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浙江省宁波市九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（）A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)2.一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）A. 12B. 23C. 25D. 353.已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 无法确定4.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若A′D=CD，则∠A的度数为（）A. 25∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘5.若点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）是抛物线y=（x-2）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y3>y1>y2B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y1>y2>y36.下列四个命题中，正确的有（）①三点确定一个圆②平分弦的直径平分弦所对的弧③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等④相等的弧所对的圆心角相等A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.2A. 3B. mC. 7D. n8.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的一条弦且AB=8，则使△ABE的面积为8的点E共有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 49.已知，如图AB，AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连结CO并延长交⊙O于点D，∠D=35°，则∠BAD的度数是（）A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘10.函数y=kx与y=kx2-k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.11.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=-1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a-b+c＞0；③b＜a④3a+c＞0，⑤9a-3b+c＞0，其中正确的命题有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，半径为1的⊙O与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点D、E，直线y=kx（k＞0）交⊙O于A、B，AD、BE的延长线相交于点C，当k的值改变时，下列结论：①∠ACB的度数不变，②CB与CD的比值不变，③CO的长度不变．其中正确的结论的序号是（）A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是______．14.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且OD=4，则弦AB的长是______．15.如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为240°和120°．让转盘自由转动2次，则指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率是______．16.函数y=ax2+3x-1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是______．17.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为______．18.如图，一段抛物线：y=-x（x-2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3，交x轴于点A2…如此进行下去，直至得到C2018，若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.如图，有两面夹角为45°的墙体（∠ABC=45°），且墙AB=32米，墙BC=10米，小张利用8米长的篱笆围成一个四边形菜园，如图，四边形BDEF，DE∥BC，∠E=90°，（靠墙部分不使用篱笆）设EF=x，四边形BDEF的面积为S．（1）用含x的代数式表示BD，DE的长；（2）求出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）求S的最大值．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）20.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率．21.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），一次函数的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．22.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求弦BD的长．23.如图，正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），在平面直角坐标系内，△OBC的顶点B、C分别为B（0，-4），C（2，-4）．（1）请在图中标出△OBC的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P （______，______）；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△OB1C1；（3）在（2）的条件下，求出旋转过程中点C所经过分路径长（结果保留π）．24.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的CD的长．25.如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．（1）求证：∠ACF=∠ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M移动到点A时停止．（1）当M落在OA的中点时，则点M的坐标为______．（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PA最长？（3）当线段PA最长时，相应的抛物线上有一点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，求此时点Q的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵y=（x-1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选：A．由抛物线解析式即可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．2.【答案】C【解析】解：∵2个红球、3个白球，一共是5个，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是．故选：C．让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3.【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为r=3cm，点P到圆心的距离OP=d=2cm，∴d＜r，∴点P在圆内，故选：C．根据点到圆心的距离d和圆的半径r之间的大小关系，即可判断；本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d=r．③点P在圆内⇔d＜r．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用旋转和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：由旋转的性质可知：∠A′CD=35°，∠A=∠A′，∵A′D=DC，∴∠A′=∠A′CD=35°，∴∠A=∠A′=35°，故选B．5.【答案】A【解析】解：y=（x-2）2+1，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，∵C（-2，y3）离直线x=2的距离最远，B（2，y2）在直线x=2上，∴y3＞y1＞y2．故选：A．根据二次函数的性质得到抛物线y=（x-2）2+1的开口向上，对称轴为直线x=2，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．6.【答案】D【解析】解：①三点确定一个圆，错误．应该是不在同一直线上三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧，错误，条件是此弦非直径；③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，错误，条件是同圆或等圆中；④相等的弧所对的圆心角相等，正确；故选：D．根据确定圆的条件，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系即可判断；本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】A【解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵当x=-1或1时，y=7，∴抛物线的对称轴为x=0，由抛物线的对称性可知x=-3与x=3对称，∴当x=3时，y=3．故选：A．由表可知，抛物线的对称轴为x=0，再对称即可求得x=3时y的值．本题考查了二次函数，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为x=0是本题的关键．8.【答案】C【解析】解：过圆心向弦AB作垂线，再连接半径设△ABE的高为hS△ABC=×AB×h=8可得：h=2弦心距==3∵3-2=1，故过圆心向AB所在的半圆作弦心距为1的弦与⊙O的两个点符合要求；∵3+2=5，故将弦心距AB延长与⊙O相交，交点也符合要求，故符合要求的点由3个．故选：C．根据△ABC的面积可将高求出，即⊙O上的点到AB的距离为高长的点都符合题意．在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题．9.【答案】B【解析】解：连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵OA=OD，∴∠D=∠DAO=35°，∴∠BAD=35°+30°=65°，故选：B．连接OA，根据圆的半径都相等即可求出答案．本题考查圆的性质，解题的关键是构造出辅助线OA，本题属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y=，在二、四象限，而二次函数y=kx2-k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；②当k＞0时，反比例函数y=，在一、三象限，而二次函数y=kx2-k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确，故选：D．根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．11.【答案】C【解析】解：如图所示：①∵开口向上，∴a＞0，又∵对称轴在y轴左侧，∴-＜0，又∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，正确．②由图，当x=-1时，y＜0，把x=-1代入解析式得：a-b+c＜0，错误．③∵对称轴在x=-左侧，∴-＜-，∴＞1，∴b＞a，错误．④由图，x1x2＞-3×1=-3；根据根与系数的关系，x1x2=，于是＞-3，故3a+c＞0，正确．⑤由图，当x=-3时，y＞0，把x=-3代入解析式得：9a-3b+c＞0，正确．所以其中正确的有①④⑤，故选：C．先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0，否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0，否则c＜0；（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．12.【答案】B【解析】解：如图，连接BD，∵∠EOD=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∵OB=OE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∠OBE=∠OEB，∴∠OAD+∠OBE=（360°-90°）=135°，∴∠ACB=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴△CDB是等腰直角三角形，∴CB：CD=，故①②正确，在△ABC中，AB是定值，∠C=45°，中线OC是变化的，故③错误，故选：B．如图，连接BD，只要证明△BDC是等腰直角三角形即可解决问题；本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．13.【答案】13【解析】解：∵从1到6的数中3的倍数有3，6，共2个，∴从中任取一张卡片，P（卡片上的数是3的倍数）==．故答案为：．分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】6【解析】解：连接AO，∴D为AB的中点，即AD=BD=AB，在Rt△AOD中，OA=5，OD=4，根据勾股定理得：AD==3，则AB=2AD=6．故答案为6．由OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD 中，由OA与OD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB=2AD即可求出AB的长．此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．15.【答案】49【解析】解：设白色扇形两块和黑色扇形的一块分别为1，2，3，画树形图得：由树状图知共有9种等可能结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种结果，所以指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．故答案为：．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出概率可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】≥−94解：当a=0时，则y=3x-1是一次函数，并且和x轴有交点，所以a=0满足题意；当a≠0时，图象和x轴有交点说明△≥0，即b2-4ac≥0，所以9-4a×（-1）≥0，则a≥-，综上可知：a的取值范围是：a≥-，故答案为：≥-．本题函数有可能是一次函数也有可能是二次函数，所以要根据a的值讨论．本题考查了一次函数和二次函数和x轴交点的问题，解题时要注意a=0和a≠0的两种情况．17.【答案】π4-2+2【解析】解：连结DC1，∵∠CAC1=∠DCA=∠COB1=∠DOC1=45°，∴∠AC1B1=45°，∵∠ADC=90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=，∠OCB 1=45°，∴CB1=OB1∵AB1=1，∴CB1=OB1=AC-AB1=-1，∵S△AB1C1=AB1•B1C1=×1×1=，∴图中阴影部分的面积=-（-1）2-=-2+．故答案为-2+．先根据正方形的边长，求得CB1=OB1=AC-AB1=-1，进而得到S△OB1C=（-1）2，再根据S△AB1C1=，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．18.【答案】-1【解析】解：当y=0，-x（x-2）=0，解得x1=0，x2=2，则A（2，0），∴OA=2，∴抛物线C2018与x轴的两个交点到原点的距离分别为2017×2=4034，2018×2=4036，∴抛物线C2018与x轴的两个交点坐标为（4034，4036），且抛物线的开口向上，∴抛物线C2018的解析式为y=（x-4034）（x-4036），把点P（4035，m）代入得m=（4035-4034）×（4035-4036）=-1．故答案为-1．先求出A（2，0）得到OA=2，利用题中的抛物线变换规律得到抛物线C2018与x轴的两个交点到原点的距离分别为2017×2=4034，2018×2=4036，设交点式得到抛物线C2018的解析式为y=（x-4034）（x-4036），然后把点P（4035，m）代入可求出m的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．19.【答案】解：（1）过点D作DG⊥BC于点G，∵DE∥BC，∠E=90°，∴∠EFG=90°，∴四边形DEFG是矩形，∴DG=EF=x，∵∠ABC=45°，∴BG=x，BD=2x，则DE=8-x；（2）S=(DE+BF)⋅EF2=(8−x+x+8−x)⋅x2=-12x2+8x，∵2x≤32，∴0＜x≤3．（3）∵S=-12x2+8x=-12（x-8）2+32，∴当x＜8时，S随x的增大而增大，∵0＜x≤3，∴当x=3时，S取得最大值，最大值为392．【解析】（1）作DG⊥BC，证四边形DEFG是矩形得DG=EF=x，由∠ABC=45°知BG=x、BD=x，从而得出DE=8-x；（2）根据梯形的面积公式可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及梯形的面积公式、二次函数的性质等知识点．20.【答案】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D，∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，∴甲拿的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：14；（2）画树状图如下：由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为1216=34．【解析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．21.【答案】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，∴设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把点C（0，3）代入解析式的得：-3a=3，解得：a=-1，所以二次函数的解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜-3或x＞0．【解析】（1）利用交点式求出二次函数解析式进而得出答案；（2）利用函数图象得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．此题主要考查了二次函数与不等式组，正确利用数形结合分析是解题关键．22.【答案】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，AB=10，AC=5，∴sin∠ABC=ACAB=12，∴∠ABC=30°∴∠ADC=∠ABC=30°．（2）连接OD．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠BOD=90°，又∵OB=OD，∴△BOD为等腰直角三角形∴BD=2BO=52．【解析】（1）在Rt△ABC中，AB=10，AC=5，推出sin∠ABC==，推出∠ABC=30°可得∠ADC=∠ABC=30°．本题主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．23.【答案】1 -2【解析】解：（1）如图所示：点P（1，-2）；故答案为：1，-2；（2）如图所示：△OB1C1，即为所求；（3）旋转过程中点C所经过分路径长为：=π．（1）直接利用直角三角形的性质得出外接圆位置进而得出答案；（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用弧长求法得出答案．此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．24.【答案】解：如图：连结CM，当y=0时，（x-1）2-4=0，解得x1=-1，x2=3∴A（-1，0），B（3，0）∴AB=4，又∵M为AB的中点，∴M（1，0）∴OM=1，CM=2，∴CO=3当x=0时y=-3，所以OD=3∴CD=3+3【解析】由题意可求点A，点B，点D坐标，即可求AB的长，OD的长，根据勾股定理可求CO的长，即可得CD的长．本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．25.【答案】（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO=CO，∴AB=AC，又∵AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，又∵∠ABD=∠ACF，∴∠ACF=∠ADB．（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，则AN=m，∴∠ANB=∠AMC=90°，在△ABN和△ACM中∠ANB=∠AMC∠ABN=∠ACMAB=AC，∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）∴BN=CM，AN=AM，又∵∠ANF=∠AMF=90°，在Rt△AFN和Rt△AFM中AN=AMAF=AF，∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），∴NF=MF，∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，=BN+CM=2BN=n，∴BN=n2，∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+(n2)2=m2+n24，在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+n22，∴CD=128m2+2n2．（3）解：DEAO的值不发生变化，过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，∴∠OAC=∠ADH，在△DHA和△AOC中∠DHA=∠AOC∠OAC=∠ADHAD=AC，∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），∴DH=AO，AH=OC，而DH=OQ，HO=DQ，∴DQ=OB+OQ=BQ，∴∠DBQ=45°，又∵DH∥BC，∴∠HDE=45°，∴△DHE为等腰直角三角形，∴DEDH=2，∴DEAO=2．【解析】（1）连接AB，根据线段垂直平分线性质求出AB=AC=AD，推出∠ADB=∠ABD，根据∠ABD=∠ACM求出即可；（2）过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，根据AAS证Rt△ABN≌Rt△ACM，推出BN=CM，AN=AM，证Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），推出NF=MF，求出BN长，根据勾股定理和等腰直角三角形性质求出CD的平方，即可求出答案；（3）过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q，根据AAS证Rt△DHA≌Rt△AOC，推出DH=AO，AH=OC，推出DQ=BQ，得出∠DBQ=45°，推出∠HDE=45°，得出等腰直角三角形DHE即可．本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，线段垂直平分线性质等知识点，解（1）小题关键是求出∠ABD=∠ADB，解（2）小题的关键是求出BN的长，解（3）小题的关键是证出等腰直角三角形DEH，此题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好．26.【答案】（1，2）【解析】解：（1）∵点A的坐标（2，4），∴当M落在OA的中点时，则点M的坐标为（1，2）；故答案为（1，2）；（2）①直线OA的解析式为y=2x，设M（m，2m）（0≤m≤2），∴抛物线解析式为y=（x-m）2+2m，当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4，∴P点坐标为（m，m2-2m+4），②PA=4-（m2-2m+4）=-m2+2m=-（m-1）2+1，∵0≤m≤2，∴当m=1时，线段PA最长；（3）m=1时，抛物线解析式为y=（x-1）2+2，即y=x2-2x+3；M点坐标为（1，2），P（2，3），设Q（x，x2-2x+3），过P作OA的平行线交y轴于C，如图，设直线PC的解析式为y=2x+b，把P（2，3）代入得4+b=3，解得b=-1，∴直线PC的解析式为y=2x-1，C点坐标为（0，-1），解方程组得，此时Q点不存在；把直线y=2x-1向上平移2个单位得到直线l，则直线l的解析式为y=2x+1，解方程组得或，∴此时Q点坐标为（2+，5+2）或（2-，5-2），综上所述，满足条件的Q点的坐标为（2+，5+2）或（2-，5-2），（1）利用线段中点坐标公式求解；（2）①易得直线OA的解析式为y=2x，则可设M（m，2m）（0≤m≤2），利用顶点式得到y=（x-m）2+2m，计算自变量为2时的函数值得到P点坐标；②先用m表示出PA，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）抛物线解析式为y=x2-2x+3，则M点坐标为（1，2），P（2，3），设Q（x，x2-2x+3），过P作OA的平行线交y轴于C，如图，根据三角形面积公式直线PC与抛物线的交点为Q点，利用待定系数法确定直线PC的解析式为y=2x-1，则解方程组得Q点坐标；把直线y=2x-1向上平移2个单位得到直线l，根据三角形面积公式直线l与抛物线的交点为Q点，求出直线l的解析式为y=2x+1，然后解方程组得此时Q点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线平行时一次函数的一次项系数的关系，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质．。

