人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径拓展提高同步检测
24.1.2 垂直于弦的直径
基础闯关全练
拓展训练
1.(2016云南曲靖一模)如图,在☉O中,弦AB⊥AC,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,若AB=8 cm,AC=6 cm,则☉O的半径OA的长为( )
A.7 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
2.(2016贵州一模)☉O过点B,C,圆心O在等腰直角△ABC内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则☉O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
能力提升全练
拓展训练
1.
如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线l与☉B相交于C、D两点,则弦CD的长的所有可能整数值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(0,3),直线y=kx-3k+4(k≠0)与☉O交于B,C两点,则弦BC 的长的最小值为.
三年模拟全练
拓展训练
(2018黑龙江哈尔滨尚志期中,16,★★☆)如图,AB为☉O的弦,P为AB上一点,且PA=8,PB=6,OP=4,则☉O的半径为.
五年中考全练
拓展训练
1.(2017青海西宁中考,8,★★☆)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A. B.2 C.2 D.8
2.(2016四川南充中考,15,★★☆)下图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.
核心素养全练
拓展训练
1.(2017河南鹤壁模拟)如图,点C是☉O上一点,☉O的半径为2,D,E分别是弦AC,BC上一动点,且OD=OE=,
则AB的最大值为( )
A.2
B.2
C.2
D.4
2.如图,AB是☉C的弦,直径MN⊥AB于O,MN=10,AB=8,以直线AB为x轴,直线MN为y轴建立坐标系.
(1)试求A,B,C,M,N五点的坐标;
(2)我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点,请写出☉C上的其他整数点的坐标: .
24.1.2 垂直于弦的直径
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 C ∵弦AB⊥AC,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,AB=8 cm,AC=6 cm,∴四边形OEAD是矩形,AD=AB=4 cm,AE=AC=3 cm,∴OD=AE=3 cm,
∴OA===5(cm).故选C.
2.答案C过A作AD⊥BC于点D,由题意可知AD必过点O,连接OB.∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,BC=6,∴BD=CD=AD=3,∴OD=AD-OA=2.在Rt△OBD中,根据勾股定理,得OB===.故选C.
能力提升全练
拓展训练
1.答案 C 半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),可知OB=4,所以点B(0,-4).因为P(0,-7),所以BP=3.当弦CD⊥AB时,弦CD最短,连接BC,由勾股定理得CP===4,由垂径定理可知CD=2CP=8;当弦CD 是☉B的直径时,CD最长,CD=10.所以8≤CD≤10,所以弦CD的长的所有可能整数值为8、9、10,共3个.
2.答案4
解析连接OB,过点O作OD⊥BC于点D,∵直线y=kx-3k+4必过点(3,4),∴点D的坐标为(3,4)时,弦BC最短,此时OD=5,∵以原点O为圆心的圆过点A(0,3),∴圆的半径为3,∴OB=3,∴BD===2,∴弦BC 的长的最小值为4.
三年模拟全练
拓展训练
答案8
解析如图,过O作OE⊥AB,垂足为E,
连接OA.∵AP=8,PB=6,∴AE=BE=AB=7,PE=BE-PB=7-6=1,在Rt△POE中,OE===.
在Rt△AOE中,OA===8.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 C
如图,作OH⊥CD于H,连接OC.∵OH⊥CD,∴HC=HD,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,
∴OA=4,∴OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中,∵∠OPH=∠APC=30°,
∴∠POH=60°,∴OH=OP=1.在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,
∴CH==,∴CD=2CH=2.故选C.
2.答案50
解析设符合条件的圆为☉O,由题意知,圆心O在对称轴l上,且点A、B都在☉O上.设OC=x mm,则OD=(70-x)mm,由OA=OB,得OC2+AC2=OD2+BD2,即x2+302=(70-x)2+402,解得x=40,∴OA===50 mm,即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 A 如图,连接OC,取OC的中点F,连接DF.当OD⊥AC,OE⊥BC时,∠ACB最大,AB最大.∵☉O的半径为
2,∴OF=CF=,∵OD=,∴△DOF是等边三角形,∴∠DOF=60°,∴∠ACO=30°,AC⊥OD,∴AC=2CD=2=2=2.同理可得∠BCO=30°,∴∠ACB=60°.∵OD=OE,OD⊥AC,OE⊥BC, ∴AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC=2,即AB的最大值为2.故选A.
2.解析(1)连接AC,∵MN是直径,MN⊥AB于O,AB=8,∴AO=BO=4.
∵MN=10,∴AC=MC=CN=5.在Rt△AOC中,OC===3,
∴OM=8,ON=2.∴所求五点的坐标分别为A(-4,0),B(4,0),C(0,3),M(0,8),N(0,-2).
