浙江省春晖中学2021届高三年级第一学期9月考试数学试
2021-2022年高三年级9月初检测试题(数学)
2021年高三年级9月初检测试题（数学）一、填空题（每小题5分）1．函数f（x）＝＋的定义域是．2．若（是虚数单位），则的共轭复数=_____________ ．3．设集合，，则“”是“a＝1”的__________________条件．（从如下四个中选一个正确的填写:充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）4．从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）．现用分层抽样的方法从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．5．从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃8”，事件B为“抽得为黑桃”，则事件“A＋B”的概率值是_____________（结果用最简分数表示）．6．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________．7．函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）在闭区间上的图象如图所示，则= ．8．若圆关于直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）对称，则的取值范围是___ ．9．已知函数．若且，则的取值范围是．10．如图所示，直线与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则实数和满足的一个等式是_____________．11．设，是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：（1）若l ⊥α， ，则；（2）若，，则； （3）若，，则 ；（4）若，，则则其中命题正确的是_____________．12．如图，两座相距60m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20m 、50m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是．13．若，且当时，恒有，则以,为坐标的点所形成的平面区域的面积等于___________．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案第xx 棵树种植点的坐标应为______________．二、解答题15．（本题14分）在中，角所对的对边长分别为；（1）设向量，向量，向量，若，求的值；（2）若，证明:．16．（本题14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD =90°，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ；（2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ．17．（本题14分）某公司为帮助尚有26．8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为1200元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（2）若该店只安排20名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？18．（本题16分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于、两点，的面积为4，的周长为（1）求椭圆的方程；（2）设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线，都相切．若存在，求出点的坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．19．（本题16分）数列{a n }满足：()12121999121101010n n n n na n a a a ---⎛⎫⎛⎫+-+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（n ＝1，2，3，…，）．（1）求的通项公式；（2）若，试问是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．20．（本题16分）已知函数是定义在上的奇函数,当时, （其中是自然对数的底数, ）．（1）求的解析式;（2）设，，求证：当时，恒成立；（3）是否存在负数，使得当时，的最大值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．理科选修1．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点．（1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求弦的长度．2．设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，⊥平面，，，．（1）求证：⊥；（2）求二面角的余弦值．4．如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落或或．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，，，则分别设为l，2，3等奖．（1）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；（2）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．。
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()UA B =（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集. 【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221UA B =-=+∞，，，，所以()[)12UA B =，，故选C .【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x ，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B 为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
浙江省2021届高考选考科目9月联考试题 数学 Word版含答案
