人教版九年级上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 同步练习(含答案)
2021--2022学年人教版九年级上册：21.2 解一元二次方程 同步练习 含答案
人教版2021年九年级上册同步练习：21.2 解一元二次方程一．选择题1．下列x的各组取值是方程x2﹣2x＝0的根的是（）A．x＝0或x＝2B．x＝1或x＝2C．x＝2或x＝3D．x＝3或x＝4 2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11 4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣92 5．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．56．已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（）A．方程一定有实数根B．当m取某些值时，方程没有实数根C．方程一定有两个实数根D．方程一定有两个不相等的实数根7．若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（）A．16B．8C．4D．08．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad ﹣bc．例如＝8×5﹣9×3＝40﹣27＝13．则方程＝﹣9的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根9．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣110．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12二．填空题11．方程3x（x﹣1）＝6（x﹣1）的根为．12．关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，则这个方程的另一根为．13．将方程3x2﹣6x﹣8＝0配方为a（x﹣h）2＝k，其结果是．14．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的判别式的值为．15．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是．16．若a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2﹣3a﹣b的值是．17．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是．三．解答题18．解方程：（1）x2+2x＝0．（2）．19．解方程：（1）（x+1）2＝4；（2）3x（x﹣1）＝1．20．解方程（1）2x2+3x﹣3＝0；（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．21．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．22．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．24．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝；（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：A．2．解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．3．解：∵x2﹣8x＝﹣5，∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，故选：D．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝6，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．6．解：∵a※b＝ab+a+b，∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx2+（m+1）x＝﹣1，由mx2+（m+1）x＝﹣1得mx2+（m+1）x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，∴方程一定有实数根．故选：A．7．解：∵x2＝16，∴x1＝4，x2＝﹣4，则x1+x2＝0，故选：D．8．解：∵方程＝﹣9，∴x2﹣6x＝﹣9，∴x2﹣6x+9＝0，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，∴方程＝﹣9有两个相等的实数根，故选：B．9．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．10．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，∴m2+3m﹣9＝0，∴m2+3m＝9，∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．故选：C．二．填空题11．解：原方程变形整理后得：3（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，故答案为：x1＝1，x2＝2．12．解：设关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的另一个实数根是x＝α，∵关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，∴1×α＝﹣，∴α＝﹣．故答案为．13．解：3x2﹣6x﹣8＝0，∴3（x2﹣2x+1）＝8+3，∴3（x﹣1）2＝11，故答案为：3（x﹣1）2＝11．14．解：∵a＝1，b＝2，c＝2，∴△＝22﹣4×1×2＝﹣4，故答案为：﹣4．15．解：∵方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2021，x1x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1x2＝2021+1＝2022．故答案是：2022．16．解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，∴a+b＝2，a2﹣2a﹣5＝0，即a2﹣2a＝5，∴a2﹣3a﹣b＝（a2﹣2a）﹣（a+b）＝5﹣2＝3．故答案为：3．17．解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，∴x2﹣3x﹣4＝0，∴（x﹣4）（x+1）＝0，∴x＝4或x＝﹣1．故答案为：4或﹣1．三．解答题18．解：（1）x（x+2）＝0，x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2；（2）方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝4×22，∴x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．19．解：（1）方程（x+1）2＝4，开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣3；（2）方程整理得：3x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，∵△＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．20．