2015年湛江一中高一实验班招生考试数学科试节选
最新版广东省湛江市第一中学高一上学期第一次大考试题数学Word版含答案
湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高一级 数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：凌 志审题人：龙清清 做题人：彭静静一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的）1. 设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则C A B ＝( )A. {4,8}B. {0,2,6}C. {0,2,6,10}D. {0,2,4,6,8,10} 2.函数3132)(-+-=x x x f 的定义域为( ) A ．),23[+∞ B ．),3()3,-(+∞⋃∞ C.),3()3,23[+∞⋃D ．),3(+∞ 3．设}21|{},20|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，下列图形中表示集合A 到集合B 的函数图形的是( )A B C D4．设函数)(x f=()0102xx x ⎧≥,⎪⎨,<,⎪⎩则=-))4((f f ( ) A ． 4- B ．41C ．1D ．4 5、9.04=a 、48.08=b 、5.1)21(-=c 的大小关系是 ( )A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞c C.a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b6.若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20172017b a+的值为( ) A ．0 B ．1 C.1- D ．1或1-7.不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A.B.C.D.8.已知函数)(x f 是定义在上的偶函数，当时，是增函数，且0)1(=-f ，则不等式的解集为( ) A.B.C.D.9. 若ax x x f 2)(2+-=与xa x g -+=1)1()(在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.]1,21( B.]21,0( C ．[0，1]D ．(0，1]10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为223y x =-，值域为{}1,5-的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个11、函数()⎩⎨⎧≥<-+-=0,0,33x a x a x x f x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．（0，1）B ．]32,0( C.)1,32[D ．]32,( -∞ 12已知)(x f 是定义域为的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则A. 50-B. 0C. 2D. 50二、填空题（每题5分，共4题20分） 13、不论()1,0≠>a a a 为何值，函数()12+=-x a x f 的图象一定经过点P ，则点P 的坐标为___________.14、已知函数)2(xf 的定义域是[－1,1]，则)(x f 的定义域为___________.15．已知 )(x f ，)(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ___________.16．若关于x 的函数225222018()(0)tx x t x f x t x t+++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）(1)求值：21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----++144[(5)]-(2)已知11223a a -+=，求3322a a -+的值．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合}121|{+<<-=a x a x A ，}10|{<<=x x B ． (1)若21=a ，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19． （12分）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22+=．（1）现已画出函数()x f 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补全函数()x f 的图像，并根据图像直接写出函数()()R x x f ∈的增区间；（2）求函数()()R x x f ∈的解析式；（3）求函数()()R x x f ∈的值域。
广东省湛江第一中学高一数学上学期第一次大考试题
湛江一中2016—2017学年度第一学期“第一次大考”高一级数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{3,4,5}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{3} B ．{4,5} C ．{4,5,6}D ．{0,1,2}2．若集合A={1,2,3}, 则满足A B A =⋃的集合B 的个数是( ) A ． 6 B. 7 C. 8 D. 103．下列函数中，既是偶函数又在(－3,0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝x4．下列函数中，与函数y ＝x －1相同的是( )A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x 2－1x ＋1C ．y ＝t －1D ．2)1(--=x y5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 1或1- D. 1或1-或06.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为( ) A. 26 B. 12 C. 30 D.237．设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．)()(x g x f ⋅是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C ．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(x g x f ⋅|是奇函数8．设()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()3f x x =，则(8.5)f 等于( )A. 1.5-B.0.5-C. 0.5D. 1.59．函数14)(33+⋅+=x k x x f (R k ∈)，若8)2(=f ，则)2(-f 的值为（ ）.A.-6B.-7C.6D.710．设函数，则上的减函数，若是R ),()(∈+∞-∞a x f （ ）A ．)2()(a f a f >B ．)()(2a f a f < C ．)()(2a f a a f <+D ．)()1(2a f a f <+11．定义在R 上的奇函数f x ()，0)5(=f ，且对任意不等的正实数1x ，2x 都满足[])()(21x f x f -0)(12<-x x ，则不等式0)(>-⋅x f x 的解集为( ).A ．)5,0()0,5(⋃-B ．),5()5,(+∞⋃--∞C ．)5,0()5,(⋃--∞D ．),5()0,5(+∞⋃-12．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-B ．[][)2,24,-+∞UC ．2,22⎡⎤-+⎣⎦D ．[)2,224,⎡⎤-++∞⎣⎦U二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数 =-⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤=))2((1,661,)(2f f x x x x x x f 则 . 14．函数6122--++=x x x y 的定义域为 . 15.已知=+-=+)(,23)1(2x f x x x f 求函数的解析式 .16．如果函数a x ax x f 数上是单调递增的，则实在区间)4,(32)(2-∞-+=取值范围是________．三．解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（本题10分）设全集R U =，{}2≤≤∈=x a R x A ，{}23,312≥+≤+∈=x x x R x B 且．(1)若1=a ，求B A Y ，(∁A U )B I ；(2)若}032|{,52<-+∈=-=x x Z x C a ，求C A I .18．（本题12分）设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =I ，求实数a 的取值范围19. (本题12分)规定符号*表示一种运算，即),(*为正实数b a b a ab b a ++=3k *1=且，.*)2()1(的值域求函数；求正整数x k y k =20.(本题12分)某品牌茶壶的原售价为每个80元，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；如果一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个。