秘密★启用前2021高考浙江省9月联考数学注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A＝{0，1，4}，B＝{－1，0，1，3}，则A∪B＝A.{0，1，4，3}B.{0，1}C.{－1，0，1，3，4}D.{－1，0，1，4}2.复数z＝11i，则z的虚部为A.－12B.12C.12i D.－12i3.双曲线x2－y2＝m(m>0)的渐近线方程为A.y±x＝0B.y±x＝mC.m y±x＝0D.m x±y＝04.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是A.8＋3πB.10＋3πC.8＋5πD.10＋5π5.当x>0时，“函数y＝(3a－1)－x的值恒小于1”的一个充分不必要条件是A.a<13B.a>23C.a<23D.a>16.若实数x，y满足约束条件x y1x2y1⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩，，则z＝x2＋y2的最大值是A.14B.12C.1D.27.已知边长为1的正三角形ABC，动点P与点A在直线BC异侧，且S△PBC＝32，若AP xAB yAC=+，则x＋y＝A.1B.2C.3D.48.椭圆2221(04)16x ybb+=<<的右顶点为A，已知B(1，0)，若椭圆上存在点P，满足|PA|＝2|PB|，则椭圆离心率e的取值范围是A.[2，1) B.[3，1) C.(0，2] D.(0，3]9.数列{a n}中，已知a1＝a，a n＋1＝a n2＋2a n，则下列命题为真命题的是A.不存在实数a，使得数列{a n}为常数列B.有且只有一个实数a，使得数列{a n}为常数列C.若数列{a n}为递增数列，则实数a>0D.若实数a>0，则数列{a n}为递增数列10.如图，已知三棱锥A－BCD，AB＝AC＝AD＝3，底面是边长为1的正三角形，P，E 分别为线段AC，CD(不含端点)上的两个动点，则PE与平面BCD所成角的正弦值不可能是C.2122D.11 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理【含答案】
2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题 理注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范圃：必修1～5，选修2－1，2－2，2－3。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z ＝2－i ，则|z 2－z|＝2.若集合A ＝{x|y ＝log 3(x 2－3x －18)}，B ＝{－5，－2，2，5，7}，则A∩B＝A.{－2，2，5}B.{－5，7}C.{－5，－2，7}D.{－5，5，7}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋＋9B.18π＋＋9C.18π＋＋18D.18π＋＋184.已知抛物线C 1：y 2＝6x 上的点M 到焦点F 的距离为，若点N 在C 2：(x ＋2)2＋y 2＝1上，92则点M 到点N 距离的最小值为－－1 D.25.根据散点图可知，变量x ，y 呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析，设u ＝2lny ，v ＝(2x －3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u ＝－v ＋2，则13A.变量y 的估计值的最大值为eB.变量y 的估计值的最小值为eC.变量y 的估计值的最大值为e 2D.变量y 的估计值的最小值为e 26.函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(，f())处的切线方程为1212A. B. C. D.5344y x =-524y x =-+1144y x =-14y x =-7.已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)，若f(－)＝3，f()＝0，则ω的最小值为3π3πA. B. C.2 D.312348.(3x －2)2(x －2)6的展开式中，x 4的系数为A.0B.4320C.480D.38409.已知圆C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线l ：12x －5y －1＝0与圆C 交于M ，N 两点，则|MN|＝A.3B.4C.6D.810.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－，则cos(2α＋mπ)＝125A.－ B.－ C. D.6131213613121311.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC＝∠ABC＝90°，∠BAC＝2∠BCA，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知函数f(x)＝－m(lnx ＋x ＋)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为x e x 2xA.(－∞，] B.(，＋∞) C.(，)∪(，＋∞) D.(－∞，]1212123e 3e 12∪(，＋∞)3e 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2021年高三上学期9月质检考试数学试题 含答案
2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。
2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。
一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。
嫌疑犯A、B、C对簿公堂。
嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。
由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。
2021届浙江省超级全能生高三上学期9月联考数学试题(解析版)
2021届浙江省超级全能生高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．若集合{}0,1,4A =，{}1,0,1,3B =-，则A B =（ ）A ．{}0,1,4,3B ．{}0,1C ．{}1,0,1,3,4-D ．{}1,0,1,4-【答案】C【解析】本题运用集合的运算直接计算即可. 【详解】解：因为集合{}0,1,4A =，{}1,0,1,3B =-， 所以{}1,0,1,3,4A B =-，故选：C 【点睛】本题考查集合的并集运算，是基础题. 2．已知复数11Z i=+，则Z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12i - C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出Z ,即可得到Z . 【详解】11111(1)(1)22i Z i i i i -===-++-, 1122Z i ∴=+, 故虚部为12， 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数，复数的虚部，属于容易题. 3．双曲线()220m x y m -=>的渐近线方程为（ ）A ．0y x ±=B ．y x ±=C 0x ±=D 0y ±=【答案】A【解析】根据双曲线的方程，直接得出渐近线方程.【详解】由220x y -=得y x =±，所以双曲线()220m x y m -=>的渐近线方程为y x =±.故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，属于基础题型. 4．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A ．83π+B ．103π+C ．85π+D ．105π+【答案】B【解析】先由三视图判断几何体的左侧是长方体，右侧是半圆柱体，再求该几何体的表面积即可. 【详解】解：由三视图可知，该几何体的左侧是长方体，右侧是半圆柱体， 则该几何体的表面积是：111231122221210322S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯==， 故选：B. 【点睛】本题考查通过三视图求几何体的表面积，是基础题.5．