辽宁省沈阳市郊联体-学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析
--辽宁省沈阳市郊联体 2017-２0１8 学年高二上学期期末考试数学（文)试题第Ⅰ卷（共 6０分）一、选择题:本大题共１２个小题,每小题５分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.１. 已知 是虚数单位,复数 满足,则 ( )A.B.C.Ｄ．【答案】B【解析】由题意,得.故选 B．2． 抛物线的准线方程为 ，则 的值为(）A．Ｂ.【答案】D【解析】因为抛物线C.Ｄ.的准线方程为,即 .故选 D.３. 已知命题,命题 若,则 下列命题为真命题的是( ）A.Ｂ.【答案】ＢＣ．Ｄ．【解析】 由题意得,命题，所以是真命题；命题: 若，则 是真命题，所以 是真命题,故选 A.4. 过点 的直线与双曲线有唯一公共点,这样的直线有（）A. １条 Ｂ. 2 条 【答案】ＢＣ. 3 条 D. ４条【解析】因为点 在双曲线的内部，所以当且仅当过 且与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有唯一公共点,即这样的直线有 2 条.故选 B. 点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系；在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往联立----直线和圆锥曲线的方程，得到关于 或 的一元二次方程,利用判别式进行判定,但要注意特殊情况,如与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点,与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点.5. 《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺,大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍,小老鼠第天也进一尺.以后每天减半．”假设墙厚 1６尺,现用程序框图描述该问题,则输出 （)Ａ. 2 B． 4 【答案】D 【解析】 (1)C. 6 ;Ｄ. 8（２）；......．．....(3)；（4),输出 8.故选 D。
6. 以下四个命题，其中正确的是()----Ａ． 由独立性检验可知，有 99％的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀, 则他有 9９％的可能物理优秀； B. 两个随机变量相关系越强,则相关系数的绝对值越接近于０;C. 在线性回归方程中,当变量 每增加一单位时,变量 平均增加０.2 个单位；D. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点.【答案】C 【解析】由独立性检验可知,有９9%的把握认为物理成绩与数学成绩有关,某人数学成绩优秀, 则他的物理不一定优秀,故Ａ错误;两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故Ｂ错误；线性回归方程对应的直线可能不经过其样本数据点中的任何点，故Ｄ错误；在线性回归方程中,当变量 每增加一个单位时,变量 平均增加 0.2 个单位，故 C 正确.故选Ｃ.7． 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示. 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，有()分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则A.B.Ｃ.【答案】D【解析】由茎叶图,可得,即，--D., ，即 ．故选 D.８. 过点且与双曲线--，有共同渐近线的双曲线方程是( ）A.Ｂ．【答案】A【解析】设与双曲线C.Ｄ.有共同渐近线的双曲线方程为，又因为该双曲线过点，所以，即，即为所求双曲线方程.点睛：本题考查双曲线的几何性质;求双曲线的标准方程时，往往要根据焦点所在位置进行讨论,比较麻烦,记住一些设法技巧可避免讨论,如与双曲线有共同渐近线的方程可设为.９. 椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（ ）Ａ．Ｂ．【答案】BＣ.D.【解析】设该直线与椭圆交于，则,则，则,所以.故选Ｂ.点睛:本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题,往往利用点----差法进行求解，其主要步骤是:（1)代点:;（2)作差:；（3)确定中点坐标和直线斜率的等量关系：.１０. 已知 分别是双曲线的左、右焦点，点 关于渐近线的对称点 恰好落在以 为圆 心、 为半径的圆上,则双曲线的离心率为（ )A.B.【答案】C【解析】连接线的离心率为Ｃ.D.,由三角形的中位线可得 与其中一条渐近线平行，即,且,所以为等边三角形，则，则该双曲.故选 C．１1． 若点 和点 分别为椭圆的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意点，则的最大值为()A. ２B. 3【答案】ＣC. ６Ｄ. ８----【解析】由题意，设点,则有，解得，因为,,所以,此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为,所以当 时,取得最大值,故选C. 点睛:本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与 最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力；先求出左焦点坐标 ，设，根据在椭圆上可得到 的关系式，表示出向量,根据数量积的运算将 的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.12. 如图所示，过抛物线的焦点 的直线 ,交抛物线于点 ．交其准线 于点 ,若，且,则此抛物线的方程为（）A．B.C．D.【答案】C 【解析】分别过点 作准线的垂线，垂足分别为 ，设，则,在中，，由抛物线定义，得,则,所以，解得 ,因为，所以 ,即 ,即抛物线方程为.故选 C.----点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系;在处理直线和抛物线的位置关系时,往往利用抛物 线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行互化，可减少运算量.第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分,将答案填在答题纸上)13． 双曲线的焦距为________．【答案】【解析】因为,即双曲线的焦距为 ．14. 有一个游戏，将标有数字 l，2,3,４的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁４个人,每 人一张,并请这４个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说:乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说: 甲或丙拿到标有 2 的卡片;丙说:标有 l 的卡片在甲手中;丁说：甲拿到标有 3 的卡片.结果显 示：这４人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为_＿__＿ _． 【答案】4,2,1,３ 【解析】由于 个人预测不正确,其各自的对立事件正确,即:甲:乙、丙没拿到 ;乙:甲、丙没 拿到 ；丙：甲没拿到 ;丁:甲没拿到 .综上,甲没拿到 ,故甲拿到了 号,丁拿到了 ，丙拿 到 号,乙拿到 号.15. 已知点 为抛物线上一点,记 到此抛物线准线 的距离为 ，点 到圆上点的距离为 ,则的最小值为＿＿___＿____．【答案】3【解析】易知圆的圆心为,半径为 2，设抛物线的焦点为,连接 ,由抛物线的定义，得，----要求的最小值,需 三点共线，且最小值为。
点睛:本题考查抛物线的定义的应用；涉及抛物线的焦点或准线的距离的最值问题是一种常考题型,往往利用抛物线的定义进行合理转化,而本题中,要将点到准线的距离转化成到焦点的距离，还要将点到圆上的点的距离的最值转化为点到圆心的距离减去半径．1６． 下列说法中①命题“己知,若,则 或 ”是真命题；②命题“若 ,则 ”的否命题为“若 ，则 ”；③若 ，则 ；④命题“”的否定为“”.正确说法的序号是＿＿＿_＿＿____．【答案】①④【解析】因为“若 或 ，则”是真命题，所以其逆否命题“己知，若，则 或 ”是真命题,即①正确;命题“若 ,则 ”的否命题为“若 ,则 ”，即②错误;当时，，即③错误;命题“”的否定为“”，即④正确.故填①④.三、解答题 （本大题共６小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知命题 方程表示焦点在 轴上的椭圆;命题 ：实数 使得不等式----成立. （1)若命题 中的椭圆的离心率为 ,求实数 的值; (2)命题 是命题 的什么条件. 【答案】（1）２(2)充分不必要条件 【解析】试题分析:（1)利用椭圆的焦点在 轴上确定几何元素间的关系，再利用离心率公式 进行求解；(2）利用椭圆标准方程的分母化简命题 ,通过解一元二次不等式化简命题 ,再利 用数集间的包含关系进行判定.试题解析:(１）椭圆离心率,解得: ．（２) 由已知得:,解得：,即命题Ａ成立的条件为,命题 B 成立的条件为，由此可得命题 A 是命题 B 的充分不必要条件.18. 某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 10０名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方图如图所示.组号分组频数频率１5０.052350.３5３４5100.1（1)求的值．(2)该校决定在成绩较好的 3、4、５组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试,则每组应各抽多少名学生?----（3)在(２)的前提下,从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试,求这 2 名学生来自同 一组的概率.【答案】（1)ａ=30,b=0.3,ｃ=２0,d=０.2(2)３,２，1（3)【解析】试题分析:(1)利用频率分布表进行求解即可;（２）利用分层抽样的特点（等比例)进行求解；（３)写出所有可能基本事件和基本事件数，找出这２名学生来自同一组的基本事件数,利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：（1）由题意得,，，.三个组共有 6０人，所以第三组应抽人,第四组应抽人,第五组应抽人.(3）记第三组抽出的 3 人分别为，第四组抽出的２人分别为人为 ，从这 6 人中随机抽取 2 人，基本事件包含，第五组抽出的１,共 15 个基本事件．其中 2 人来自同一组的情况有,共４种.所以，2 人来自同一组的概率为１９. 己知关于 的一次函数(1)设集合和是增函数的概率；. 分别从集合 和 中随机取一个数作为 和 ，求函数(２)实数 满足条件求函数的图象经过一、二、三象限的概率.【答案】(1） (2)【解析】试题分析:(1）全部结果的基本事件有共 个基本事件,设使函数为增函数的事件为有 个基本事件,所以；（2)要使函数的图象过第一、二、三象限,则，故使函数图象过第一、二、三象限的 的区域为第一象限的阴影部分，利用图形面积比即----可求概率为.试题解析:解：（1）抽取的全部结果的基本事件有:函数的事件为 ，则 包含的基本事件有：所以．（２) 满足条件的区域如图所示，，共 个基本事件,设使函数为增 共 个基本事件，要使函数的图象过第一、二、三象限,则，故使函数图象过第一、二、三象限的的区域为第一象限的阴影部分，所以所求事件的概率为.考点:1、古典概型；２、几何概型． 视频20. 己知抛物线的焦点为 ,准线与 轴的交点为 ,过点 的直线 ,抛物线 相交于不同的 两点.(1)若，求直线 的方程；(2)若点 在以 为直径的圆外部，求直线 的斜率的取值范围.【答案】(1）（2)【解析】试题分析:（１)设出直线方程,与抛物线方程联立，得到关于 的一元二次方程,利用根与系数的关系、弦长公式确定直线的斜率即可；(２）设出直线方程，与抛物线方程联立,得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、点 在以 为直径的圆外部（）进行求解．试题解析：(1）由题可知且直线 斜率存在,所以可设直线 :,----由得:，令，解得:,即设，,则有，因为，所以,解得所以，直线 的方程为：．（2)设直线 ：,,,由（１)知:，因为点在以 为直径的圆外部，所以有又，,所以,, ，解得:,即所以，直线 的斜率的取值范围是.21. 已知 分别是椭圆的左、右焦点,离心率为 ， 分别是椭圆的上、下顶点,.(1)求椭圆 的方程;（2)若直线与椭圆 交于相异两点 ，且满足直线直线 恒过定点,并采定点的坐标.【答案】（１)（2)的斜率之积为 ，证明：【解析】试题分析:（１）设出相关点坐标,利用和离心率为 得到几何元素间的----关系即可求解;（2）联立直线和椭圆的方程,得到关于 的一元二次方程,利用根与系数的关系、 斜率公式得到等式，进而利用直线方程判定其过定点.试题解析:(１）由题知,,，∴，.∴①由，得②又③由①②③联立解得:∴椭圆 的方程为.(2)证明:由椭圆 的方程得，上顶点，设，，由题意知，由得：∴,又,由,得即:∴化简得：解得：即直线 恒过定点,结合 ．, ， ，,知,22. 在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数）,在极坐标系（与直角坐----标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点， 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为(1)求圆 的直角坐标方程：（2）设圆 与直线 交于点 ，若点 的坐标为,求.【答案】（１)(２)【解析】试题分析:（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式即可求解；(2)将直线 的 参数方程代入圆 的直角坐标方程,得到关于 的一元二次方程，利用 的几何意义和根与系数的 关系进行求解.试题解析:（1）由得，即.（2)将直线 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得,即由于,故可设 是上述方程的两实根，所以,又直线 过点，故由上式及 t 的几何意义得:.--。
2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。