解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴△＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x，x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0，（2x﹣5）（x+2）＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．21．解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．22．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．23．解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．24．解：（1）4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2；故答案为：（2a﹣1）2；（2）x2﹣10x﹣1＝x2﹣10x+52﹣52﹣1＝（x﹣5）2﹣26∴h＝﹣5，k＝﹣26，∴h+k＝﹣31；（3）△ABC为等边三角形．理由如下：∵a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，∴a2+3b2+c2﹣2ab﹣4b﹣2c+3＝0，∴a2﹣2ab+b2+2b2﹣4b+2+c2﹣2c+1＝0，∴（a﹣b）2+2（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，即a＝b＝c＝1，∴△ABC为等边三角形．。
人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
九年级数学上册《第二十一章 解一元二次方程》同步练习题附含答案(人教版)
九年级数学上册《第二十一章 解一元二次方程》同步练习题附含答案(人教版)一、单选题1．下列一元二次方程一定有两个不相等的实数解的方程是（ ）A ．x 2−3x +8=0B ．5x 2−3x +2=0C ．3x 2+x −5=0D ．32x 2+x +53=0 2．用配方法解方程x 2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（ ）A ．（x ﹣3）2＝6B ．（x ﹣3）2＝3C ．（x ﹣3）2＝0D ．（x ﹣3）2＝1 3．关于x 的方程（a －5）x ²－4x －1=0有实数根，则a 的范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ﹥1 且a ≠5C ．a ≥1 且a ≠5D ．a ≠54．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2−13x +36=0的两根，则该三角形的周长为（ ）A ．4B ．13C ．4或9D ．13或185．一元二次方程√3x 2+4√2x =2√3根的判别式Δ的值为（ ）A ．56B ．16C ．36D ．286．设a ，b 是方程x 2+x −2020=0的两个实数根，则(a −1)(b −1)的值为（ ）A ．−2022B ．2018C ．−2018D ．20227．已知x 1、x 2是方程2x 2＝4x ﹣1的两个实数根，则 x 12+x 22 的值为（ ） A ．17 B ．6 C ．5 D ．38．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0的两不相等的实数根，且x 12+x 22+x 1x 2−17=0，则m 的值是（ ）A ．53或-3B ．-3C ．53D ．−53 二、填空题9．方程 14x 6−16=0 的解是 ．10．若关于x 的一元二次方程 x 2+4x +a =0 有两个相等的实数根，则a 的值是 ．11．已知a 和它的倒数是一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0（m 为非零常数）的两个根，则a 2+ 1a 2 ＝ .12．关于x 的一元二次方程2x 2−5x +k =0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 .13．一元二次方程 x 2−5x +6=0 的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为 ．三、解答题14．解下列方程：（1）4x2-8x+1=0 （2）3(x-5)2=2(5-x)15．已知m和n是方程3x2﹣8x+4=0的两根，求1m +1 n16．关于x的一元二次方程mx2+(2m+3)x+m+1=0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．17．已知关于x的一元二次方程x2−4kx+3k2=0 .（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x1，x2满足x1−x2=3求k的值.18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=−1则方程x2+x=0是“邻根方程”.（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2−x−6=0；②2x2−2√3x+1=0.（2）已知关于x的方程x2−(m−1)x−m=0 (m是常数)是“邻根方程”，求m的值.参考答案1．C2．A3．A4．B5．A6．C7．D8．C9．x =±210．4．11．212．k <25813．√1314．（1）解：4x 2−8x +1=04x 2−8x +4=3(2x −2)2=32x −2=±√3x =2±√32 ∴x 1=2+√32 x 2=2−√32 （2）解：3(x −5)2=2(5−x)(x −5)(3x −13)=0∴x −5=0∴3x −13=0∴x 1=5 x 2=133 15．∵m 和n 是方程3x 2﹣8x+4=0的两根 ∴m+n=83 mn=43则原式=m+n mn =2．16．（1）解：由题意得：(2m +3)2−4m(m +1)>0 解得：m >−98且m ≠0；（2）解：由（1）知，m 最小整数为−1 此时方程为：−x 2+x =0 解得：x 1=0 x 2=1．17．（1）证明： ∵Δ=b 2−4ac =(−4k)2−4×1⋅3k 2=16k 2−12k 2=4k 2≥0 ∴ 该方程总有两个实数根；（2）解： ∵ 方程的两个实数根 x 1 x 2 由根与系数关系可知 x 1+x 2=4k∵x 1−x 2=3∴(x 1−x 2)2=9∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=9 即 16k 2−12k 2=4k 2=9 ∴k =±32 .18．（1）解：①x 2−x −6=0 解方程得：（x-3）（x+2）＝0 ∴x 1＝3，x 2＝-2∵3≠−2＋1∴x 2−x −6=0 不是“邻根方程”； ②2x 2−2√3x +1=0.x ＝ −b±√b 2−4ac 2a =2√3±24 = √3±12∴x 1＝ √3+12 ，x2＝ √3−12∵√3+12 - √3−12 =1∴2x 2−2√3x +1=0. 是“邻根方程”；（2）解： x 2−(m −1)x −m =0 解方程得：（x −m ）（x ＋1）＝0 ∴x 1＝m ，x 2＝−1∵方程 x 2−(m −1)x −m =0 （m 是常数）是“邻根方程”∴m＝−1＋1或m＝−1−1 ∴m＝0或−2.。
人教版九年级21.2 降次解一元二次方程同步练习