当0x >时，“函数()31xy a -=-的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（ ） A ．13a <B ．23a >C ．23<a D ．1a >【答案】D【解析】由指数函数的图象与性质可得原命题等价于23a >，再由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】若当0x >时，函数()31xy a -=-的值恒小于1，则311a ->即23a >， 所以当0x >时，函数()31xy a -=-的值恒小于1的一个充分不必要条件是1a >. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用及充分不必要条件的判断，属于基础题.6．若实数x ，y 满足约束条作121x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩，则22z x y =+的最大值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】先画出可行域，再视目标函数为可行域内的点(,)x y 到原点(0,0)的距离，最后确定最大值即可. 【详解】解：根据题意画出可行域，如图，目标函数22z x y =+可视为可行域内的点(,)x y 到原点(0,0)的距离， 所以22z x y =+的最大值为：1故选：C 【点睛】本题考查求平方和型目标函数的最值，是基础题7．已知边长为1的正三角形ABC ，动点P 与点A 在直线BC 异侧，且3PBC S =△若AP xAB y AC =+，则x y +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设AP 与BC 交于点D ，求出ABC 面积，得ABC 与PBC 的面积比，从而可得AD 与PD 的比值．用AD 表示出AP ，再由三点,,B D C 共线可得出结论． 【详解】设AP 与BC 交于点D ，2131sin 6024ABC S =⨯⨯︒=△，而32PBC S =△，∴12ABC PBC S S =△△， 又1sin 2ABC S BC AD ADC =⋅∠△，1sin 2PBC S BC PD PDB =⋅∠△，ADC PDB ∠=∠ ∴ABC PBC S AD S PD =△△，∴12AD PD =，3AP AD =， 设AD mAB nAC =+，∵,,B D C 三点共线，∴1m n +=，333AP AD mAB nAC ==+，而AP xAB y AC =+，,AB AC 不共线，∴3,3x m y n ==，∴3()3x y m n +=+=． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量中三点共线的性质，三角形面积公式．连接AP 与BC 交于点D ，利用三点共线得出向量的结论是解题关键．8．椭圆222116x y b+=，（04b <<）的右顶点为A ，已知()10B ,，若椭圆上存在点P ，满足2PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．,12⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．0,2⎛ ⎝⎦【答案】B【解析】先求(4,0)A ，再求点P 满足的轨迹方程224x y +=，接着判断2b ≤，最后求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】解：因为椭圆222116x y b+=，所以(4,0)A ，设点(,)P x y ，因为()10B ,，(4,0)A ，2PA PB =，所以点P =，即224x y +=， 故当2b ≤时，点P 存在，故椭圆的离心率c e a ==≥(0,1)e ∈，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故选：B 【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求椭圆的离心率，是基础题9．数列{}n a 中，已知1a a =，212n n n a a a +=+，则下列命题为真命题的是（ ）A ．不存在实数a ，使得数列{}n a 为常数列B ．有且只有一个实数a ，使得数列{}n a 为常数列C ．若数列{}n a 为递增数列，则实数0a >D ．若实数0a >，则数列{}n a 为递增数列 【答案】D【解析】假设{}n a 为常数列，由题意，求出0a =或1a =-，可排除AB ；假设{}n a 为递增数列，求出0n a >或1n a <-，可排除C 选项；根据数列归纳法证明D 选项，即可得出结果.【详解】若{}n a 为常数列，则1n n a a +=，又212n n n a a a +=+，所以22n n n a a a =+，解得0n a =或1n a =-，又1a a =，所以0a =或1a =-时，数列{}n a 为常数列；故AB 都错；若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>，即22n n n a a a >+，解得0n a >或1n a <-，当1n a <-时，110a a =<-<，故C 错， 因为()2121n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+，若0a >，即10a a =>，则()211110a a a a -=+>，即210a a >>；此时()322210a a a a -=+>，即320a a >>；猜想10n n a a +>>对任意*n N ∈恒成立； 下面用数学归纳法证明：当1n =时，()211110a a a a -=+>显然成立；即210a a >>成立； 假设()2n k k =≥时，都有10k k a a +>>也成立， 当1n k =+时，()111210k k k k a a a a ++++-=+>也成立；综上，10n n a a +>>对任意*n N ∈恒成立，即0a >时，数列{}n a 为递增数列，即D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查数列单调性的有关判定，熟记数列单调性的概念即可，属于常考题型. 10．如图，已知三棱锥A BCD -，3AB AC AD ===，底而是边长为1的正三角形，P ，E 分别为线段AC ，CD （不含端点）上的两个动点，则PE 与平面BCD 所成角的正弦值不可能是（ ）A ．566B 266C ．2122D 311【答案】A【解析】求出二面角A CD B--的正弦值，利用最大角定理，线面角一定不大于二面角，从而可得结论．【详解】如图1，AO是棱锥A BCD-的高，∵AB AC AD==，则O是BCD的外心，设H 是CD中点，则,,O H E三点共线，AH CD⊥，OH CD⊥，∴AEO∠是二面角A CD B--的平面角，22111(3)2AH⎛⎫=-=⎪⎝⎭，13313OH=⨯⨯=，∴2226AO AH OH=-=，∴264663sin3311OHAHOAH∠===．四个选项中只有566466>．图1如图2，过P作PM⊥平面BCD，垂足为M，作PF CD⊥于F，连接,ME MF，则PEM∠为PE与平面BCD所成的角，由PM⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得PM CD⊥，而PM PF P=，∴CD⊥平面PMF，PF⊂平面PMF，∴CD MF⊥，∴PFM∠是二面角A CD B--的平面角，sinPMPEMPE∠=，sinPMPFMPF∠=，显然PF PE≤，∴sin sinPEM PFM∠≤∠，∴466sin33PEM∠≤，图2故选：A．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查二面角，考查最大角定理，在二面角的两个面内，一个面内任一直线与另一面所成的角不大于二面角．