2021-2022学年辽宁省沈阳市高二上学期期末考试数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年辽宁省沈阳市高二上学期期末考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知离散型随机变量X的分布列如下：则数学期望( )A. B. C. 1 D. 22.已知随机变量服从正态分布，且，则( )A. B. C. D.3.二项式的展开式中，各项二项式系数的和是( )A. 2B. 8C. 16D. 324.某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有种( )A. 9B. 36C. 54D. 1085.直线与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定6.口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为( )A. B. C. D.7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是( )A. 21B. 28C. 36D. 568.有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.关于二项式的展开式，下列选项正确的有( )A. 总共有6项B. 存在常数项C. 项的系数是40D. 各项的系数之和为24310.已知离散型随机变量X 的分布列如下：其中，，则下列选项正确的有( )A.B. 若，则椭圆的长轴长为C. 若数学期望，则双曲线的渐近线方程为D. 若数学期望，则方差11.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，则下列选项正确的有( )A. 能取到B.C. 若，则线段AB中点到抛物线C的准线的距离为5D. 过点B作直线m，使得直线m与抛物线C有且仅有一个公共点，则这样的直线m有2条12.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有( )A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某商场对华为手机近28天的日销售情况进行统计，得到如下数据，利用最小二乘法得到日销售量百部与时间天的线性回归方程为，则表格中的数据__________.14.已知春季里，甲地每天下雨的概率为，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙两地下雨相互独立，则春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为__________.15.如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为__________.16.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是__________用数字作答四、解答题（本大题共6小题，共70分。
辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学答案
2023-2024学年度(上)沈阳市五校协作体期末考试高二年级数学试卷答案考试时间：120分钟考试分数：150分1-5：B A B A C6-8：C D A 9.BCD 10.ACD 11.ACD 12.BD13.83（或者写成6561）14.[6-+15.22,0[16.33217.（1）k k kk k x C a T 2520101012)1(--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02520=-k ，解得k=8....................................................................................3’∴k=8时，常数项4452)1(810289=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C a T ，解得1=a .................................5’（2）Z m m k ∈=-，2520，则k=0,2,4,6,8,10∴有理项有6项，无理项有5项....................................................................7’135********=+C C C C ............................................................................................10’18.（1）11112344OP OM ON a c =+=++ （）..................................................6’（2）由题意可得：），，（211P ，），，（420N ∴)2,1,1(-=PN ..................................................................................................8’∴66==d .所以点N 到平面α的距离为6............................................................12’19.（1）249733299=-⨯⨯⨯-+=）（AB ∴圆心到直线的距离1=d ..................................................................................2’当直线斜率不存在时，直线方程为2=x ，符合题意......................................4’当直线斜率存在时设直线l 方程为)2(-=x k y ，则1122=++k k 解得43-=k ，∴直线l 方程为0634=-+x y 或2=x ..................................................................6’（法二）：当斜率为0时，圆心到直线的距离为2不符合题意；当斜率不为0时，设直线l 方程为2x my =+，∴1d ==解得：0m =或43m =-∴直线方程为2x =或3460x y +-=...........................................................................6’（2）设）（y x M ,，根据PM CM ⊥可得：()()0)2(23=++--y y x x 即062522=++-+y x y x .......................................................................................12’20.（1）取AD 的中点O ，连接,,,OP OB BD OE ，∵底面ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，又∵,O E 分别为,AD AB 的中点，则OE BD ，故AC OE ⊥，注意到AC PE ⊥，,,OE PE E OE PE =⊂I 平面POE ，则AC ⊥平面POE ，....................................................................................................3’∵OE ⊂平面POE ，则AC OE ⊥，又∵PA PD =，E 为棱AB 的中点，则AD OE ⊥，,,,AC AD A AC AD A AC AD ==⊂I I 平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ，故平面PAD ⊥平面ABCD...........................................................6’（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，则ABD △为等边三角形，且O 为AD 的中点，故OB AD ⊥，由（1）得，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，设2AD =，则1((1,0,0)2P E D -，可得(3,,2DP DE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则0302n DP x n DE x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ==3y -，1z =-，所以3,1)n =-- ，取平面PDA 的法向量(0,1,0)m = ，则cos ,||||n m n m n m ⋅<>==--r u r r u r r u r ，......................................................................10’设二面角E PD A --为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 13θ=，可得sin θ==所以二面角E PD A --的正弦值为13.................................................................12’20.（1）设）（y x P ,：4122-=+⋅-x y x y ∴)2(1422±≠=+x y x .......................................................................4’（没扣点减1分）（2）设直线l 方程为1+=my x ，),(11y x M ，),(22y x N ，联立可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x my x 得032422=-++my y m ）（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+4342221221m y y m m y y .............................................................................................6’.22)2(2:1111-=∴--=x y y x x y y AM E ，22)2(2:2222-=∴--=x y y x x y y AN G ，()()32242121-=--=x x y y y y G E ...................................................................................8’设定点）（0,t H ，则0=⋅HG HE ，即0)4)(4(=+--G E y y t t ...........................10’∴03)4(2=--t 解得：34±=t 所以定点为）（0,34+和）（0,34-......................................................................12’22.（1）设）（y x P ,，渐近线方程为x a b y ±=，则c bxay d -=1，c bxay d +=2..................................................................3’∴2222222221c b a c x b y a d d =-=⋅.......................................................................6’（2）由题，双曲线方程为1422=-y x ，设α=∠MON ，则212tan =α，∴34tan =α........................................................................................................8’由题可知：1143tan d d BM ==α，2243tan d d AN ==α）（22212183d d S S S S ANP BMP +=+=-∆∆................................................................10’由（1）知5422221==⋅c b a d d ∴5383222121≥+=-）（d d S S ，当且仅当12d d =时等号成立综上：⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈-，5321S S .....................................................................................12’。
辽宁省沈阳市郊联体2018-2019学年高二上学期期末考试文数试题 扫描版含答案
沈阳市郊联体2018－2019学年第一学期期末测试高二数学（文科）试卷标准答案1-5ADAAD 6-10ABDCC 11-12BC13. 14.4 15. 16.①③17.1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件. ……………1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．…………………3分 事件包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．…………………5分∴ ． …………………6分（2）解：由数据，求得，．………………… 8分， ………………… 10分∴ y 关于x 的线性回归方程为．…………………12分18. 解：p ：0<2m <1－m ⇒0<m <31，…………………2分q ：1<55＋m<2⇒0<m <15，…………………4分p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．…………………6分p 假q 真⇒3⇒31≤m <15，…………………8分q 假p 真⇒3⇒m ∈∅.…………………10分∴31≤m <15 …………………12分19[解] (1)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为4030＝0.75，乙样本合格品的频率为4036＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75. 从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.…………………4分(2)2×2列联表如下：χ2＝n1＋n2＋n ＋1n ＋2n11n22－n12n212＝66×14×40×4080×(120－3602≈3.117>2.706，…………………10分所以不能有95％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关． …………………12分20(1)设椭圆方程为a2y2＋b2x2＝1(a ＞b ＞0)，由已知c ＝2，又a c ＝32，解得a ＝3，所以b ＝1，故所求方程为9y2＋x 2＝1.………………4分 (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)，代入椭圆方程整理得(k 2＋9)x 2＋2ktx ＋t 2－9＝0，………………6分 由题意得即＝－1，2kt………………8分解得k ＞或k ＜－.………………10分即直线l 斜率的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．………………12分21.Ⅰ）由于抛物线的焦点为，得到，又得到．椭圆的标准方程为…………………3分（Ⅱ）设的方程为y=kx-1，由题可知，k>0……………4分联立得……………5分所以得,k=1切线方程为…………………6分由，设直线的方程为，联立方程组由，消整理得……………7分设，，应用韦达定理……………8分得，……………9分由点到直线的距离为,……………10分当时，面积最大。