2018年广东省湛江第一中学新高一实验班招生面试数学考试试卷(解析版)
2018年湛江第一中学高一试验班招生面试试题数学试卷说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上。
3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知113a b=+,则2523a ab bb ab a --=+-( ) A ．116-B ．138-C ．156D ．1372．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +5（m ﹣5）＝0的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2＝7，则m 的值是（ ） A ．2B ．6C ．2或6D ．74． 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关5．已知m,n 是正整数，并且2223,120mn m n m n mn ++=+=，则22m n +=（ ） A ．209 B ．49 C ．93 D ．346．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．已知非零实数a,b,c 满足a 21+4a 2=b 4，b 21+10b 2=c 10,c 21+16c 2=a 2则a b c ++=( ) A ．1312B ．1912C ．1710D ．19108．如图，在x 轴正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1（n 为正整数），过点A 1、A 2、A 3、…、A n 分别作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ，连接P 1P 2、P 2P 3、…、P n ﹣1P n ，过点P 2、P 3、…、P n 分别向P 1A 1、P 2A 2、…、P n ﹣1A n ﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）机密★启用前9．已知x 、y 都是正实数，且满足x 2+2xy +y 2+x +y ﹣12＝0，则x （1﹣y ）的最小值为 ．10． 将正整数对作如下分组，第1组为{（1，2），（2，1）}，第2组为{（1，3），（3，1）}，第3组为{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，第4组为{（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）}…则第30组第16个数对为 ．11．因式分解:2()4()()c a b c a b ----= ．12．若实数a 满足a 3＜a ＜a 2，则不等式x +a ＞1﹣ax 的解集为 ．13．设有正数11a =，12n n a a +=+（n 是正整数），60a ++=+ ．14．一枚均匀的普通骰子被掷三次，若前两次所掷点数之和等于第三次的点数，则掷得的点数至少有一次是2的概率是 ．15．若0x y z ++=,0xyz ≠,则111111()()()3x y z y z z x x y++++++= ．16．规定运算*a b 满足：*1(0),*(*)(*)a a a a b c a b c =≠=,其中,0b c ≠,,,a b c 为实数，则方程2*250x x =的解x= ．三．解答题（共5小题，17~18题9分，19题10分，20~21题12分）17．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且＝，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ． （1）求证：△ACD 是等边三角形；（2）连接OE ，若⊙O 的半径为2，求OE 的值．18．在直角坐标系中，有以A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）为顶点的正方形，设它在折线y＝|x ﹣a |+a 上侧部分的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象．19．已知平面直角坐标系中，B（﹣3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；（2）如图②，若CG＝2BC，求OA的长；（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD＝1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，2OGOF的值不是否改变？请说明理由．20．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？21．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1．（1）试证明c＞0；（2）证明b2＞2（b+2c）；（3）对于二次函数y＝x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小．2018年湛江第一中学高一试验班招生面试试题数学试卷参考答案说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
广东省湛江第一中学高一数学下学期期中试题
湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试高一级数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：（每小题5分，每题只有一个正确选项，共50分）1．sin 13π6的值是（ ）A ．-21B ．21C ．23D ．－232．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ） A ．12,24,15,9 B.9,12,12,7 C ．8,15,12,5 D ．8,16,10,63．已知3cos 5θ=，且3(,2)2πθπ∈，则tan θ的值为（ ）A.34B. 34-C. 53D. 43-4．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，sin x 的值介于12到1之间的概率是（ ）A. 13B. 2πC. 12D. 235．已知1tan 2α=）A. 43B. 3-C. 13 D. 36．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率为 （ ）A. 14B. 34C. 13D. 127．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，据图可知 （ ）甲乙0 80 1 2 4 7 3 2 2 1 9 95 4 2 1 3 36 4 4 4A ．甲运动员的最低得分为0分B ．乙运动员得分的中位数是29C ．甲运动员得分的众数为44D ．乙运动员得分的平均值在区间(11,19)内8.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π9．某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内为( )A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >10．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.12πB. 6πC. 3π D 65π二、填空题：（每小题5分，共20分）11．化简：22cos()cos(90)cos(360)tan (180)cos (90)sin()θθθθθθ︒︒︒︒-+-----= 。
广东省湛江一中高考数学“临门一脚”试卷文(含解析)