二、填空题11．某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有______种.【答案】8640【解析】根据题意，先计算民警的安排方法，再计算女医生的安排方法，最后计算男医生的安排方法，由分步乘法计数原理，即可得出结果.【详解】因为民警共4人，每班至少一名民警，且民警甲不排上午，所以民警的安排方法有133318C A=种；因为有5名女医生，每组至少需要一名女性，所以女医生的安排方法有2454240C A=种；男医生的安排方法有两种，因此总的安排方法有：1824028640⨯⨯=种.【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用，考查排列组合的应用，属于常考题型.12．已知单位向量a，b，c，0a b⋅=，若存在实数t，使得12a ct b+-=成立，则b c ⋅的最小值为______. 【答案】12【解析】由题意设()1,0a =，()0,1b =，(),c m n =，则221+=m n ，由平面向量线性运算及模的坐标表示可转化条件为关于t 的方程()2221214m t n mt ++=--有解，进而可得112n ≤≤，再由平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意设()1,0a =，()0,1b =，(),c m n =，则221+=m n ， 则(),1a b c t m n t +-=--，()a b c t m t +--==所以关于t 12=即()2221214m t n mt ++=--有解， 所以()()2222144411410m m n n ⎡⎤-+--=--⎢⎥∆⎦=≥⎣， 所以1322n ≤≤，又1n ≤,所以112n ≤≤ 所以()min min 12b c n ⋅==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算、模及数量积的坐标表示，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.13．已知正数a ，b ，c 满足6125c a b c a -≤≤-，ln ln c b a c c -≥，若λ=b a ，则λ的取值范围是______. 【答案】[,54]e【解析】先化简得到6125a b a c c c -≤≤-和ac b e c ≥，接着令by c =，a x c=得到约束条件6125xx y x y e -≤≤-⎧⎨≥⎩并画出可行域，再转化目标函数yx λ=，接着求出154(,)1111A 和(1,)B e ，最后求出λ的取值范围即可.【详解】解：因为6125c a b c a -≤≤-，所以6125a b a c c c-≤≤-， 因为ln ln c b a c c -≥，所以ac be c≥，令by c =，a x c =，则6125xx y x y e -≤≤-⎧⎨≥⎩，画出可行域，如图，b ya xλ==， 由图可知1265y x y x =-+⎧⎨=-+⎩得点154(,)1111A ，此时54yx λ==最大；设过切点00(,)B x y 与原点(0,0)O 的直线为y kx =，因为xy e =，则'xy e =则00000xx y kx y e k e =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(1,)B e ，此时y e x λ==最小.所以[,54]e λ∈ 故答案为：[,54]e 【点睛】本题考查非线性目标函数的取值范围，是中档题.三、双空题14．已知角α终边上一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=______；cos2=α______. 【答案】45-725-【解析】本题先判断点P 在单位圆上，再求4sin 5α=-，最后求cos2α即可 【详解】解：因为2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点P 在单位圆上， 所以4sin 5α=-， 所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：45-，725-. 【点睛】本题考查三角函数的定义，二倍角的余弦定理，是基础题.15．在nx⎛⎝的展开式中，二项式系数和为64，则n =______；中间项的系数为______.【答案】6 160-【解析】先建立方程264n =，再求出6n =，接着求6x⎛- ⎝的展开式中的通项公式，最后求中间项的系数即可解题. 【详解】解：因为二项式系数和为64，所以264n =，解得6n =，则6x⎛ ⎝的展开式中的通项为6166362((1)2r r r r r r r r T C x C x--+==-⋅⋅⋅， 令3r =，则展开式的中间项的系数为3(1)220160-⨯⨯=-. 故答案为：6，160-. 【点睛】本题考查二项式系数和求参数、二项式展开式的特定项的系数，是基础题.16．在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有111224⨯=，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为13144-=，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为111224⨯=，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足()()1,2,3,410i P i a i ξ==⋅=，则a =______；若()3215E b ξ+=，则b =______. 【答案】195【解析】根据随机事件的概率之和等于1 ,求出a .再根据概率的分布列求出b . 【详解】解:因为()()1,2,3,410iP i a i ξ==⋅=, 故234110101010a a a a +++=, 解得1a =()()()()()12343211213141101010105E b b b b b ξ+=+⨯++⨯++⨯++⨯=, 解得95b =故答案为: 1;95【点睛】本题考查随机事件的概率分布列、数学期望.属于基础题.17．已知()2,0A -，()0,2B -，动点P 在圆C ：22240x y x y +--=上，若直线//l AB且与圆C 相切，则直线l 的方程为______；当PA PB ⋅取得最大值时，直线PC 方程为______.【答案】30x y +-=或30x y +-=； 3210x y -+= 【解析】先求出AB k ，再求圆的圆心为(1,2)C 和半径，接着设直线0x y b +-=并求b 值，最后求直线l 的方程即可；先判断直线PC 过线段AB 的中点(1,1)--，再求直线PC 的方程即可解题. 【详解】解：因为()2,0A -，()0,2B -，所以2010(2)AB k --==---，因为圆C 的方程为22240x y x y +--=，即()()22125x y -+-=，所以圆心为(1,2)C，半径r =因为直线//l AB ，所以设直线l ：y x b =-+，即0x y b +-=因为直线l 与圆C=，解得：3b =3b =，所以直线l的方程为：30x y +-=或30x y +-+=， 设线段的中点为(1,1)M --， 则222222221111[()()](4)4444PA PB PA PB PA PB PM BA PM BA PM BA ⋅=+--=-=-=-，PA PB ⋅取得最大值就是PM 最大，此时直线PC 过线段AB 的中点(1,1)--，所以直线PC 过点(1,1)M --、(1,2)C ， 则直线PC 的方程为：3210x y -+=.故答案为：30x y +--=或30x y +-+=；3210x y -+= 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求直线的方程，是中档题.