辽宁省沈阳市2022-2023学年高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
辽宁省沈阳市2022-2023学年高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．OA 、OB 、OC共线B ．OA 、OB共线C ．OB 、OC共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【正确答案】D 【分析】根据向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A A C ．4343A A D ．4345A A 【正确答案】D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题．3．ABC ∆的顶点分别为(112)A -，，、(562)B -，，、(131)C -，，，则AC 边上的高BD 的长为（）A ．2B C ．5D ．6【正确答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示运算即可求解.【详解】∵(112)A -，，、(562)B -，，、(131)C -，，，则(450)AB =- ，，，(043)AC =-，，，∵点D 在直线AC 上，∴设(043)AD AC λλλ==-，，，则(043)(450)(4453)BD AD AB λλλλ=-=---=-+-，，，，，，，又∵BD AC ⊥ ，则40(45)4(3)(3)0BD AC λλ⋅=-⨯++⨯+-⨯-=，解得45λ=-.∴912(4453)(4)55BD λλ=-+-=- ，，，，，则5BD == ，故选：C.4．如图所示，设E ､F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =､1EF =，其中正确的命题为（）A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45°B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30°C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45°D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60°【正确答案】A 【分析】将两条异面直线平移至相交，找到异面直线所成的角，求解即可判断选项A ，B ，先求出点1D 到平面1DCB 的距离，然后利用直角三角形中的边角关系求解即可判断选项C ，D ．【详解】解：因为11//EF D C ，所以111B D C ∠是异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒，故选项A 正确，选项B 错误；在三棱锥11D B DC -中，设点1D 到平面1DCB 的距离为h ，则有1111B D DCD DCB V V --=，所以111122223232⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得h ，则直线11B D 与平面1B EF 12=，所以直线11B D 与平面1B EF 所成的角为30°，故选项C ，D 错误．故选：A ．5．在50的展开式中有理项的项数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】A 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，可得当50r -为偶数，且r 能被3整除时，展开式为有理项，从而得出结论．【详解】解：50 的展开式的通项公式为50150(rr r r T C -+=⋅⋅，故当50r -为偶数，且r 能被3整除时，即0r =，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项，故选：A ．6．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A ．221x y +=或22165x y +=B ．221x y +=或2237x y +=C ．22165x y +=或224x y +=D ．224x y +=或2237x y +=【正确答案】B 【分析】求出圆心到直线AC 的距离，比较得出圆心到三边距离的最小值，求出圆心到三顶点的距离，比较得最大值，可得唯一公共点坐标，从而得所求圆方程．【详解】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=点O 到直线240x y +-=的距离1d =>，又OA ==OB ==，OC =则以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则公共点为(01)-，或(61)-，，故圆的半径为1，则圆的方程为221x y +=或2237x y +=，故选：B.7．已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．175B ．115C ．3D 【正确答案】A 【分析】由抛物线定义，把12d d +转化为抛物线的焦点到直线3490x y -+=的距离加1求解即可．【详解】解：如图，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，由抛物线定义可知，抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离1||1d PF =+，又P 到直线3490x y -+=的距离为2d ，12d d ∴+的最小值为17||115MF +==．故选：A ．8．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A ．53B C D ．94【正确答案】B 【分析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为'F ，AF m=，连接','AF CF 则2FC m =，'2AF a m =+，'22CF a m =+，'2FF c =因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O 所以四边形'FAF B 为矩形在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =，代入()()()2222+3=22a m m a m ++化简得23a m =所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得22179c a =，即173e =所以选B本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．过点(23)P ，，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -=D ．4250x y -+=【正确答案】AC 【分析】设出直线的点法向式方程为(2)(3)0A x B y -+-=(A 、B 不同时为0)，先讨论0A =或0B =均不合题意，即0AB ≠，然后求出横纵截距，由两截距相等得出AB，代入即得直线方程．【详解】设所求直线方程为(2)(3)0A x B y -+-=(A 、B 不同时为0)，显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意，故A 、B 均不为0，当0x =时，23A y B=+，当0y =时，32Bx A =+，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则2332A BB A+=+，令Az B =，则3232z z+=+，整理，得2230z z +-=，解得1z =，或32z =-，则0A B =≠，或302A B =-≠，故所求直线方程为50x y +-=或320x y -=，故选：AC.方法点睛：本题考查直线的截距问题．在不学直线的点法向式方程的地区，一般直线在坐标轴的两截距相等，可分类讨论，分截距为0和截距不为0两类，截距为0时设直线方程为y kx =求解，截距不为0时设直线方程为x y a +=求解．两截距一个是另一个倍数问题也一样．10．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的有（）A ．AD 与BC 所成的角为30°B ．AC 与BD 所成的角为90︒C ．BC 与面ACD 所成角的正弦值为3D ．平面ABC 与平面BCD【正确答案】BD 【分析】以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值.【详解】取BD 的中点O ，连接,AO CO ，则AO BD ⊥，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，故平面ABD ⊥平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD .∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设1OC =，则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -，∴(0,1,1)BA = ，(0,1,1)AD =-，(1,1,0)BC = ，(1,0,1)AC =-，(0,2,0)BD = .∵1cos ,2||||AD BC AD BC AD BC ⋅〈〉===，因为[],0,AD BC π〈〉∈ ，故,3AD BC π〈〉= ，∴异面直线AD 与BC 所成的角为60°，故A 错误；∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故B 正确；设平面ACD 的法向量为(,,)t x y z =，则0,0,t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩取1z =，得1,1x y ==，∴(1,1,1)t =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||BC t BC t BC t θ⋅=〈〉===⋅C 错误；易知平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z '''=，则0,0,m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=''''+=⎩取1x '=得1,1y z ''=-=，∴(1,1,1)m =-，设两个平面的夹角为α（α为锐角），则||cos cos ,3||||m n m n m n α⋅=〈〉==⋅，故sin α=tan α=.∴平面ABC 与平面BCD，故D 正确.故选：BD.本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题.11．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（）A ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128B ．展开式中所有项的系数和为82C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448-【正确答案】ACD 【分析】在()821x -的展开式中，利用奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，等于72，可得A 正确；求所有项的系数之和的方法是令1x =，可得B 错误，二项式系数最大的为48C ，为第5项，可得C 正确；利用二项展开的通项公式找到3x 项，可得D 正确.【详解】在()821x -的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为812128-=，故选项A 正确；令1x =，得所有项的系数和为()8211-=，故选项B 错误；展开式中二项式系数最大的为48C ，它是展开式中的第415+=项，故选项C 正确；展开式中含3x 项的为()()3553821448C x x -=-，系数为448-，故选项D 正确.综上可知，ACD.故选：ACD.12．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（）A ．AF +BF 为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【正确答案】AD 【分析】根据椭圆的定义可求AF BF +的值，结合三角形的边长关系可判断ABF 周长的取值范围，计算0BA BF ⋅<可判断ABF 不是直角三角形，计算AB ，利用面积公式可求ABF 的面积.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF'=∴=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，∴AB 的范围是()0,6，∴ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B ，又∵)F，∴(·60BA BF ⋅=-=-<，∴ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A ，)B ，∴112ABFS=⨯=D 正确．故选：AD 三、填空题13．已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【正确答案】6【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．14．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，1OA →表示1OC →，则1OC →=______.【正确答案】1AB AD OA →→→++【分析】如图，连接11A C ，利用空间向量的线性运算求解.【详解】如图，连接11A C .由题得1OC →=111111=+OA A C OA AC OA AB AD AB AD OA →→→→→→→→→→+=+=+++.