广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B等于( ) A．（﹣∞，2）B． C．（﹣2，2）D．①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④8．函数f（x）=xsinx的图象大致是( )A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A．16 B．12 C．8 D．610．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则( )A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为__________．12．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是__________．13．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书__________本．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2的倾斜角为__________．（几何证明选讲选做题）15．如图，O是半圆的圆心，直径AB=2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）（50，100] （100，150] （150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T n．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B等于( ) A．（﹣∞，2）B． C．（﹣2，2）D．，∴（∁U A）∩B=故选：B．点评：本题考查复数的模的求法，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．4．在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1a5=25，则a3等于( )A．5 B．25 C．﹣25 D．﹣5或5考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的性质求得a3．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1a5=25，得，即a3=±5．∵a n＞0，∴a3=5．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．5．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是( ) A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．解答：解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．点评：本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．6．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为( )A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．解答：解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．7．设函数，则下列结论正确的是( )①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断①②④的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明③正确解答：解：①∵2×+=π，x=π不是正弦函数的对称轴，故①错误；②∵2×+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故②错误；③f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故③正确；④由x∈，得2x+∈，∵不是正弦函数的单调递增区间，故④错误；故选A点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，函数的对称轴、对称中心、单调区间的求法，函数图象的平移变换和函数奇偶性的定义，整体代入的思想方法8．函数f（x）=xsinx的图象大致是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．解答：解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C，因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D，故选：A．点评：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A．16 B．12 C．8 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱（或看成两个三棱柱的组合体），求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱，（或看成两个三棱柱的组合体），柱体的底面面积S=×3×2=3，柱体的高h=4，故柱体的体积V=Sh=12，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则( )A．B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．解答：解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．12．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a﹣5|=4，求得a的值，可得所求的圆的方程．解答：解：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a﹣5|=4，求得a=1，或 a=9，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16，故答案为：（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，属于中档题．13．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书25本．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：直接利用抽样比，统筹兼顾即可．解答：解：书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，应抽出的英语书x本．可得，x=25．故答案为：25．点评：本题考查分层抽样的应用，利用抽样比求解是解题的关键．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2的倾斜角为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出直线的斜率，则倾斜角可求．解答：解：由ρsin（θ+）=2，得，即，∴直线ρsin（θ+）=2的斜率为﹣1，倾斜角为．故答案为：．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，O是半圆的圆心，直径AB=2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=2．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，根据勾股定理做出BC的长，根据两个三角形相似，得到对应边成比例，代入已知的量，得到要求的线段的长．解答：解：连接BC，则∠ACB=90°，∠ABP=90°，∴BC==2△ABC∽△APB，∴，∴故答案为：2点评：本题考查三角形相似的性质，考查直径所对的圆周角是直角，考查勾股定理，考查圆的切线的性质，考查利用几何知识解决实际问题，是一个比较简单的综合题目．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）（50，100] （100，150] （150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD⊥平面ABC，再利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由CD∥EF，利用线面平行的判定定理可得：CD∥平面BEF，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知EF∥CD，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出V B﹣ACD即可得出．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，利用线面垂直的性质可得：FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，利用V=V F﹣EBC+V F﹣BCD即可得出；解答：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD=l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴=．