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【5套打包】宁波市初三九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)

【5套打包】宁波市初三九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)

新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.抛物线y＝2x2－1的顶点坐标是(A)A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，0)2．如果x＝－1是方程x2－x＋k＝0的解，那么常数k的值为(D)A．2 B．1 C．－1 D．－23．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是(B)A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1 4．小明在解方程x2－4x－15＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝15，两边同时加4，得x2－4x＋4＝19，∴(x－2)2＝19.∴x－2＝±19.∴x1＝2＋19，x2＝2－19.这种解方程的方法称为(B)A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)A B C D6．已知抛物线y＝－2x2＋x经过A(－1，y1)和B(3，y2)两点，那么下列关系式一定正确的是(C)A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y2＜0＜y17．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是(D)A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(D)A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(D) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞c10．如图，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ，AC 与DB 交于点P ，DE 与CB 交于点Q ，连接PQ.若AD ＝5 cm ，PB AB ＝25，则PQ 的长为(A)A ．2 cm B.52 cm C ．3 cm D.72cm二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．在平面直角坐标系中，点A(0，1)关于原点对称的点是(0，－1)． 12．方程x(x ＋1)＝0的根为x 1＝0，x 2＝－1．13．某楼盘2016年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为8__100(1－x)2＝7__600． 14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中x ，y 的部分对应值如下表：则当x ＝－2时，y 的值为11．15.如图，射线OC 与x 轴正半轴的夹角为30°，点A 是OC 上一点，AH ⊥x 轴于H ，将△AOH 绕着点O 逆时针旋转90°后，到达△DOB 的位置，再将△DOB 沿着y 轴翻折到达△GOB 的位置．若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(共题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25；解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0，∴(x－5)(x＋5)＝0.∴x－5＝0或x＋5＝0.∴x1＝5，x2＝－5.(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴．解：将点(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5×(k＋1)－k，解得k＝5.∴y＝－x2＋6x－5.∴该抛物线的对称轴为直线x＝－62×（－1）＝3.17．(本题6分)如图所示的是一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立平面直角坐标系如图所示．求抛物线的解析式．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2.由图象可知，点B(10，－4)在函数图象上，代入y＝ax2，得100a＝－4，解得a＝－125，∴该抛物线的解析式为y＝－125x2.18．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．(1)请你写出旋转中心的坐标是(0，0)；(2)以(1)中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．解：如图，△B 1A 1C 2，△BB 1C 3即为所求作图形．19．(本题7分)(1)求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标； (2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点，求a 的值． 解：(1)令y ＝0，则有x 2＋x －2＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－2.∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点， ∴令y ＝0，即－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.20．(本题7分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H.(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)FG ⊥DE ，理由如下：∵把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，∴∠DEB ＝∠ACB. ∵把△ABC 沿射线平移至△FEG ，∴∠GFE ＝∠A.∵∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠ACB ＝90°.∴∠DEB ＋∠GFE ＝90°.∴∠FHE ＝90°. ∴FG ⊥DE.(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF ＝90°，∠CBE ＝90°，CG ∥EB ，CB ＝BE ， ∵CG ∥EB ，∴∠BCG ＝∠CBE ＝90°.∴四边形CBEG 是矩形．又∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形.21．(本题12分)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)根据(1)中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．解：(1)根据题意，得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400.∴y＝－2x2＋20x＋400.(2)①当x＝5时，y＝－2×52＋20×5＋400＝450，∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利450元．②当y＝400时，400＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去)，∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元．③该专卖店平均每天盈利不可能为600元．理由：当y＝600时，600＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＋100＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，∴方程没有实数根．故该专卖店平均每天盈利不可能为600元．问题情境：(1)如图1，两块等腰直角三角板△ABC 和△ECD 如图所示摆放，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点F ，H ，G 分别是线段DE ，AE ，BD 的中点，A ，C ，D 和B ，C ，E 分别共线，则FH 和FG 的数量关系是FH ＝FG ，位置关系是FH ⊥FG ； 合作探究：(2)如图2，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转至A ，C ，E 在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：(2)(1)中的结论还成立．证明：延长AD 交BE 于点M.∵CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ＝90°， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE.∵∠CBE ＋∠CEB ＝90°，∴∠CAD ＋∠CEB ＝90°.∴∠AME ＝90°.∴AD ⊥BE. ∵F ，H ，G 分别是DE ，AE ，BD 的中点，∴FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE.∴FH ＝FG.∵AD ⊥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中结论还成立． (3)(1)中的结论仍成立．证明：连接AD ，BE ，两线交于点Z ，AD 交BC 于点X. 同(2)可得FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE.∵△ECD ，△ACB 都是等腰直角三角形，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴CE ＝CD ，AC ＝BC. ∴∠ACD ＝∠BCE.∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠EBC ＝∠DAC.∴FH ＝FG. ∵∠DAC ＋∠CXA ＝90°，∠CXA ＝∠DXB ，∴∠DXB ＋∠EBC ＝90°.∴∠BZA ＝180°－90°＝90°.∴AD ⊥BE. ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中的结论仍成立．如图，二次函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象与x 轴交于点B新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.抛物线y ＝2x 2－1的顶点坐标是(A)A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1，0) 2．如果x ＝－1是方程x 2－x ＋k ＝0的解，那么常数k 的值为(D) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－23．将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是(B)A ．y ＝(x ＋2)2＋1 B ．y ＝(x －2)2＋1 C ．y ＝(x ＋2)2－1 D ．y ＝(x －2)2－1 4．小明在解方程x 2－4x －15＝0时，他是这样求解的：移项，得x 2－4x ＝15，两边同时加4，得x 2－4x ＋4＝19，∴(x －2)2＝19.∴x －2＝±19.∴x 1＝2＋19，x 2＝2－19.这种解方程的方法称为(B)A ．待定系数法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)A B C D6．已知抛物线y ＝－2x 2＋x 经过A(－1，y 1)和B(3，y 2)两点，那么下列关系式一定正确的是(C)A ．0＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＜y 1＜0D ．y 2＜0＜y 17．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则方程(a ＋b)x 2＋2cx ＋(a ＋b)＝0的根的情况是(D)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．可能有且只有一个实数根D ．没有实数根8．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB ′C ′D ′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(D) A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(D) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞c10．如图，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ，AC 与DB 交于点P ，DE 与CB 交于点Q ，连接PQ.若AD ＝5 cm ，PB AB ＝25，则PQ 的长为(A)A ．2 cm B.52 cm C ．3 cm D.72cm二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．在平面直角坐标系中，点A(0，1)关于原点对称的点是(0，－1)． 12．方程x(x ＋1)＝0的根为x 1＝0，x 2＝－1．13．某楼盘2016年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为8__100(1－x)2＝7__600． 14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中x ，y 的部分对应值如下表：则当x ＝－2时，y 的值为11．15.如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH 绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置．若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(共题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25；解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0，∴(x－5)(x＋5)＝0.∴x－5＝0或x＋5＝0.∴x1＝5，x2＝－5.(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴．解：将点(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5×(k＋1)－k，解得k＝5.∴y＝－x2＋6x－5.∴该抛物线的对称轴为直线x＝－62×（－1）＝3.17．(本题6分)如图所示的是一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立平面直角坐标系如图所示．求抛物线的解析式．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2.由图象可知，点B(10，－4)在函数图象上，代入y＝ax2，得100a＝－4，解得a＝－125，∴该抛物线的解析式为y＝－125x2.18．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．(1)请你写出旋转中心的坐标是(0，0)；(2)以(1)中的旋转中心为中心，画出△A 1AC 1顺时针旋转90°，180°后的三角形．解：如图，△B 1A 1C 2，△BB 1C 3即为所求作图形．19．(本题7分)(1)求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标； (2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点，求a 的值． 解：(1)令y ＝0，则有x 2＋x －2＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－2.∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点， ∴令y ＝0，即－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.20．(本题7分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H.(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)FG ⊥DE ，理由如下：∵把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，∴∠DEB ＝∠ACB. ∵把△ABC 沿射线平移至△FEG ，∴∠GFE ＝∠A.∵∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠ACB ＝90°.∴∠DEB ＋∠GFE ＝90°.∴∠FHE ＝90°. ∴FG ⊥DE.(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠CBE＝90°.∴四边形CBEG是矩形．又∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形.21．(本题12分)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)根据(1)中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．解：(1)根据题意，得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400.∴y＝－2x2＋20x＋400.(2)①当x＝5时，y＝－2×52＋20×5＋400＝450，∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利450元．②当y＝400时，400＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去)，∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元．③该专卖店平均每天盈利不可能为600元．理由：当y＝600时，600＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＋100＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，∴方程没有实数根．故该专卖店平均每天盈利不可能为600元．22．(本题12分)综合与实践：问题情境：(1)如图1，两块等腰直角三角板△ABC 和△ECD 如图所示摆放，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点F ，H ，G 分别是线段DE ，AE ，BD 的中点，A ，C ，D 和B ，C ，E 分别共线，则FH 和FG 的数量关系是FH ＝FG ，位置关系是FH ⊥FG ；合作探究：(2)如图2，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转至A ，C ，E 在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：(2)(1)中的结论还成立．证明：延长AD 交BE 于点M.∵CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE.∵∠CBE ＋∠CEB ＝90°，∴∠CAD ＋∠CEB ＝90°.∴∠AME ＝90°.∴AD ⊥BE.∵F ，H ，G 分别是DE ，AE ，BD 的中点，∴FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE.∴FH ＝FG. ∵AD ⊥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中结论还成立．(3)(1)中的结论仍成立．证明：连接AD ，BE ，两线交于点Z ，AD 交BC 于点X.同(2)可得FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE. ∵△ECD ，△ACB 都是等腰直角三角形，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴CE ＝CD ，AC ＝BC. ∴∠ACD ＝∠BCE.∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠EBC ＝∠DAC.∴FH ＝FG.∵∠DAC ＋∠CXA ＝90°，∠CXA ＝∠DXB ，∴∠DXB ＋∠EBC ＝90°.∴∠BZA ＝180°－90°＝90°.∴AD ⊥BE.∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中的结论仍成立．23．(本题14分)综合与探究：如图，二次函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象与x 轴交于点B新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣3，﹣3）C ．（2，3）D ．（﹣4，6）2．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，＝，AE ＝2cm ，则AC 的长是（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm3．已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +1＝0的一个根，则m 的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在双曲线y ＝（k ＜0）上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、。