故1AB AD OA →→→++15．某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）【正确答案】16【分析】本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.【详解】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有12242612C C ´=´=种；若在物理、历史两门科目中选两门，则有2124144C C ´=´=种，则共有41216+=种，故答案为.16本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为______.【正确答案】(]1,2【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离2ad c=，根据圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得1d ，求解可得双曲线的离心率的取值范围．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=，0(P x ，0)y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，则直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离2ad c==， 圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，1d ∴ ，即21ac ，得2c e a= ，又1e >，e ∴的取值范围为(1，2]，故(1，2]．四、解答题17．已知()72701271mx a a x a x a x +=++++ 中，且335a =-.（1）求m 的值；（2）求1357a a a a +++的值.【正确答案】（1）1-；（2）64.【分析】（1）由二项展开式的通项公式直接建立方程33735C m =-，解出m ；（2）利用赋值法：令1x =和-1得到方程组，联立即可解得.【详解】()71mx +的二项展开式的通项公式为：17r r rr T C m x +=，（1）因为7i i i a C m =，0,1,2,3,7i =⋅⋅⋅，依题意得：33735C m =-，所以31m =-，得1m =-.（2）()72701271x a a x a x a x -=+++ 令1x =得.()701234567110a a a a a a a a +++++++=-=①令1x =-得.()7701234567112a a a a a a a a -+-+-+-=+=②由①-②得：()7135722a a a a +++=-，即613572a a a a +++=-.所以61357264a a a a +++==18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，13AC BC CC ===，113AE AA =，1113C F CC =.（1）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值；（2）求二面角11A FB A --的余弦值.【正确答案】（1）11；（2）77.【分析】（1）根据线面垂直关系，建立如图空间直角坐标系，直接利用直线的方向向量求线线角即可得解；（2）利用空间直角坐标系，求得两面的法向量，利用向量夹角公式，即可得解.【详解】（1）∵1CC ⊥底面ABC ，∴111CC C A ⊥，111CC C B ⊥，∵BC AC ⊥，∴1111C B C A ⊥，于是以1C 为原点，11C A ，11C B ，和1CC 所在直线分别为x ､y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0C ，()13,0,0A ，()3,0,3A ，()10,3,0B ，()0,0,1F ，∴()13,0,3C A = ，()13,0,1A F =-，()113,3,0A B =- ，设平面11A FB 的法向量为(),,m x y z = ，则11100m A F m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，3z =，∴()1,1,3m =，设直线1AC 与面11A FB 所成的角为α，则111sin cos ,11m C A m C A m C Aα⋅====⋅.故直线1AC 与面11A FB所成角的正弦值为11.（2）由（1）可知，()3,0,2AF =--，()13,3,3AB =-- ，设平面1AFB 的法向量为()111,,n x y z = ，则100n AF n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113203330x z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，令12x =，则11y =-，13z =-，()2,1,3n =--，∴cos ,77m n m n m n⋅===-⋅.由题可知，二面角11A FB A --为锐二面角，故二面角11A FB A --.本题主要考查在空间直角坐标中利用向量求线线角和二面角的大小，计算量较大，属于中档题.本题的关键点有：（1）在用向量求线线角时，注意线线角的范围；（2）在用求面的法向量时，注意利用赋值法求法向量，并使数据相对简单.19．已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0).（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【正确答案】（1）12a >；（2）33y x =-【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积S ，当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线l 与0l 的方程，求出点A 的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出S 的最小值，及此时直线方程.【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，不能构成AOB ，此时322BP k a==-，解得：12a =，所以12a ≠，又因为点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 再第一象限内交于点A ，所以12a >.（2）当直线l 的斜率不存在时，即()2,0B ,()2,4A ，此时12442S =⨯⨯=,当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x =-+，由于直线的斜率存在，所以12a >，且2a ≠，又32BP k a=- ，2k ∴>或0k <，由()232y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得3264,22k k x y k k --==--，即3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=--，即()()2412290S k S k ---+=，当40S -≠时，()()21223640S S ∆=---≥，整理得()30S S -≥，得3S ≥，即S 的最小值为3，此时2690k k -+=，解得：3k =，则直线l 的方程为()32333y x x =-+=-即33y x =-本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.（1）求证：//AN 平面PBC ；（2）在直线PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 出DMDP的值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，23DM DP =或127DM DP =.【分析】（1）取PC 的中点E ，连接BE ，NE ，先证四边形ABEN 为平行四边形，可得//BE AN ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）取CD 的中点F ，连接AF ，证得AB AF ⊥后，以A 为原点建立空间直角坐标系，设DM DP λ=，求得平面PBC 的法向量n|cos CM < ，|n > 列得关于λ的方程，解之即可．【详解】（1）证明：取PC 的中点E ，连接BE ，NE ，N Q 为PD 的中点，////NE CD AB ∴，12NE CD AB ==，∴四边形ABEN 为平行四边形，//BE AN ∴，又BE ⊂平面PBC ，AN ⊂平面PBC ，//AN ∴平面PBC ．（2）解：取CD 的中点F ，连接AF ，则//AB CF ，12AB CF ==，∴四边形ABCF 为平行四边形，又AB BC ⊥，∴四边形ABCF 为矩形，即AB AF ⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，PA AB ∴⊥，PA AF ⊥，故以A 为原点，AF ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，D 1-，0)，设DM DP λ=，则M -，1λ-，)λ，∴(CM =-，2λ-，)λ，(0PB = ，1，1)-，PC =1，1)-，设平面PBC 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y z y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =，则0x =，1z =，∴(0n =，1，1)，CM 与平面PBC所成角的余弦值为26，∴|cos CM <，|||||||CM n n CM n ⋅>==⋅，化简得，22150240λλ-+=，解得23λ=或127，∴直线PD 上存在点M 满足题意，且23DM DP =或127．21．已知动点M 到定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到x 轴距离大14，（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）过F 作互相垂直的直线l 与m 交轨迹()0C y ≥于P ､Q 两点及S ､T 两点，A ，B 分别是弦PQ ､ST 的中点，当1AB =时，求直线l 与m 的方程.【正确答案】（1）()()2000y y x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩；（2）方程是14y x =+和14y x =-+或14y x =-+和14y x =+.【分析】（1）设出M 的坐标，然后根据已知建立方程化简即可求解；（2）由题意分别设出直线l ，m 的方程，联立直线l 与抛物线的方程，求出点A 的坐标，同理求出B 的坐标，然后求出|AB |，令其为1，化简即可求解．【详解】解（1）法1：设点(),M x y 14y =+化简得21122x y y =+，则点M 的轨迹方程是()()2000yy x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.方法2：已知点M 到定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到x 轴距离大14，由于点F 到x 轴的距离为14故当0y <时直线0x =上的点适合条件；当0y ≥时，M 到F 的距离等于到直线14y =-的距离，故轨迹方程为抛物线2x y=综上：点M 的轨迹方程是()()2000y y x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，l ：14y kx =+代入2x y =得2104x kx --=210k ∆=+>，12x x k +=，212121142224A A x x k k x x x y +=-⇒==⇒=+，∴21,224k k A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭同理∴2111,224B k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭则222422421111140AB k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==⇒+++=⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21k =，1k =±，则直线l 与m 的方程是14y x =+和14y x =-+或14y x =-+和14y x =+.易错点睛：求解点到点的距离与点到直线的距离是都得带上绝对值，否则容易出错，所以本题中需要出现两种情况讨论.22．已知曲线1C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2C：2y =，1C 的一个焦点在2C 的准线上.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，若过点1F 的直线l 与曲线1C 的y 轴左侧部分(包含1C 与y 轴的交点)交于A ，B 两点，直线2AF 与曲线2C 交于C ，D 两点，直线2BF 与曲线2C 交于E ，F 两点，试求CD EF +的取值范围.【正确答案】（1）22163x y +=；（2）⎡⎣.【分析】（1）由待定系数法求出曲线1C 的方程；（2）设直线l：x ty =，由题意知[]1,1t ∈-，用设而不求法表示出直线2AF 、2BF 的斜率，进而表示出弦长CD EF +为关于t 的函数，求出范围即可.【详解】（1）由题知，抛物线2C的准线为x =1C的一个焦点为()，∴c =又∵短轴长为b =2226a bc =+=，∴椭圆1C 的方程为22163x y +=.（2）由（1）知()1F，)2F .设直线l：x ty =-，过点(时，1t =；过(0,时，1t =-；由题意知[]1,1t ∈-.联立方程221,63x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22230t y +--=.设()11,A x y ，()22,B x y，则122122232y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设直线2AF 的斜率为1k ，直线2BF 的斜率为2k ，1k ==，2k ==∴12218k k t ⋅==-，12121212121126ty ty y y t t k k y y y y ⎫--++=+=-=⎪⋅⎭.设直线2AF ：(1y kx =，联立方程(12y k x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得)2222111230k x k x k -++=.设()33,C x y ，()44,D x y ，则)2134212k x x k ++=，223421111,CD CF DF x x k ⎫=+=++==+⎪⎭同理2211EF k ⎫=+⎪⎭.