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V=V F﹣EBC+V F﹣BCD==．点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19．设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=1，（1+m）a n=ma n﹣1，从而=，（n≥2），由此能证明数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）由b1=2a1=2，b n=（n≥2，n∈N+），得=1，（n≥2），从而{}是首项为，公差为1的等差数列，由此能求出b n=，（n∈N*）．（3）由b n=，得=2n（2n﹣1），由此利用错位相减法能求出数列{}的前n项和T n．解答：（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）﹣ma1，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=ma n﹣1﹣ma n，即（1+m）a n=ma n﹣1，∵m为常数，且m＞0，∴=，（n≥2），∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）解：由（1）得，b1=2a1=2，b n=（n≥2，n∈N+），∴，即=1，（n≥2），∴{}是首项为，公差为1的等差数列，∴=，∴b n=，（n∈N*）．（3）解：由（2）知，b n=，则=2n（2n﹣1），∴T n=2×1+22×3+23×5+…+2n×（2n﹣1），①则2T n=22×1+23×3+24×5+…+2n+1×（2n﹣1），②②﹣①得，T n=2n+1×（2n﹣1）﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1，故T n=2n+1×=2n+1×（2n﹣3）+6．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用Q（m，）到焦点的距离为1，计算即得结论；（Ⅱ）（ⅰ）通过A点横坐标及直线过点M可得直线l斜率的表达式，将其代入S△AOB，计算即可；（ⅱ）设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），利用f（m）=f（n），计算即可．解答：解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，∴抛物线C的方程为x2=2y；（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，∴直线l的斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|=×2==2（*）又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），又直线过点M（0，2），故k==﹣，将上式代入（*）式，可得：f（n）=2=2=2=n+（n∈N*）；（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．理由如下：设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，化简得：m﹣n=﹣=，又∵m≠n，即m﹣n≠0，∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时A点坐标为（1，），（4，8）．点评：本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=﹣．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，当或x＞1，时，f'（x）＞0，…当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为…（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，1°当△＜0，即时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值；…2°当△=0，即时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…3°当△＞0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1＜x2＜0，此时，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…若，u（x）=0的两个根x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）和（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，==即…（*）…即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lnt﹣t+1则令，∴m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）＞m（1）=1＞0，即g'（t）＞0在区间（0，1）恒成立，∴g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）＜g（1）=0，∴对∀t∈（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t∈（0，1）上没有实根，…即（*）式无解，∴不存在实数a，使得…点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。
广东省湛江市第一中学高一数学上学期期末考试试题
湛江一中2015-2016学年度第一学期期末考试高一级数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合M N ⋂=（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,22．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的各条侧棱延长后交于同一点．其中正确命题的序号是( )A. ③④ B ①③ C ②③ D ①④3．在空间直角坐标系中，点)5,3,.1(-P 关于XOY 平面对称的点的坐标是( )A ． )5,3,.1(--PB ． )5,3,.1(-PC ． )5,3,.1(PD ． )5,3,.1(--P4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm5．若函数()f x 的定义域是[]0,3，则函数()21f x -的定义域是（ ）A 、1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、[]0,3C 、[]1,5-D 、1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知m,n 是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,m //α,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,m //α,则βα⊥；④若m //α,n //β,且m //n ,则α//β．其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③7．函数f （x ）＝|log 2x|的图象是（ ）8．高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f （h ）的大致图象是（ ）9．如图，在空间四边形ABCD 中，点E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边BC,CD 上的点，且CF CB ＝CG CD＝23，则（ ）A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上10．若直线012=++y x 与直线02=-+y ax 互相垂直，那么a 的值等于（ ）A ．1B ．13- C ．-2 D ．23- 11．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP 的图形是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④12.过点A(11，2)作圆x 2+y 2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有( )(A)16条 (B)17条 (C)32条 (D)34条二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1log 12)(21x x x x f x ，则)}2({f f 等于_________． 