常见文氏图类型及公式
常见文氏图类型及公式
P 0 表示方框代表数（例：共有**人参加考试）
P 1 表示满足ABC 一个条件的数和（例：满足A ，满足B ，满足Ｃ） P 2 表示满足ABC 两个条件的数和。
(例：既满足A 又满足B) P 3 表示满足ABC 三个条件的数和（同时满足ABC ） P A 表示满足A 。
P AB 表示同时满足AB 。
P ABC
表示同时满足ABC ，即P 3。
(一) 两个圈的情况
S 总整个图形用表示
加了框
()00
1
2
1
2
x x x S P P P P P P P
---=-+==总
用表示整个方框除去圈的部分
12
2
211S
P P S P P S P P =-+=-=总
总
总
或或
(二) 三个圈的情况
123
S P P P =-+总整个图形
加了框
()01230123
x x P P P P P P P P --+=-+-=用表示整个方框除去圈的部分
()23
2332
2
S
2S 2S P P P P P P =-=+=
-÷阴影
阴影阴影
(电风扇)用阴影面积表示A 、B 、C 相交的部分
或或
23
S
3P P =-阴影（特殊的电风扇）
()
3A A BC S
A A
B A
C P P P P =-+-阴影
阴影面积表示
中扣除与相交的部分
3
S
BC BC ABC P P =-阴影
用阴影面积表示相交部分扣除相交部分。
题型1集合文氏图
羽毛球小组的人数多3人，两组都没有参加
的人数是都参加两组人数的
1 3
多1人，求同
时参加两组的人数和两组都没有参加的人数．
2024/3/31
分别为２１人；８人
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12
（其中U为全集）
区域①为 (A B C)
②
③
Ａ
⑤
B
①
④C
U
区域②为 A (B C)
区域③为 B ( A C) 区域④为 C (A B)
区域⑤为 A B C
2024/3/31
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4
结论
1、Card( A B) = Card(A)+card(B)-card(A∩B)
类比可以得到推广公式
（ S B） A 1，2，3，( S A) ( S B) 6，7，8，
求集合A和B.
Ａ＝｛１，２，３，４，５｝ Ｂ＝｛４，５，９，１０｝
2024/3/31
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6
模仿训练
2、某班期中考试，数学90分以上的有18人， 物理90分以上的有14人，而数学与物理两 科中至少有一科90分以上的有22人，求数 学和物理两科都在90分以上的人数，只有数 学90分以上的人数，只有物理90分以上的 人数．
2024/3/31
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1
题型探究
这是一道集合的实际应用题，如果把各种 人群看作集合，本题就变为已知全集元素的 个数，求其某个子集的元素的个数，解决这 类问题一般应用文氏图来处理．
2024/3/31
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2
引例解析
不妨设调查了100户，全集U=｛被调查的100户 农户｝，A=｛100户中拥有电冰箱的农户｝，B= ｛100户中拥有电视机的农户｝，C=｛100户中
中职职高数学概念与公式复习资料汇总
职高数学概念与公式第一章集合1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。
注：∆描述法 },|取值范围元素性质元素｛⋯∈⋯=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3.常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集）4.元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“∈”与“∉”的关系。
（2）集合与集合是“⊆”“”“=”的关系。
注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。
（做题时多考虑φ是否满足题意）（2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有n2个，真子集有12-n个，非空真子集有22-n个。
5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ：A 与B 的公共元素（相同元素）组成的集合（2）}|{B x A x x B A ∈∈=或 ：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
（3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。
注：BC A C B A C U U U =)(BC A C B A C U U U =)(6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件∆p 是q 的……条件p 是条件，q 是结论p q ==⇒<=≠=充分不必要p q =≠⇒<===不充分必要p q ==⇒⇐==充分必要p q =≠⇒⇐≠=不充分不必要不等式1.不等式的基本性质：（略）注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：2008200920092010--与（倒数法）等。
（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。
R绘图基础（五）文氏图vennDiagram
gplot绘制文氏图
gplot绘制文氏图
> ## > ## Example using a list of item indexes belonging to the > ## specified group. > ## > GroupA.i <which(geneNames %in% GroupA) > GroupB.i <- which(geneNames %in% GroupB) > GroupC.i <- whic h(geneNames %in% GroupC) > GroupD.i <- which(geneNames %in% GroupD) > input.i <-list(A=Grou pA.i,B=GroupB.i,C=GroupC.i,D=GroupD.i) > venn(input.i)
gplot绘制文氏图
gplot绘制文氏图
但是，上面两种方法绘制出来的图都不能是彩色的。这不得不说是一个很大的缺憾。后来又出