浙江精准联盟2024年九年级上学期期中调研数学试卷+答案

浙江精准联盟2024年九年级上学期期中调研数学试卷+答案

2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下B．a为实数，|a|＞0C．打开电视，正在播放动画片D．任选三角形的两边，其差小于第三边2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.46．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）看书数量/（本）23456人数/（人）661085A．4，5B．5，4C．4，4D．5，57．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x ＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（）A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜09．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（）A．x3＜x2＜x1B．x1＝x2＝x3C．x3＜x1＜x2D．x1＜x2＜x3二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向．12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”连接）．13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为．16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为．三、解答题（本题有8小题，共72分）17．（8分）（1）已知，求x：y的值．（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm．（1）求截面中弦AB的长；（2）求截面中有水部分弓形的面积．21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下B．a为实数，|a|＞0C．打开电视，正在播放动画片D．任选三角形的两边，其差小于第三边【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故A不符合题意；B、a为实数，|a|＞0，是随机事件，故B不符合题意；C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意；D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）【分析】根据所给抛物线解析式为顶点式即可得出顶点的坐标．【解答】解：因为抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣6）．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，∠A＝∠B，∴△AOC∽△BOD，∴，∵OA＝6，OC＝3，OD＝2，∴，∴OB＝4．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键．4．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，∴A、C、B、D四点共圆，∵量角器上点D对应的读数是100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，∴∠BCD＝∠BOD＝40°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，故选：B．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）看书数量/（本）23456人数/（人）661085A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5【分析】直接根据平均数及众数的定义求解即可．【解答】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数＝＝4（本），∵看书数量为4本的有10人，人数最多，∴众数为4（本），故选：C．【点评】本题考查了众数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式．7．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．故选：A．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x ＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（）A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜0【分析】用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝2a＞0，则可对选项C进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对选项D 进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac ＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．9．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4）A．B．C．D．【分析】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，∴AB＝2OA＝8，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴，∴OC为△AOB的中线，∴S△AOC＝S△BOC，∴阴影部分的面积为．故选：A．【点评】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（）A．x3＜x2＜x1B．x1＝x2＝x3C．x3＜x1＜x2D．x1＜x2＜x3【分析】根据a1＞a2＞a3＞0，可得＜＜，又由于x1，x2，x3都是大于1的数，可得（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，进而得出（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，再根据完全平方公式可得（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，进而得出答案．【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，∴＜＜，∵x1，x2，x3都是大于1的数，∴（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，∵a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，∴（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，∵＜＜，∴（x1+1）（x1﹣1）＜（x2+1）（x2﹣1）＜（x3+1）（x3﹣1），∵（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，∴x12﹣1＜﹣1＜x32﹣1，∴x12＜＜x32，∵x1，x2，x3都是大于1的数，∴x1＜x2＜x3．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向下．【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．【解答】解：y＝﹣x2+5中，a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+5开口方向向下，故答案为：下．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2（用“＞”连接）．【分析】根据y＝（x﹣1）2+k可求出函数的对称轴，点B、C在对称轴右侧，函数图形开口向上，y随x增大而增大，可以判断y2，y3的大小，而点A离对称轴最远，故y1的值最大，据此即可判断．【解答】解：∵抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝1，∵B、C点在抛物线右侧，2＜3，∴y3＞y2，∵x＝﹣3离对称轴最远，y值最大，x＝2离对称轴最近，y值最小，∴y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键．13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【分析】如果以点A、D、E ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D 与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为4．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，′′∴∠BAC′＝90°．∵∠ACB＝45°，AB＝8，∴∠AC′B＝45°，∴BC′＝＝＝8，∴MN最大＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为或5．【分析】据题意画出图形，分将三角板绕着点C顺时针旋转45°及90°两种情况讨论，进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝，∠B＝45°∴AB＝AC＝5，由旋转性质可得：，如图所示，将三角板绕着点C顺时针旋转45°后，DE∥BC，此时；如图所示，将三角板绕着点C顺时针旋转90°后，DE∥AC，∵DE∥AC，DE＝AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵∠CDE＝90°，∴四边形ACDE是矩形，∴AE＝CD＝5，故答案为：或5．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．三、解答题（本题有8小题，共72分）17．（8分）（1）已知，求x：y的值．（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．【分析】（1）根据比例的基本性质得到7x＝3x+3y，移项得到4x＝3y，于是得到x：y＝3：4；（2）根据比例中项的定义得到方程c2＝ab，解之可得答案．【解答】解：（1）∵，∴7x＝3x+3y，∴4x＝3y，∴x：y＝3：4；（2）设c为线段a，b的比例中项，则c2＝ab，即c2＝16，由于c＞0，故c＝4．【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．【分析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．（2）利用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．（2）由勾股定理得，AC＝＝．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有三张卡片，分别是A，B，C三个标号，∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm．（1）求截面中弦AB的长；（2）求截面中有水部分弓形的面积．【分析】（1）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE＝60°，解直角三角形求得AE，进一步求得AB；（2）由垂径定理可知，∠AOE＝∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．【解答】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm，∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm，在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OA＝×12＝6（cm），∴AB＝2AE＝12cm；（2）∵∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°，∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣12×6＝（）（cm2）．【点评】本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键．21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．∵对称轴为直线x＝2，∴＝2．解得a＝3；（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x2﹣4x．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？【分析】（1）由图观察可得y与x之间符合一次函数关系，用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，根据题意得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由图可知，x值增加1，y值减小500，故y与x之间符合一次函数关系，设y和x的函数表达式为：y＝kx+b，则，解得，∴y和x的函数表达式为：y＝﹣500x+12000；（2）设这一周青川农户可获得的利润为w元，∵农产品一周的销售量不少于6500千克，∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11，∴7≤x≤11，而w＝y（x﹣4）＝（﹣500x+12000）（x﹣4）＝﹣500（x﹣14）2+50000，∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x＝14，∴7≤x≤11在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴x＝11时，w有最大值为45500元，故当农产品售价定为11时，青川农户可获得最大收入，最大收入为45500元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据直角三角形的性质求得∠ABD的度数，根据等腰三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ABD＝90°，∴AD⊥BD，又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：连接OD、OE，∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°，∵由（1）知，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B关于对称轴的对称点B′，求出BB′的长度即可；（3）先求出直线AC的解析式，再过点B作BD⊥y轴交AC于点D，求出点D的坐标，过点P作PE ⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），求出PE的长度，求出△ABC的面积，再根据S△ABC＝2S△ACP，求出△ACP的面积，然后得出关于x的方程，解方程求出x的值即可．【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3，则，解得，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3，∴对称轴为直线x＝﹣＝，令B点关于对称轴的对称点为B′，∴B′（2，2），∴BB′＝3，∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B，∴m＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图：则点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2，解得x＝1，∴D（1，2），∴BD＝2，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1•BD+×2•BD＝1+2＝3，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x，∵S△ABC＝2S△ACP＝3，∴S△ACP＝，∵S△ACP＝×3•PE＝．∴PE＝1，令﹣x2+x＝1，解得x＝1或2，∴当x＝1时，y＝﹣++3＝3；当x＝2时，y＝﹣×4+×2+3＝2，∴P（1，3）或（2，2）．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．。

浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考(期中)数学试卷(含答案)

浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考(期中)数学试卷(含答案)

宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考试卷（2024.11）全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．三角形任意两边之和大于第三边B ．过马路时恰好遇到红灯C ．明天太阳从西边出来D ．抛掷一枚硬币，正面朝上2．若，则 （ ）A ．B ．1C ．D ．3．的半径为5cm ，点A 到圆心的距离cm ，则点A 与的位置关系是（ ）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C．点A 在圆外D ．无法确定4．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）A ．B ．C ．D 5．将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线 （m 为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，如果，那么添加下列任何一个条件：（1）（2） （3） （4） 其中能判定的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412b a =b a b=-121-12-O e 4OA =O e 4:94:92:316:812y x =-180︒22y x =+22y x =-()22y x =-+()22y x =+()21y x m =++()12,y -()21,y ()33,y 1y 2y 3y 123y y y >>231y y y >>312y y y >>321y y y >>12∠=∠AB AC AD AE =AB BCAD DE=B D ∠=∠C AED ∠=∠ABC ADE ∽△△8．如图，的直径CD 垂直弦AB 于E ，且cm ，cm ，则AB 的长为（）（第8题）AB ．cmC ．cmD ．cm9．如图，为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，，若，，则AD 的长为（ ）（第9题）A ．3.2B ．3C ．2.4D ．1.810．二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ）（第10题）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④二、填空题（每小题3分，共18分）11．正五边形的内角和的度数是______．12．一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是______．13．抛物线的顶点坐标是______．14．如图，在中，半径OA ，OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上，若，则______．O e 1OE =4DE =ABC △60ADE ∠=︒4BD DC =2.4DE =()20y ax bx c a =++≠24b ac >0abc <20a b c +->0a b c ++<()232y x =+-O e 21ABC ∠=︒BAC ∠=（第14题）15．如图，E 为的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F ，若，且，则CF 的长为______．（第15题）16．当时，函数的最小值为4，则a 的值______．三、解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分．第24小题12分，共72分）17．在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．（1）随机地摸出一个小球是奇数；（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．18．如图，在网格中，点A ，B ，C ，O 都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．（1）以O 为位似中心，在网格中作，且与的位似比为．（2）在线段BC 上作点P ，使．19．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y 轴的交点为，与x 轴的一个交点为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象与x 轴的另一个交点坐标；（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．ABCDY 1AB =AD DE >1a x a ≤≤+221y x x =-+111A B C △ABC △111A B C △1:22PC PB =1x =-()0,3()1,00y >20．如图，已知在中，点D ，F 在AB 上，点E 在AC 上，，，，．（1）求AC 的长；（2）当时，求证．21．如图，是的外接圆，AB 是直径，D 为上一点，，垂足为E ，连结BD ．（1）求证BD 平分；（2）当时，求证．22．为了测量路灯（OS ）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC ）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（）为1.8米，求路灯离地面的高度（OS ）．23．根据以下素材，探索完成任务．问题的提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案?素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可ABC △EF CD ∥3AF =5AD =4AE =253AB =DE BC ∥O e ABC △O e O e OD AC ⊥ABC ∠30ODB ∠=︒BC OD =BB 'B C ''建围墙的总长为20m ，开2个门，且门宽均为1m ．素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．问题的解决任务1确定饲养室的形状设，矩形ABCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．任务2探究自变量x 的取值范围．任务3确定设计方案当______m ，______m ，S 的最大值为______．24．如图，点C 是以AB 为直径的上一点，过AC 中点D 作于点E ，延长DE 交于点F ，连结CF交AB 于点G ，连结AF ，BF ．【认识图形】（1）求证：．【探索关系】（2）①求CF 与DF 的数量关系．②设，，求y 关于x 的函数关系．【解决问题】（3）若，，求AE 的长．ABx =AB =BC =2m O e DE AB ⊥O e AFD ACF ∽△△CG x FG =DEy EF=CG =FG =宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考答案（2024.11）一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABBCADCDBC二、填空题（每小题3分，共18分）11．12．13．14．15．216．或3三．解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共72分）17．（1） （2）树状图或列表略18．（1）如图：（2）答案不唯一19．（1） ，（2） ，（3） 20．（1）∵，∴．即，∴．（2）∵，，∴．又，∴，∴．∴．21．（1）∵，∴弧CD ＝弧AD ．540︒12()3,2--24︒2-23P =13P =111A B C △()214y x =-++()3,0-31x -<<EF CD ∥AF AE AD AC =345AC =203AC =532553AD AB ==432053AE AC ==AD AEAB AC=A A ∠=∠ADE ABC ∽△△ADE B ∠=∠DE BC ∥OD AC ⊥∴．即BD 平分．（2）∵，∴，∴，∵AB 是直径，∴，∴．∴．22．∵，∴，即．∵，∴，即．∴．23．（1） ．（2） ，，∴．（3） ，∵不在范围内，且，∴当时，y 随x 的增大而减小．∴当时，．即m ，m ，．24．（1）证明：∵AB 是直径，∴，∵，∴，∴．又∵，∴．①∵，∴．∵，∴，即．∴．②过C 作CH 垂直AB 于H ，则，∴，，∴．CBD ABD ∠=∠ABC ∠OD OB =30ABD ODB ∠=∠=︒260ABC ABD ∠=∠=︒90ACB ∠=︒9030BAC ABC ∠=︒-∠=︒12BC AB OD ==AB SO ∥AB BC SO OC = 1.51SO OC=A B SO ''∥A B B C SO OC ''''= 1.5 1.84.8SO OC =+9SO =()22023322S x x x x =+-=-+122316x <-≤()()200314002135800x x -+-≤47x ≤<2322S x x =-+()2211233x =-=⨯-47x ≤<30-<47x ≤<4x =2max 3422440S =-⨯+⨯=4AB =22310BC x =-=2max 40m S =90AFB ∠=︒DE AB ⊥90AFE EFB B EFB ∠+∠=∠+∠=︒AFB B C ∠=∠=∠DAF FAC ∠=∠AFD ACF ∽△△AFD ACF ∽△△AD AF DFAF AC FC==2AC AD =222AF AD =AF =CF =EF CH ∥12DE AD CH AC ==CG CHFG EF=111222DE CH CG y x EF EF GF ==⋅=⋅=（3）∵，，∴，∴，．∴，．设，则，由，得，∴，∴，∴CG =FG =CF =10DF =23x =13y =1542DE DF ==31542EF DF ==AD a =AF =2222515222a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a =AD =10AF =22222517510044AE AF EF =-=-=AE =。