四、解答题18．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()3cos22sin 1C A B =+-.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）若边AB 上的中线1CD =，a b +=ABC 的面积.【答案】（1（2. 【解析】（1）先化简得到23sin sin 20C C +-=，再求出2sin 3C =，最后求cos C 即可；（2）先得到2CA CB CD +=，再得到方程2()24a b ab +-=，接着求出ab ，最后求S 即可. 【详解】解：（1）因为()3cos22sin 1C A B =+-，A B C π++=， 所以26cos 2sin 20C C --=，因为22sin cos 1C C +=， 所以23sin sin 20C C +-=，因为02C <<π，所以2sin 3C =，所以cos C ==（2）因为CD 是边AB 上的中线，所以2CA CB CD +=， 所以2222cos 44a b ab C CD ++==，所以2()243a b ab ab +-+=，因为a b +=所以ab =，所以112si 23n 2S ab C === 【点睛】本题考查向量的加法、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式、三角形的面积公式，是基础题.19．已知首项为1公差不为零的等差数列{}n a ，2a 为1a ，4a 的等比中项，数列{}1n b +的前n 项和为n S ，且()4log 1n n a S =+，*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （I ）若()11nn an c b =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：265n T <. 【答案】（1）n a n =，1341n n b -=⋅-；（2）证明过程见详解.【解析】（1）先求出1d =，再求出n a n =，接着求出41n n S =-并判断数列{}1n b +是以3为首项，以4为公比的等比数列，最后求n b 即可； （2）先求出()111341nn n c --+-⋅=，再分组得到1352124622()()n n n c c c c c c c c T -=+++++++++，最后使用放缩法证明结论成立. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠，因为2a 为1a ，4a 的等比中项，所以2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=+ 因为11a =，所以2(1)13d d +=+，解得：0d =（舍去）或1d =，所以1(1)n a a n d n =+-=，因为()4log 1n n a S =+，所以41nn S =-，所以数列{}1n b +是以3为首项，以4为公比的等比数列， 所以1134n n b -+=⨯，则1341n n b -=⋅-（2）因为()11nn a n c b =+-，n a n =，1341n n b -=⋅-，所以()111341nn n c --+-⋅=，所以21234212n n n T c c c c c c -=++++++135212462()()n n c c c c c c c c -=+++++++++024*******()()3423423423423431111114134341n n --=+++++++++⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯024*******3333()()34343434341343431411n n --≤+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111()1()1116161134111616n n--=+⨯⨯-- 5215261()4516455n ⎡⎤=⨯-<<⎢⎥⎣⎦ 所以265n T < 【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式、等比数列的判定、分组求和法和放缩法证明不等式，是中档题.20．如图，底面ABCD 为菱形，AP ⊥平面ABCD ，//AP DE ，23BAD π∠=，2PA AD DE ==.（Ⅰ）求证：//BD 平面PEC ；（Ⅱ）求直线DP 与平面PEC 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）14. 【解析】（Ⅰ）取PC 中点为F ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，EF ，证明//EF BD ，再由线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（Ⅱ）根据题意，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，设22PA AD DE ===，求出直线DP 的方向向量，以及平面PEC 的法向量，计算两向量夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）取PC 中点为F ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，EF ， 因为底面ABCD 为菱形，所以O 为AC 的中点，则//OF PA 且12OF PA =， 又//AP DE ，且2PA DE =，所以//OF DE 且OF DE =，即四边形OFED 为平行四边形，因此//EF DO ，即//EF BD ，因为EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ； （Ⅱ）因为AP ⊥平面ABCD ，由（Ⅰ）可得，OF ⊥平面ABCD ， 又底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，即OC OD ⊥，因此,,OC OD OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设22PA AD DE ===，则112OF PA ==，又23BAD π∠=，则3OAD π∠=，所以cos 13OC OA AD π===，sin33OD AD π==，则()0,0,1F ，()1,0,0C ，()0,3,0D ，()1,0,0A -，所以()1,0,2P -，()0,3,1E ， 因此()1,3,2DP =--，()1,3,1PE =-，()2,0,2PC =-， 设平面PEC 的一个法向量为(),,m x y z =，则PE m PC m⎧⊥⎨⊥⎩，所以00PE m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30220x y z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则01y z =⎧⎨=⎩，即()1,0,1m =，设直线DP 与平面PEC 所成角为θ， 则1sin cos ,413411DP m DP m DP mθ⋅=<>===++⨯+，即直线DP 与平面PEC 所成角的正弦值为14.【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查求线面角的正弦值，熟记线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.21．