∴2212112CD EF k k ⎫+=++⎪⎭()2221212112223628t t k k k k ⎤⎛⎫⎤⎥=++-=+-- ⎪⎦⋅⎥⎝⎭⎣⎦)2179t =+.∵[]1,1t ∈-，∴[]20,1t ∈，∴CD EF ⎡+∈⎣.（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求法”一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学（文）试题一、单选题 1．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.2．命题3:2,80p x x ∀≤->的否命题为 A ．32,80x x ∀≤-≤ B ．32,80x x ∃≤-≤ C ．32,80x x ∀>-≤ D ．32,80x x ∃>-≤ 【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，将∀改为∃，并将结论加以否定，因此原命题的否定为32,80x x ∃>-≤ 【考点】全称命题与特称命题3．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．4．若椭圆222516x y +=1与双曲线2225x y a -1有共同的焦点，且a ＞0，则a 为（ ） A ．2 B ．14C ．46D ．6【答案】A【解析】由椭圆标准方程中222a b c =+与双曲线标准方程中222c a b =+即可求解. 【详解】椭圆与双曲线有相同的焦点， 则225165a -=+，解得2a =±， 又0a >，所以2a =. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线标准方程中,,a b c 之间的关系，需熟记椭圆中222a b c =+，双曲线中222c a b =+，属于基础题5．设M 为椭圆221259x y +=上的一个点， 1F ,2F 为焦点, 1260F MF ∠=o ，则12MF F ∆的周长和面积分别为 （ ） A ．16， 3 B ．18， 3 C ．16， 33 D ．18， 33【答案】D【解析】试题分析：，，所以12MF F ∆的周长为,根据余弦定理：,即,所以，故选D.【考点】椭圆的几何性质 6223+=223338+=3384415+=415…7a t +=7t（a ，t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t ﹣a ＝（ ） A ．41 B ．51C ．55D ．71【答案】A【解析】观察所给的等式，得出规律，写出结果即可. 【详解】223+=23338+=384415+=415…， 照此规律，第6个等式中：7a =，2148t a =-= 41t a ∴-=故选：A 【点睛】本题主要考查类比推理，解题的关键是观察出前几项的规律，属于基础题.7． 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12 C ．23D ．34【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距2224b bc =+12c e a ⇒==，故选B. 【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离222142b c e a b c =⇒==+，利用方程思想和数形结合思想建立方程2224b b c =+是本题的关键节点.8．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 【考点】1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）A ．7B ．12C ．17D ．34【答案】C【解析】第一次循环： ；第二次循环：；第三次循环：；结束循环，输出，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．双曲线221y x m-=2的充分必要条件是（ ） （A ）12m >（B ）1m ≥ （C ）1m >（D ）2m >【答案】C【解析】由双曲线的方程可知，21,,1a b m c m ===+12m +>1m >.【考点定位】本小题考查了双曲线的方程，考查了离心率的概念和计算.11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号1 2 3 4 5 6 7 8 910立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）63a75606372701a -b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由题意得1-8有6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，所以当59a ≤时,1,3,4,5,6,7号6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，1去掉A,C; 同理9号学生不一定进入30秒跳绳决赛，所以选B.12．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。
辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试题 含答案 精品
辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足i i z +=∙1，则=z （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --12.抛物线ay x =2的准线方程为1=y ，则a 的值为（ ） A ．21-B ．2-C ．41- D ．4- 3.已知命题01,:2≥+-∈∃x x R x p ，命题:q 若22b a <，则b a <下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∨⌝D ．q p ⌝∧⌝4.过点()03，的直线与双曲线1422=-y x 有唯一公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条5.《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺．以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出=n （ ）A ．2B ．4 C.6 D ．86.以下四个命题，其中正确的是( )A.由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；B.两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0；C.在线性回归方程122.0+=∧x y 中，当变量x 每增加一十单位时，变量∧y 平均增加0.2个单位；D.线性回归方程对应的直线∧∧∧+=a x b y 至少经过其样本数据点中的一个点.7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示.21,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，2221,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）A ．222121s s x x <>， B ．222121s s x x <=， C.222121s s x x ==，D ．222121s s x x <=，8.过点()22-，且与双曲线1222=-y x 有共同渐近线的双曲线方程是（ ）A ．14222=-x yB ．12422=-y x C.12422=-x y D ．14222=-y x 9.椭圆191622=+y x 中，以点()2,1-M 为中点的弦所在的直线斜率为（）A ．169B ． 329C ．649 D ．329-?10．已知F E ,分别是双曲线的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对称点P 恰好落在以1F 为圆心、1OF 为半径的圆上,则双曲线的离心率为（）A ．3B ．3 C. 2 D ．211.若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意点，则∙的最大值为( )A ．2B ．3 C.6 D ．812. 如图所示，过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线l ，交抛物线于点B A ,．交其准线'l 于点C ，若BF BC 2=,且3=AF ，则此抛物线的方程为（）A ．x y 92=B ．x y 62= C.x y 32= D ．x y 32=第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．双曲线19422=-y x 的焦距为________． 14.有一个游戏，将标有数字l ，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有l 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为______ ．15.已知点P 为抛物线x y C 42=：上一点，记P 到此抛物线准线l 的距离为1d ，点P 到圆()()44242=+++y x 上点的距离为2d ，则1d 2d +的最小值为．16.下列说法中①命题“己知R y x ∈,，若3≠+y x ，则2≠x 或1≠y ”是真命题； ②命题“若p ,则q ”的否命题为“若q ，则p ”； ③若b a >，则ba q 11:<； ④命题“1,200=∈∃x R x ”的否定为“1,2≠∈∀x R x ”. 正确说法的序号是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题:A 方程11522=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题B ：实数t 使得不等式0432<--t t 成立.（1）若命题A 中的椭圆的离心率为36，求实数t 的值； （2）命题A 是命题B 的什么条件.18.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.(1)求d c b a ,,,的值．(2)该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.19.己知关于x 的一次函数n mx y +=(1)设集合{}3,2,1,1,2--=P 和{}3,2-=Q 分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数n mx y +=是增函数的概率；(2)实数n m ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤-+111101n m n m 求函数n mx y +=的图象经过一、二、三象限的概率.20.己知抛物线y x C 4:2=的焦点为F ，准线与y 轴的交点为Q ，过点Q 的直线l ，抛物线C 相交于不同的B A ,两点.(1)若154=AB ，求直线l 的方程；(2)若点F 在以AB 为直径的圆外部，求直线l 的斜率的取值范围.21.已知21,F F 分别是椭圆()01:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，离心率为21，N M ,分别是椭圆的上、下顶点，222-=∙NF MF . (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m kx y +=与椭圆E 交于相异两点B A ,，且满足直线MB MA ,的斜率之积为41，证明：直线AB 恒过定点，并采定点的坐标.22.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 225223（t 为参数），在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=（1）求圆C 的直角坐标方程：（2）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为()53，，求PB PA +.试卷答案一、选择题1-5:ADBBD 6-10: CDABC 11、12：CC二、填空题13．错误！未找到引用源。
辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含解析
2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆22169x y +=的短轴长为（）A ．B ．C ．3D ．62．5(1)x -的展开式中含2x 的项是（）A ．25x-B ．25xC ．210x -D ．210x3．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,,1A B C t ----，若,,A B C 三点共线，则t 的值为（）A ．2-B ．7-C ．10D ．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A ．3256种B ．27种C ．3255种D ．6种5．若双曲线221412x y -=上一点P 到其右焦点的距离是8，则点P 到其左焦点的距离是（）A ．4B ．10C ．2或10D ．4或126．已知(61a -=+,a b 均为有理数），则a 的值为（）A ．90B ．91C ．98D ．997．已知抛物线2:4E y x =，圆22:2C x y x +=，过圆心C 作斜率为k 的直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为,,,A M N B ，若2AM NB MN +=，则k 的值为（）A ．B ．C ．2±D ．28．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A ．90种B ．120种C ．160种D ．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线:2210l x y ++=，则（）A ．()1,1m =-是直线l 的法向量B ．直线l 的倾斜角为135︒C ．直线1:0l x y n --+=与直线l 平行的充要条件是12n ≠D ．直线l 在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C -，则（）A ．5AB BC ⋅=-B ．AC =C ．异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为1530D ．OB 在BC 上的投影的数量为1411．