2023—2024学年浙江省宁波市奉化区奉港中学九年级上学期期中数学试卷

2023—2024学年浙江省宁波市奉化区奉港中学九年级上学期期中数学试卷

2023—2024学年浙江省宁波市奉化区奉港中学九年级上学期期中数学试卷一、单选题1. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（）A．-2B．2C．-1D．12. “a是实数，| a|≥0”这一事件是（）A．必然事件B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件3. 正八边形每个内角度数为（）A．120°B．135°C．150°D．160°4. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有 6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出 1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4左右，则a的值约为（）A．10B．12C．15D．185. 由抛物线平移得到抛物线则下列平移方式可行的是（）A．向左平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度C．向下平移4个单位长度D．向上平移4个单位长度6. 如图，A、B在圆形方格网横线上，点C、D是直径AB与网格横线的交点，则BC：CD：DA为（）A．3：4：5B．1：3：2C．1：4：2D．3：6：57. 已知点A（﹣1，），B（﹣3，），C（4，）在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A．＞＞B．＞＞C．＞＞D．＞＞8. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm9. 如图，由五个边长都是 1的正方形纸片拼接而成的，过点的线段分别与，BE交于点M，N，则（）A．B．C．D．110. 如图，矩形被分割成4个小矩形，其中矩形矩形矩形，，对角线交边于点Q．若要求的面积，需知道下列哪两个图形的面积之差（）A．矩形和矩形B．矩形和矩形C．矩形和矩形D．矩形和矩形二、填空题11. 若则 ______ ．12. 在同一平面上，外有一点P到圆上的最大距离是 8cm，最小距离为2cm，则的半径为 ______ cm．13. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 _____ ．14. 如图，从一块直径为 2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为 90°的扇形，则此扇形的面积为 ______ cm2．15. 如图，在正方形中，，，，分别是它的四条边上的点，且，与四边形的边交于点．若，则 ___________ 度．16. 已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为 ______ ．三、解答题17. 已知，且2 x+3 y﹣z＝18，求x+ y+ z的值．18. 在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．(1)在图 1中画出与相似（不全等）且以AC为公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中的绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形． 19. 如图，已知二次函数的图象过，和三点．(1)求二次函数及直线的函数关系式．(2)直接写出不等式的解集．20. 随着课后服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动．炯炯和露露分别打算从以下四个社团：A．快乐足球，B．数学历史，C．文学欣赏，D．棋艺鉴赏中，选择一个社团参加．(1)炯炯选择数学历史的概率为 ______．(2)用画树状图或列表的方法求炯炯和露露选择同一个社团的概率．21. 如图，已知AB是的直径，弦AC与半径OD平行．(1)求证：点D是的中点．(2)若，求阴影部分（弓形AC）的面积．22. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条 60元，当售价为每条 80元时，每月可销售 100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降 1元，则每月可多销售 10条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少 ?(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 500元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于 1590元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价 ?23. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．P是线段上的动点（点P不与点B，C重合），连接并延长交抛物线于另一点Q，连接，设点Q的横坐标为x．(1)求证：是直角三角形．(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式．(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．24. 阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰中，AD平分，∵，，∴，他们猜想：在任意中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图 1所示，在中，AD平分，求证：．丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；思思认为，可以通过比较和面积的角度来证明．(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图 2，是的外接圆，点E是上一点（与B 不重合，且，连结，并延长AE，BC交于点D，H为AE的中点，连结BH交AC于点G，求的值．(3)【拓展提高】如图 3，在（ 2）的条件下，延长交于点F，若，，求的直径（用x的代数式表示）．。

浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)

浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)

2023学年第一学期期中测试初三数学试题卷一、选择题（本大题有10个小题共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，且，，则的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．10°3．如图，在Rt △ABC 中，，AB ＝5，AC ＝3，则等于（ ）A．B ．CD ．4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．当时，y 随x 的增大而增大C ．图象的顶点坐标是D ．图象与x 轴有唯一交点5．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A ，镜子O ，树底B 三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA ＝2.4米，OB ＝6米，则树高为（ ）米．A ．4B ．5C ．6D ．7第5题6．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是OB 的中点，过点C 作，交半圆于点D ，则与AD 的长度的比为（）32y x =-1y x=22y x x -+21y x =+111ABC A B C △∽△60A ∠=︒140B ∠=︒1C ∠90C ∠=︒sin B 344535224y x x =-++1x <()1,3CD AB ⊥ BD第6题A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：57．如图，一只松鼠先经过第一道门（A ，B 或C ），再经过第二道门（D 或E ）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的概率是（）第7题A．B ．C ．D8．如图，在中，AB 是直径，弦AC ＝5，．则AB 的长为（）第8题A ．5B ．10C ．D ．9．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，直径AB ＝10，弦BC ＝6，点D 在BC 的延长线上，线段AD 交于点E ，过点E 作12131516O BAC D ∠=∠()22y a x h =-+()11,A x y ()22,B x y 1222x x -<-120y y -≥120y y -<()120a y y ->()120a y y -<O O //EF BC分别交，AB 于点F ，G ．若，则EG ：FG 的值为（ ）第10题A．B ．C ．D二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．抛物线经过点，则______．12．己知a ＝3，b ＝12，则a ，b 的比例中项为_____．13．如图，△ABC 中，，．若△ADE 的面积为3，则△ABC 的面积为_____．第13题14．二次函数的图象过点，则方程的解为_____．15．如图，在△ABC 中，于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，G 为边BC 上一点，，连结EF ．若，，BC ＝14，则GD 的长为_____．第15题16．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点Р沿折线BE -ED -DCO 45D ∠=︒72525142y ax =()3,5a =//DE BC 12AD AB =20(2y ax ax c a =-+≠）()3,0220ax ax c -+=AD BC ⊥EGB FDC ∠=∠4tan 5B =tan 2C =运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1m/s ．设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则_____﹔当t ＝_____时，．第16题三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：．18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1001502005008001000摸到白球的次数m5896b 295480601摸到白球的频率a0.640.590.590.600.601（1）上表中的a ＝______，b ＝______；（2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）；（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．19．（6分）如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，，AE ＝5，AC ＝9，DE ＝6．（1）求证：．（2）求BC 的长．20．（8分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的点B 处的俯角，点C 处的俯角，线段AD 的长为无人机距地面的2cm y cos ABE ∠=ABE QBP △∽△2sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒m nAED C ∠=∠ABC ADE △∽△FAB α∠=37FAC ∠=︒高度，点D 、B 、C 在同一条水平直线上，，BD ＝5米．（1）求无人机的飞行高度AD ．（2）求河流的宽度BC ．（参考数据：，，）21．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．（1）在图1中以线段AB 为边画一个△ABD ，使其与△ABC 相似，但不全等．（2）在图2中画一个△EFG ，使其与△ABC 相似，且面积为8．图1图222．（10分）如图，△ABC 内接于，AD 平分交于点D ，过点D 作交AC 的延长线于点E ．（1）求证：：（2）若，的半径为5，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求AD 的长．23．（10分）在平面直角坐标系内，二次函数 （a 为常数）．tan 3α=sin 370.60︒≈cossin 370.80︒≈tan 370.75︒≈O BAC ∠O //DE BC OD DE ⊥60E ∠=︒O ()21y x a a =-+-（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x 的取值范围．（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．24．（12分）[基础巩固]（1）如图1，正方形ABCD 和正方形BHGF ，其中D ，G ，F 三点共线，延长BG 交CD 于E ，连结AH ．①求证：；②不难证明：，因此的值为_______；【尝试应用】（2）在（1）的条件下，如图1，若CE ＝1，DE ＝3，求正方形BHGF 的边长；【拓展提高】（3）如图2，正方形ABCD 和正方形BHGF ，P 是AB 中点，连结CP ，F 恰在CP 上，连结DG ，AG ，若，求AG 的最小值．图1 图21y ()1,01y 1y 21y x =+1-12y y >()1,x n 1y 020x a ≥>54n >-EDG EBD △∽△BHA BGD △∽△DGAH4AB =2023学年第一学期期中测试初三数学答案一、选择题（每小题3分，共30分）12345678910CCDBAADCDA二、填空题（每小题4分，共24分）11121314151612，3说明：第16题每空2分三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：．18．（1）上表中的a ＝0.58，b ＝118；（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）（个），答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．19．（6分）（1）证明：∵，，∴．（2）∵∴，∴，∴．20．（8分）（1）由题意得：，596±13x =21x =-452942sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒2=+=150.61510÷-=AED C ∠=∠A A ∠=∠ABC ADE △∽△ABC ADE △∽△BC AC DE AE =965BC =545BC =//AF C∴．．在Rt △ARD 中．，∵，米，∴（米），答：无人机的飞行高度AD 为75米（2）在Rt △ACD 中，，∴（米），∴（米），答：河流的宽度BC 为75米．21．（8分）下图每小题各4分21．（10分）（1）证明：∵BC 为的直径，∴，FAB ABD α∠=∠=37FAC ACD ∠=∠=︒tan ADABD BD∠=tan 3α=25BD =-tan -25375AD BD a ⋅⨯=tan 4ADCD CD∠=7575100tan tan 370.75AD CD ACD ==≈=∠︒1002575BC CD BD =-=-=O 90BAC ∠=︒∵AD 平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）连CD ，作于F易得， ∴∴∴说明：AD 的长也可通过旋转求得（如下图）23．（10分）（1）解：∵函数y 的图象经过点，∴，解得：或1，BAC ∠290BOD BAD ∠=∠=︒//DE BC 90ODE ∠=︒OD DE ⊥//DE BC 60ACB E ∠=∠=︒30B ∠=︒10BC =152AC AB ==AB ==CF AD ⊥145∠=︒230B ∠=∠=︒AF CF AC ===FD ==AD AF FD =+=()1,0()2110a a -+-=0a =∴函数y 1的表达式为或；（2）解：根据题意作出草图如下，由函数图象可知，当时x 的取值范围是：或； （3）证明：∵，∴-∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，∴和时的函数值相同，∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，即：，∵，∴，∴．24．（12分）（1）①∵，，∴∵∵211y x =-2121y x x =-+12y y >1x <-2x >02x a >002x a +>x a =0x =2x a =0x =0x x -21n a a >+-22151()24a a a +-=+-2514a a +-≥-54n >-12245∠==︒45BDE ∠=︒1BDE ∠=∠33∠=∠EDG EBD△∽△②不难证明：，因此；（2）易得：∵∴∴∴，∴（3）连BG ，延长DG 交AB 于Q ，作于K 易证，则∴为定值点G 是射线DG上的动点，当时，AG 最小．设，则∵∴BHA BGD △∽△DG AHBE =EDGEBD△∽△2·DE EG EB =EG ==BG=BH BG ==QK BD ⊥DGB EFB △∽△1tan 1tan 22∠=∠=3452∠=︒-∠AG DG ⊥QK BK x ==2DK x =3BD BK DK x =+==OK BK x ===∴∴，∴∵∴∴AG 最小值为说明证明或建模、建系均可求得AG的最小值83BQ ==43AQ=DQ =··AQ AD DQ AG=AG=12∠=∠。