《21.2 降次——解一元二次方程》一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥19．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x210．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=012．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是______（写出一个即可）．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=______．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是______．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．28．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．29．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．《21.2 降次——解一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x 2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b 2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2【考点】根的判别式．【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．【解答】解：A、x2﹣8=0，这里a=1，b=0，c=﹣8，∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x2﹣4x+3=0，这里a=2，b=﹣4，c=3，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；C、9x2+6x+1=0，这里a=9，b=6，c=1，∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0，这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、∵△=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；B、∵△=1﹣4×2＜0，∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；C、∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；D、∵△=36＞0，∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．【解答】解：解不等式组得a＜﹣3，∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，∵a＜﹣3，∴△=2a+5＜0，∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，故选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0【考点】根的判别式．【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【考点】根的判别式．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a ＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是m＜．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a＞0 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为：a＞0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为﹣3 ．【考点】根的判别式．【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，又5x 1+2x 2=2求出函数实数根，代入m=x 1x 2，即可得到结果．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m 2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2mx+m 2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．29．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m 的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m 2﹣4×m ×（m ﹣1）=0，且m ≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x 2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x 1=x 2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题(附带答案)
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题(附带答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．方程的实数根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．以3，4为两实数根的一元二次方程为（）A．B．C．D．3．用配方法解方程，下列配方正确的是（）A．B．C．D．4．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（）A．B．C．D．5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．且D．且6．若是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．1 C．5 D．7．亮亮在解一元二次方程＋▢＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．7 B．12 C．16 D．188．已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．方程x2-4x=5的根是.10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．11．一元二次方程的两根为和，则的值为.12．已知一元二次方程▢＋2＝0，在▢中添加一个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是.13．已知关于x的一元二次方程，当的斜边长a为，且两条直角边的长b、c恰好是这个方程的两个根，的周长为．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．（1）（2）15．（1）；（2） .16．当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．17．已知有关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为和，且，求m的值.参考答案：1．B 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．5或-110．m＞-111．912．大于就行13．14．（1）解：．（2）解：或．15．（1）解：因式分解，得于是得或解得：；（2）解：∵∴∴∴解得： .16．解：由求得，则2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+ ，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+ ＜4，符合题意∴x=1+ ．17．（1）解：∵关于x的一元二次方程∴∴；而∴原方程方程有两个实数根（2）解：∵方程有一个根为∴解得：∴方程为：∴∴解得：∴方程的另一个解为1．（3）解：∵∴∴解得：∵方程的一个根是另一个根3倍当时，解得：，经检验符合题意；当时，解得：，经检验符合题意；综上：或．18．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根∴Δ＞0，即，解得；∴m的取值范围为.（2）解：∵方程的两个实数根分别为x1和x2∴x1＋x2＝，x1x2＝∴∵∴解得m＝1或-3∵∴。
