第5章 杆件的内力图
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杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
工程力学05-杆件的内力图
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
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构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
工程力学电子教案(第三版)第5章 杆件的内力
§5－2 杆件扭转时的内力
例5－2 传动轴(图5－9a)的转速n=150r/min；
A处为主动轮，输入功率PA=70kW，B、C、D处
为从动轮，其输出功率分别为PB=30kW， PC=PD=20kW。试绘制该轴的扭矩图。
图5－9
§5－2 杆件扭转时的内力
(2)计算扭矩 须将轴分为AB、AC和CD三段， 逐段计算扭矩。应用截面法，假想地沿1－1横截 面把轴截开，取左段为研究对象(图5－9b)，为保 持左段平衡，1－1横截面上的扭矩T1为
图5－2
§5－1 杆件拉(压)时的内力
3. 轴力
现以图5－3a所示拉杆为例，求其任意横截面
m－m上的内力。
应用截面法，假想地沿m－m截面把杆截开，
取左段为研究对象(图5－3b)，列出平衡方程
得
∑Fx=0，FN－F=0
FN=F 由于内力FN的作用线与杆的轴线重合，故FN 称为轴力。
§5－1 杆件拉(压)时的内力
显然，图5－7所示m－m横截面上的扭矩为
正。
§5－2 杆件扭转时的内力
图5－8
§5－2 杆件扭转时的内力
●与求轴力的方法类似，用截面法计算扭矩时， 通常先假设扭矩为正，然后根据计算结果的正负 确定扭矩的实际方向。
●若作用于轴上的外力偶矩多于两个，也与拉 伸(压缩)问题中绘制轴力图相仿，以横坐标表示 横截面的位置、纵坐标表示相应横截面上的扭矩， 用图线来表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况。 这样的图线称为扭矩图。
1.工程实例：钻探机的钻杆(图5－5a)、机器中的 传动轴(图5－5b)
图5－5
§5－2 杆件扭转时的内力
2. 计算简图 这些杆件都是两端作用两个大小相等、方
向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使 杆件的任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对 转动，这种变形称为扭转变形。
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
第五章 静定结构的内力分析
1 a) A 1 B
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
《工程力学》第5章 杆件的内力图
➢扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图； ➢T（x）的图象表示：
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置，强度计算（危险截面）
27/65
5.2 轴力图与扭矩图----扭矩图
【例4】圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各 力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力 偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试画出圆轴 的扭矩图。
【例3】 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P 、8P、4P和 P 的力，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
N1
A
PBPCBCPD D Nhomakorabeax
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 PA PB PC PD 5P 8P 4P P 2P21/65
剪力方程和弯矩方程。
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
39/65
5.3 剪力图与弯矩图－－剪力方程与弯矩方程
解：1．确定控制面和分段
截面A、B、C均为控制面。需要分为AC和CB两段建
立剪力和弯矩方程。
2．建立Oxy坐标系
3．建立剪力方程和弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
F
P
x
B
l
l
40/65
5.3 剪力图与弯矩图－－剪力方程与弯矩方程
41/65
5.3 剪力图与弯矩图－－剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
x2
FP
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置，强度计算（危险截面）
27/65
5.2 轴力图与扭矩图----扭矩图
【例4】圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各 力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力 偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试画出圆轴 的扭矩图。