如图，已知抛物线()2:20y px p Γ=>，斜率分别为()111k k ≥，2k 的直线1l ，2l 过焦点F 且交抛物线于A ，B 两点和C ，D 两点.（Ⅰ）若弦AB上一点21,2G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在准线上的投影为E ，FA ，GE ，FB 成等差数列，求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若2p =，直线1l ，2l 的倾斜角互补，求四边形ACBD 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）22y x =；（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得点21,2G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为弦AB 的中点，利用点差法可得12k p =，即可求得1p =，即可得解；（Ⅱ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立方程可得1214y y k +=，124y y =-，342144y y k k +==-，344y y =-，由弦长公式、点到直线的距离公式化简可得四边形的面积为3111116k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】（Ⅰ）作1AA 、1BB 垂直于准线，垂足分别为1A 、1B ，如图，因为FA ，GE ，FB 成等差数列，所以112GE FA FB A A B B =+=+，所以点2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为弦AB 的中点， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，12y y +=，将点()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线的方程可得21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，作差得()2212122y y p x x -=-即()()1212122y y y y px x +-=-，所以1k ，又点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12212FG k k p p ===--，2p=-，所以1p =， 所以抛物线Γ的方程为22y x =；（Ⅱ）当2p =时，抛物线2:4y x Γ=，焦点()1,0F ，设直线1l 的方程为11y k x k =-，直线2l 的方程为22y k x k =-，易知12k k =-， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立1124y k x k y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得211440k y y k --=，>0∆，所以1214y y k +=，124y y =-， 同理342144y y k k +==-，344y y =-， 所以2221121222211114111414116k ABy y y y k k k k，点C 到直线1l 的距离1d =D 到直线1l 的距离2d =由题知11k ≥，301x <<，41x >， 所以()()211331144112222111211211ACBDk k x y k k x y k AB d d k S k k +----⋅+=⋅++= ()()()221122133114411434322111212141k k k y y y y k k++⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦+ ()()22211143434311121414144k k k y y y y y y k ⎡⎤++⎛⎫=⋅---=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()222113311111161414111616k k k k k k ++⎛⎫⎛⎫=-+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当111k =即11k =时，四边形ACBD 的面积取最大值，最大值为32. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了与抛物线相关的点差法的应用及面积最值的求解，属于中档题.22．已知函数()2ln f x x ax x =++.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()()22g x f x x =-+，1x ，2x 为函数()y g x =的两个不同零点，求证：1212nln l x x +>.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求函数导数，分析得12x x+≥a ≥-和a <-两种情况求单调区间即可；（Ⅱ）根据题意可得222ln 0x ax ++=，112ln 0x ax ++=，通过两式相加和相减可分析得要证1212n ln l x x +>，即证221211ln 2110x x x x x x -+->，令21t=1x x >，即证1ln 201t t t -⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，设()1ln 21t t t t ϕ-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用导数求单调性即可证得. 【详解】（Ⅰ）函数()2ln ,(0)f x x ax x x =++>,()12,(0)f x x a x x'=++>,由12x x+≥当a ≥-时，()120f x x a x'=++≥， ()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当a <-时，()120f x x a x '=++=，解得：4a x -±=， ()f x的增区间为)+∞，减区间为. （Ⅱ）()ln 2g x ax x =++.由题意可得： 222ln 0x ax ++=，112ln 0x ax ++=，两式作差：()2121ln ln 0x x a x x -+-=，得2121ln ln x x a x x -=-- 两式相加：()2121ln ln 40x x a x x ++++=，得()2121ln ln 4x x a x x +=-+- 要证1212n ln l x x +>，即证12ln ln 20x x ++>，不妨设21x x > 即证()212121ln ln 20x x x x x x -+->-，即证221211ln 2110x x x x x x -+-> 令21t=1x x >，即证1ln 201t t t -⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，设()1ln 21t t t t ϕ-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ()22214(2)0(1)(1)t t t t t ϕ-'=-=>++， 所以函数()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及证明不等式，解题的关键是凑出含21x x 的式子，进而通过换元构造函数，属于难题.。
2021届浙江省金色联盟(百校联考)高三上学期9月联考数学试题(解析版)
【解析】根据题意，得到 ，求出 ， ，再由题中条件，得出 ，进而可求出结果.