已知()62370123732(1)x x a a x a x a x a x -+=+++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =-B ．385a =C ．2370123722222916a a a a a +++++= D ．135732a a a a +++=12．离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>为顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．长轴长为4，短轴长为52-B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆221:(2)(1)4O x y +++=和圆222:(1)(3)9O x y -+-=的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形ABCDEF 中，以,F C 为焦点，且经过点,,,A E B D 的双曲线的离心率e =______．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是过顶点11,,,B D D B 的圆上的一点，Q 为1CC 的中点．当直线PQ 与平面ABCD 所成的角最大时，点P 的坐标为______；直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）如图，,M N 分别是四面体O ABC -的棱,OA BC 的中点，,P Q 是MN 的三等分点（点P 靠近点N ），记,,AO a AB b AC c ===．（1）以{},,a b c为基底表示OQ ；（2）若1,2,,32a b c OAB OAC CAB ππ===∠=∠=∠= ，求OQ ．19．（12分）圆22:8O x y +=内有一点()01,2P ，过点0P 的直线交圆O 于,A B 两点．（1）当0P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的一般式方程；（2）若圆O 与圆22:(1)(1)9C x y +++=相交于,E F 两点，求EF 的长度．20．（12分）已知2nx x ⎛+ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，AD BC ∥且2,,AD BC AD CD EG AD =⊥∥且,EG AD CD FG =∥且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的平面角的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．22．（12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)6,0F，其渐近线与抛物线2C ：22y px =交于点(2．（1）求双曲线1C 及抛物线2C 的标准方程；（2）设A是双曲线1C与抛物线2C在第一象限的交点，作直线l与双曲线1C的两支分别交于点,M N，使得 ．求证：直线MN过定点．AM AN2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 【解析】在椭圆22169x y +=中，b =，所以短轴长为2b =．2．C【解析】5(1)x -的展开式的通项公式为515C (1)k kk k T x-+=⋅⋅-，所以含2x 的项是323245(1)10T C x x =⋅⋅-=-．3．B 【解析】因为()()2,5,3,4,3,6AB AC t =--=-- ，且,,A B C 三点共线，所以352t -=-⨯，解得7t =-．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256256⨯⨯=（种）不同的颜色．5．D 【解析】由双曲线的方程可得224,12a b ==，所以22,41216a c ==+=，可得4c =．设右焦点为F ，左焦点为F '．当点P 在左支上时，则6PF a c ≥+=，所以28224PF PF a =-=-⨯='；当点P在右支上时，282212PF PF a =+=+⨯='．6．D【解析】因为(61-的展开式的通项公式为616C (,(1kk k T a +=⋅-=+，所以(((2462466666C C C C 99a =+⨯+⨯+⨯=．7．A 【解析】如图，圆22:(1)1C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r=，且(1,0)C 为抛物线2:4E y x=的焦点，抛物线E的准线方程为1x =-．设()()1212,,,A y B x y x ，则1212112AB AC BC x x x x =+=+++=++．因为24AM NB MN +==，所以6AB =，则124x x +=．设直线l 的方程为()1y k x =-，显然0k ≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，所以2122244k x x k++==，解得k =．8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有216C 120=（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD 【解析】A ：直线:2210l x y ++=的一个法向量为()2,2，但()1,1m =-与向量()2,2不共线，A错误；B ：直线:2210l x y ++=的斜率为1-，故倾斜角为135︒，B 正确；C ：把直线1:0l x y n --+=的方程改写为2220x y n +-=，则直线1l ，l 平行的充要条件是21n -≠，即12n ≠-，C 错误；D ：直线:2210l x y ++=在,x y 轴上的截距分别是11,22--，D 正确．故选：BD ．10．AC 【解析】A ：()()1,1,2,1,2,3AB BC =--= ，所以1265AB BC ⋅=-+-=-，A 正确；B ：()0,3,1AC = ，所以09110AC =++=B 错误；C ：()1,1,2OB =- ，所以1146OB =++=，所以异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为03215cos ,30610OB AC OB AC OB AC⋅==⨯⋅，C 正确；D ：14914BC =++= ，所以OB 在BC 上的投影的数量为1263141414OB BC BC⋅==-，D 错误．故选：AC ．11．ACD【解析】A ：令0x =，得()0212a =-⨯=-，A 正确；B ：6(1)x +的展开式的通项为()16C 0,1,2,,6k kk T x k +== ，所以233415,20T x T x ==，所以()632(1)x x -+的展开式中3x 项的系数()33152205a =⨯+-⨯=，B 错误；C ：令2x =，得()2376012372222322(12)2916a a a a a +++++=⨯-⨯+= ，C 正确；D ：令1x =，得()60127312(11)64a a a a ++++=⨯-⨯+= ．令1x =-，得01270a a a a -+--= ．两式相减，得()1357264a a a a +++=，所以135732a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．12．BD【解析】A ：当长轴长为4，短轴长为2-时，512,12a b a b e a-==-⇒==≠，A 不符合题意；B：当11290F B A ∠=︒时，2111211121tan tan OB OFB A A F B O b ac OA OB ∠==∠=⇒=，即222510102a ac c e e e ---=⇒--=⇒=，B 符合题意；C：当1PF x⊥轴，且21PO A B ∥时，21b PF a ==，且11121121tan tan OB PF B A A FOP b c a OA OF ∠==∠=⇒=⇒=，则25122c e a -==≠，C 不符合题意；D ：当四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 时，点O 到直线22A B 的距离为c ，此时42221sin 310cB A A e e e a∠===⇒=⇒-+=，解得2352e =．又2310122e e e --<<⇒=⇒=，D 符合题意．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知()()1212,1,1,3,2O O r --=，23r =，所以12125O O r r ===+，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有55120A =（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有1444C A 96=（种），所以不同的排法共有12096216+=（种）．151+【解析】设正六边形ABCDEF 的半径为r ，如图，连接,FC DF ，则,2DC r FC r ==．又90CDF ∠=︒，所以DF =．依题意，双曲线的实轴长)21a DF DC r =-=-，焦距22c FC r ==，所以该双曲线的离心率212c e a ===．16．1)+150,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】过点O 作11B D 的垂线并延长，交 11B D 于点E ，易得()()0,2,1,1,1,1OE Q E =，所以(1,QE =-．由图可知当点P 在点E 的位置时，直线PQ 与平面ABCD所成的角最大．易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线QE 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,5QE nQE n QE nθ⋅===⋅，即直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为155．当PQ ∥平面ABCD 时，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值最小，为0，所以直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是150,5⎡⎢⎣⎦．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为()3266C C 1m m m -=≠，所以326m m +-=，解得2m =，所以1231236678778C C C C C C C mm m m m m m +++++++++=++2388C C m m ++=+39C m +=59C =126=．（2）由72343C 5A x x x ---=，得()()()()33!54!7!4!6!x x x x --=--，即()()33654!x x --=，所以()()3640x x --=，解得1211,2x x ==-（舍去），所以原方程的解为11x =．18．解：（1）OQ OM MQ =+()1123AO MA AB BN=-+++()11112322a a b c b ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦211366a b c =-++ ．（2）2222411221936369918OQ a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅41121211112093699292=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+14=，所以12OQ = ．19．解：（1）直线AB 的斜率显然存在．因为0P 为弦AB 的中点，由垂径定理得0OP AB ⊥．又因为020210OP k -==-，所以12AB k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理，得直线AB 的一般式方程为250x y +-=．（2）228x y +=与22(1)(1)9x y +++=相减，得2210x y ++=，所以直线EF 的方程为2210x y ++=．圆心()0,0O 到直线EF的距离24d ==．由垂径定理得EF的长度为2==．20．解：（1）由题意，得264n =，解得6n =，所以该二项式为62x ⎛+ ⎝，则通项公式为：36662166C (2)C 2k k k k k k k T x x ---+==．令3602k -=，解得4k =，所以该二项式的展开式中的常数项为42416C 260T +==．（2）设第1k +项的系数最大，则6176661566C 2C 2,C 2C 2,k k k k k k k k ----+-⎧≥⎨≥⎩解得4733k ≤≤，则2k =，所以展开式中系数最大的项为2433216C 2240T x x +==．21．解：（1）法一：如图1，取DG 的中点为Q ，连接,NQ MQ ．又因为,M N 分别为,CF EG 的中点，所以,MQ CD NQ DE ∥∥．因为,CD DE ⊂平面,,CDE MQ NQ ⊄平面CDE ，所以MQ ∥平面,CDE NQ ∥平面CDE ．又因为,,MQ NQ Q MQ NQ =⊂ 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面CDE ．因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面CDE．图1图2法二：以D 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2D A B C E ，()()()30,1,2,0,0,2,1,0,2,0,,12F G N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()()0,2,0,2,0,2DC DE == ．设平面CDE 的法向量为()0000,,n x y z = ，则0000020,220,n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令01z =-，得()01,0,1n =- ．31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00MN n ⋅= ，即0MN n ⊥ ．又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=- ．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,220,n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1z =，得()0,1,1n = ．设平面BCF 的法向量为(),,m a b c = ，则0,20,m BC a m CF b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1c =，得()0,2,1m = ．