【例3】 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P 、8P、4P和 P 的力，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
N1
A
PBPCBCPD D Nhomakorabeax
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 PA PB PC PD 5P 8P 4P P 2P21/65
剪力方程和弯矩方程。
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
39/65
5.3 剪力图与弯矩图－－剪力方程与弯矩方程
解：1．确定控制面和分段
截面A、B、C均为控制面。需要分为AC和CB两段建
立剪力和弯矩方程。
2．建立Oxy坐标系
3．建立剪力方程和弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
F
P
x
B
l
l
40/65
5.3 剪力图与弯矩图－－剪力方程与弯矩方程
41/65
5.3 剪力图与弯矩图－－剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
x2
FP
第五章 杆件的内力与内力图(陆)
FQ Fp FP a / l FQ Mz
(a≤x≤l)
FPba / l
Mz
例 3： 已知m，求FQ(x)和 Mz (x)。并画出 FQ图和 Mz 图。 m
a
b 解： 1°求支座反力 FRA = FRB = m / l 2°求FQ(x)和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0＜x＜ a)
3°画 FQ(x)图和 Mz (x)图。 AC: FQ(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a) BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (a＜x＜ l)
Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l FPb / l
60 20 x = 3.6m
Mz 4 =72 ×10-160-160×4 = - 80 KNm
Mz 5 = Mz 4 = - 80 KNm
72
Mz 6 = 72×12 - 160 - 20×10×5 -148×2= 0 FQy
(KN)
当FQ（x）=0时， Mz （x）有极值。 x = 3.6ｍ处， FQ（x）=0 。
1 2m 160KNm 23 20KN 20KN/m 4 5 8m 2m 6
C
B D FRB
BD q = c（＜0） 斜直线（ ） ）
∑MB= 0，FRA= 72 KN. 2°画FQ、M图。
分段 q AC q=0 水平线
CB q = c（＜0） 斜直线（ ） 下凸曲线（ ）
FQ 图 Q
M 图 斜直线（
A
FRA
x
c
(a≤x≤l)
FPba / l
Mz
例 3： 已知m，求FQ(x)和 Mz (x)。并画出 FQ图和 Mz 图。 m
a
b 解： 1°求支座反力 FRA = FRB = m / l 2°求FQ(x)和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0＜x＜ a)
3°画 FQ(x)图和 Mz (x)图。 AC: FQ(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a) BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (a＜x＜ l)
Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l FPb / l
60 20 x = 3.6m
Mz 4 =72 ×10-160-160×4 = - 80 KNm
Mz 5 = Mz 4 = - 80 KNm
72
Mz 6 = 72×12 - 160 - 20×10×5 -148×2= 0 FQy
(KN)
当FQ（x）=0时， Mz （x）有极值。 x = 3.6ｍ处， FQ（x）=0 。
1 2m 160KNm 23 20KN 20KN/m 4 5 8m 2m 6
C
B D FRB
BD q = c（＜0） 斜直线（ ） ）
∑MB= 0，FRA= 72 KN. 2°画FQ、M图。
分段 q AC q=0 水平线
CB q = c（＜0） 斜直线（ ） 下凸曲线（ ）
FQ 图 Q
M 图 斜直线（
A
FRA
x
c
第五章-杆件的内力分析
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
例题：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 P=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆 CB为15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆AB为1杆， 水平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
A
Fx 0 Fy 0
依方程画出剪力图和弯矩图。
目录
42
3.