【详解】
因为函数 有两个零点为 和 ，
所以 ，
则 ， ，
因 ，
又 ，则 ，
可得 ，
则 ，
解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查由二次函数零点求参数，属于常考题型.
13．已知函数 ， ，设 的最大值为 ，若 时，则 的取值范围为________.
根据正方形的性质可知 ，而 ，所以 .
根据正六边形的性质可知 ，所以 是截面与底面成锐二面角.
根据正方体的性质可知 平面 ，所以 ，
所以 .
所以截面与底面所成锐二面角的正切值为 .
故答案为： ；
【点睛】
本小题主要考查正方体截面有关计算，考查二面角的求法.
17．在一袋中有 个大小相同的球，其中记上 的有 个，记上 号的有 个（ ＝ ， ， ， ），现从袋中任取一球， 表示所取球的标号，则 ______，若 ，且 ，则 _____.
8．已知点 是双曲线 右支上一点， 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段 的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求得直线 的方程，计算出原点到直线 的距离，结合双曲线的定义得到 ，由此求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图所示，双曲线的渐近线为 ，
对于 ， ，直线 与直线 垂直，
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先证明三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行，再利用充要条件的定义判断得解.
【详解】
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行．
高三上学期九月月考数学试题(附答案)
2021-2021高三上学期九月月考数学试题（附答案）考生进行数学复习离不开做题，查字典数学网整理了高三上学期九月月考数学试题，请考生及时练习。
一、选择题：(本大题共有12道小题，每小题5分，共60分)1.已知集合 , ,则 ( B )A. B. C. D.2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 ( C )A. B. C. D.3. 给出两个命题:命题命题存在的否定是任意命题：函数是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )A. B. C. D.4.若函数f(x)=x2-ax- a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( D )A.-1B.1C.-2D. 25 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A )A. B. C. D.6.已知命题p：x2+2x-3命题q：xa，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 ( B )A.(-，1]B.[1，+)C.[-1，+)D.(-，-3]7.7. 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B )A.(0，2)B.(-，1]C.(-，1)D.(0，2]8.若f(x)=ax，x1，4-a2x+2，x1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( C )A.(1，+)B.(4，8)C.[4，8)D.(1，8)9. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若a=30.2 f(30.2)，b= (log2) f(log2)， c= f ，则，，间的大小关系 ( A )A. B. C. D.10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+)上单调递增.若实数a满足f( )+f( )2f(2)，则a的取值范围是( D)A.(-，4]B. (0，4]C.D.11.(文)已知是奇函数，则 ( A )A..14B. 12C. 10D.-811. (理)若函数的大小关系是 (C )A. B.C. D.不确定12.已知函数y=f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x(2，3)时，f(x)=log2(x-1).给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 ( A )①函数y=f(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称;②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;③函数y=f(|x|)在(k，k+1)(kZ)上单调递增;④当x(-1，0)时，f(x)=-log2(1-x).A.①②④B.②③C.①④D.①②③④二、填空题(本大题共有4道小题，每小题5分,共20分)13.已知实数满足则的最大值__-4_______14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .15. 若函数 ( )满足且时， ,函数 ,则函数在区间内零点的个数有__12_个.16. 存在区间 ( )，使得，则称区间为函数的一个稳定区间.给出下列4 个函数：其中存在稳定区间的函数有②__③_ .(把所有正确的序号都填上)三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)17.(本小题满分12分)设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为，在原点右侧与轴的第一个交点为 .(Ⅰ)求函数的表达式;(Ⅱ)在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长 .解：解：(I)因为， -----------------------------1分由题意， -----------------------------3分将点代入，得，所以，又因为 -------------------5分即函数的表达式为 . --- ------------------6分(II)由，即又 ------------------------8分由，知，所以 -----------------10分由余弦定理知所以 ----------------------------------------------------12分18.(文)(本小题满分12分)为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀(Ⅰ)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级;(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】：(Ⅰ)6条道路的平均得分为 .-----------------3分该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分(Ⅱ)设表示事件样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 . -----7分从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件. -----------------9分事件包括，，，，，，共个基本事件，答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为 .