14．球O 内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O 的体积是 ．15．如图'''B O A ∆是AOB ∆用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．16．直线ax ＋y ＋1＝0与连结A （2,3），B （－3,2）两点的线段相交，则a 的取值范围是_ ．三、解答题（共70 分）17．已知实数集R ，集合{(2)(3)0}A x x x =+-<，集合{0}B x x a =->（1）当1=a 时，求UB A C R )(.(5分)（2）设B A ⊆，求实数a 的取值范围．(5分)18．直线m 的方程为（a ＋1）x ＋y ＋2－a ＝0（a ∈R ）．（1）若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(7分)（2）若直线m 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．(5分)19．已知函数()221f x ax x =-+（0≠a ）．（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；(5分)（2）若函数()f x 在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，求a 的取值范围．(7分)20．已知圆C 经过点)1,2(-A ，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x 上．（1）求圆C 的方程；(6分)（2）已知斜率为k 的直线m 过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线m 的方程．(6分)21．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，AC ⊥AD ，，PA ＝AD ＝2，AC＝1．（1）证明：PC ⊥AD ；(4分)（2）求二面角A －PC －D 的正弦值．(8分)22．定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+．且0<x 时，0)(<x f ，2)1(-=-f ，（1）求证：)(x f 为奇函数；(3分)（2）试问)(x f 在]4,4[-∈x 上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由；（4分）（3）若0)293()3(<--+⋅xx x f k f 对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．（5分）湛江一中2015-2016学年度第一学期期末考试高一级数学科试卷（参考答案）二、填空题（每小题5分，共20分）13．21 14． 15．16 16．{a|a ≤－2或a ≥1}．三、解答题（共70 分）17．解：（1）当1=a 时，}1|{>=x x B ．∵}32|{<<-=x x A∴}{32≥-≤=x x A C R 或 故}{12|)(>-≤=x x x UB A C R 或 ……(5分)（2）∵}32|{<<-=x x A ，}|{a x x B >=，B A ⊆，∴2-≤a故实数a 的取值范围为]2,(--∞ ……(10分)18．解：（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为零，当然相等∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； ……(2分)若a ≠2，则21a a -+＝a －2，即a ＋1＝1 ∴a ＝0 即方程为x ＋y ＋2＝0，∴a 的值为0或2． ……(7分)（2）Θ直线m 为2)1(-++-=a x a y ，若它不经过第二象限，只需满足即可且020)1(≤-≥+-a a ∴1-≤a ……(12分)19．解：（1）若函数()f x 有两个零点，即方程)0(0122≠=+-a x ax 有两个不等实根， 令0>∆，即044>-a ，解得1<a ；又Θ0≠a ，∴a 的取值范围为()(),00,1-∞U ， ……(5分)（2）若函数在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，由()f x 的图象可知，只需()()()001020f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即1010430a a >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，解得314a <<． ……(12分) 20．解：（1）设圆心的坐标为)2,(a a C -， ……(1分) 则2|12|)12()2(22--=+-+-a a a a ， ……(3分)化简得0122=+-a a ，解得1=a ． ……(4分))2,1(-∴C ，半径2)12()21(||22=+-+-==AC r ． ……(5分)∴圆C 的方程为2)2()1(22=++-y x ． ……(6分)（2）设直线m 的方程为kx y =， ……(7分) 由题意得222)22()2(1|2|-=++k k ……(9分) 解得43-=k ， ……(11分) ∴直线m 的方程为x y 43-=． ……(12分) 21．解：（1）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD,可得PA ⊥AD ． ……(1分)又由AD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ， ……(3分)又PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD ． ……(4分)(2）如图所示，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ． ……(5分)由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，且AD ∩AH ＝A ，可得PC ⊥平面ADH ，因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． ……(7分)在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝52． ……(9分)由（1）知AD ⊥AH ．故在Rt △DAH 中，DH ＝22AH AD +＝5302． ∴sin ∠AHD ＝DHAD ＝630，二面角A －PC －D 的正弦值为630．(12分)22．解：（1）证明：因为)()()(y f x f y x f +=+),(R y x ∈所以令0==y x ，得()()()000f f f =+，即 ()00f = ……(1分) 令x y -=，得()()()0f f x f x =+-，又()00f =，则有 ()()0f x f x =+- ……(2分)∴()()f x f x -=-对任意R x ∈成立，所以()f x 是奇函数． ……(3分)（2））解：设R x x ∈21,，且21x x <，则021<-x x ，从而0)(21<-x x f ，又12121212()()()()[()]()f x f x f x f x f x x f x x -=+-=+-=-．∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．∴函数)(x f 为R 上的增函数， ……(5分) ∴当]4,4[-∈x 时，)(x f 必为增函数．又由2)1(-=-f ，得2)1(-=-f ，∴2)1(=f∴当4-=x 时，8)1(4)4()4()(min -=-=-=-=f f f x f ； ……(6分) 当4=x 时，8)1(4)4()(max ===f f x f ． ……(7分)（3）解：由（2）知()f x 在R 上是增函数，又由（1）()f x 是奇函数．()()()3392392x x x x x f k f f ⋅<---=-++，等价于2933++-<⋅x x x k ……(8分)法一：即()231320x x k -++>对任意R x ∈成立．令()30x t t =>，问题等价于()2120t k t -++>对任意0>t 恒成立．……(9分) 令()()()2120g t t k t t =-++>1010+2k k +≤≤-∞当即时,g(t)在（，）上递增，f(0)=2>0，符合题意；……(10分) 当102k +>，即1->k 时，0)(>t g 对0>t 恒成立210112(1k)420k k +⎧>⎪⇔⇒-<<-⎨⎪∆=+-⨯<⎩……(11分) 综上，当1k <时，(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立．