梁弯曲时的应力
概述 • 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称
为纯弯曲。
P a A
Q
P a B
x
x M
§7－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 一、 纯弯曲时梁横截面上的 正应力 中性轴 中性面 （一）变形几何规律：
1. 横截面上的正应力
2. 斜截面上的应力
（1）轴向拉压杆横截面上的正应力 研究方法：
实验观察 作出假设 理论分析 实验验证
N A
F
结论：横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
F
即
正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
FN A
的适用条件:
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。
N 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 P a 89MP a
45° B
C
N1
N2
45°
y
B
P
P
x
§4-1
概述
起重机大梁
1
目录
20
§4-1
概述
镗刀杆
目录
21
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示。
列出右段的平衡方程：
Fy 0, FQD FP 0 M D 0, M D FP 0
解得： FQD FP , M D 0
5.2.1 轴力图
§5.2 轴力图与扭矩图
轴向载荷：沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷 (normal load)。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
T 7024 P (N m) n
其中：P — 功率，马力 （Horsepower）
n — 转速，转/分（rpm）
5.2.2 扭矩图
§5.2 轴力图与扭矩图
扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsional moment)。 绘制扭矩图的步骤：
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.2 杆件横截面上的内力与外力的相依关系
当杆件上的外力(包括载荷与约束力)沿杆的轴线方向发生 突变时，内力的变化规律也将发生变化。
外力突变： 指有集中力、集中力偶
作用的情形；分布载荷间断 或分布载荷集度发生突变的 情形。
内力变化规律：
指表示内力随截面位置 变化的函数或变化的图线。
5.2.1 轴力图
§5.2 轴力图与扭矩图
绘制轴力图的步骤：
① 确定约束力。 ② 根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴 力图的分段点。 ③ 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的 截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件 建立平衡方程，确定控制面上的轴力。
解： 1．将轴分段 （确定控制面）
由题分析知，可以将轴分为AB、BC、CD共3段，各段上任意截面上 的扭矩相同。
§5.2 轴力图与扭矩图
2．应用截面法确定各段圆轴内 的扭矩
AB段：
M x 0, M x1 315 0
M x1 315N m
BC段：
M x 0, M x2 315 315 0
本 章 内 容： §5.1 基本概念与基本方法 §5.2 轴力图与扭矩图 §5.3 剪力图与弯矩图 §5.4 结论与讨论
任意截面上的内力与内力分量
根据空间力系的简化，作用在截面上的内力可以简化为一 主矢FR和主矩M，共有6个分量。
轴力：FN，使杆件沿轴线方向产生拉伸 或压缩变形。
剪力： FQy、FQz，使杆件两相邻截面
P
FN
A
Fx 0 FN P 0 FN P
§5.1 基本概念与基本方法
【例题5.1】图示之一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁(canti-
lever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面 C及截面D上的剪力和弯矩。
解：分析：所求问题为截面上的内力分 量，故可采用截面法求解，具体步骤 可依截面法的八字方针进行。
3．建立Mx-x坐标系，画出扭矩图
由所求得的各段的扭矩，得到扭矩图如图所示（在轴上外力偶矩作 用处的截面两侧扭矩发生突变）。
§5.3 剪力图与弯矩图
5.3.1 剪力方程与弯矩方程 一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变
而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程， 分别称为剪力方程(equation of shearing force)和弯矩方程 (equation of bending moment)。
直线。
而在截面B处，由于集中力F1的作用，轴力发生突变，即截面b”与b’ 轴力发生突变。由此得到杆件的轴力图如右图所示。
§5.2 轴力图与扭矩图
实际中更常用的轴力图的求法：
①根据杆件上作用的轴向载荷（主要指集中载荷），确定不同 截面位置处轴力的变化情况，将杆件分段（杆件上两集中载荷 中间部分的轴力相同）。 ②应用截面法，求不同分段处杆件截面上的轴力。