------12分18.(理)(本小题满分l 2分)在2021年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响.(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望;(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为，则的可能取值为1，2，3，P(=1)=C14C22C36=15 ，P(=2)=C24C12C36=35，P(=3)=C34C02C36=15，考生甲正确完成题数的分布列为123P153515E=115+235+315=2. ..4分又～B(3，23)，其分布列为P(=k)=Ck3(23)k(13)3-k，k=0，1，2，3;E=np=323=2. 6分(II)∵D=(2-1)215+(2-2)235+(2-3)215=25，D=npq=32313=23， D∵P(2)=35+15=0.8，P(2)=1227+8270.74，P(2)2). 10分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当;从回答对题数的方差考查，甲较稳定;从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.12分19(理)在四棱锥中，平面，是的中点，(Ⅰ)求证： ;(Ⅱ)求二面角的余弦值.解：(Ⅰ)取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为所以 .1分因为平面，平面所以又所以平面 3分因为平面 ,所以又∥ ，所以又因为 ,所以平面 5分因为平面，所以 6分(注：也可建系用向量证明)(Ⅱ)以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 , , ， , ,8分设平面的法向量为，则所以令 .所以 . 9分由(Ⅰ)知平面 , 平面 ,所以 .同理 .所以平面所以平面的一个法向量 . 10分所以， 11分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 . 12分19.(文)在四棱锥中，平面，是的中点， ,(Ⅰ)求证：∥平面 ;(Ⅱ)求证： .证明：(Ⅰ)取的中点 ,连接 , . 则有∥ .因为平面，平面所以∥平面 .2分由题意知 ,所以∥ .同理∥平面 .4分又因为平面 , 平面 ,所以平面∥平面 .因为平面所以∥平面 . 6分(Ⅱ)取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为 ,所以 . 7分因为平面，平面，所以又所以平面 9分因为平面所以又∥ ，所以又因为 ,所以平面 11分因为平面所以 12分20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切..(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值?若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.【解析】：(1)由题意知，，即，又，，故椭圆的方程为 4分(II)设，由得12分21.(文)已知函数，其中aR.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率;(2)当时，求函数的单调区间与极值.解：(1)当a=0时，f(x)=x2ex，f(x)=(x2+2x)ex，故f(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. 4分(2)f(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex令f(x)=0，解得x=-2a，或x=a-2， 6分由a23知，-2aa-2.以下分两种情况讨论：①若a23，则-2ax(-，-2a)-2a(-2a，a-2)a-2(a-2，+)f(x)+0-0+f(x) 极大值极小值所以f(x)在(-，-2a)，(a-2，+)上是增函数，在(-2a，a-2)上是减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a.函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 9分②若a23，则-2aa-2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，a-2)a-2(a-2，-2a)-2a(-2a，+)f(x)+0- 0+f(x) 极大值极小值所以f(x)在(-，a-2)，(-2a，+)上是增函数，在(a-2，-2a)上是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a. 12分21. (理)已知函数 ( ).(1) 当时，证明：在上， ;(2)求证： .解：(1) 根据题意知，f(x)=a1-xx (x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，+当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，+)，单调递减区间为(0,1];当a=0时，f(x)不是单调函数.所以a=-1时，f( x)=-ln x+x-3，在(1，+)上单调递增，所以f(x)f(1 )，即f(x)-2，所以f(x)+2 6分(2) 由(1)得-ln x+x-3+20，即-ln x+x-1 0，所以ln x则有0ln 22ln 33ln 44ln nn 122334n-1n=1n(n2，nN*). 12分四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.(Ⅰ )求证：直线AB是⊙O的切线;(Ⅱ)若tanCED=12，⊙O的半径为3，求OA的长.解：(1)证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，OCOB，又∵OC是圆的半径，AB是圆的切线. 4分(2)∵ED是直径，ECD=90，EDC=90，又BCD+OCD=90，OCD=ODC，BCD=E，又CBD=EBC，△BCD∽△BEC，BCBE=BDBCBC2=BDBE，又tanCED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，设BD=x，则BC=2x，∵BC2=BDBE，(2x)2=x(x+6)，BD=2，OA=OB=BD+OD=2+3=5. 10分23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 (t为参数)， ( 为参数).(Ⅰ)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求 .解：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为 ( 为参数) 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以 10分24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数，且的解集为 .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若，且，求证： .解：(Ⅰ)因为，所以等价于，2分由有解，得，且其解集为 . 4分又的解集为，故 .(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又， 7分 =9.9分(或展开运用基本不等式).10分高三上学期九月月考数学试题的内容就是这些，更多精彩内容请考生持续关注查字典数学网。