……(12分) 法二（分离参数法）即2313x xk <+-，设()30x u u =>，()21h u u u =+- 设()1212,0,,u u u u ∈+∞<且()()()1212121212222211h u h u u u u u u u u u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121222u u u u u u u u u u u u ---=-+=当(12,u u ∈时，1220u u -<，易得()()12h u h u >，所以()h u在(上单减；当)12,u u ∈+∞时，1220u u ->，易得()()12h u h u <，所以()h u 在),2(+∞上单增； 故()h u的最小值为1h =，即2313x x +-的最小值为1,从而1k <所以，当1k <时，0)293()3(<--+⋅x x x f k f 对任意R x ∈恒成立．湛江一中2015-2016学年度第一学期期末考试高一级数学科试卷（参考答案）一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13．2114．15．16 16．{a|a ≤－2或a ≥1}．三、解答题（共70 分）17．解：（1）当1=a 时，}1|{>=x x B ．∵}32|{<<-=x x A∴}{32≥-≤=x x A C R 或 故}{12|)(>-≤=x x x UB A C R 或 ……(5分)（2）∵}32|{<<-=x x A ，}|{a x x B >=，B A ⊆，∴2-≤a故实数a 的取值范围为]2,(--∞ ……(10分)18．解：（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为零，当然相等 ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； ……(2分)若a ≠2，则21a a -+＝a －2，即a ＋1＝1∴a ＝0 即方程为x ＋y ＋2＝0，∴a 的值为0或2． ……(7分)（2）Θ直线m 为2)1(-++-=a x a y ，若它不经过第二象限，只需满足即可且020)1(≤-≥+-a a∴1-≤a ……(12分)19．解：（1）若函数()f x 有两个零点，即方程)0(0122≠=+-a x ax 有两个不等实根，令0>∆，即044>-a ，解得1<a ；又Θ0≠a ，∴a 的取值范围为()(),00,1-∞U ， ……(5分)（2）若函数在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，由()f x 的图象可知，只需()()()001020f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即1010430a a >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，解得314a <<． ……(12分)20．解：（1）设圆心的坐标为)2,(a a C -， ……(1分) 则2|12|)12()2(22--=+-+-a a a a ， ……(3分)化简得0122=+-a a ，解得1=a ． ……(4分))2,1(-∴C ，半径2)12()21(||22=+-+-==AC r ． ……(5分)∴圆C 的方程为2)2()1(22=++-y x ． ……(6分) （2）设直线m 的方程为kx y =， ……(7分) 由题意得222)22()2(1|2|-=++k k ……(9分) 解得43-=k ， ……(11分) ∴直线m 的方程为x y 43-=． ……(12分)21．解：（1）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD,可得PA ⊥AD ． ……(1分)又由AD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ， ……(3分) 又PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD ． ……(4分)(2）如图所示，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ． ……(5分)由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，且AD ∩AH ＝A ，可得PC ⊥平面ADH ，因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． ……(7分)在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝52． ……(9分)由（1）知AD ⊥AH ．故在Rt △DAH 中，DH ＝22AH AD +＝5302．∴sin ∠AHD ＝DH AD ＝630，二面角A －PC －D 的正弦值为630．(12分)22．解：（1）证明：因为)()()(y f x f y x f +=+),(R y x ∈所以令0==y x ，得()()()000f f f =+，即 ()00f = ……(1分)令x y -=，得()()()0f f x f x =+-， 又()00f =，则有 ()()0f x f x =+- ……(2分) ∴()()f x f x -=-对任意R x ∈成立，所以()f x 是奇函数． ……(3分)（2））解：设R x x ∈21,，且21x x <，则021<-x x ，从而0)(21<-x x f ， 又．∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．∴函数)(x f 为R 上的增函数， ……(5分) ∴当]4,4[-∈x 时，)(x f 必为增函数．又由2)1(-=-f ，得2)1(-=-f ，∴2)1(=f∴当4-=x 时，8)1(4)4()4()(min -=-=-=-=f f f x f ； ……(6分) 当4=x 时，8)1(4)4()(max ===f f x f ． ……(7分)（3）解：由（2）知()f x 在R 上是增函数，又由（1）()f x 是奇函数．12121212()()()()[()]()f x f x f x f x f x x f x x -=+-=+-=-()()()3392392x x x x x f k f f ⋅<---=-++，等价于2933++-<⋅x x x k ……(8分)法一：即()231320x x k -++>对任意R x ∈成立． 令()30x t t =>，问题等价于()2120t k t -++>对任意0>t 恒成立．……(9分) 令()()()2120g t t k t t =-++> 1010+2k k +≤≤-∞当即时,g(t)在（，）上递增，f(0)=2>0，符合题意；……(10分) 当102k +>，即1->k 时，0)(>t g 对0>t 恒成立210112(1k)420k k +⎧>⎪⇔⇒-<<-⎨⎪∆=+-⨯<⎩ ……(11分)综上，当1k <-时，(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立．……(12分) 法二（分离参数法）即2313x x k <+-，设()30x u u =>，()21h u u u =+- 设()1212,0,,u u u u ∈+∞<且()()()1212121212222211h u h u u u u u u u u u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121222u u u u u u u u u u u u ---=-+=当(12,u u ∈时，1220u u -<，易得()()12h u h u >，所以()h u在(上单减；当)12,u u ∈+∞时，1220u u ->，易得()()12h u h u <，所以()h u 在),2(+∞上单增；故()h u 的最小值为1h =-，即2313x x +-的最小值为1-,从而1k <所以，当1k <时，0)293()3(<--+⋅x x x f k f 对任意R x ∈恒成立．。
广东省湛江市第一中学2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试卷