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.4 杆件内力分量的正负号规则
轴力FN：无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为
负。
剪力FQ(FQy或FQz)：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆
时针方向转动者为负。
弯矩M(My或Mz)：作用在左侧截面上使截开部分逆时针方向转动；或
者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。
(B”和B’)为控制面。
3．应用截面法求控制面处的轴力
用假想截面分别从控制面A、 B” 、B’、C处将杆截开，假设横
截面上的轴力均为正方向(拉力)， 并考察截开后下面部分的平衡， 如右图所示。
§5.2 轴力图与扭矩图
根据平衡方程：
Fx 0
解得各控制面上的轴力分别为：
A截面：FNA F2 - F1 5kN B截面：FNB F2 - F1 5kN B截面：FNB F2 10kN C截面：FNC F2 10kN
产生剪切变形。
扭矩： Mx ，使杆件两相邻截面产生绕
杆件轴线的扭转变形。
弯矩： My、Mz，使杆件两相邻截面产
生弯曲变形。
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.1 整体平衡与局部平衡的概念
整体平衡与局部平衡：弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则 从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或 总体平衡(overall equilibrium)；后者称为局部平衡(local equilibrium)。
解：1．将轴分段 （确定控制面） 由题分析知，可以将轴分为AB、BC共2段，各段上任意截面上的扭
矩相同。 2．应用截面法确定各段圆轴内的扭矩 AB段：
Mx(AB) 0, Mx(AB) Me =0 ,Mx(AB) Me
BC段：
§5.2 轴力图与扭矩图
Mx(BC) 0, Mx(BC) Me - 3Me 0 , Mx(BC) 2Me
1．确定约束力 取整体为研究对象，受力图如图示：
平衡方程为：
Fx 0, FA F1 F2 0
解得： FA 5kN
§5.2 轴力图与扭矩图
2．确定控制面 依据控制面的确定原则，
选取集中载荷F2作用处的C截 面、约束力FA作用处的A截面， 以及集中载荷F1作用点B处的
上、下两侧用虚线表示的截面
④ 建立FN一x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出
轴力图。
§5.2 轴力图与扭矩图 5.2.1 轴力图
【例题5.2】 图示之直杆，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中 F1=5kN，F2=10kN。试画出杆件的轴力图。
解：分析：所求问题为画出杆件的轴力图，由题 意知，杆件作用有两个轴向载荷，故在杆件不同 位置处的截面，轴力可能并不相同，因此需要按 照轴力图画法的步骤进行求解。
一种内力分量FN。
杆件承受轴向载荷时轴力的特点：杆件只在两个端截面处承受 轴向载荷时，杆件的所有横截面上的轴力都是相同的；如果杆 件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点 之间的横截面上的轴力是相同的。
轴力图：表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图 (diagram of normal force)。
1．求截面C上的剪力和弯矩
用假想截面从截面C处将梁截开，
取右段为研究对象，舍弃的左段对右段
的外力为剪力FQC和弯矩MC，右段的受力
分析如右图所示。 列出右段的平衡方程：
Fy 0, FQC FP 0 MC 0, MC MO FPl 0
解得： FQC FP , MC FPl
§5.2 轴力图与扭矩图
4．建立FN-x坐标系，画轴力图
FN-x坐标系中，x坐标轴沿着杆件 的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标
在FN-x坐标系中，得到a、b”、b’和c
四点。
因为在A、B”之间以及B’、C之间，
没有其他外力作用，故这两段中的轴
力分别与A(或B”)截面以及C(或B’)截 面相同。这表明a点与b”点之间以及c 点与b’点之间的轴力图为平行于x轴的
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.3 控制面
在一段杆上，内力按一种函数规律变化，这一段杆的两个 端截面称为控制面(control cross-section)。控制面也就是 函数定义域的两个端点 。
※可能为控制面的截面：
✓集中力作用点两侧截面 ✓集中力偶作用点两侧截面 ✓集度相同、连续变化的分 布载荷起点和终点处截面
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
§5.2 轴力图与扭矩图
（2）同理，可求得AB、 BC、CD段内力分别为：
N2
BC
D
- N2 PB PC PD 0 N2 3P PB
- N3 PC PD 0 N3 5P N3
整体与局部的概念：整体是指杆件所代表的某一构件。局部是 指：① 用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；② 两相距 无穷小截面所截出的一微段；③ 围绕某一点截取的某种微元 或微元的局部等。
