北航应用数理统计考试题及参考解答

北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答

09B

一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12

15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22

110

22

11152()

X X U X X ++=++服从的分布是_______ .

解：(10,5)F ．

2，ˆn

θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n n

n n E θθθ→∞

→∞

==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2

χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .

解：推断各因素对试验结果影响是否显著．

5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)

=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1，设总体~(1,9)X N ，129(,,

,)X X X 是X 的样本，则___B___ .

（A ）

1~(0,1)3X N -； （B ）1

~(0,1)1X N -； （C ）

1

~(0,1)

9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X

N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的

置信区间____B___ .

（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.

3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；

（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.

4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .

（A ）T e A S S S =+； （B ）22

(1)A

S r χσ

-；

（C ）

/(1)(1,)/()

A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.

5，在多元线性回归分析中，设ˆβ

是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε

； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）

ˆˆ1

n p '--εε是2

σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.

三、（本题10分）设总体21(,)X

N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,

,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别

是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2

2

X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明

12(2)X Y t n n +-，

其中22

2

1212(1)(1)2

X Y

n S n S S n n ω-+-=+-.

证明：易知

2

2

121

2

(,

)X Y

N n n σσμμ--+

，

(0,1)X Y U N =

．

由定理可知

2

2

112

(1)(1)X

n S n χσ

--，

2

2222

(1)(1)Y

n S n χσ

--．

由独立性和2

χ分布的可加性可得

2

2

212122

2

(1)(1)(2)X

Y

n S n S V n n χσσ--=

+

+-．

由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得

12(2)X Y t n n =

+-．

四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1

, 0,21

(;), 1,2(1)

0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩

其他，其中参数01)θ

θ<<（

未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证

明2

4X 不是2

θ的无偏估计量．

解：（1）

10

1()(,)22(1)42

x x E X xf x dx dx dx θθθ

θθθ+∞-∞

==+=+-⎰

⎰

⎰，

令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22

X θ

=-． （2）

22221114

1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n

θθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，

因为()00D X θ≥>，，所以2

2

(4)E X θ>．故2

4X 不是2θ的无偏估计量．

五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个

样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为

1

,0;(,)0,x f x θ

θθ≤≤⎧=⎨

⎩

其他, 似然函数为

1

,0,1,2,,,

()0,

n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨

⎪⎩其它

显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12

ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的

极大似然估计．

六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一

个UMVUE ．

证明：X 的分布律为

1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．

容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是

2

1

()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦

．

另一方面

1(1)1Var()Var()()

p p X X n n nI p -=

==， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．