浙江省宁波市九年级上期中数学试卷含答案解析

浙江省宁波市九年级上期中数学试卷含答案解析

2022-2023浙江省宁波市九年级（上）期中数学试卷一．选择题1.已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±2．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断3．若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣5 B．y=2（x﹣1）2+5 C．y=2（x+1）2﹣5 D．y=2（x+1）2+54．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．6．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径；②经过三点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．A．1个B．2个C．3个D．4个7．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80° B．100°C．60° D．40°9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式﹣x2+bx+c＞0的解的范围是（）A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞110．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4 D．311．已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y=ax2+bx+c 0.37 0.37 4那么（a+b+c）（+）的值为（）A．24 B．20 C．10 D．412．二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．夏老师：请思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：①存在函数，其图象经过点（1，0）；②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；③函数图象有可能经过两个象限；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．上述结论中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．抛物线y=x2﹣1的顶点坐标是．14．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．16．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是．17．5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为米．18．如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m．三．解答题（本大题有8小题，共78分）19．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标．20．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积．21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．23．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．24．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．25．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且 BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．26．如图，抛物线y=ax2﹣x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（4）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023浙江省宁波市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（1998•温州）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】因为点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，所以（a，8）符合解析式，代入解析式得8=a3，即a=2．【解答】解：把点（a，8）代入解析式得8=a3，即a=2．故选A．【点评】要明确点在函数图象上即点的坐标符合解析式．2．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【考点】点与圆的位置关系．【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d 时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．3．若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣5 B．y=2（x﹣1）2+5 C．y=2（x+1）2﹣5 D．y=2（x+1）2+5【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入人得：y=2（x﹣1）2﹣5．故选B．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球【考点】随机事件．【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径；②经过三点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】根据对称轴的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据三角形外心得性质对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断．【解答】解：圆的对称轴是直径所在的性质，所以①错误；经过不共线的三点可以确定一个圆，所以②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以③正确；半径相等的两个半圆是等弧，所以④正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以⑤错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．1【考点】列表法与树状图法．【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．【解答】解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb所以颜色搭配正确的概率是；故选B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80° B．100°C．60° D．40°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°﹣140°=40°．∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式﹣x2+bx+c＞0的解的范围是（）A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】观察函数图象可得知：该抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），抛物线的对称轴为x=﹣1．根据抛物线的对称性即可找出另一交点坐标，结合函数图象开口向下，即可得出不等式的解集．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），抛物线的对称轴为x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），∵抛物线开口向下，∴关于x的不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜1．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数与不等式，解题的关键是求出抛物线与x轴的另一交点坐标．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是关键．10．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4 D．3【考点】圆周角定理；勾股定理；旋转的性质．【专题】计算题．【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．11．已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y=ax2+bx+c 0.37 0.37 4那么（a+b+c）（+）的值为（）A．24 B．20 C．10 D．4【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把x=2，y=0.37；x=4，y=0.37代入解析式得到b=﹣6a，则可确定抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性得到x=1时，y=4，即a+b+c=4，然后利用整体代入的方法计算（a+b+c）（+）的值．【解答】解：∵x=2，y=0.37；x=4，y=0.37，∴，∴12a+2b=0，解得b=﹣6a，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣=3，∴x=1与x=5时的函数值相等，∴x=1时，y=4，即a+b+c=4，∴（a+b+c）（+）=4×（﹣）=4×（﹣）=24．故选A．【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征：利用抛物线上的点满足抛物线解析式，可判断点是否在抛物线上或确定点的坐标．12．二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．夏老师：请思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：①存在函数，其图象经过点（1，0）；②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；③函数图象有可能经过两个象限；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．上述结论中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据②即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断【解答】解：①将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，解得：k=0，此选项正确．②当k=0时，y=﹣x+1，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；③y=﹣x+1，经过3个象限，此选项错误；④当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y=﹣，当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为最正；此选项正确．正确的是①②④．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．二．填空题13．抛物线y=x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【考点】二次函数的性质．【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．14．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 5 ．【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义解答即可．【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：100×=5．故答案为：5．【点评】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为4 cm．【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转180°，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案．【解答】解：y=2x2﹣12x+16，顶点式y=2（x﹣3）2﹣2，抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 y=﹣2（x﹣3）2﹣2，故答案为：y=﹣2（x﹣3）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律．17．5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为 5 米．【考点】二次函数的应用．【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离，进而求出即可．【解答】解：当y=0时，0=﹣x2+x+，解得：x1=﹣1（舍去），x2=5，故羽毛球飞出的水平距离为5m．故答案为：5．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出图象与x轴交点坐标是解题关键．18．如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m．【考点】正多边形和圆．【专题】应用题．【分析】设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD和直角△OBC中，利用勾股定理和三角函数表示出OC和OD的长，根据OC﹣OD=1即可列方程求得．【解答】解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD中，∠AOD=30°，AD=xm，则OD=xm，在直角△OBC中，OC==，∵OC﹣OD=CD=1，∴﹣x=1，解得：x=，则2x=．故答案是：．【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共78分）19．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题；平移、旋转与对称．【分析】以A为旋转中心，△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，如图所示，确定出E与F坐标即可．【解答】解：如图所示，△AEF就是所求作的三角形；根据图形得：点E的坐标是（3，3），点F的坐标是（3，﹣1）．【点评】此题考查了作图﹣旋转性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．20．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）设出二次函数的顶点式y=a（x﹣1）2+4，将点（0，3）代入解析式，求出a的值即可得到函数解析式；（2）令y=0，据此即可求出函数与x轴交点的横坐标，从而得到图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）由于知道C点坐标，根据A、B的坐标，求出AB的长，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把x=0，y=3代入上式，得：3=a（0﹣1）2+4，解得：a=﹣1，∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）当y=0时，0=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（3）由题意得：C点坐标为（0，3），AB=4，∴S△ABC=×4×3=6．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数与方程的关系，分别令x=0、y=0，据此即可求出与坐标轴的交点．21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．23．（•义乌市）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，进而得出抛物线的解析式．【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得：y=x2﹣2x+2；（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，∴c=1﹣2b，∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式．24．（•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据利润=（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．【解答】解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x=30时，w有最大值，此时wA=2000；B方案中：，故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，∴当x=45时，w有最大值，此时wB=1250，∵wA ＞wB，∴A方案利润更高．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．25．（•宁波期中）已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．。

浙江省宁波市九年级上学期数学期中考试试卷

浙江省宁波市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（）A . 在⊙P内B . 在⊙P上C . 在⊙P外D . 无法确定2. （2分） (2017九上·重庆期中) 抛物线y=-6（x+3）2+5的顶点坐标是（）A . （3,5）B . （3，-5）C . （-3，5）D . （-6,3）3. （2分）某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（）A . 至少有两名学生生日相同B . 不可能有两名学生生日相同C . 可能有两名学生生日相同，但可能性不大D . 可能有两名学生生日相同，且可能性很大4. （2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A . 55°B . 70°C . 90°D . 110°5. （2分） (2019九上·秀洲期中) 下列事件中，属于必然事件的为A . 打开电视机，正在播放广告B . 任意画一个三角形，它的内角和等于C . 掷一枚硬币，正面朝上D . 在只有红球的盒子里摸到白球6. （2分）正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为（）A . 24B . 54C . 9D . 547. （2分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A . 第8秒B . 第10秒C . 第12秒D . 第15秒8. （2分）王老师要选择两名同学担任九年级毕业典礼主持人．现有2名男同学和3名女同学候选，那么王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·文昌模拟) 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△AB E 沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A . 1B .C . 2D . 2 ﹣210. （2分）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A . -B . -C . -2D . -二、填空题 (共6题；共20分)11. （1分）已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是________ ．12. （1分） (2018九上·瑞安月考) 从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．13. （1分） (2015九上·丛台期末) 现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于________ cm．14. （1分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为________ ．15. （1分）(2017·通州模拟) 如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于________．16. （15分）(2018·湖北模拟) 已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．三、解答题 (共8题；共103分)17. （10分） (2017九上·江门月考) 已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）；求：（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．18. （13分）(2018·益阳模拟) 在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15）30.15第二组（15≤x＜30）6a第三组（30≤x＜45）70.35第四组（45≤x＜60）b0.20（1）频数分布表中a=________，b=________，并将统计图补充完整________；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？19. （5分）如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．20. （15分）(2017·襄州模拟) 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．21. （10分） (2020九上·景县期末) 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长22. （20分）(2013·丽水) 如图，已知抛物线y= x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．（4）将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P，求出P点坐标．23. （15分）(2017·蒙阴模拟) 如图，点A的坐标为（﹣8，0），点P的坐标为，直线y= x+b 过点A，交y轴于点B，以点P为圆心，以PA为半径的圆交x轴于点C．（1）判断点B是否在⊙P上？说明理由．（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；并求抛物线与⊙P另外一个交点为D的坐标．（3）⊙P上是否存在一点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24. （15分）(2017·南山模拟) 如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR 是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共20分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、16-3、三、解答题 (共8题；共103分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、22-4、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、。