弹性体平衡原理：这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用 于弹性杆件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平 衡原理(equilibrium principle for elastic body)。
-N4 +PD 0 N4 P
N4
PC C PC
PD D
D PD
N
5P
PD
轴力图如右图
2P
+
+
P
x
–
3P
5.2.2 扭矩图
§5.2 轴力图与扭矩图
传动轴的传递功率P、转速n与外力偶矩T的关系 ：
P dW Td T Tn
dt dt
30
列出右段的平衡方程：
Fy 0, FQD FP 0 M D 0, M D FP 0
解得： FQD FP , M D 0
5.2.1 轴力图
§5.2 轴力图与扭矩图
轴向载荷：沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷 (normal load)。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
T 7024 P (N m) n
其中：P — 功率，马力 （Horsepower）
n — 转速，转/分（rpm）
5.2.2 扭矩图
§5.2 轴力图与扭矩图
扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsional moment)。 绘制扭矩图的步骤：
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.2 杆件横截面上的内力与外力的相依关系
当杆件上的外力(包括载荷与约束力)沿杆的轴线方向发生 突变时，内力的变化规律也将发生变化。
外力突变： 指有集中力、集中力偶
作用的情形；分布载荷间断 或分布载荷集度发生突变的 情形。
内力变化规律：
指表示内力随截面位置 变化的函数或变化的图线。
5.2.1 轴力图
§5.2 轴力图与扭矩图
绘制轴力图的步骤：
① 确定约束力。 ② 根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴 力图的分段点。 ③ 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的 截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件 建立平衡方程，确定控制面上的轴力。
解： 1．将轴分段 （确定控制面）
由题分析知，可以将轴分为AB、BC、CD共3段，各段上任意截面上 的扭矩相同。
§5.2 轴力图与扭矩图
2．应用截面法确定各段圆轴内 的扭矩
AB段：
M x 0, M x1 315 0
M x1 315N m
BC段：
M x 0, M x2 315 315 0
本 章 内 容： §5.1 基本概念与基本方法 §5.2 轴力图与扭矩图 §5.3 剪力图与弯矩图 §5.4 结论与讨论
任意截面上的内力与内力分量
根据空间力系的简化，作用在截面上的内力可以简化为一 主矢FR和主矩M，共有6个分量。
轴力：FN，使杆件沿轴线方向产生拉伸 或压缩变形。
剪力： FQy、FQz，使杆件两相邻截面
P
FN
A
Fx 0 FN P 0 FN P
§5.1 基本概念与基本方法
【例题5.1】图示之一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁(canti-
lever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面 C及截面D上的剪力和弯矩。
解：分析：所求问题为截面上的内力分 量，故可采用截面法求解，具体步骤 可依截面法的八字方针进行。
3．建立Mx-x坐标系，画出扭矩图
由所求得的各段的扭矩，得到扭矩图如图所示（在轴上外力偶矩作 用处的截面两侧扭矩发生突变）。
§5.3 剪力图与弯矩图
5.3.1 剪力方程与弯矩方程 一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变
而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程， 分别称为剪力方程(equation of shearing force)和弯矩方程 (equation of bending moment)。
直线。
而在截面B处，由于集中力F1的作用，轴力发生突变，即截面b”与b’ 轴力发生突变。由此得到杆件的轴力图如右图所示。
§5.2 轴力图与扭矩图
实际中更常用的轴力图的求法：
①根据杆件上作用的轴向载荷（主要指集中载荷），确定不同 截面位置处轴力的变化情况，将杆件分段（杆件上两集中载荷 中间部分的轴力相同）。 ②应用截面法，求不同分段处杆件截面上的轴力。
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.4 杆件内力分量的正负号规则
轴力FN：无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为
负。
剪力FQ(FQy或FQz)：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆
时针方向转动者为负。
弯矩M(My或Mz)：作用在左侧截面上使截开部分逆时针方向转动；或
者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。