21.2+解一元二次方程++同步练习++2024-2025学年人教版九年级数学上册
21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法已知(a²+b²)²=4,则a²+b²的值是 .【点睛】易忽视a²+b²≥0.A基础题夯实知识点1可化为x²=p型的方程1.方程3x²=27的根是( )A.x1=3√3,x2=−3√3B.x₁=3,x₂=−3C.x₁=9,x₂=−9D.x1=√3,x2=−√32.方程x²−3=0的根是( )A. x=3B.x₁=3,x₂=−3C.x=√3D.x1=√3,x2=−√3x2−1=0的解是 .3.方程144.若关于 x 的方程x²=a没有实数根，则a 的取值范围是 .知识点2 可化为((mx+n)²=p型的方程5.方程(x+6)²=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( )A. x-6=-4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6=-46.方程(x+2)²=0的解是( )A. x=-2B.x₁=−2,x₂=2C.x₁=x₂=−2D.x₁=x₂=27.若x=2是一元二次方程ax²−b=0的一个根，则它的另一个根是 .8.用直接开平方法解下列方程：(1)x²=16;(2)4x²=9;(3)2x²−16=0;(4)(x−1)²=4;(5)3(x−2)²=12;(6)(x−2)²−25=0.3B中档题运用9.若(x+2)与(x−2))互为倒数，则x 的值是 .)x2+4m2x+1=9x的一次项系数为0，则m 的值为 .10.若关于x 的一元二次方程(m+3211.已知一元二次方程((x−2)²=3的两根分别为a，b，且(a>b,则2a+b 的值为 .2a+b12.解下列方程：(1)(x+1)²=6;(2)x²−2x+1=9;(3)(x+√5)(x−√5)=20;(4)x²−6x+9=(5−2x)².的值.13.若一元二次方程ax²=b(ab⟩0)的两个根分别是m+1与；2m−4,求ba综合题探究14.用符号 min{p,q}表示 p,q 两数中较小的实数,如min1,2=1.(1)min{−√2,−√3}的值是；(2)若min(x−1)²,x²=1,求 x 的值.第2 课时配方法若关于x 的方程x²−8x+m=0可以通过配方写成(x−n)²=6的形式，那么x²+8x+m=5可以配成 .【点睛】要注意一次项系数的符号和常数项都发生了变化.A 基础题夯实知识点1配方1.若x²−mx+4=(x+2)²,则m的值为 .2.填空:(1)a²+2ab+ =(a+ )²;(2)a²- +b²=(a-b)²;(3)x²-4x+ =(x- )²;(4)x²-6x+ =(x- )²;3.若4x²−(m−2)x+1是一个完全平方式，则m 等于( )A. -2B.2或-6C.-2或6D.-2或-6知识点 2用配方法解方程4.若x²−6x+k²=(x−3)²,则k 的值为 .5.一元二次方程x²−4x−2=0配方后可化为( )A.(x+2)²=6B.(x+2)²=4C.(x−2)²=6D.(x−2)²=26.把方程x²−6x+3=0化为(x+m)²=n的形式，则m，n的值分别为( )A.3,6B.6,3C. -3,-6D.-3,67.方程x²+4x=2的正根为( )A.2−√6B.−2+√6C.−2−√6D.2+√68.用配方法解下列方程：(1)x²−4x=5;(2)x²+6x=−5;(3)(2022 厦门期末))x²+2x−5=0;(4)x²+10x+8=0.B中档题运用9.将一个关于x的一元二次方程配方为((x+m)²=p,若2±√3是该方程的两个根，则p 的值是.10.已知方程x²+4x+m=0配方为(x+2)²=n的形式，若此方程有实数根，则m的取值范围是.11.用配方法解一元二次方程3x²+6x−1=0时，将它化为(x+a)²=b的形式，则a+b的值为12.用配方法解下列方程：=0;(2)x2+2=2√3x; (3)(2022 泉州期末)2x²−4x−1=0.(1)x2−x−3413.已知.x=m 是方程x²+2x+n−3=0的一个根，求4m+n的最大值.综合题探究14.【阅读理解``a²≥0”这个结论在数学中非常重要，有时我们需要将代数式配成完全平方的形式(配方法).例如：x²+4x+5=x²+4x+4+1=(x+2)²+1.∴(x+2)²≥0,∴x²+4x+5≥1.【问题解决】试用配方法解决下列问题：(1)已知x²−4x+y²+6y+13=0,求x+y的值;(2)若M=2x²−12x+17,N=x²−8x+11,试比较 M 与 N 的大小.。
人教版九年级数学上册21.2：解一元二次方程 (二)同步练习(包含答案)
第二十一章 21.2 解一元二次方程（二）同步练习解一元二次方程：公式法同步练习（答题时间：15分钟）1. 利用求根公式求x x 62152=+的根时，a 、b 、c 的值分别是 （ ） A.6215、、 B. 2165、、 C. 2165、、- D. 2165--、、 2. 方程012=-+x x 的一个根是 （ ）A. 1 –5B. 251- C. –1＋5 D. 251+- 3. 要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n 等于 （ ）A. 2B. 3C. 0D. 2或3 4. 若04)1(5)2(22=-+-+-m x m x m 是关于x 的一元二次方程，且该方程有一个根是0，则m ＝_______。
5. 若)0(03422≠=+-xy y xy x ，则y x 的值是_________。
6. 用公式法解下列方程：（1）0432=--x x （2）322=+x x （3） 24210x x --=（4）2610y y --=7. 已知921-=x y ，x y -=32，当x 为何值时，1y 与2y 相等?解一元二次方程：公式法同步练习参考答案1. C 解析：先将原方程化为一般形式得，215602x x -+=，即1562a b c ==-=，，，故选C 。
2. D 解析：利用求根公式得：x ==，112-+=x212--=x ，故选D 。
3. D 解析：∵两代数式是同类项，∴246n n n -+=，即：2560n n -+=，利用求根公式可得：1232n n ==，，故选D 。
4. －2 解析：把0x =代入方程得：240m -=，∴2m =±，∵20m -≠，∴2m ≠， ∴2m =-。
5. 1或3 解析：∵0xy ≠，∴00x y ≠≠，，两边同时除以2y 得：22430x x y y-+=， 令x a y=，则原方程可化为：2430a a -+=，利用求根公式得： 1231a a ==，。
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解一元二次方程同步练习
一．选择题（共12小题）
1．方程（x+1）（x-3）=-4的解是（）
A．x1=-1，x2=3
B．x1=1，x2=0
C．x1=1，x2=-1
D．x1=x2=1