设二面角E BC F --的平面角为θ，显然θ为锐角，所以二面角E BC F --的平面角的余弦值为310cos 10m n m n θ⋅===，则二面角E BC F --的平面角的正弦值为sin 10θ==．（3）设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()1,2,BP t =-- ．平面ADGE 的一个法向量为()10,1,0n = ．因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，所以12cos ,2n BP ==，解得t =．则(DP = ．由（1）知平面CDE 的一个法向量为()01,0,1n =- ，所以点P 到平面CDE的距离002n DPd n ⋅== ．22．解：（1）双曲线1C 的渐近线方程为b y x a =±．因为)F ，双曲线1C的渐近线过点(，所以226,b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩则双曲线1C 的标准方程为22124x y -=．由抛物线2C过点(，得22p =，则抛物线2C 的标准方程为22y x =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+．联立221,24,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()2222240k x kmx m ----=，则()()()222222Δ44248420k m k m m k =--+=+->，212122224,22km m x x x x k k --+==--，所以()12122422m y y k x x m k+=++=-，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++22222224222m k m k m k k --=⋅++--222242m k k-=-．联立2222,24,y x x y ⎧=⎨-=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=±⎩所以()()()11222,2,2,2,2,2A AM x y AN x y =--=-- ．由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，即()()()()12122222AM AN x x y y ⋅=--+-- ()()12121212228x x y y x x y y =+-+-++222222242448802222m m k km m k k k k---=+--+=----．整理，得221248120k km m m +-+-=，即()()22660k m k m +--+=．显然()2,2A 不在直线MN 上，即220k m +-≠，所以660k m -+=，满足Δ0>，所以直线MN 的方程为()6666y kx k k x =++=++，。
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题 (2)(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量()1,1,0a =r ，则与a同向共线的单位向量e = （）A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,1,0--【正确答案】C【分析】先求得a 的模，再根据与a同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量(1,1,0)a =，所以a =所以与a 同向共线的单位向量为：a e a== ，故选：C.2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)D X =（）A ．10B ．30C ．15D ．5【正确答案】A【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.【详解】由随机变量满足二项分布1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()1110151339D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以210(3)3()9109D X D X ==⨯=.故选：A.3．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．1y =B ．4350x y --=C ．1y =或3450x y --=D ．1y =或4350x y --=【正确答案】D【分析】设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论．【详解】解：由题意可设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，∴圆心到直线l 的距离1d ==，2340k k ∴-=，0k ∴=或43k =，∴切线l 的方程为1y =或4350x y --=．故选：D4．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（）A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种【正确答案】D【分析】考虑3，1，1和2，2，1两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.【详解】3，1，1阵型：1333C A 18=；2，2，1阵型.233318C A =甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有33A 6=个结果，36630-=.故选：D.5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅等于（）A B ．28a C ．24D ．24a 【正确答案】D【分析】根据给定条件探求出EF FG ⊥，再借助向量积计算作答.【详解】因空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，则60CAB CAD ∠=∠= ，22()cos 60cos 600AC BD AC AD AB AC AD AC AB a a ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= ，即AC BD ⊥uuu r uu u r ，因E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则有//,//EF BD AC GF ，即有EF FG ⊥，EF FG ⊥，而2a EF FG ==，则45EGF ∠=，22cos 45||4a GE GF GE GF GF ⋅=== ，所以GE GF ⋅ 等于24a .故选：D6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，2AC =，12AA =点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE 与1C F所成角的余弦值为（）A ．32B ．12-C ．32D ．12【正确答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C FBE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =，得2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC = ，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C C CF =+= 11(0,0,2),0,0,0,222⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，2)BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111132122cos ,321424BE C FBE C F BE C F-⋅===⋅⨯+．故选：D ．7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.05【正确答案】A【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.02⨯99%0.0198=，当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.98⨯5%0.049=，随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.01980.0490.0688+=，故选:A.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F l '与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则||||=NQ QF （）AB C ．3D ．2【正确答案】D【分析】设出直线MF ，与抛物线联立，可求出M 点坐标，在利用抛物线的定义可得2M pMN NF MF x ∴===+，再利用抛物线的对称性求出FQ ，则||||NQ QF 可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线2:2(0)C y px p =>，得(,0)2pF ，则:)2p MF y x =-，与抛物线22y px =联立得22122030x px p -+=，即()()6230x p x p --=，解得3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=60NMF ︒=∴∠，又MN MF=则NMF 为等边三角形22M pMN NF MF x p ∴===+=，60OFA NFO ︒=∠=∠，由抛物线的对称性可得6Q A p x x ==，24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=故选：D.二、多选题9．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（）A ．2BC ．3D 【正确答案】AD【分析】设双曲线的方程为22221x y a b-=得渐近线方程为b y x a =±，根据双曲线的对称性可得b y x a =的倾斜角为6π或3π，即可得b a 的值，由公式c e a ==.【详解】设双曲线的方程为22221x y a b-=，渐近线方程为：b y x a =±，根据双曲线的对称性可知：by x a =的倾斜角为6π或3π当b y x a =的倾斜角为6π时，可得tan 6b a π==，所以3c e a ==，当by x a =的倾斜角为3π，可得tan 3b a π=所以2c e a ===，所以离心率为2故选：AD.10．在二项式()814x -的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第5项的二项式系数最大B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为72【正确答案】ABD【分析】由二项式系数的性质可判断A ；令1x =，可得所有项的系数和，可判断B ；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为81722-=，可判断C ，D【详解】选项A ：二项式()814x -展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故A 正确；选项B ：令1x =，可得所有项的系数和为88(431)-=，可知B 正确；选项C ：所有奇数项的二项式系数和为81722-=，C 错误；选项D ：所有偶数项的二项式系数和为81722-=，D 正确.故选：ABD11．若圆221:(1)2C x y ++=与圆222:(1)(1)1C x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．MN 所在直线的方程为210x y +-=B ．MN 的中垂线的方程为210x y -+=C ．||MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是2C 【正确答案】AB【分析】两圆方程相减得直线MN 的方程判断A ，两圆连心线为弦MN 中垂线，求出其方程，判断B ，由圆的性质求出弦MN 的长判断CD ．【详解】由题意两圆方程相减得210x y +-=，此为直线MN 的方程，A 正确；1(1,0)C -，2(1,1)C ，121011(1)2C C k -==--，12C C 方程是1(1)2y x =+，即210x y -+=，此为MN的中垂线的方程，B 正确；2C 到直线MN 的距离为d =MN =C 错；过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是以线段MN 为直径的圆，而12MN <，D 错．故选：AB ．12．在平面直角坐标系xOy 中，方程22x y +=对应的曲线为E ，则（）A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线ED ．曲线E 上的点到直线4x y +=距离的最小值为8【正确答案】ABD【分析】对于选项A ，作出曲线E2y +=的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D ，结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A ，作出曲线E2y +=的图象，由图可知曲线E2y +=2y +=与x 轴正半轴的交点坐标为)，与y 轴正半轴的交点坐标为()0,2，所以围成的面积为1422⨯=A 正确；对于选项B ，因为点(),x y -，点(),x y -均满足方程，则可得到曲线E 关于原点中心对称，所以选项B 正确；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到原点的距离的平方为22xy +，且2222217722244x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即曲线E上的点到原点距离的最小值为，故选项C 错误；对于选项D ，曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到直线4x y +=距离为221724x d ⎛⎫-+ ⎪=≥D 正确；故选：ABD三、填空题13．抛物线24x y =-的准线方程为______________.【正确答案】1y =根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =．故1y =．14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．