(2)(-4,6),(4,6),(-3,7),(3,7),(-3,-1),(3,-1),(-5,3),(5,3).。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用 提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径检测(含解析)新人教版(2
九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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24.1.2 垂直于弦的直径测试时间：30分钟一、选择题1.一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是( )A。
① B.②C。
③D。
④2。
(2017贵州黔西南州中考)如图，在☉O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5,则CD的长是( )A.3 B。
2。
5 C.2 D.13.在某岛A的正东方向有台风,且台风中心B距离该岛40 km，台风中心正以30 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心50 km以内（包括边界)都受影响，则该岛受到台风影响的时间为（)A.不受影响B。
1 h C.2 h D.3 h二、填空题4.(2017湖南长沙中考)如图,AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.5。
(2017四川雅安中考)☉O的直径为10，弦AB=6,P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是.三、解答题6。
如图,AB为☉O的弦，☉O的半径为5,OC⊥AB于点D，交☉O于点C,且CD=1.(1)求线段OD的长；(2)求弦AB的长.7.(2018福建龙岩新罗期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之,深一寸，锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题：“如果CD为☉O 的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸，那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.24。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O 的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC 的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB 于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x 2=42+(x-2)2，∴8AE ===cm.1184(cm)22AD AB ==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证:四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=12AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222a r d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.1034.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥ 11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,O C C F O F =+()22230090.R R =+-解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
人教版数学九年级上册24 垂直于弦的直径(第二课时)课件
• C．26寸 D．28寸
15
9．【广西梧州中考】如图，在半径为 13的⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，∠ DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则 CD 的长是( C )
A．2 6 C．2 11
B．2 10 D．4 3
16
10．【浙江嘉兴中考】如图，在⊙O 中，弦 AB＝1，点 C 在 AB 上移动，连接 1
13
• 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE 的长．
解：连接 OC．∵CD⊥AB，CD＝6，∴CE＝12CD＝3.在
Rt△OEC 中，OE＝ OC2－CE2＝ 42－32＝ 7，∴BE＝OB －OE＝4－ 7.
14
能力提升
• 8．【核心素养题】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专 著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算 机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯 锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木 材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸C(ED＝1 寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆柱形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是( )
OC，过点 C 作 CD⊥OC 交⊙O 于点 D，则 CD 的最大值为___2___.
17
11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3.将其绕点 B 顺时针旋转一周，则 分别以 BA、BC 为半径的圆形成一个圆环．该圆环的面积为___9_π____.
18
• 12．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上
定具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(非直径)；④平分弦所对的劣弧；
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。
这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。
但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。
2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。
2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。
2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。
4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。
5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。
八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。
主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。
24.1.2++垂直于弦的直径+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，如果 CD＝20，BE＝4，
求⊙O 的半径． 解：连接 OC，∵CD⊥AB，
∴CE＝12 CD＝10. 设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－4， 在 Rt△OEC 中，
由勾股定理，得 OE2＋CE2＝OC2，
∴(r－4)2＋102＝r2，
10．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 几何”，用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦 AB 垂直 CD 于点 E， CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长为__2_6_寸．
11．⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB⊥CD，且 AB＝8， 则弦 AC 的长为 2 5 或 4 5 .
∴Rt△AON≌Rt△DOM，
∴OM＝ON， 又∠ONE＝∠OME＝∠MEN＝90°，
∴四边形 OMEN 是正方形；
(2)若 CE＝1，DE＝3，求⊙O 的半径．
(2)∵CE＝1，DE＝3， ∴CD＝4， ∴DM＝2， ∴EM＝OM＝1， ∴OD＝ OM2＋DM2 ＝ 5 ， 即⊙O 的半径为 5 .
5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 OD，若 AB＝6，BE ＝1，则弦 CD 的长是_2__5_.
6．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A＝15°，半径为 2， 则弦 CD 的长为_2___.
7．(教材第 90 页第 9 题改)如图，两个圆都以 O 为圆心．
解得 r＝229 ，∴⊙O 的半径是229 .
13．(教材第 83 页第 2 题改)如图，⊙O 的两条弦 AB，CD 互相垂直于点 E， AB＝CD，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，ON⊥AB 于点 N. (1)求证：四边形 OMEN 是正方形；
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案1新人教版(2021年
2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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24。
1。
2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入(课件出示图片)你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37。
4m，拱高(弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、探索新知1.圆的轴对称性问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论如图,AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ,垂足为M ．(1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM =BM ，AC BC =，AD BD =,即直径CD 平分弦AB ,并且平分AB 及ADB ． 归纳总结垂径定理＊：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
人教版九年级数学上册第二十四章《圆》课件
算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形
ABCD的边长为 4 5 .
A
D
？2x 10 Ⅱ
M
x B O
C
图4
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
视频：生活中的圆
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形 可以吗？
车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）
讲授新课
一 探究圆的概念
合作探究
情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 排成什么样的队形？
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫 做半径，一般用r表示．
视频：画圆实际操作演示
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上吗？
有间隙吗？
圆可以看成到定满点足距什离么等条于件定的长？的所有点组成的.
解：连结OA. ∵ABCD为正方形
N
A
D
xx
∴DC=CO
x
x
MB
C
O
图5
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x 又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中, AB2 BO2 AO2
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案新人教版(2021年整
湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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垂直于弦的直径课题：24.1。
2 垂直于弦的直径课时 1 课时教学设计课标要求探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.教材及学情分析1、教材分析:圆是平面几何中最重要的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而是进一步学习数学以及其他学科的重要基础。
圆的许多性质，比较集中的反映了事物内部两边变和质变的关系，一般和特殊的关系、矛盾对立统一的关系。
所以本章教学在初中数学教学中有重要地位.2、学情分析学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习,对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．课时教学目标1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明．2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．3．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．重点垂径定理及其应用难点垂径定理的证明教法学法指导探究法归纳法练习法教具准备课件教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课一、通过折叠探究圆的对称性一、导入新课1．实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性等特征．2．探究:剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？培养学生动手操作能力二、通过折叠圆探究垂径定理1、探究垂径定理二、新课教学1．垂径定理及证明．请同学们回答下面两个问题:（1）圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．分析：(1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．（2）我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．如右图，AA′是⊙O的一条弦,作直径CD，使CD⊥AA′,垂足为M．（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．点评：（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．(2）AM＝A′M，＝，＝．即培养学生数形结合解决问题的思想教解:如上右图，用表示主桥拱，设＝2AB＝2×小结这节课你学到了什么？板书设计 24。