2．下列四个备选项所列的方程中，其中有两个不相等实数根的方程是（）
A．2x2+8=0
B．x2-6x+9=0
C．x2-4x-1=0
D．2x2=-8x-9
3．已知关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0，它的两根之积为-4．则k的值为（）A．-1
B．4
C．-4
D．-5
4．设a、b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，则（a-1）（b-1）的值为（）A．-2018
B．2018
D．2022
5．如果关于x的方程x2+2x+m=0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＜1
B．m≤1
C．m＞1
D．m≥1
6．若方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的值可以为（）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，则x1+x2-x1x2的值为（）A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知m，n是方程x2+2x-1=0的两个实数根，则m2-2n+2015的值是（）A．2021
B．2020
C．2019
9．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）
A．24或2
B．24
C．8
D．24或8
10．定义（a，b，c）为方程ax2+bx+c=0的特征数．若特征数为（k2，-1-2k，1）的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜
B．k＞
C．k＞且k≠0
D．k≥且k≠0
11．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+2011x2，S2=x12+2011x22，…，Sn=x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（）
A．0
B．2010
C．2011
D．2012
12．定义新运算：a*b=a（m-b）．若方程x2-mx+4=0有两个相等正实数根，且b*b=a*a（其中a≠b），则a+b的值为（）
B．4
C．-2
D．2
二．填空题（共5小题）
13．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为．
14．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2-3x+1=0有实数根，则m的取值范围是．15．已知关于x的方程a（x+c）2+b=0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为-2，1，那么关于x的方程a（x+c-2）2+b=0的两根分别为．
16．对于实数a，b，定义运算“*“，a*b=例如4*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，则x1*x2= ．17．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
①当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
①当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
①当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为．
三．解答题（共6小题）
18．解下列方程：
（1）（x-1）（x+3）=12；（2）2x2-4x+1=0．
19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax-x+2a2=1的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）+80=0．求实数a的所有可能值．
20．设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）=40，a（b+1）+b=8，求的值．
21．已知关于x的方程x2-mx+m-1=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．
22．若关于x的一元二次方程3x2+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x1、x2满足关系式：x1（x1+1）+x2（x2+1）=（x1+1）（x2+1）．
判断（a+b）2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．
23．已知关于x的方程：（1-m）x2-2x+1=0．
（1）当m为何值时，方程有实数根．
（2）若方程有两实数根x1、x2，且x12+x22+3x1x2=0，求m的值．
参考答案1-5：DCDAB 6-10:DBBDD 11-12:AB
13、
14、
15、3,0
16、0
17、3
18、
19、
20、8
21、（1）证明：①①=（-m）2-4（m-1）=（m-2）2≥0，
①无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）解：当m=0时，方程x2-mx+m-1=0为方程x2-1=0，
解得x1=-1，x2=1．
故m=0时，方程的根是x1=-1，x2=1．
22、正确，
证明：①关于x的一元二次方程3x2+3（a+b）x+4ab=0有两个实数根，①①≥0，即[3（a+b）2]-4×3×4ab≥0，
3（a+b）2-16ab≥0①，
①x1、x2为方程的两个实数根，
①x1+x2=-（a+b）
①x1（x1+1）+x2（x2+1）=（x1+1）（x2+1），
①x12+x1+x22+x2=x1x2+x1+x2+1，
①x12+x22=x1x2+1，
①（x1+x2）2-3x1x2=1
（a+b）2-4ab=1，
①4ab=（a+b）2-1①，
把①代入①，得
3（a+b）2-4[（a+b）2-1]≥0，
①（a+b）2≤4．
23、：（1）当1-m=0，即m=1时，
-2x+1=0，解得x＝0.5；
1-m≠0，△=（-2）2-4（1-m）≥0，即m≥0，且m≠1时，方程有实数根．综上所述，当m≥0时，方程有实数根．
（2）由根与系数的关系得
化简得：4=m-1，
解得：m=5，
经检验，m 是方程的解，
故m=5．
1、最困难的事就是认识自己。
20.9.269.26.202009:0609:06:00Sep -2009:06
2、自知之明是最难得的知识。
二〇二〇年九月二十六日2020年9月26日星期六
3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。
09:069.26.202009:069.26.202009:0609:06:009.26.202009:069.26.2020
4、与肝胆人共事，无字句处读书。
9.26.20209.26.202009:0609:0609:06:0009:06:00
5、三军可夺帅也。
Saturday, September 26, 2020September 20Saturday, September 26, 20209/26/2020
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
9时6分9时6分26-Sep -209.26.2020
亲爱的用户： 烟雨江南，画屏如展。
在那桃花盛开的地方，在这醉
人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一
样美丽，感谢你的阅读。