现两个文氏图的绘制工具包，分别是venneuler以及VennDiagram。介绍它们的文献分别是： 《Exact and Approximate Area-proportional Circular Venn and Euler Diagrams》– Leland Wilkinson, 以及《VennDiagram: a package for the generation of highly-customizable Venn and Euler diagrams in R》– Hanbo Chen, Paul C Boutros。在后者的文献中，有对现有文氏图 绘制软件的比较表格。这里我主要总结三点：
概率论与数理统计加法公式推导
概率论与数理统计加法公式推导1、减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。
2、加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。
学生还应掌握三个事件相加的加法公式。
以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来解释会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出现在填空题当中。
所以记住公式的形式是基本要求。
3、乘法公式由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。
在复习过程中，部分同学分不清楚什么时候用条件概率来求，什么时候用积事件概率来求。
比如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球”时，因为第一次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时候用积事件概率来求如果“在第一次抽到红球已知的情况下，第二次抽到黑球的概率”，这时候因为已知抽到了红球，它已经是一个确定的事实，所以这时候不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。
4、全概率公式5、贝叶斯公式以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。
结合起来学习比较容易理解。
首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。
其次，如果是“由因求果”的问题用全概率公式是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。
例如买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，分别次品率是a%，b%，c%，现在求买到次品的概率时，就要用全概率公式若已知买到次品了，问是A厂生产的概率，这就要用贝叶斯公式了。
这样我们首先分清楚了什么时候用这两个公式。
公务员行测常用数学公式汇总(精华版)
常用数学公式汇总(精华版)一、基础代数公式1.平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a 2－b 22.完全平方公式：（a±b）2＝a 2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a 2 ab+b 2)3.同底数幂相乘:a m ×a n ＝a m＋n （m、n 为正整数，a≠0）同底数幂相除：a m÷a n＝am－n（m、n 为正整数，a≠0）a 0＝1（a≠0）a -p ＝p a1（a≠0，p 为正整数）4.等差数列：（1）s n ＝2)(1n a a n ⨯+＝na 1+21n(n-1)d；（2）a n ＝a 1＋（n－1）d；（3）n ＝da a n 1-＋1；（4）若a,A,b 成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：a m +a n =a k +a i ；（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和）5.等比数列：（1）a n ＝a 1q －1；（2）s n ＝qq a n -11 ·1）－（（q ≠1）（3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：a m ·a n =a k ·a i ；（5）a m -a n =(m-n)d（6）nm a a ＝q(m-n)（其中：n 为项数，a1为首项，an 为末项，q 为公比，sn 为等比数列前n 项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1=a ac b b 242-+-；x2=a acb b 242---（b2-4ac ≥0）根与系数的关系：x1+x2=-a b ，x1·x2=a c二、基础几何公式1.三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
第8节 排列组合中的数学思想方法及模型
排列组合问题中的数学思想方法及模型（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
例.已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）C A B ≠⊂ 且C 中含有3个元素，2）C A φ≠ 解：如图，因为A ，B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，所以A B 中的元素有12+12-4=20个，其中属于A 的有12个，属于A 而不属于B 的有8个，要使C A φ≠ ，则C 中的元素至少含在A 中，集合C 的个数是：1）只含A 中1个元素的有12128C C ；2）含A 中2个元素的有21128C C ；3）含A 中3个元素的有30128C C ，故所求的集合C 的个数共有12128C C +21128C C +30128C C =1084个（二）．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。
1.具体与抽象的转化例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1234567,,,,,,a a a a a a a 有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？解：1）两个0不相邻的情况有26C 种，2）两个0相邻的情况有16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有26C +16C =21种。
2）不同的数学概念之间的转化例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有48C 种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有48C -12个三棱锥，因而共有3（48C -12）=174对异面直线。
韦恩(Venn)图
韦恩（Venn）图韦恩图，也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。
韦恩图法是利用封闭的曲线来表示集合的一种方法，在高中课本中虽然没有给出过多的说明，但是对于初学集合的学生来说解决一些问题还是比较容易的。