浙江省宁波市九年级数学上学期期中试题 新人教版

（ 满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．反比例函数2y x=的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2．二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是( )A. （－1，3）B. （1，3）C. （1，－3）D. （－1，－3）3. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，已知︒=∠60O ，则=∠C （ ） A ．︒20 B.︒25 C.︒30 D.︒454. 如图，⊙0的半径为3，圆心角∠AOB=120°，则AB 的长是（ ）A ． π B.2π C ．3π D ．4π5. 如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，BC ＝3，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝( )． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94CDBA6．在下列命题中 ：① 三点确定一个圆； ② 同弧或等弧所对圆周角相等；③ 所有直角三角形都相似； ④ 所有菱形都相似； 其中正确的命题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37. 如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形,若要使每一个小长方形与原长方形相似,则原长方形长和宽之比为（ ）A. 2 ：1 B . 3：1 C. 2:1 D. 3 :18．在平面直角坐标系中，如果将抛物线y ＝3x 2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 那么所得的新抛物线的解析式是 ( )A ．y ＝3(x + 1)2+2B ．y ＝3(x －1)2 + 2C ．y ＝3(x －1)2－2D ．y ＝3(x + 1)2-29. 如图，已知∠ACB=∠CDB=900, 若添加一个条件，使得△BDC 与△ABC 相似，则下列条件中不符合要求．．．．．的是（ ） A. ∠ABC=∠BCD B. ∠ABC=∠CBDC. BDAB BC AC =D. AB ∥CD 10. 如图，优弧⌒ACB的度数为280°，D 是由弦AB 与优弧⌒ACB 所围成 的弓形区域内的任意点，连接AD 、BD ．∠ADB 的度数范围为（ ）A. 0°＜∠ADB＜90°B. 80°＜∠ADB＜180°C. 40°＜∠ADB＜180°D. 40°＜∠ADB＜140°OABC（第3题） BCD（第4题） （第7题） （第9题）CB A D（第10题）（第5题） OAB11. 如图，已知矩形OABC 的面积为25，它的对角线OB 与双曲线xky =（k ＞0）相交于点G ，且OG ：GB=3：2，则k 的值为（ ） A ．15 B ．29 C. 4185 D. 9 12．如图二次函数c bx ax y ++=2的顶点在第四象限，且经过点（0，-2）、（－1，0），则y=a+b+c 的取值范围是（ ）A ．．-2＜y ＜0B ．0＜y ＜2C ．-4＜y ＜0D ．0＜y ＜4二、填空题：（每小题3分，共18分） 13. 若y x 32=，则=yx。

【5套打包】宁波市初三九年级数学上期中考试检测试题(解析版)

新九年级上册数学期中考试试题及答案一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）﹣6的绝对值是（）A．﹣6B．﹣C．D．62．（4分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）为了解我校初三年级所有同学的数学成绩，从中抽出500名同学的数学成绩进行调查，抽出的500名考生的数学成绩是（）A．总体B．样本C．个体D．样本容量4．（4分）计算（x﹣1）÷（1﹣）•x的结果是（）A．﹣x2B．﹣1C．x2D．15．（4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是正方形D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形6．（4分）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，……，按此规律排列下去，则第⑤个图案中三角形的个数为（）A．14个B．15个C．16个D．17个7．（4分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan C＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（）A．0.75B．0.8C．1.25D．1.359．（4分）如图，MN是垂直于水平面的一棵树，小马（身髙1.70米）从点A出发，先沿水平方向向左走10米到B点，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C点，然后再沿水平方向向左行走5米到达N点（A、B、C、N在同一平面内），小马在线段AB的黄金分割点P处（）测得大树的顶端M的仰角为37°，则大树MN的高度约为（）米（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，≈2.236，≈1.732）．A．7.8米B．8.0米C．8.1米D．8.3米10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＞0；④a+b＞am2+bm（m为一切实数）；⑤b2＞4ac；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（4分）如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC 中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣612．（4分）已知关于x的二次函数y＝（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+2的图象在x轴上方，关于m的分式方程有整数解，则同时满足两个条件的整数k值个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：﹣10+＝．14．（4分）函数y＝x2+图象上的点P（x，y）一定在第象限．15．（4分）在二次函数y＝ax2+2ax+4（a＜0）的图象上有两点（﹣2，y1）、（1，y2），则y1﹣y20（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，D、E分别是AB、AC边上的动点，且CE＝3BD，则△BDE面积的最大值为．17．（4分）周末秋高气爽，阳光明媚，小赵带爷爷到滨江路去散步，祖孙俩在长度为600米的A、B路段上往返行走，他们从A地出发，小赵陪爷爷走了两圈一同回到A地后，就开始匀速跑步，爷爷继续匀速散步，如图反映了他们距离A地的路程s（米）与小赵跑步的时间t（分钟）的部分关系图（他们各自到达A地或B地后立即掉头，调头转身时间忽略不计），则小赵跑步过程中祖孙第四次与第五次相遇地点间距为米．18．（4分）重庆一中乘持“尊重自由、激发自觉”的教育理念，开展了丰富多彩的第二课堂及各种有趣有益的竟赛活动．其中“小棋王”争霸赛得到同学们的涵跃参与，经过初选、复试最后十位同学进入决赛这十位同学进行单循环比赛（每两人均赛一局），胜一局得2分、平局得1分、负一局得0分，最后按照每人的累计得分的多少进行排名，得分最高者就是第一名，以此类推．赛完后发现每人最后得分均不相同，第一名和第二名的同学均没负一局，他们两人的得分之和比第三名同学多20分，第四名同学的得分刚好是最后四名同学得分的总和，则第五名的同学得分为分．三、解答题（每小题8分，共16分）19．（8分）如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC＝42°，∠A﹣∠B＝8°，求∠BDE的度数．20．（8分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小段同学就本班同学“我最擅长的体育项目”进行了一次调查统计，下面是她通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有名学生；补全条形统计图；在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为度；（2）学校将举办冬季运动会，该班已推选5位同学参加乒乓球活动，其中有2位男同学（A，B）和3位女同学（C，D，E），现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．四、解答题（每小题10分，共50分）21．（10分）计算：（1）因式分解：（x﹣2y）2﹣（2x+5y）2；（2）解方程：（公式法）2x（x﹣3）＝x2﹣1．22．（10分）在目前万物互联的时代，人工智能正掀起一场影响深刻的技术革命．谷歌、苹果，BAT，华为……巨头们纷纷布局人工智能，有人猜测，互联网+过后，我们可能会迎来机器人+，教育从幼儿抓起，近年来我国国内幼儿教育机器人发展趋势迅猛，市场上出现了满足各类要求的幼教机器人产品．“双十一“当天，某品牌幼教机器人专卖店抓住机遇，对最畅销的A款幼教机器人进行促销．一台A款幼教机器人的成本价为850元，标价为1300元．（1）一台A款幼教机器人的价格最多降价多少元，才能使利润率不低于30%；（2）该专卖店以前每周共售出A款幼教机器人100个，“双十一“狂购夜中每台A款幼教机器人在标价的基础上降价2m元，结果这天晚上卖出的A款幼教机器人的数量比原来一周卖出的A款幼教机器人的数量增加了m%，同时这天晚上的利润比原来一周的利润增加了m%，求m的值．23．（10分）在▱ABCD中，点E为CD边上一点，点F为BC中点，连接BE，DF交于点G，且GA＝GD：（1）如图1，若AB＝AE＝BG＝6，AE⊥CD，求AG2的值；（2）如图2，若EM平分∠BEC，且EM∥DF，过点G作GN⊥BE交AE于点N且GN＝GE，求证：AE⊥CD．24．（10分）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根均为整数，称该方程为“快乐方程”，我们发现任何一个“快乐方程”的判别式△＝b2﹣4ac一定为完全平方数规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0，（p、q、r为常数）的“快乐数”为F （p，q，r）且满足|rF（a，b，c）﹣cF（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“乐呵数”例如“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的两根均为整数，其判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＝42其“快乐数”F（1，﹣2，﹣3）＝（1）“快乐方程”x2﹣4x+3＝0的“快乐数”为，若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m 为整数，且5＜m＜22）是“快乐方程”，求其“快乐数”（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m，n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“乐呵数”，求n的值．五、解答题（共12分）25．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．2018-2019学年重庆一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．【解答】解：|﹣6|＝6．故选：D．2．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：C．3．【解答】解：抽出的500名考生的数学成绩是样本，故选：B．4．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷•x＝（x﹣1）••x＝x2，故选：C．5．【解答】解：A、对角线相互垂直的四边形是平行四边形，不是真命题；B、对角线相等且相互垂直的四边形是菱形，也可能是正方形，所以，不是真命题；C、四条边相等的四边形是正方形，也可能是菱形，所以，不是真命题；D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确，是真命题，故选：D．6．【解答】解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个，则第⑤个图中三角形的个数是4×（5﹣1）＝16个，故选：C．7．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+1．故选：B．8．【解答】解：连接AG，∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC，∴+＝×AC×BD，∵AC＝AB，∴GE+GF＝BD，∵BD＝4，GE＝1.5，∴GF＝2.5，∵tan C＝2＝，BD＝4，∴CD＝2，由勾股定理得：BC＝＝新九年级（上）期中考试数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝22．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣33．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s的速度向右运动，若直线l 在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC 的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．六、（本题满分12分）21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？七、（本题满分12分）22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，∴AC⊥EF，AO＝CO，在矩形ABCD，∠D＝90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，∴CO＝，∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO＝，∴EF＝2×＝．故选：B．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s的速度向右运动，若直线l 在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．【分析】根据∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以求证△AED∽△ABC．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 4 ．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，则AB＝|x2﹣x1|＝4．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是（2，）．【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】解：设点P的坐标为（a，），∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），∴点P的坐标为（1，1），∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，当y＝时，，得x＝2，∴点F的坐标为（2，）．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝1或．【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．【解答】解：①如图1所示，∠GA'C＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，∵∠AA'G＝90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝1；②如图2所示，∠A'GC＝90°，∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∴＝，设AE＝EA'＝EG＝x，∴＝，解得：x＝，或x＝3（舍去），∴AE＝；综上所述，x＝1或；故答案为：1或．三．解答题（共2小题）15．已知，求的值．【分析】设＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到结论．【解答】解：设＝k，则a＝3k．b＝4k，c＝6k，∴＝＝．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；（2）∵函数图象开口向上，其对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．四．解答题（共7小题）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC 的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y＝∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC＝∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）则解得：k＝，b＝∴直线FB的解析式y＝18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.519．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据△＝b2﹣4ac决定抛物线与x 轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x＝﹣＝，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△＝52﹣4（6+k）＝0，∴k＝，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．【分析】（1）证明△ACB∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD•AB，与（1）中两式相加，得到答案．【解答】证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴BC2＝BD•AB，∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）销售利润之和W＝甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；故答案为：y＝（x﹣2）2+3；（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2﹣2m+m+2＝2，解得：m＝2，∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，解得：，∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．【分析】方法一：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．方法二：（1）略．（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值．。