湛江一中2015-2016学年度第一学期第二次考试 高一级数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分命题老师：潘艳清 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分选择题(共60 分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集U=，定义：，集合分别用圆表示，则下 列图中阴影部分表示的是（） 已知集合 3.下列函数中，偶函数是 A． B． C． D． A． 10与15 B．9与17 C．10与16 D．9与16 6.已知函数f(x)＝log2 (x＋1)，若f(α)＝1，则α＝( ) A．0 B．1C．2 D．3 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交下列四个数中最大的是( ) A．(ln 2)2 B．ln(ln 2)C．ln 2 D．ln 已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是( ) A．若aα，bα，则ab B．若aα，bα，则ab C．若ab，bα，则aα D．若ab，aα，则bα或bα 10.函数的图象大致是（） 11.已知有唯一的零点，则实数的值为（）A. -3B. -2C. -1D. 0 已知函数） A．B．C．D．第二部分非选择题 (共 90 分) 二、填空题：共小题，中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为 15.用二分法求方程在区间（0,2）内的实根，取区间中点为=1，那么下一个有根的区间是 16. 给出下列四个命题： ①函数为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数的值域是； ④若函数的定义域为，则函数的定义域为； 其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号 17．（10分）已知 求 18.(12分）如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位： cm)． (1)画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （12分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E E,F分别为，BC的中点 （1）求证； (2)求异面直线的夹角 D C F A B 21.（12分）为了让“AEPC蓝”持续下去，北京市某研究所经研究发现：在1个单位的净化剂，空气中释放的浓度随着时间(单位天)变化的函数关系式近似为若多次则某一时刻中的剂浓度为每次投放的剂在相应时刻所释放的浓度之和,当中剂的浓度不低于4(克/)时它才能起到的作用 （1）若一次4个单位的剂则时间可达几天? （2）若第一次2个单位的剂6天后再（）个单位的药剂要使接下来的4天中能够持续有效试求的最小值精确到0.1参考数据参考知识： 22.(12分）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； （3）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围 俯视图 主视图 A B A D B A C B A B B A。
广东省湛江第一中学2017年新高一实验班招生面试数学试卷(解析版)
2017年湛江第一中学高一试验班招生面试试题数学试卷说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上。
3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一．选择题（共8小题每小题3分，共24分）1．方程43||||x x x x-=的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知a ，b ，c 满足235a b c c a ==-+，求52a b b c -+的值为( ) A ．1B ．13C ．1-3D ．123．如图，在ABC ∆中．90ACB ∠=︒，15ABC ∠=︒，1BC =，则(AC = )A．2+B．2C ．0.3D4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是22(1)1y x =+-，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )A ．22(3)2y x =-+-B ．22(3)2y x =-++C ．22(1)2y x =---D ．22(1)2y x =--+5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )A ．B ．C ．D ．6．“微信抢红包”自，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ） A ．25B ．12C ．34D ．567．如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD AB ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点(P )A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分BD̂ D ．随C 点移动而移动8．已知实数,,a b c 满足,2b c a abc +=-=，则||||||a b c ++的最小值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5第3页（/共4页） 第4页/（共30页）知人善教 培养品质 引发成长动力第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若[]x 表示不超过x的最大整数，0A =，则[]A = ． 10．设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若实数a满足42a a -+=，则[a ]=___. 11．已知有理数x ，y ，z1()2x y z =++，那么2()x yz -的值为 ．12．如图，△ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=,则△BDE 的面积最大值是 ．13．分解因式2226773x xy y x y --+++= ．14．下列各图形中的小正方形是按照一定规律排列的，根据图形所揭示的规律我们可以发现：第1个图形有1个小正方形，第2个图形有3个小正方形，第3个图形有6个小正方形，第4个图形有10个小正方形⋯，按照这样的规律，则第15个图形有 ________个小正方形．15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ．16．如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为直径，弧AC 的度数为80︒，弧BD 的度数为20︒，点P 为直径AB 上任一点，则PC PD +的最小值为 ．三．解答题（共5小题，17~20每题满分10分，21题满分12分） 17．若实数a 、b 满足112a b a b+=-． （1） 求22aba b -的值；（2） 求证：2(1)2a b-=．B18．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=BD=4求线段CF的长第7页（/共4页） 第8页/（共30页）知人善教 培养品质 引发成长动力19．已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实根，第三边BC 的长是5．（1）当2k =时，ABC ∆是什么特殊的三角形？（2）当k 为何值时，ABC ∆是等腰三角形？并求出周长．20．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0)． （1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标； （3）动点P 在x 轴上移动，当PAE ∆是直角三角形时，求点P 的坐标．21．已知二次函数2123y x x =--．（1）结合函数1y 的图象，确定当x 取什么值时，10y >，10y =，10y <；（2）根据（1）的结论，确定函数2111(||)2y y y =-关于x 的解析式；（3）若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与函数2y 的图象交于三个不同的点，试确定实数k 与b 应满足的条件？2017年湛江第一中学高一试验班招生面试试题数学试卷参考答案说明：1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。
