第六章 杆件的内力内力图
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专升本工程力学第6章 杆件的内力分析.
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机电工程学院
2018/12/8
6.3.2 剪力和弯矩
【例6.3】求简支梁横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。
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6.3.2 剪力和弯矩
解 （1）求支座反力。由梁的平衡方程，求得支座反力为
FA=FB=10kN
（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩。假想地沿横截面1-1把梁
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6.3 杆件弯曲时的内力分析
6.3.1 平面弯曲的概念 6.3.2 剪力和弯矩
6.3.3 剪力图和弯矩图
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6.3.2 剪力和弯矩
以悬臂梁为例，其上作用有载荷F，由平衡方程可求出固定端
B处的支座反力为FB=F，MB=Fl。
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（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩。假想地沿横截面2-2把梁截
成两段，取左段为研究对象，列出平衡方程
F
y
0, FA F1 FS2 0
FS2 FA F1 0
D
M
0, M2 FA (4m) F1 (2m) 0
M 2 FA (4m) F1 (2m) 20kN m
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6.2.2 扭矩与扭矩图
解 （1）计算外力偶矩。作用于各轮上的外力偶矩分别为
PA M eA 9549 4.46kN m n PB M eB 9549 1.91kN m n PC M eC M eD 9549 1.27kN m n
T2 M eA M eB 2.55kN m T3 M eD 1.27kN m
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
工程力学05-杆件的内力图
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
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构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
杆件的内力分析
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
P n
（N·m）
如果功率P以马力为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
M
B
MC
M
＝
A
637
N
m
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为P千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W P1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
e
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
N
单位：KN
F
N
正
20kN
10kN
30kN
10kN
30kN
20kN
第6章内力和内力图
B2
1
C
D
工程力学电子教案
内力和内力图
33
思考题6-4
试作图示杆的轴力图。
20 kN 40 kN
30 kN
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m
1m
工程力学电子教案
内力和内力图
思考题6-4参考答案：
20kN 40kN
30kN
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m
1m
FN /kN 20 10
O
20
34
x
工程力学电子教案
MT (kN·m) 1.5 0.5 + x
2
工程力学电子教案
内力和内力图
47
思考题6-7
作杆的扭矩图。
0.1 m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 1 kN
1m
0.1 m
工程力学电子教案
内力和内力图
48
思考题6-7参考答案
0.1m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 0.1m
1 kN 1m
MT /kN·m
21
思考题6-2
试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。
F
a 2 F
13
4a
F
a
A
B
a
工程力学电子教案
内力和内力图
思考题6-2参考答案：
F
a 2 F
13
4a
F
a
A
B
a
22
F1= F F2= - 2F F3= 2.828F F4= - 3F
工程力学电子教案
内力和内力图
23
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
工程力学第六章杆件与结构的内力计算
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
第六章--静定结构的内力计算-建筑力学
120kN
40kN/m
C
A
120kN D
B
C
40kN/m
D
60kN
A B
60kN
145kN
145
FS图 +
（kN ）
M图 （kN m）
320
235kN
60
-
+
-
60
175
120
180
§6-6 三铰拱
q
C
FAx = FH A
FA y
l 2
l 4
l
q
A
C
FA0y
F
f
B
l
FB x
4 FB y
F
B
FB0y
dx l l y2 = 3m
FA y
81.5m =12m
FB y
100kN
A
20kN/m
C
B
M 2 = M 20 - FH y2 = 67.5kN m
FSL2 = FSL20 c os - FH sin
= 41.6kN
FSR2 = FSR20 c os - FH sin
FA0y tg2 = 0.667
0.5m
FA = 19kN
D
1.5m
8kN
A
FNAC
FxAD
19kN
FyAD
FNAD
FyAD = 11kN FxAD = 33kN
FNAD = 34.8kN FNAC = -33kN
P
P+P'
无外载时的内力: P
有外载时的内力: P+P'
ΔP=P+P'-P=P' —(附加)内力 研究的是外力所产生的附加内力, 简称内力
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3.求特殊点内力值，作剪力图和弯矩图。
M a） Ma / l （
例6-11 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画
出剪力图和弯矩图。
y
q
解：1．求约束反力 B
x
A x
FAY
FAy＝ FBy＝ ql/2 2．写出剪力和弯矩方程
C
l
FBY
FQ ql / 2
FQ x ＝ql / 2 qx 0 x l
2
（2）求特殊点内力值，画剪力图和弯矩图
x
FQ 0 ＝0
FQ l ＝ql
ql / 2M 0＝0 M l/2 ＝ql 2 / 8 M l ＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 8
x
由剪力图、弯矩图可见，最大剪力
和弯矩分别为
FQ max ＝ql
M max＝ql 2 / 2
25
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
FN1 FN2 F2 F2
10
Fx 0
FN 2 F2 F1 0
FN 2 F1 F2 10kN