2023-2024学年浙江省宁波市宁海县北片校区九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年浙江省宁波市宁海县北片校区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．已知＝，则的值是（ ）A．B．C．D．2．如果将20个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的，那么随机摸出一个乒乓球是红色的概率为（ ）A．B．C．D．3．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）4．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）A．B．3C．4D．57．已知点都在函数y＝x2+2x+4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）A．72°B．70°C．60°D．45°9．如图，函数y＝ax2+bx+c与y＝x﹣1的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A．bc＜0B．a+b+c＞0C．2a+b＝1D．当0＜x＜2时，ax2+（b﹣1）x+c+1＞010．如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC 于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝ cm．12．如图：在⊙O中，若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ ．13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．14．已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 ．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 ．16．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝6时，则AE＝ ．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）：（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，请在图1中作出△A1B1C1；（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得．18．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．19．在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围．21．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．（1）求y关于x的函数表达式．（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？23．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，﹣1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1）求二次函数的解析式；（2）点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；（3）如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．已知＝，则的值是（ ）A．B．C．D．【分析】依据＝，即可得出a＝b，进而得到的值．解：∵＝，∴a＝b，∴＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．2．如果将20个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的，那么随机摸出一个乒乓球是红色的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．解：因为袋中共有乒乓球20个，其中2个是红色的，所以随机摸出一个乒乓球是红色的概率为＝．故选：D．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．3．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．解：∵y＝2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选：D．【点评】考查求二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴．4．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断；解：∵r＝4，d＝4.5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．解：y＝2x2向上平移3个单位得y＝2x2+3．故选：A．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．6．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）A．B．3C．4D．5【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．解：∵OC⊥AB于C，∴AC＝CB，∵AB＝8，∴AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，OC＝3，根据勾股定理，OA＝＝5．故选：D．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．7．已知点都在函数y＝x2+2x+4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据x＞﹣1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．解：∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，∵﹣1＜＜3，∴y2＞y3＞y1．故选：C．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）A．72°B．70°C．60°D．45°【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°．故选：A．【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．9．如图，函数y＝ax2+bx+c与y＝x﹣1的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A．bc＜0B．a+b+c＞0C．2a+b＝1D．当0＜x＜2时，ax2+（b﹣1）x+c+1＞0【分析】由图象可得，a＞0，c＝﹣1，，抛物线与直线的交点坐标为（0，﹣1），（2，1），则b＜0，进而可判断A的正误；根据二次函数当x＝1时，y＜0，可判断B的正误；将（2，1）代入y＝ax2+bx+c，可判断C的正误；根据当0＜x＜2时，x﹣1＞ax2+bx+c，判断D的正误即可．解：由图象可得，a＞0，c＝﹣1，，抛物线与直线的交点坐标为（0，﹣1），（2，1），∴b＜0，∴bc＞0，A错误，故不符合要求；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，B错误，故不符合要求；将（2，1）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b﹣1＝1，即2a+b＝1，C正确，故符合要求；当0＜x＜2时，x﹣1＞ax2+bx+c，即ax2+（b﹣1）x+c+1＜0，D错误，故不符合要求；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC 于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE 上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，则，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出，即可求解．解：如图所示，连接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　4　cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，∴＝，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∴线段c＝4cm．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．12．如图：在⊙O中，若∠ACB＝30°，则∠AOB＝　60°　．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是　（3，0）　．【分析】依据题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，从而可以判断得解．解：由题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0．∴x＝1或x＝3．∴一个交点为（1，0），另一个交点为（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．14．已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为　πcm　．【分析】直接利用弧长公式计算可得．解：弧长为＝π（cm）．故答案为：πcm．【点评】本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式l＝．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为　0≤y≤9　．【分析】由图象可得函数最大值与最小值．解：当0≤x≤5时，由图象可得y＝9为函数最大值，y＝0为函数最小值，故答案为：0≤y≤9．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．16．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝6时，则AE＝　2　．【分析】延长FO交AD于点J，设AE＝x．利用垂径定理证明DJ＝JB′＝CF＝3，推出BF＝FB′＝6，利用勾股定理求出FJ＝AB＝3，再在Rt△AEB′中，利用勾股定理求出x即可．解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝6，∵OJ⊥DB′，∴DJ＝JB′＝6，∴AD＝BC＝6+6+6＝18，∴BF＝BC﹣CF＝12，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝12，∴FJ＝＝＝6，∴AB＝JF＝6，在Rt△AEB′中，则有x2+62＝（6﹣x）2，∴x＝2，∴AE＝2．故答案为：2．【点评】本题考查垂径定理，矩形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）：（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，请在图1中作出△A1B1C1；（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得．【分析】（1）利用旋转的定义分别作出点A、B旋转后所得对应点，再与C点首尾顺次连接即可；（2）利用相似三角形的判定，结合网格求解即可．解：（1）如图1所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图2，设正方形网格的边长为1，延长BC到点Q，使CQ＝3，作AP∥BC，且使AP＝2，连接PQ，AC交于点M，∴∠P＝∠Q，∠PAC＝∠QCA，∴△PAM∽△QCM，∴．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定．18．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD ＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴，∴，∴＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．19．在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球恰好颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：（1）∵有1个红球、1个白球和1个黑球，∴从袋中摸出一个球是红球的概率为．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的结果有3种，∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由二次函数顶点式求解．（3）根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8；（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣8，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣8）．（3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣8）．∴x＝1时函数最小值为﹣8将x＝﹣1代入y＝2x2﹣4x﹣6得y＝2+4﹣6＝0，∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣8≤y≤0．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．21．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．（1）求y关于x的函数表达式．（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？【分析】（1）根据题意设出每天降价x元以后，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式；（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；（3）运用函数的性质即可解决．解：（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售20+4×＝20+2x套；由题意得：y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+80x﹣20x+800＝﹣2x2+60x+800；（2）当y＝1200时，﹣2（x﹣15）2+1250＝1200，整理得：（x﹣15）2＝25，解得x＝10或20但为了尽快减少库存，所以只取x＝20，答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；（3）∵y＝﹣2（x﹣15）2+1250＝1200则当x＝15时，y取得最大值1250；即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元．【点评】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．23．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，﹣1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1）求二次函数的解析式；（2）点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；（3）如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；（2）设M（4，t），由y＝x2﹣2x+3得A（2，0），B（6，0），根据点C（0，3）在BM的垂直平分线上，可得（6﹣0）2+（0﹣3）2＝（4﹣0）2+（t﹣3）2，解方程且M在第一象限即得M（4，3+）；（3）由B（6，0），C（0，3）可得直线BC解析式为y＝﹣x+3，即知E（4，1），EF＝1，BF＝6﹣4＝2，故BF＝2EF，由EH⊥EF，可得H（4+2，1），EH＝2，而点P在x轴上方的对称轴上，有∠PEH＝90°＝∠EFB，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，分EH＝2PE或PE＝2EH两种情况，求出PE即可得E的坐标．解：（1）由抛物线顶点为D（4，﹣1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣1，将C（0，3）代入得：16a﹣1＝3，解得a＝，∴y＝（x﹣4）2﹣1＝x2﹣2x+3，即抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；（2）抛物线y＝（x﹣4）2﹣1对称轴为直线x＝4，设M（4，t），在y＝x2﹣2x+3中，令y＝0得：x2﹣2x+3＝0，解得x＝2或x＝6，∴A（2，0），B（6，0），∵点C（0，3）在BM的垂直平分线上，∴BC＝MC，∴（6﹣0）2+（0﹣3）2＝（4﹣0）2+（t﹣3）2，解得t＝3+或t＝3﹣，∵M在第一象限，∴M（4，3+）；（3）x轴上方的对称轴上存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，由B（6，0），C（0，3）可得直线BC解析式为y＝﹣x+3，令x＝4得y＝1，∴E（4，1），而F（4，0），∴EF＝1，BF＝6﹣4＝2，∴BF＝2EF，∵EH⊥EF，∴在y＝x2﹣2x+3，令y＝1得：x2﹣2x+3＝1，解得x＝4+2或x＝4﹣2，∵H在对称轴右侧，∴H（4+2，1），∴EH＝4+2﹣4＝2，∵点P在x轴上方的对称轴上，∴∠PEH＝90°＝∠EFB，要使以E，H，P为顶点的三角形与△EFB相似，因BF＝2EF，故只需EH＝2PE或PE＝2EH，①当EH＝2PE时，如图：∴PE＝EH＝×2＝，∴PF＝PE+EF＝+1，∴P（4，+1）；②当PE＝2EH，如图：∴PE＝2×2＝4，∴PF＝PE+EF＝4+1，∴P（4，4+1），综上所述，P的坐标为（4，+1）或（4，4+1）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，垂直平分线，相似三角形等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质和相似三角形判定定理．24．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG•BO；（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA•BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．。

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