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2015年湛一中高一实验班招生考试数学科试节选1、如果一个直角三角形的两条长分别是5和12，另一个与它相似的直角三角形边长分别为6和8及x ，那么x 的值（ ）A.有且仅有1个B.有且仅有2个C.有3个及以上但个数有限D.无数个 解：第一个直角三角形的第三边可能是13或22125119-=； 而x 可能为10或228628-=；相似？ 我想下结论：本题是错题！2、如图，在长方体包装盒中，AB=5，BC=4，CC 1=3，为只蚂蚁从点A 出发沿盒子的表面爬到点C 的最短距离为（ ）A.90B.80C.78D.74 解：选D ，如图. 立体改为平面 两点之间，线段最短.3、已知关于x 的函数()221002y mx x x =-+≤≤，下列说法中，正确的是（ ）A.当0m =时，没有最小值B.当1m ≥时，max 43y m =-C.当0m <时，max 11y m =-D.当112m ≤<时，min 1y = 解：①当0m =时，函数为10y x =-+在02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， 显然当2x =时，有最小值为8；②当0m <时，二次函数()221002y mx x x =-+≤≤开口向下，且对称轴10x m=< 位于y 轴左侧，在02x ≤≤区间，y 随x 的增大而减小，此时，显然当2x =时，有最大值为max 1y =；③当112m ≤<时，二次函数()221002y mx x x =-+≤≤开口向上，且对称轴11x m=> 显然，对称轴正好在02x ≤≤区间，则当1x m =时，有最小值，即min 11y m=-；④当1m ≥时，二次函数()221002y mx x x =-+≤≤开口向上，且对称轴11x m=≤，显然，当2x =时，有最大值，则max 43y m =-.故选B. 5、已知关于x 的方程2312x x x x x+=+，则该方程实数解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：显然0x >，则原方程可化为2123x x x--=- 设2123y x x =--或21y x=-画草图，显然也看出抛物线1y 的最低点为()1,4- 当1x =时，21y =-4>- 则在第四象限两函数有两个交点， 所以当0x >时，方程有两个实数根；选B6、如图是HZ 区地图的一部分，有一条江穿过该区，江的两岸分别为折线A —B —C 和折线D —O —E ，另有两地M 、N ，现要在江面上修建两座垂直于江岸的大桥及公路将M 、N 两地和江岸连通起来，使M 、N 间的桥路长最短。
若A ()3,15、B ()3,3、C ()15,3、D ()0,15、E ()15,0、M ()16,12-、N ()11,1-解：将点M ()16,12-向右平移动3个单位，得 到点M 1()13,12-，将点N ()11,1-向上平移3 个单位，得到点N 1()11,2，连结M 1N 1与AB 、BC 交于点P 、Q ，则桥架在P 、Q 处则公路的最小值为M 1N 1=()()22131112226--+-=；所以桥和公路长的最小值为32.7、8人每人同时得到一条消息，而且任意两人所得消息不同，他们两两电话相互告诉对方所知的全部消息，每次电话恰好用武之地分钟，为使每人都知道所有消息至少需（）分钟.A.6B.9C.12D.15 解：用表格整理：第1对通话组 第2对通话组 第3对通话组 第4对通话组 第一次通话 1和2（2） 3和4（2） 5和6（2） 7和8（2） 第二次通话 1和3（4） 2和4（4） 5和7（4） 6和8（4） 第三次通话1和5（8）2和6（8）3和7（8）4和8（8）故通话3次即可，33＝9分钟8、如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则边CD 的长是（ ）A.32B.25C.4D.4.5 解：如图，将△ACD 绕点C 旋转60°到△ACE 位置； 则AE ＝BD ＝5，CE ＝CD ，∠DCE ＝60°连接DE ，则△DCE 是等边三角形，即DE ＝CD ， 所以∠CDE ＝60°，又∠ADC ＝30°， 所以∠ADE ＝90°，所以CD ＝DE ＝22534-=.本题主要用到的解题思想是边边相等，联想旋转，将交错在一起的图形展转到外去探究。
你能想到些什么吗？正方形、等边三角形、等腰（直角）三角形背景下……9、长为了4米的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，如图，则梯子的顶端没墙面升高了 米. 解：考查三角函数而已， 调整前，梯子的高度是22米； 调整后，sin 604h︒=，即此时高度43h = 所以梯了升高了()4322-米.10、如图，有一所正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北、西面围墙的正中间，在北门的正北方30米处（点C ）有一棵大榕树，如果一个学生从西门出来，朝正西走750米（点D ），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 平方米. 解：本题考查相似三角形， 设正方形边长为x ，则130217502xx=， 则S ＝243075090000x =⨯⨯=11、如图是某抛物线拱桥的示意图，已知该抛物线的函数表达式为211248y x =-+，为保护该桥的安全，在该抛物线上的点E 、F 处安装两盏警示灯（点E 、F 关于y 轴对称），这两盏灯的水平距离EF 是24米，则警示灯F 距水面AB 的高度是 米. 解：当12x =时，211212948y =-⨯+= 这几道题是竞赛题？应该是中考题中基础题和中档题！ 12、若12x x-=-，则221x x -=.解：122x x +-=，则14x x+=， 所以2410x x -+=，解得23x =±， 显然01x <<（怎么得到呢？） 所以23x =-，所以()()222211238323x x -=--=--.13、在□ABCD 中，已知E 、F 分别为AB 、BC 的中点，CE 与DF 交于点G ， 若S △CGF ＝2，则S □ABCD ＝ . 解：连接AC 交DF 于点I ， 连接FE 并延长交DA 的延长于点H 则AI ∥FH ，且△AEH ≌△BEF 则可设BF ＝AH ＝x ，EF ＝FH ＝y 由DA AI DH FH =，得223AI x y x=，则AI ＝43y又因为AC ＝2y ，则CI ＝23y 所以23CG CI GE EF ==，则25CG CE = 所以25CGF CEF S S ∆∆=，则5CEF S ∆=，所以10BCE S ∆=，所以S □ABCD ＝40. 14、已知抛物线2y ax bx c =++与双曲线2k y x=有三个交点，A ()4,m -，B ()2,n -，C ()3,p ，则不等式320ax bx cx k ++->的解集为 .解：显然双曲线位于第一、三象限，两者在第三象限有两个交点，第一象限有一个交点，显然有抛物线开口向上，可画出草图啦！（1）当0x <时，显然42x -<<-满足条件；（2）当0x >时，显然3x >满足条件.15、以△ABC 的三边a 、b 、c 为边长分别向形外作正方形，其面积分别记作a S 、b S 、c S ，若9a b c ++=，则a b c S S S ++的最小值是 .解：显然a b c S S S ++＝222a b c ++，因为()()()2220a b b c c a -+-+-≥所以()2222222a b c ab bc ca ++≥++因为()281a b c ++=，所以2222281a b c ab abc ca +++++=所以()22222281ab bc ca a b c ++=-++所以()222381a b c ++≥，即22227a b c ++≥16、如图，已知AOM ＝60，在射线OM 上有点B ，使得AB 与OB 长度都是整数，由此称B 是“优雅点”，若OA ＝8，则图中的优雅点B 的个数为 . 解：过点B 作直线OA 的垂线BC ，连接BA ，分两种情况：（1）如图1，点C 在线段OA 上； 显然OC ＝12OB ，CA ＝182-OB 设OB ＝x ，AB ＝y则222211822y x x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()22448y x --=即()()4448y x y x +--+=，显然8x y +>，即44y x +->且它们同为偶数所以42442y x y x +-=⎧⎨-+=⎩或41244y x y x +-=⎧⎨-+=⎩或4846y x y x +-=⎧⎨-+=⎩或4648y x y x +-=⎧⎨-+=⎩另一种情况也如此讨论，结论不影响17、某公司n名员工准备外出旅游，有两项支出需提前预算：（1）备用食品费：购买备用食品共花费510元，在出发前时，又有2名员工要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的员工平均每人比原来少分摊4元，现在每人需分摊多少元食品费？（2）租车费：现在有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：车型座数租车费（元/辆）A 7 500B 10 600请选择最合算的租车方案（仅从租车费角度考虑），并说明理由．18、已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是优弧ABC的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G.（1）证明AC＝DE；（2）×××19、已知△ABC ，AB ＝AC ＝2，∠A ＝90°，取含45°角的直角三角尺，将45°的顶点放在BC 中点O 处，并绕点O 处顺时针旋转三角尺，当45°角的两边分别与AB 、AC 交于点E 、F 时，如图2，设CF ＝x ，BE ＝y ． （1）求y 与x 的函数解析式，并写出x 的范围；（2）三角尺绕点O 旋转过程中，△OEF 能否成为等腰三角形？如果能，求出相应的x 值；如果不能，请说明理由；（3）如果以O 为圆心的圆与AB 相切，探究三角尺绕点O 旋转的过程中，EF 与圆O 的位置关系．20、已知m 是实数，函数245y mx x m =+--在[]2,2-内有实数，求实数m 的取值范围.注意：[]2,2-表示22x -≤≤；类似有，(2,2]-表示22x -<≤。