F1
F3
+ _
10
Fx 0
FN 3 F1 F2 F3 0
FN 3 F1 F2 F3 25kN
剪力和弯矩都可表示为x的函数， FQ = FQ (x) ，M = M (x)。 称为梁的剪力方程和弯矩方程。 一般，剪力方程和弯矩方程是x的分段函数，集中力、集 中力偶、分布力的起点和终点为函数分段点。
剪力、弯矩图：表示剪力、弯矩沿轴线的变化规律的图形。 FQ = FQ (x) ，M = M (x)
压力向下画，最后归零。
例6-2 已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN；试画出图示
杆件的轴力图。
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D
解：取基线平行于杆的中心线
F1
10 kN
3 F4 （1）从杆的左端开始作图 + （2）从杆的右端开始作图 （3）若要求1-1、2-2、3-3截面上的
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
Fy 0 FQ ( x) ( FQ ( x) dFQ ( x)) q( x)dx 0
M C (F ) 0 dx M ( x) dM ( x) M ( x) FQ ( x)dx q( x)dx 0 2
dM ( x) FQ ( x) dx dx d 2 M ( x) dFQ ( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系： q ( x) 2 dx dx
和作轴力图完全一致的方法作扭矩图。
例6-3 齿轮轴受载如图，作轴的扭矩图。
解：（1）将力偶用矢量表示 （2）根据作图口诀作图 Me1 Me2 MX
+ _
Me3
Me4
从左端开始作图 从右端开始作图
例6-4
(1)计算外力偶矩 解: 由公式
第四节 梁弯曲时的内力及内力图
一、实例
起重机大梁
火车轮轴
以弯曲为主要
F
FN
F
F
+
x
取x轴平行于杆件轴线（基线），一般，正的轴 力画在基线的上侧。
例6-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;
A F1 F1 F1
FN kN
试画出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D 解：1、计算各段的轴力。 1 F2 2
F3 3
F4 AB段 Fx 0 BC段 FN3 CD段
外伸梁
火车轮轴简化
悬臂梁
车削工件简化
五、梁的内力--剪力和弯矩
M FN FAy M FQ
F
x
y
0
FN 0
Q Ay
F 0 F F M (F ) 0 M F
C
F1
x F1 ( x a)
Ay
FN
FQ 剪力FQ ，和横截面相切。
FBy
弯矩M ，纵向对称面内的力偶。
剪力和弯矩的符号 剪力FQ ：
+
_
截面上的剪力对梁段内任意一点的矩为顺时针转向时，剪 力为正；反之为负。对梁段内任意一点的矩为顺时针转向的外
力，引起正的剪力。记忆口诀：顺转剪力正。
弯矩：
+
_
截面上的弯矩使得梁段呈上凹为正；反之为负。使得 梁段上弯的力或力偶引起正的弯矩。记忆口诀：上弯弯 矩正。
例6-6 求图示简支梁E 截面的内力。 解： 确定反力 1. M A 0 FBy 3a Fa 2F a 0
x 3.求特殊点内力值，画剪力、弯矩图。
试写出剪力和弯矩 例6-10 图示简支梁C点受集中力偶作用。 方程，并画出剪力图和弯矩图。
a
M
b
解：1．求约束反力 x2 B
FBy
FBY
A
FAY
x1
M /l
C
l
M ＝0， F
A
y
0
FAy＝M / l FBy＝ -M/ /l l M 2．写出剪力和弯矩方程
Ma / l
AC：
FQ x1 ＝M / l
M x1 ＝Mx1 / l
0 x1 a
Mb / l
CB：
0 x1 a FQ x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
M b） Mb / l （
+ _
10 kN 25 kN
内力，先作出轴力图，由图可知： FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN
10 kN
+
+ _
10 kN
（4）若要求轴力的最大值，由图可知： FNmax=25kN。
第三节
一、实例
圆轴扭转时的内力及内力图
汽车传动轴
汽车方向盘轴
以扭转为主要变 形的杆件称为轴
丝锥攻丝
第六章
杆件的内力和内力图
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图 第二节 圆轴扭转时的内力及内力图 第三节 梁弯曲时的内力及内力图
本章重点 杆件拉伸或压缩、扭转、弯曲时 横截面上内力的计算和内力图的绘
制。
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力和内力图
一、实例
A
B C F
以拉、压为主要变形的构件称为杆
代: 将抛掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出内力
即轴力的值
Fx 0
FN F 0
FN F
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
F
F
Fx 0
FN F
FN F 0
FN F
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆 件的轴线重合。所以称为轴力。
Fy 0
FA FB F 4ql 0
FB 3ql
（2）求C截面上的剪力和弯矩。
FQC FB 2ql ql M C FB 2l q 2l 2 4ql 2
六、剪力和弯矩方程，剪力、弯矩图
x 4l x
以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上
二、扭转轴的受力和变形特点：
外力偶作用在垂直于轴轴线的平面内,使轴的横截面
绕轴线产生转动，圆轴表面的直线母线变形后变为螺旋线。
三、外力偶矩的计算
1.直接计算
2.已知电机输出功率为P（kW），转速为 n（转/分钟） P P Me M e 9550 N m n
四、扭矩和扭矩图 m 1.扭矩Mx：轴横截面上的内力 m 2. 用截面法求扭矩 截: 假想沿m-m横截面将杆切开
dFQ ( x) q( x)
5
梁段受常见载荷作用时的剪力、弯矩图
FQ
C处不变
·
x
d 2 M ( x) dFQ ( x) q ( x) 2 dx dx
根据微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
F 1、根据任一截面上的剪力和截面一侧外力之间的关系： Qm Fi
i 1
j
以及剪力和载荷集度之间的微分关系
M E 2F
a 5F 3a 3aF 2 3 2 2
FAy
F FQE FAy 2F 3 a 5F 3a 3aF FByM E 2 F 2 3 2 2
j
结论:任一截面上的剪力等于截面一侧所有的外力的代数和,
FQm Fi
i1
引起正的剪力的外力取正。
取: 取m-m截面以左段或以右段
代: 将去掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
扭矩正负规定 右手螺旋法则
M x - Me 0
M x Me
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之负(-).
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶,外力偶和轴向外力对应,扭矩和轴力对应,可用
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
在截面附近取微段
F
F FN F F FN F FN FN FN F F FN
F
FN
FN FN _ FN +
F
注意
为使从平衡方程中求得的内力的 符号和规定的内力正负号一致，可将 内力一律设为正。无论哪种基本变
形，都这样处理。
F
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线的变化规律的图形。
变形的杆称为梁
0
车削工件
二、平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线