一、在数学中的应用：1、并集∪定义：取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，表示：A∪B。
2、交集∩定义：（交就是取两个集合共同的元素）A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。
A和B的交集写作“A∩B”。
形式上：x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。
（1）取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，X为A和B的相交部分，则集合间有如下关系：A∩B＝X，A＋B＝A∪B－X；（2）取一个集合，设全集为I，A、B、C是I中的两个子集，D＝A∩C，E＝B∩C，F＝A∩B，x为A、B、C的公共部分，即x＝A∩B∩C，则集合间有如下关系：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B ∩C ；A∪B∪C＝A＋B＋C－只重合两次的-2×只重合三次的。
二、运用韦恩（Venn）图解题“三层次由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图。
1、识图是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示。
例1：如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）。
A、（M∩P）∩SB、（M∩P）∪SC、（M∩P）∩I SD、（M∩P）∪I S解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是M∩P），且在S的外部（转化为集合语言就是I S），故选（C）。
例2：用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（）。
A、（A∪B）－（A∩B）B、U（A∩B）C、（A∩U B）∪（UA∩B） D、U（A∪B）∩U（A∩B）解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外（转化成集合语言就是A∩UB），右边部分在B内且A外（转化成集合语言就是UA∩B），故选（C）。
利用Venn图巧记概率的运算公式
利用Venn图巧记概率的运算公式
概率是数学中一个重要的概念，用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，我们
常常需要计算多个事件的交集、并集和差集等运算。
为了方便记忆和计算这些运算公式，
我们可以利用Venn图进行简单的可视化。
Venn图是用来表示集合之间关系的一种图形。
在概率论中，我们可以用Venn图来表
示概率事件之间的关系。
下面介绍一些常见的概率运算公式，并通过Venn图来帮助记忆和理解。
1. 加法公式
加法公式用来计算两个事件的并集的概率。
设A和B分别是两个事件，P(A)表示事件A 发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B的并集发生的概率。
根据加法公式，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Venn图可以很好地表示这个公式。
在Venn图中，我们用两个圆来表示事件A和事件B，圆中的面积代表事件发生的概率大小。
两个圆的交集表示事件A和事件B的公共部分，即
事件A∩B的概率。
通过利用Venn图的可视化方式，我们可以更加直观地记忆和理解概率的运算公式。
这种方法也可以帮助我们解题时更加清晰地分析题目和计算概率。
文氏图和三交集公式
关于文氏图和三交集公式的说明与应用举例（2005年真题）图片：集合是高中数学学习的内容，但是高中教材上对于文氏图和三交集公式却没有详细的说明，最近论坛上常提到文氏图和三交集公式，很多考友都感到陌生，其实熟练掌握文氏图和三交集公式对快速解决行政测试中出现的一些数学运算题是很有帮助的。
比如下题：[2005年真题]对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A22人B28人C30人D36人1、文氏图（见上图）：在文氏图中,以下图形的含义如下：矩形：其内部的点表示全集的所有元素；矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合；圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。
2、三交集公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C（A∪B∪C指的是E，A∩B∩C指的是D）解题：先画出文氏图，A（球迷）＝58B（戏迷）＝38C（影迷）＝52D＝12E（员工总数）＝100。
A+B+C=58+38+52＝148A∪B∪C＝100A∩B＝18B∩C＝16A∩B∩C＝12然后，根据三交集公式A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C推出：A∩C＝A+B+C－A∪B∪C－A∩B－B∩C+ A∩B∩C＝148-100-18-16+12＝26最后得出：只喜欢看电影的人＝C- A∩C-（B∩C- A∩B∩C）＝52-26-（16-12）＝52-26-4＝22 选择A正确。
为了确切说明，请大家看看附件。
公务员考试——容斥原理问题
知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。
无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨1、题型简介容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。
掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识（1）两个集合容斥关系（2）三个集合容斥关系A、标准型公式B、图示标数型（文氏图法）画图法核心步骤：1画圈图；2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；③做计算。
C、整体重复型A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。
（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。
（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础1. 两个集合容斥关系例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。
A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】D【解析】[题钥]由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。