,1)x ∈，所以(1,)x a a ∈，设x t a =，1y t t=+，(1,)t a ∈， 在区间(1,)a 内任取两个数1t ，2t ，12t t <，则121212121212()(1)11()()t t t t y y t t t t t t ---=+-+=， 因为120t t -<，121t t <，所以120y y -<，即12y y <， 所以1y t t=+在(1,)a 上是单调增函数， ………………………………6分 故2111(,)x x a y t a a t a a+=+=+∈， 所以2211()(,)1112x x x x a a g x a a a a==∈+++． ……………………………8分 ②当01a <<时，(0,1)x ∈，(,1)x a a ∈，同理可得21()(,)12a g x a ∈+． 综上所述，()g x 的值域为21(,)12a a +． …………………………………10分 （3）若5(1)2f =，则2a =或12a =，所以()22x x f x -=+， …………………11分 222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x h x m m ----=+-+=+-+-，令()22x x t f x -==+，因为x ∈R，故22222x x -++≥，即2t ≥， …………12分 令222()22()2F t t mt t m m =--=---，①若2m ≥，则2min [()]()27F t F m m ==--=-，解得m =，又因为2m ≥，所以m =②若2m <，则min [()](2)247F t F m ==-=-，解得94m =（舍）． 综上所述，实数m…………………………………………16分。
2015-2016学年江苏省徐州市高一上学期期末数学试卷 解析版
2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁U A={2}，则m=3．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由全集U及A的补集，确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m．【解答】解：∵全集U={1，2，3}，且∁U A={2}，∴A={1，3}∵A={1，m}，∴m=3．故答案为：3．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；方程思想．【分析】幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式，建立方程求α【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数．4．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．5．已知向量，，且，则x的值为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；构造法；平面向量及应用．【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量，，且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．6．若sinα=，，则tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cosα，从而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=，，∴cosα==﹣=﹣，∴tan==﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．7．已知，，且，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的数量积运算即可得到cosθ=，问题得以解决．【解答】解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•（）=|3|•||cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式，和三角函数值，属于基础题．8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=2．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）f（3）＜0，可得x0∈（2，3），从而求得k的值．【解答】解：令函数f（x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0，故x0∈（2，3），∴k=2，故答案为2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值．【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sinα，cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，2），∴，∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的加法运算，利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），∴m=（2m+n，m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是a＞﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g（x）为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a﹣2）+g（a+4）＞0变形为g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），由函数的单调性可将其转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，即g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．12．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．【解答】解：函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在[﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在[﹣2，2），（3，+∞）上，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，则，解得，﹣2≤b＜﹣；故答案为：（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪{﹣}．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．【解答】解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在（﹣1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈[﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，如图所示：∵当t=﹣时，y=﹣，故1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1）∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．（1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】（1）找出A与B中不等式的整数解，分别确定出A与B即可；（2）由A与B，求出A与B的交集，并集即可；（3）由B，C，以及B与C的交集仅有3个元素，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}；（2）∵A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，A∪B={﹣1，0，1，2，3，4，5}；（3）∵B={﹣1，0，1，2}，C=（﹣∞，a），且B∩C中仅有3个元素，∴实数a的取值范围为1＜a≤2．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先确定A的值，函数的周期，利用周期公式可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在x=处取得最大值3，即可求得f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调减区间．（3）由，可求，利用正弦函数的性质可得，从而得解．【解答】解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以，即，所以ω=2，…将点代入f（x）=3sin（2x+φ），得，因为，所以，…所以．…（2）令，k∈Z，…解得，k∈Z，所以f（x）的单调减区间是．…（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）（3）当，，，…所以函数f（x）的值域是．…【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于基础题．17．设向量，，且．求：（1）tanα；（2）；（3）sin2α+sinαcosα．【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，即可解得tanα．（2）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．（3）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0即可解得tanα．（2）由，解得sinα，cosα的值，代入即可得解．（3）由（2），代入数值得．【解答】（本题满分为14分）解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）…=．…（3）…==．…解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）由，解得或．…将数值代入得=3．…（3）由（2），代入数值得．