【正确答案】1235【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.【详解】因为()~15,3,2X H ，所以()12213315131221221115141335321P X ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯C C C ，故答案为:1235.15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）．【正确答案】4950【分析】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，故()311011101,310099C 495021A --⨯===⨯，故4950.16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.【正确答案】2作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点，其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥，根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==，所以2212223OF OF OM MF ==-=，即23c =，所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，显然230MOF ∠= ，所以60AOQ ∠= ，所以241cos 2OQ OA AOQ ===∠，即4a =，所以椭圆的离心率为23342c e a ===.故答案为.32求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题17．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【正确答案】（1）310；（2）12.【分析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则()131535C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11321154310C C P AB C C ==.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3110325P AB P B A P A ===.18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =．(1)证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；(2)求1A 到平面BDE 的距离．【正确答案】(1)证明见解析【分析】(1)证明1B E BE ⊥以及11A B BE ⊥即可得到面面垂直；(2)先计算平面BDE 的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】（1）当12AA =时，1B E =BE ，所以22211B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．又11A B ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，111,A B B E ⊂面11A B E ，所以BE ⊥平面11A B E ，又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ，所以()1,1,0DB =，()0,1,1DE = ，()11,0,2DA = ，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-．故1A 到平面BDE的距离1n DA d n⋅== 19．相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站早4秒，该爆炸声速是1千米/秒，现以A ，B 所在直线为x 轴，A ，B 中点为原点（如图）建立直角坐标系.（1）判断爆炸点分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程；（2）求直线3333y x =+与曲线C 的交点坐标．【正确答案】（1）双曲线的右支，()221245x y x -=≥；（2）(8,53.【分析】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又64AB =>，利用双曲线定义可得解；（2）联立直线与双曲线方程，化简整理得：211562560x x --=，求解即可.【详解】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又64AB =>所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上，由24a =，26c =，得2a =，3c =，2225b c a =-=故双曲线C 的方程为：()221245x y x -=≥；（2）联立()22124537333x y x y ⎧-=≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简整理得：211562560x x --=解得：8x =或3211x =-（舍去），当8x =时，3y =故直线与曲线的交点坐标为(8,53.方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；20．如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，BD DC ⊥，6BC =，43AB =30ABC ∠= ．(1)求证：AC BD ⊥．(2)若二面角B AC D --为45 ，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值．【正确答案】(1)证明过程见解析64【分析】（1）利用余弦定理求出23AC =AC ⊥BC ，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，进而得到△BCD 为等腰直角三角形，32BD =BAD 为直线AB 与平面ACD 所成的角，利用求出的线段长度，求出直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值.【详解】（1）因为6BC =，43AB =30ABC ∠= ，所以由余弦定理得：222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-=222CB AC AB +=，所以AC ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，证毕.（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC ⊥BC ，故∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，所以∠BCD =45°，又因为BD DC ⊥，所以△BCD 为等腰直角三角形，因为BC =6，所以πsin 324BD BC =⋅=BD DC ⊥，AC BD ⊥，DCAC C =，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直线AB 与平面ACD 所成的角，设为θ，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则326sin 443BD AB θ==.21．棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，若()0.5(N)P X n n ≤≤∈，求n 的所有可能取值．【正确答案】(1)分布列见解析，B 类服装单件收益的期望大；(2)n 可取的值为0，1，2．【分析】（1）根据给定的信息，求出ξ，η的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出购买了服装的顾客中购买B 类服装的概率，借助二项分布求出n 的各个值对应的概率，再比较判断作答.【详解】（1）依题意，ξ的可能值为200，170，120，(200)0.3,(170)0.5,(120)0.2P P P ξξξ======，ξ的分布列为：ξ200170120P0.30.50.2ξ的期望()2000.31700.51200.2169E ξ=⨯+⨯+⨯=，η的可能值为300，255，180，(300)0.2,(255)0.4,(180)0.4P P P ηηη======，η的分布列为：η300255180P0.20.40.4η的期望()3000.22550.41800.4234E η=⨯+⨯+⨯=，设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-，()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元），()()12E X E X <，所以B 类服装单件收益的期望大.（2）依题意，X 的可能值为0，1，2，3，4，5，显然2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，511(0)3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()141521101C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，23252140(2)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32352180(3)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41452180(4)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，555232(5)C 3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为1104017(2)0.524381P X ++≤==<，1104080131(3)0.5243243P X +++≤==>，所以当()0.5(N)P X n n ≤≤∈时，n 可取的值为0，1，2．22．已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N两点．当直线l 过C 的下顶点时，ll 垂直于C 的长轴时，OMN 的面积为32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当2MF FN =时，求直线l 的方程；(3)若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．【正确答案】(1)22143x y +=；20y ±=；(3)证明见解析，点P 在定直线52x =上．【分析】（1）根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.（2）验证直线垂直于y 轴的情况，当直线不垂直于y 轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.（3）按直线是否垂直于y 轴探讨，利用（2）中信息结合已知等式求解作答.【详解】（1）令点(c,0)F ，当直线l 垂直于x 轴时，由222222x c b x a y a b=⎧⎨+=⎩得2||b y a =，弦MN 长为22b a，由OMN 的面积为32得：2123··22b c a =，又b c =a =2，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，即直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为x =ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，由2MF FN =，得122y y =-，消去12,y y 得()22227293434t t t --=++，解得t =，所以直线l 20y ±=.（3）设00(,)P x y ，当直线l 与x 轴重合时，点P 在椭圆外，即02x +，02x -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x +-=-，解得052x =，当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，而10PM y =-，20PN y =-，0PF =，由点P 在椭圆外，得10y y -，20y y -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()210200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即02296·03434ty t t ---=++，解得032y t =，代入直线l 方程x =ty ＋1，得052x =，所以点P 在定直线52x =上．。
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
【分析】
利用等差数列的通项公式求出该等差数列从哪项起开始为负即可.
【详解】
设等差数列的公差为 ，因为 ， ，所以有 ，
即 ，当 时，即 ，
因为 ，所以 ，即从第5项起，该等差数列各项为负数，
因此使 达到最大值的n是4.
故选：C
【点睛】
本题考查了求等差数列前n项和的最大项问题，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力.
辽宁省沈阳市郊联体【最新】高二上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，则下列向量中与 平行的是（）
A． B．
C． D．
2．等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则使 达到最大值的n是（）
三、解答题
17．已知圆 ，直线 ．
（Ⅰ）证明：不论 取什么实数，直线 与圆恒交于两点；
（Ⅱ）若直线 与圆 相交于 、 ，求 的最小值．
18．如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.（1）求证：BC⊥PC；A．2B．3C．4D．5
3．已知中心在原点的双曲线 的一个项点为 ，虚轴长为2，则双曲线C的方程为（）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方体 中，点 分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若 =a, =b, =c,则 =
A． B．
C． D．
5．已知M是抛物线 上一点．F为其焦点，C为圆 的圆心，则 的最小值为（）
21．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ， ， 分别为 ， 中点， ．