(B”和B’)为控制面。
3．应用截面法求控制面处的轴力
用假想截面分别从控制面A、 B” 、B’、C处将杆截开，假设横
截面上的轴力均为正方向(拉力)， 并考察截开后下面部分的平衡， 如右图所示。
§5.2 轴力图与扭矩图
根据平衡方程：
Fx 0
解得各控制面上的轴力分别为：
A截面：FNA F2 - F1 5kN B截面：FNB F2 - F1 5kN B截面：FNB F2 10kN C截面：FNC F2 10kN
产生剪切变形。
扭矩： Mx ，使杆件两相邻截面产生绕
杆件轴线的扭转变形。
弯矩： My、Mz，使杆件两相邻截面产
生弯曲变形。
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.1 整体平衡与局部平衡的概念
整体平衡与局部平衡：弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则 从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或 总体平衡(overall equilibrium)；后者称为局部平衡(local equilibrium)。
解：1．将轴分段 （确定控制面） 由题分析知，可以将轴分为AB、BC共2段，各段上任意截面上的扭
矩相同。 2．应用截面法确定各段圆轴内的扭矩 AB段：
Mx(AB) 0, Mx(AB) Me =0 ,Mx(AB) Me
BC段：
§5.2 轴力图与扭矩图
Mx(BC) 0, Mx(BC) Me - 3Me 0 , Mx(BC) 2Me
1．确定约束力 取整体为研究对象，受力图如图示：
平衡方程为：
Fx 0, FA F1 F2 0
解得： FA 5kN
§5.2 轴力图与扭矩图
2．确定控制面 依据控制面的确定原则，
选取集中载荷F2作用处的C截 面、约束力FA作用处的A截面， 以及集中载荷F1作用点B处的
上、下两侧用虚线表示的截面
④ 建立FN一x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出
轴力图。
§5.2 轴力图与扭矩图 5.2.1 轴力图
【例题5.2】 图示之直杆，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中 F1=5kN，F2=10kN。试画出杆件的轴力图。
解：分析：所求问题为画出杆件的轴力图，由题 意知，杆件作用有两个轴向载荷，故在杆件不同 位置处的截面，轴力可能并不相同，因此需要按 照轴力图画法的步骤进行求解。
一种内力分量FN。
杆件承受轴向载荷时轴力的特点：杆件只在两个端截面处承受 轴向载荷时，杆件的所有横截面上的轴力都是相同的；如果杆 件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点 之间的横截面上的轴力是相同的。
轴力图：表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图 (diagram of normal force)。
1．求截面C上的剪力和弯矩
用假想截面从截面C处将梁截开，
取右段为研究对象，舍弃的左段对右段
的外力为剪力FQC和弯矩MC，右段的受力
分析如右图所示。 列出右段的平衡方程：
Fy 0, FQC FP 0 MC 0, MC MO FPl 0
解得： FQC FP , MC FPl
§5.2 轴力图与扭矩图
4．建立FN-x坐标系，画轴力图
FN-x坐标系中，x坐标轴沿着杆件 的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标
在FN-x坐标系中，得到a、b”、b’和c
四点。
因为在A、B”之间以及B’、C之间，
没有其他外力作用，故这两段中的轴
力分别与A(或B”)截面以及C(或B’)截 面相同。这表明a点与b”点之间以及c 点与b’点之间的轴力图为平行于x轴的
§5.1 基本概念与基本方法 5.1.3 控制面
在一段杆上，内力按一种函数规律变化，这一段杆的两个 端截面称为控制面(control cross-section)。控制面也就是 函数定义域的两个端点 。
※可能为控制面的截面：
✓集中力作用点两侧截面 ✓集中力偶作用点两侧截面 ✓集度相同、连续变化的分 布载荷起点和终点处截面
Fx 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
§5.2 轴力图与扭矩图
（2）同理，可求得AB、 BC、CD段内力分别为：
N2
BC
D
- N2 PB PC PD 0 N2 3P PB
- N3 PC PD 0 N3 5P N3
整体与局部的概念：整体是指杆件所代表的某一构件。局部是 指：① 用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；② 两相距 无穷小截面所截出的一微段；③ 围绕某一点截取的某种微元 或微元的局部等。
弹性体平衡原理：这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用 于弹性杆件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平 衡原理(equilibrium principle for elastic body)。
-N4 +PD 0 N4 P
N4
PC C PC
PD D
D PD
N
5P
PD
轴力图如右图
2P
+
+
P
x
–
3P
5.2.2 扭矩图
§5.2 轴力图与扭矩图
传动轴的传递功率P、转速n与外力偶矩T的关系 ：
P dW Td T Tn
dt dt
30