…【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算的应用，考查了转换思想，属于基础题．18．如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠BAD=60°，且E 为对角线AC 上一点． （1）求•； （2）若=2，求•；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结AF ，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】（1）代入数量积公式计算；（2）用表示，代入数量积公式计算；（3）建立平面直角坐标系，用λ表示出的坐标，代入数量积公式计算，求出关于λ的函数最值．【解答】解：（1）•=AB •AD •cos ∠BAD=1×1×cos60°=．（2）∵=2，∴==（），∴•=（）•=+=+×=1．（3）以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），D （，）．C （，）．∴，=（，）．∵=λ，∴=（﹣λ，0），=（1﹣λ，0）．∴==（，），==（，），∴•=（）×（）+=λ2﹣2λ=（λ﹣1）2+．∴当λ=1时，•最小，的最小值是．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），能求出P（x），设，代入（4，1.2），能求出Q（x）．（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，fiy bm 利润总和，利用换元法和配方法能求出怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润及其最大利润是多少万元．【解答】解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），解得，所以，…设，代入（4，1.2），解得，所以．…（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，利润总和为，0≤x≤3，…记，则，…此时，…当，即时，g（t）取得最大值．…答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元．…【点评】本题考查函数解析式的求法，考查企业最大利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法的合理运用．20．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）的定义域为R．计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===，即可得出函数g（x）的值域．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R．f（﹣x）=a﹣x+a x=f（x），∴函数f（x）为偶函数．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===＜，∴函数g（x）的值域为．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x+2﹣x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2﹣4m=﹣7，解得m=，舍去；当m＞2时，h（x）的最小值为﹣m2，∴﹣m2﹣2=﹣7，解得m=．综上可得：m=．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．。
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2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f （﹣1）的值为．5．（5分）cos240°的值等于．6．（5分）函数f（x）=的定义域是．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxf（x）0 30 ﹣30（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．【解答】解：由正切函数的周期公式得T=，故答案为：3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为（2，1）．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f （﹣1）的值为．【解答】解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），∴8=a3，解得a=2，∴f（x）=2x，∴f（﹣1）=2﹣1=，故答案为：．5．（5分）cos240°的值等于﹣．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．6．（5分）函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则﹣1+lnx≥0，即lnx≥1，解得x≥e．∴函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．故答案为：[e，+∞）．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．【解答】解：由题意可得||====，故答案为：．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．【解答】解：由题意，f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f（）=f（）∵f（﹣）=，f（x）是偶函数．∴f（）=即f（）的值为．故答案为：．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为6．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=6，故答案为：6．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．【解答】解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．故答案为：．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为1．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinω（x﹣）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，f（x）=sin2x，则f（）=sin=1，故答案为：1．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=9．【解答】解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．【解答】解：∵y=2x，x＜2，0＜2x＜4，∴0＜a＜4时，2x﹣a=0，有一个解，a≤0或a≥4，2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[1，2）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[2，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4故答案为：1≤a＜2，或a≥414．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{﹣4，24} ．【解答】解：当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则m不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x2﹣n，那么由题意可知：，再由m，n是整数得到或，因此m+n=24或﹣4．故答案为：{﹣4，24}．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∴，解得：0≤a≤1．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin（π﹣α）•sin（）=sinα•cosα=﹣．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x ）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πx﹣30 ﹣30f（x）（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，数据补全如下表：ωx+φ0π2πx﹣f（x）0 30 ﹣30函数表达式为f（x）=3sin（2x+）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+）．由x∈[﹣，]，可得：x+∈[﹣，]，可得：sin（x+）∈[﹣，1]，可得：函数g（x）=3sin（x+）∈[﹣，3]．（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（），由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+），得g（x）=3sin（2x+2θ+）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，解得θ=﹣，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．【解答】解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，则有cosθ===﹣，∴θ=．（2）①设，则=﹣=0，∴m=．②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+[﹣k（t2﹣3）+t]+t（t2﹣3）=﹣k•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，故的最小值为﹣．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．【解答】解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。